Эйлера истинных

Определив точно величину истинной скорости точки (8), Эйлер указал [как это еще до него сделал Роберваль (1635) v=dr/dt. и др.], что направление движения да- [c.25]

Дело заключается в том, что, хотя истинная слабо криволинейная функция и аппроксимирующая ее прямая практически неразличимы, их производные тем не менее могут заметно отличаться. Поэтому формулой Эйлера для критической силы можно пользоваться в пределах напряжений, не превышающих определенной величины. [c.151]

Таким образом, если напряжение к моменту потери устойчивости достигло предела пропорциональности, то расчетное значение критической силы, полученное по формуле Эйлера, окажется соответственно в полтора раза завышенным против истинного. Отсюда просматривается и подход к оценке пределов применимости формулы Эйлера. Пользуясь этой формулой, необходимо следить, чтобы критическое напряжение не приближалось к пределу про- [c.151]

Якоби раскритиковал рассуждения Лагранжа, касающиеся принципа наименьшего действия , указав на важность того обстоятельства, что варьирование происходит при определенных граничных значениях последнее невозможно, если в качестве аргумента выбрано время. В этом случае верхний предел интеграла действия должен варьироваться определенным образом с тем, чтобы обеспечить сохранение энергии вдоль истинного и варьированного путей. Тем не менее если соответствующим образом понять формулировку принципа наименьшего действия, данную Эйлером и Лагранжем, то окажется, что их выкладки совершенно правильны, а их принцип отличается от принципа Якоби лишь формально. Как мы видели, принцип Якоби представляет собой результат следующих операций. [c.163]

Если в (13) и (16), использовав (15), ввести вместо времени t новую независимую переменную — истинную аномалию и, то получим систему, состоящую из шести уравнений первого порядка. Если затем величины р, q, г из (16) подставить в (13), то придем к трем уравнениям второго порядка относительно углов Эйлера в, (р. [c.250]

Но сторонники Лейбница должны быть этим, по крайней мере, весьма удовлетворены. Более того, г. Эйлер показал, что этот принцип имеет место в кривых, описываемых телом, притягиваемым или толкаемым к неподвижной точке. Это красивое предложение распространяет принцип г. Мопертюи также на малую кривую, описываемую корпускулой света при прохождении из одной среды в другую, так что с этой точки зрения принцип оказывается истинным вообще и без ограничений. [c.112]

Завершив этот новый цикл исследований по применению принципа наименьшего действия к проблемам механики, Эйлер приходит, в общем, к тем же выводам, что и в 1744 г. Эйлер снова отмечает, что существуют два метода решения проблем механики один метод — прямой, основанный на законах равновесия или движения другой. .. применяет формулы, которые должны быть максимумами или минимумами и решение которых находится с помощью метода максимумов и минимумов. Первый находит решение, определяя эффект по действующим силам другой рассматривает конечные причины и выводит действия ). Оба метода, полагает Эйлер, должны находиться в полном согласии и приводить к одному и тому же решению, и именно это согласие убеждает нас в истинности решения. [c.791]

Для получения окончательной достоверной поправки к формуле Эйлера необходимо пересмотреть закон Гука, учитывая при его формулировке различие между значениями условных и истинных напряжений и деформаций. И пока не внесена корректировка в закон Гука, учитывать все перечисленные выше поправки не имеет смысла. [c.37]

Найденный тензор в механике сплошных сред называется тензором напряжений Эйлера или тензором истинных напряжений. Как всякий тензор 2-го ранга, он может быть записан в виде матрицы [c.24]

Монография Н. Е. Жуковского О прочности движения (1882) содержит теорию устойчивости траекторий динамических систем, которую сейчас называют теорией орбитальной устойчивости. Этот труд систематизирует и пополняет результаты В. Томсона и П. Тэта, изложенные в их известном Трактате натуральной философии Для Томсона и Тэта отправным пунктом была теория кинетических фокусов К. Якоби, намеченная в его Лекциях по динамике . Якоби, исходя из наглядных геометрических соображений, показал, что на истинной траектории динамической системы действие , которое Входит в интегральные вариационные принципы механики (П. Мопертюи, Л. Эйлер, Ж. Лагранж), не обязательно минимально. Томсон и Тэт связали эти результаты с теорией устойчивости, показав, что минимальность действия на траектории влечет за собою устойчивость последней, тогда как стационарность действия на траектории,— а только к этому должен сводиться вариационный принцип механики,— оставляет вопрос об устойчивости траектории открытым, Жуковский справедливо оценил те несколько страниц из Трактата натуральной философии Томсона и Тэта, которые уделены авторами исследованию прочности (Жуковский пользуется этим термином вместо устойчивости), как только легкий набросок, в котором указываются пути для более обстоятельного исследования . [c.122]

