Уравнения безмоментной в перемещениях

Если из (9.27) Л 1, УУг и Т, выраженные через перемещения и, V, IV, подставить в уравнения (9.25), то можно получить систему уравнений равновесия для безмоментной оболочки в перемещениях. Однако в этом случае порядок системы уравнений возрастает вдвое, что соответственно увеличивает трудности решения такой системы. Поэтому проще сначала решать систему уравнений (9.25), имеющую второй порядок, а затем систему уравнений (9.27), также имеющую второй порядок. [c.243]

Напомним, что во всех приведенных выражениях начальные усилия Т , Т°у, 5 считались найденными из решения уравнений безмоментной теории оболочек (6.35). Воспользовавшись записью энергетического критерия в форме С. П. Тимошенко (см. 10), можно избежать определения начальных усилий в оболочке, но для этого необходимо найти перемещения точек срединной поверхности оболочки второго порядка малости, как это сделано для кругового кольца и пластин. [c.249]

Для того чтобы оболочка под нагрузкой могла находиться в безмоментном состоянии, условия ее закрепления должны исключать не только перемещения оболочки как жесткой, но и перемещения, связанные с изгибанием. Для этого граничные условия в перемещениях должны быть такими, чтобы однородные уравнения (6.3) не имели ненулевых решений. В противном случае, при больших изгибаниях, нет оснований пренебрегать мо-ментными членами в уравнениях равновесия, и безмоментная теория неприменима. [c.291]

В реальных конструкциях тонких оболочек, в частности оболочек летательных аппаратов, в местах передачи на оболочку внешних сосредоточенных нагрузок устанавливаются усиливающие кольца — шпангоуты. Это делается для того, чтобы раз грузить оболочку от изгиба и приблизить ее напряженное состояние к безмоментному. В этом случае и расчет оболочки можно часто выполнять по безмоментной теории, причем при составлении уравнений совместности деформации оболочки и шпангоута учитывают только тангенциальные (и, v) перемещения оболочки. [c.347]

Для отсека, подкрепленного поперечным набором, наиболее важен случай, когда температуры обшивки и кольца-шпангоута постоянны и соответственно равны и t- Напряжение определяют с помощью уравнений моментного состояния цилиндрической оболочки. В правой части уравнения (6.49) для осесимметричного случая появится слагаемое, соответствующее безмоментному температурному перемещению Wr = oit R, где а — температурный коэффициент линейного расширения. Если отсутствуют поверхностная нагрузка р и осевая сила Tj, уравнение (6.49) примет вид [c.346]

Этот раздел посвящен рассмотрению краевых задач безмоментной теории. Под последними подразумевается интегрирование дифференциальных уравнений безмоментной теории с учетом так называемых идеализированных тангенциальных граничных условий, т, е. равенств, определяющих краевые значения либо усилий, либо перемещений, лежащих в касательной плоскости. [c.174]

Система уравнений для определения перемещений безмоментной сферической оболочки после представления их в тригонометрических рядах запишется в виде [c.24]

Резюмируя изложенное в этом параграфе отметим, что, как уже неоднократно говорилось, усиливающие покрытия (накладки) рассматриваются как тонкие оболочки или пластины, лишенные изгибной жесткости. Последнее приводит к их безмоментному напряженному состоянию. При этом, однако, уравнения неразрывности деформаций обычно оказываются нарушенными [18]. Более того, в перемещениях, определенных на основе без-моментного напряженного состояния, как показано в [18], наряду с перемещениями оболочки как твердого тела на равных правах всегда присутствуют перемещения чистого изгиба. По при постановке задач безмоментной теории, как отмечается в [18], перемещения чистого изгиба должны быть либо вовсе устранены или по крайней мере надлежащим образом ограничены. Один из способов устранения этих перемещений заключается в наложении ограничения типа (8.45) или (8.52) на компоненты внешней нагрузки, благодаря которым уравнения неразрывности деформаций оказываются удовлетворенными. Таким образом в рамках [c.79]

Изложенное поясним на примере. Цилиндрическая оболочка находится под давлением жидкости, верхний ее край свободен, нижний край жестко закреплен. Уравнения для определения постоянных действительны при любой нагрузке. Согласно безмоментной теории перемещения нижнего края равны нулю при х = 0 (см. табл. 1.8), т. е. ш) = 0 и ш = 0. Система уравнений для определения в основании оболочки Мр и Qp составляется с использованием данных табл. 1.8. [c.46]

При отыскании функций щ, 2 и ш путем интегрирования уравнений четвертого порядка относительно этих функций для внешней статической определимости задачи из двух граничных условий необходимо, чтобы обязательно одно выражалось через усилие, второе же всегда должно выражаться через перемещение. Эта обязательность задания одного нз граничных условий в перемещениях существенна для удовлетворения закреплением оболочки на контуре условиям безмоментного напряженного состояния. [c.148]

