Лагранжево и эйлерово описания деформаций

От изложенных представлений, применяемых в механике сплошном среды, здесь можно отказаться, так как в статической теории упругости временные процессы не рассматриваются и в дальнейшем не будут обсуждаться также упругие динамические явления. Поэтому такие кинематические понятия, как скорость, ускорение, скорость деформаций и субстанциональная производная, здесь вводиться не будут. Не будет также применяться понятие градиента деформаций, которое вводится вообще в механике сплошной среды в качестве исходного для меры деформаций. Наконец, будет также показано, что при ограничении на малость деформаций, которое является естественным в линейной теории упругости, различие между лагранжевым и эйлеровым описаниями исчезает. [c.35]

И предполагается, что функции н непрерывны и дифференцируемы. При исследовании деформаций они могут быть отнесены либо к начальным либо к конечным координатам. Это приводит к двум различным способам описания кинематики деформируемой среды, которые называют лагранжевым или эйлеровым (хотя это исторически не совсем точно). [c.34]

Тензоры деформаций Лагранжа и Эйлера. Лагранжево и эйлерово описания деформаций приводят к двум различным тензорам деформаций. Выражение (1.41) с учетом (1.45) [c.36]

Лагранжево описание деформации. Несмотря на наглядность и простоту, эйлерово описание деформации сплошной среды не всегда удобно. Так случается, когда анализ деформаций необходимо вести, опираясь на конечное состояние среды, которое, однако, можно определить только после решения задачи. Например, при рассмотрении виртуальных состояний деформированного тела, при силах, суш ественно зависящих от величины деформаций, и др. Такие ситуации всегда возникают, когда необходимо учитывать эффект конечности деформации и отличие начального положения среды от деформированного. В этих случаях прибегают к лагранжевому описанию деформаций, вводя систему координат, жестко связанную с деформирующейся средой. Эта система является системой лагранжевых координат, о которой мы уже говорили в предыдущем параграфе. В ней координаты каждой частицы не меняются при деформации, а сама система, будучи связанной со средой (ее потому и называют иногда вмороженной ), изменяется, следуя деформации среды меняется ее базис, метрика, определяемая метрическим тензором, изменяются координатные линии и др. Эти изменения происходят вследствие различия вектора смещений в частицах среды, так что, скажем, прямая координатная линия может стать кривой (см. рис. 6). [c.63]

Когда одна и только одна из главных деформаций в точке сплошной среды равна нулю, говорят, что в этой точке существует состояние плоской деформации. Если в эйлеровом описании (лагранжево описание проводится точно по той же схеме) за ось Хз принять направление нулевой главной деформации, то плоская деформация происходит в плоскостях, параллельных плоскости и характеризуется тензором линейных деформаций [c.132]

Тензоры конечных деформаций. Эйлерово и лагранжево описания деформации [c.60]

Описание деформаций можно проводить в эйлеровом и в лагранжевом представлении, которые непосредственно связаны с методами Эйлера и Лагранжа описания движения среды. [c.60]

Условия совместности Выражения (1.27), (1.28) (эйлерово описание), а также (1.36) и (1.37) в лагранжевых координатах дают компоненты тензоров конечных деформаций через производные вектора смещений. В то же время в большинстве задач теории упругости приходится находить вектор смещений по известным компонентам тензора деформаций. Это связано с тем, что дифференци альные уравнения движения упругого тела формулируют для компонент вектора смещений, а граничные условия часто задают для компонент тензора деформаций (см. 14, 15). При этом возникает вопрос, возможно ли из системы шести дифференциальных уравнений в частных производных (если считать заданными) определить три непрерывных компоненты вектора смещения. Ясно, что если решение этой системы существует, то компонентами тензора деформаций не могут служить произвольно заданные функции. Чтобы обеспечить интегрируемость системы шести дифференциальных уравнений, необходимо ввести определенные ограничения на выбор функций . Эти ограничения для линейного тензора деформаций впервые были получены в 1860 г. Б. Сен-Венаном [c.78]

Компоненты тензора скоростей деформаций в лагранжевых переменных (т. е. в сопутствующей, подвижной системе координат) можно выразить через компоненты тензора в эйлеровом описании, если исходить из соотношений (1.33), имеющих место и в случае малых деформаций. [c.192]

По отношению к деформации, однако, подобная изменчивость исключена. Действительно, предположим, что при лагранжевом (эйлеровом) описании данная точка не особая, т. е. градиент перемещения в ней непрерывен, относительное изменение объема удовлетворяет неравенствам - 1 < Д < < . Тогда (вследствие указанных неравенств) имеет место локальное взаимно однозначное соответствие между градиентами перемещений ди дх и ди дХ Следовательно, и при эйлеровом (лагранжевом) описании данная точка не особая. Поэтому, если при каком-либо из указанных описаний точка - особая, то она будет особой и при другом описании. В качестве примера можно снова указать на эйлерову интерпретацию решения задачи о трещине в рамках линейной теории упругости, где напряжения непрерывны, а деформация разрывна (бесконечна). [c.88]

Тензоры деформации при эйлеровом и лагранжевом способах описания движения сплошной среды. Продифференцировав первую группу уравнений из (2.6) по материальным координатам получим тензор второго ранга с компонентами Fik = dxi/dat, который называется [c.41]

Во второй части излагаются кинематика и теория деформаций сплошной среды в эйлеровом и лагранжевом описаниях, формулируются основные законы динамики и термодинамики, выводятся дифференциальные уравнения движения среды, обсуждаются возможные типы начальных и граничных условий. Рассмотрены вариационные принципы в механике жидкости и газа и в теории упругости, методы теории размерностей и подобия. Теоретический материал сопровождается под-боркой задач с решениями в конце каждого параграфа. Приведены также сведения об ученых, создававших механику сплошной среды. [c.3]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...