Постановка краевой задачи в координатах Эйлера . В некоторых случаях более удобным является описание процессов в системе координат, связанной с текущей или актуальной конфигурацией. Преимуществом этого подхода является возможность использования истинного тензора напряжения Коши и других, связанных с этим тензором функций, заданных в текущей конфигурации. [c.29]

Естественно, возникает вопрос, каким начальным и граничным условиям должны удовлетворять справедливые во внутренних точках уравнения Эйлера, Навье — Стокса и т. п. Легко видеть, что решение гидродинамических уравнений, полученное по начальным гидродинамическим данным, вычисленным по истинной начальной функции распределения, отличается на величину порядка от асимптотического решения, к которому стремится при t— и >0 решение модельного уравнения Больцмана, хотя это последнее решение асимптотически Удовлетворяет тем же гидродинамическим уравнениям. Действительно, запишем (6.3) и (6.4) соответственно в виде [c.130]

Блок Вычисление истинных положений антенн в инерци-альной СК формирует истинные координаты антенной системы в инерциальной СК на основе использования координатных преобразований и вектора и углов Эйлера [c.55]

В 1741 г. Ломоносов возвратился из заграничной командировки в Петербург и в этом же году разрабатывает Элементы математической химии . В 1742 г. Ломоносов был зачислен адъюнктом физического класса Академии наук. В 1745 г. им была закончена диссертация О причинах теплоты и холода и в этом же году он назначается профессором химии Академии наук. В 1746 г. Ломоносов в письме к Эйлеру формулирует всеобщий закон природы о сохранении материи и движения (энергии). В 1748 г. им было закончено сочинение Попытка теории упругой силы воздуха (кинетическая теория газов). В 1752—1754 гг. Ломоносовым составлен был Курс истинной физической химии ), а в 1753 г. им произносится Слово об явлениях воздушных, от электрической силы происходящих . Здесь им были высказаны основы теории атмосферного электричества. [c.525]

Знак плюс берется, если так называемая угловая дальность между точками и Р (то есть разность 02 — 01 между их истинными аномалиями) больше 180°, минус — если эта величина меньше 180°. Формула Ньютона — Эйлера может быть получена из формулы Ламберта путем предельного перехода, когда а- оо, [c.129]

Здесь Мф означает осреднение по г]), а М1 — по О и ф, связанным соотношениям (6.7.9), производимое по замкнутым траекториям (полодиям) вектора кинетического момента в движении Эйлера — Пуансо. Осреднение приводит к следующему результату (после перехода к новой независимой переменной — истинной аномалии V) [c.228]

Покажем теперь, что из уравнений (5.7) могут быть получены динамические уравнения Эйлера движения твердого тела с закрепленной точкой. За истинные координаты примем углы Эйлера [c.125]

Пусть Ь, а, р означают полярные координаты точки касания шаров (рис. 3.18.). Истинными координатами, определяющими положение катящегося шара, будут углы Эйлера б.ф.г]) и углы а, р. Введем подвижную систему координат с началом в центре подвижного шара, как указано на рис. 3.18. Единичный вектор всегда горизонтален, а вектор направлен вдоль линии, соединяющей центры шаров. Обозначив через (о , (о , (03 проекции угловой скорости [c.201]

Среди всех возможных полей скоростей деформирования истинное поле обеспечивается при минимальном значении функционала (57). Следовательно, для определения уравнения линии сдвига г у), обеспечивающего минимум затрат на деформирование в условиях переменности предела текучести материала, необходимо установить условия, при которых интеграл, входящий в (57), приобретает минимальное значение. Это имеет место, если подынтегральная функция Р у) удовлетворяет дифференциальному уравнению Эйлера [c.71]