Перемещения v , в уравнениях (в) определяются в цилиндре от действия давления q в предположении, что деформации стенок не стеснены крышками, т. е. по безмоментному напряженному состоянию . Учитывая, что по безмоментной теории [c.310]

Уравнения (е) задачи 8.1 и (а) различаются только коэффициентом С, который для моментной теории больше. Таким образом, перемещения и напряжения безмоментной системы будут в k раз больше, чем моментной, где [c.246]

Решение системы уравнений (ЮЛ) и (10.2) относится к статической задаче безмоментной теории оболочек вращения при осесимметричной нагрузке. Чтобы найти деформации и перемещения в оболочке, к этим уравнениям следует добавить геометрические и физические уравнения. Здесь ограничиваемся исследованием только статической стороны задачи. [c.207]

Решение системы уравнений предыдущего параграфа позволяет вычислить усилия и напряжения в оболочке вращения, загруженной симметрично относительно оси, по моментной теории. Сравнение напряжений, получаемых по моментной и безмоментной теориям, приводит к выводу, что в тонких оболочках они мало отличаются. Таким образом, можно считать, что безмоментная теория дает удовлетворительные результаты, если граничные условия являются безмоментными, т. е. обеспечивают краям оболочки свободные перемещения в направлении нормали к поверхности. [c.241]

Решения, полученные на основе безмоментной теории, если они оказываются медленно изменяющимися и удовлетворяют граничным условиям на контуре оболочки, мало отличаются от точных. Если эти решения не удовлетворяют граничным условиям, наложенным на нормальные перемещения, углы поворота или соответствующие усилия, то часто можно получить достаточно точный результат, учитывая дополнительно краевой эффект. Кроме того, как и в симметрично нагруженных оболочках вращения (гл. 3), медленно изменяющиеся решения безмоментной теории мол<но рассматривать как приближенные частные решения уравнений общей теории. [c.289]

Как следует из формул (6.45), непрерывные выражения для перемещений получаются в безмоментной теории только в том случае, если произвольные функции (ф), 7а (ф). возникающие при интегрировании уравнений равновесия, непрерывны вместе со своими производными соответственно до третьей и до второй включительно. Это накладывает определенные ограничения на допустимые виды нагрузок и граничных условий. Так, в част- [c.305]

В теории краевого эффекта рассматриваются лишь быстро изменяющиеся функции. Поэтому при интегрировании уравнений (7.78) следует отбросить линейно зависящие от а произвольные функции (эти функции характеризуют медленно изменяющиеся перемещения и усилия, которые учитываются безмоментным и чисто моментным решениями). Интегрируя дважды второе из уравнений (7.78) и отбрасывая произвольные функции, найдем [c.345]

Особенностью этой системы, отличающей ее от уравнений без-моментной теории жестких оболочек, является то,, что уравнения равновесия (поскольку в них входят параметры изменения кривизны) не могут быть решены независимо от определения перемещений. Система является связанной. При этом общий порядок ее равен шести (в отличие от четвертого порядка уравнений без-моментной теории жестких оболочек). Соответственно и на границах предварительно нагруженной безмоментной оболочки должны быть поставлены не два, а три граничных условия. Эти уело-, ВИЯ можно накладывать на перемещения и, v, w или на соответствующие им силы. Перемещениям и, v соответствуют в окружном сечении силы Т , S, а перемещению w — проекция начальной силы Т за счет ее поворота на угол --- [c.378]

Последовательность решения задач с использованием теории краевого эффекта состоит в следующем. Вначале находят силы и перемещения в оболочке по безмоментной теории. Сила Т и перемещение и определяются только этими зависимостями. Нормальное перемещение и окружная сила составляются из двух слагаемых. Из уравнения (9.6.11) определяют Wg. Изгибающий момент и перерезывающую силу находят по зависимостям (9.6.12). Все моментные части сил и перемещений выражаются через константы С и С- . Их определяют из граничных условий или условий сопряжения. Если оболочка имеет несколько участков, для каждого сопрягаемого края записывается решение вида (9.6.11) со своими коэффициентами к. Из условия равенства нормальных перемещений, углов поворота нормали, изгибающих моментов и перерезывающих сил находят все искомые значения констант. [c.154]

Частное решение системы уравнений (6.34). .. (6.42) соответствует безмоментной теории. Силы и перемещения в этом случае могут быть [c.156]