Но при этом мы уже не можем находить значение / (у) по средней для каждого интервала Д(/ величине ут по той простой причине, что значение Дг/ нам как раз и неизвестно. Следовательно, остается здесь только одно — находить величину функции f(Уo)< т. е. для начальных условий каждого участка Д/, что Эйлер и делал. Операции тогда осуществляются так же просто, как и в рассмотренном выше нами случае, но, очевидно, что мы будем иметь всегда заведомо искаженные результаты, и найденная нами кривая г/о (/) в этом случае всегда будет отличаться от искомой истинной. [c.41]

В соответствии с принципом Гамильтона, используемым в механике, интеграл от функции Лагранжа по времени в пределах между двумя фиксированными точками должен быть стационарен при изменении траектории системы относительно истинной на небольшую, но произвольную величину. Из этого принципа можно вывести уравнения, которые должны удовлетворяться вдоль истинной траектории. Они называются уравнениями Эйлера и для простой механической системы представляют собой просто законы движения Ньютона [33]. [c.239]

После того как Эйлер доказал этот принцип для случая притяжения к неподвижным центрам, ему не удалось доказать его для взаимных притяжений, для которых было неизвестно значение принципа живой силы поэтому он довольствуется тем заявлением, что для случая взаимных притяжений выкладки были бы слишком длинны, но принцип наименьшего действия должен и здесь иметь место, так как основные положения здоровой метафизики показали, что силы природы всегда обязательно должны производить наименьшее действие (как он думал, благодаря присущей телам инертности). Но этого не показывает ни здоровая и никакая вообще метафизика, и на самом деле Эйлера побудило к такой фразе только неправильное понимание названия наименьшее действие . Мопертюи хотел этим названием выразить, что природа свои действия производит с наименьшей затратой сил, и в этом заключается истинное значение названия prin ipe de la moindre a tion . [c.297]

Однако, — замечает Эйлер, —. .. часто очень трудно найти выражение, которое должно быть максимумом и минимумом... ). Поиски такого выражения, по мнению Эйлера, собственно говоря, принадлежат не к области математики, а ... к метафизике, поскольку необходимо знать цель, которую природа полагает в своих действиях ). Метафизика же отнюдь не достигла такой степени совершенства, чтобы для каждого действия, производимого природой, указать то количество действия , которое является наименьшим мы еще очень далеки от этого, и поэтому почти совершенно невозможно отыскать для большого числа различных случаев формулы, которые будут иметь максимум или минимум. Напротив, если известно решение, найденное прямым методом, то не представляет труда угадать формулы, которые приведут к тому же самому решению, если отыскать их максимум или минимум. Таким образом, если нельзя вторым методом а priori находить непосредственно законы явлений, то, зная решение, найденное прямым методом-, ... мы знаем а posteriori эти формулы, которые выражают количество действия, и тогда не представляет более труда показать их истинность с помощью принципов, известных в метафизике ). [c.792]

Замечание. Выше установлена связь между напряжениями и деформащтями упругой среды при подходе Лагранжа. Можно доказать (см., например, [1, 2, 8]), что при подходе Эйлера связь меяеду тензором истинных напряжений и тензором деформаций Альманси в упругой среде определяется формулой Мурнагана [c.32]

Мусшенбрук ранее, в XVIII веке, уже использовал свои остроумные испытательные машины для изучения явления продольного изгиба. Оценив должным образом своего предшественника, Дюло исследовал тот же вопрос на очень большом количестве образцов. Для различных значений отношения длины стержня к размеру его поперечного сечения, находящихся в пределах от 200 до 24, он получил среднее значение отношения наблюденной в опыте критической силы к вычисленной по формуле Эйлера, равное 1,16. Дюло не считал, что его результаты обязательно должны вызвать сомнения в применимости теории Эйлера. Дюло отмечает, при описании этих первых, достаточно хорошо выполненных экспериментов, истину, прекрасно известную каждому современному экспериментатору, исследующему проблему потери устойчивости, состоящую в том, что трение и проблема закрепления образцов делают эти испытания чрезвычайно затруднительными для проведения [c.272]

В предисловии к этому труду Эйлер пишет Хотя мне казалось, что я достаточно ясно понял решение многих задач (речь идет о Началах Ньютона), однако задач, чуть отстуиающ их от них, я уже решить не мог . Задача XXIII из Начал Ньютона, приведенная выше, как раз служит подтверждением этих слов Эйлера. Действительно, если в этой задаче сделать самое незначительное изменение, а именно, одно коническое сечение (эллипс) заменить другим (параболой), то все решение коренным образом меняется. Дальше Эйлер говорит в том же предисловии Я попытался, насколько умел,. .. те же предложения проработать аналитически благодаря этому я значительно лучше понял суть вопроса . Следует обратить особое внимание на то, что Эйлер говорит о сути вопроса . В самом деле, язык синтетической геометрии придает каждой механической задаче такой характер, что то обш,ее, что объединяет разные задачи (например, основные законы динамики), легко может исчезнуть из ноля зрения. Эйлер справедливо говорит там же, что хотя читатель и убеждается в истине выставленных предложений, но он не получает достаточно ясного и точного их понимания . Применение анализа в значительной степени снимает эти трудности. Я изложил их планомерным и однообразным методом ,— говорит Эйлер . Однообразный метод — вот главное достоинство аналитического языка. Вот как решает Эйлер ту же задачу, которая решена Ньютоном (Задача XXIII) Задача ставится Эйлером в значительно более общем виде. О форме траектории ничего не говорится. Найденный ответ будет применим к траектории любого вида. Эйлер вводит дифференциал дуги траектории [c.145]

Громадные преимущества аналитического метода настолько очевидны, что влияние Механики Эйлера проявилось немедленно по ее опубликовании. Динамика Даламбера вышла в свет в 1743 г., автор работал над ней не позже 1742 г., т. е. всего через шесть лет после выхода Механики Эйлера. Вместе с тем этот труд полностью порывает с синтетическо-геометрическим методом. Роли анализа и синтетической геометрии меняются на противоположные. Если до Эйлера анализ служил для того, чтобы облегчить синтез геометрического доказательства, то теперь геометрия, если и применяется, то только для того, чтобы облегчить составление дифференциального уравнения задачи Но истинная ценность вклада Даламбера состоит в том, что он впервые сформулировал в механике единый принцип. Конечно, всю силу этого принципа он смог показать только потому, что использовал огромный труд Эйлера, посвященный аналитическому методу в механике. [c.146]

При решении различных задач динамики системы Л. Эйлер применял петербургский принцип (см. гл. VI). В наиболее четкой форме этот принцип дан Эйлером в одной иэ его работ по теории гидрореактивной турбины Там Эйлер вводит в рассмотрение три категории сил актуальные (активные внешние силы, приложенные к частицам системы), требуемые , т. е.. те, которые обеспечили бы истинные движения точек системы при отсутствии связей, и силы реакции связей, а также формулирует принцип эквивалентности системы актуальных сил системе требуемых сил в связанном движении точек механической системы (т. е. при учете сил реакций связей). [c.182]

Ученые, изучавшие свойства реальной жидкости, считали гидромеханику идеальной жидкости весьма ограниченной но своим возможностям. Так, Ш. Боссю, отмечая выдающиеся математические достижения Даламбера, Эйлера и Лагранжа в гидромеханике идеальной жидкости, писал Совместные усилия великих геометров, видимо, исчерпали все ресурсы, которыми располагает анализ для определения движения жидкостей. К несчастью, до самой природе вопроса эти расчеты настолько сложны, что их можно рассматривать как сами по себе драгоценные математические истины, но не как символы, которыми можно наглядно описать действительное и физическое движение жидкостей [c.190]

Блок Имитационные модели движения НИСЗ GPS GLONASS и ЛА формирует на текущий момент времени истинные координаты и компоненты вектора скорости ц.м. ЛА углы Эйлера [c.55]

Полученные значения истинных и опорных разностей фаз для всех НИСЗ используются для определения текущей ориентации ЛА — углов Эйлера Е блоком Алгоритм определения ориентации целевого ЛА . Полученная оценка углов Эйлера Е используется в дальнейшем блоком Моделирование опорной траектории и углового движения целевого Л А как опорная характеристика ориентации ЛА. [c.57]

Но, как известно, для изучения ряда вопросов кинематики движения среды, за исключением вопроса об ускорении частицы, можно не переходить на точку зрения метода Лагранжа и оставаться постоянно на точке зрения метода Эйлера, позволяющего изучать поле скоростей. При изучении поля скоростей движения среды по методу Эйлера мате.мати-ческая операция осреднения, например в смысле (2.25), вводится для того, чтобы произвести сглаживание вводимых кине.чатических и динамических характеристик движения среды. При турбулентном движении жидкости скорость и давление в каждой точке пространства претерпевают скачкообразные изменения от одного момента времени к другому и при переходе от одной точки поля к другой. Сама по себе операция осреднения (2.25) позволяет только по скачкообразным значениям вектора скорости в пределах фиксированного объёма "1 и фиксированного интервала времени получить некоторое значение вектора скорости, которое мы относим к центру объёма и к центру интервала вре.мени. Эффект же сглаживания мы можем получить лишь тогда, когда эта операция осреднения будет осуществляться при непрерывном сдвиге центров фиксированного объёма т и фиксированного интервала времени t. В этом случае каждый следующий фиксированный объём будет обязательно налагаться на предшествующий в своей большей части и каждый следующий интервал времени будет перекрывать не полностью предшествующий интервал времени. Таким образом, математическая операция осреднения в данном случае позволяет перейти от полей векторных и скалярных величин, скачкообразно меняющихся во времени и в пространстве, к полям тех же величин, но изменяющихся достаточно плавно во времени и в пространстве. Однако этот переход должен компенсироваться введением в рассмотрение дополнительных местных полей (с размерами фиксированного объёма осреднения) пульсаций соответственных величин, причём эти пульсации изменяются скачкообразно во времени и в пространстве. С помощью операции осреднения поле, например, вектора скорости истинного движения жидкости в некотором конечном объёме, намного превышающем объём осреднения г, заменяется двойным полем, составленным из поля вектора осреднённой скорости, зани.мающего весь конечный объём, и из накладывающихся частично друг [c.446]

В предыдущих выводах мы следовали общему ходу рассуждений, аналогичному тому, который принят при выводе двух систем уравнений гидр од ина-мики ). Система Эйлера описывает то, что происходит в определенной геометрической точке, фиксированной в пространстве, во время движения жидкости. Такой системе соответствует способ, которым определялся истинный сдвиг первого рода, поскольку это касалось измерения деформации сдвига. Вторая система, система Лаграно са, более удобна для определения действительных траекторий частиц жидкости, скоростей частиц вдоль их траектории р данные люменты времени п т. п. Этой системе соответствует использование условного сдвига 7, который определяет изменение угла меок ду двумя первоначально перпендикулярными материальными линиями или сечениями в теле. [c.164]

Указав в 93, правда слишком сжато и, может быть не вполне ясно, выше указанный процесс, Эйлер в 94 говорит Однако такнм образом трудно найти истинное значение % ибо для Ш ж М надо брать совокупность всех членов указанного вида, так как иначе истинное значение п не получится поэтому мы полагаем, что- значение п надо выводить из наблюдений , вдо он затем в 94 и делает. [c.193]

Указав, таким образом, существование этого уравнения, Эйлер не цнШется его составлять а с истинною гениальностью обходит встретив-шееся затруднение. [c.193]

С точки зрения оценки практического значения уравнения продольных колебаний и уравнений С. П. Тимошенко эта утрата, однако, не очень существенна. Как будет видно из дальнейшего, в задачах о распространении деформаций в пластинах и стержнях интерес представляют не столько истинные фронты, сколько квазифронты, на которых напряжения хотя и не терпят разрыв, но имеют существенно большие градиенты. Энергия волнового пакета, непосредственно следующего за истинным фронтом, на достаточно большом расстоянии от источника возмущения х > 1) относительно мала. Подавляющая же часть энергии следует за квазифронтом. Это в значительной мере снижает интерес к описанию картины движения в окрестности фронта и заставляет проявлять внимание к области, где сосредоточена большая часть энергии движения. Последнее необходимо иметь в виду при оценке возможностей приближенных уравнений динамики пластин и стержней. Более того, заботясь преимущественно о правильной оценке распространения энергии, нельзя безоговорочно отвергнуть даже уравнение Бернулли—Эйлера (35.17) как аппарат для изучения распространения изгибных деформаций вдоль стержней лишь на том основании, что в нем принимается ах = аз = О, т. е. скорости распространения фронтов считаются бесконечно большими. В следующих параграфах приводятся примеры, иллюстрирующие высказанные выше положения и проливающие свет на степень точности и на области применимости различных приближенных вариантов уравнений динамики стержней и пластин. Попутно приводятся и некоторые количественные данные относительно распространения самоуравновешенных возмущений. [c.233]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...