Слагаемые в скобках в последних двух уравнениях соответствуют моментным членам. Перед ними стоит сомножитель /iV(12/ ), являющийся малым параметром. Казалось бы, при рассмотрении тонких оболочек можно не учитывать этих членов в скобках. Отметим, однако, что производные от перемещений v w здесь имеют высокий порядок. Как уже отмечалось ранее, в некоторых задачах теории оболочек перемещения гораздо меньше по значению, чем их производные. "Именно поэтому малый параметр h 2R ), умноженный на производные высокого порядка, дает величины, соизмеримые с теми, которые соответствуют безмоментной теории. [c.159]

В других случаях определение перемещений также включается в задачу безмоментной теории, и соответственно увеличивается число уравнений, с которыми надо оперировать. Можно указать и другие расхождения. [c.103]

Если поставлено геометрическое граничное условие, выражающее отсутствие перемещений в некотором направлении р в каждой точке края, то будем говорить, что оболочка имеет закрепление в направлении р. Кроме того, будем говорить, что решение статической безмоментной теории порождается поверхностными и краевыми силами, первые из которых определяются свободными членами уравнений равновесия, а вторые — свободными членами граничного условия. Тогда теореме 1 можно дать простое физическое толкование. Если в геометрической безмоментной задаче закрепление в направлении п не препятствует изгибанию (v) срединной поверхности, то статическая безмоментная задача, в которой на краю задается тангенциальное усилие в направлении I, ортогональном п, может иметь решение только тогда, когда равна нулю работа сил, порождающих это решение, на перемещениях изгибания (v). [c.111]

Таким образом, общий интеграл безмоментных уравнений сферической оболочки содержит две произвольные аналитические функции комплексного переменного комплексную функцию напряжений ф (у) и комплексную функцию перемещений / (7). Этот результат был получен в работе [37]. [c.183]

Таким образом, при жестком смещении поверхности вращения величины Uj, U2, а, следовательно, и величины ujr и 1 + i выражаются как сумма величин, меняющихся по ф по закону 1, sin ф или os ф и зависящих в общей сложности от шести произвольных констант. Вместе с тем, очевидно, что жесткие перемещения являются решениями однородных (при 8, = 82 = = 0) геометрических безмоментных уравнений. Отсюда следует, что, если Ej = 82 = = О то в решении геометрических безмоментных уравнений вида (14.14.2) коэффициенты при 1, os ф и sin ф соответствуют смещениям срединной поверхности как жесткого целого. Но в обыкновенных линейных дифференциальных уравнениях переход от решения однородных уравнений к решению неоднородных уравнений совершается элементарно (например, методом вариации постоянных). Поэтому и из решения (14.14.6) можно элементарно получить решение неоднородных геометрических безмоментных уравнений, если имеют силу разложения [c.209]

В 13.1 построены общие интегралы безмоментных уравнений произвольных оболочек нулевой кривизны. В них тангенциальные усилия и перемещения записываются с помощью равенств [c.212]

Легко показать, что, если полная безмоментная краевая задача имеет решение, то в нем будут присутствовать элементы произвола, соответствующие возможным изгибаниям срединной поверхности. Перемещениям любого изгибания соответствуют нулевые компоненты тангенциальной деформации, а значит, в силу формул (7.1.4), и нулевые тангенциальные усилия. Поэтому перемещения возможного изгибания заведомо удовлетворяют однородным безмоментным статическим уравнениям и однородным статическим тангенциальным условиям. Кроме того, они по определению удовлетворяют однородным безмоментным геометрическим уравнениям и однородным геометрическим тангенциальным условиям. Таким образом,. [c.219]

Требование гладкости граничных условий, включенное в дополнительные предположения ( 15.15), также необходимо. Если в какой-либо точке края оболочки меняется смысл граничного условия или терпит скачок функция, входящая в формулировку граничного условия, и через эту точку проходит действительная характеристика безмоментных уравнений у, то На V, вообще говоря, произойдет нарушение условий тангенциальной непрерывности. Это, видно из результатов решения полной краевой задачи для консольной цилиндрической оболочки, загруженной на свободном крае усилия и перемещения в данном случае определяются формулами (15.18.5), имеющими силу только тогда, когда в правых частях условий (15.18.4) функции П 1 и Si достаточно гладки. Другие примеры читатель найдет в 15.25. [c.221]

Левые части этих уравнений — такие же, как в (18.37.6). Поэтому их определители будут равны нулю, если при п = k w некотором целом т выполняется равенство (18.37.8). Решение неоднородной статической задачи будет в этом случае, вообще говоря, невозможно. Это можно было предвидеть заранее. Рассматриваемые здесь статическая и геометрическая безмоментные задачи сопряжены (в смысле 7.7). Поэтому, если выполнено (18.37.8), т. е. если однородная геометрическая задача имеет нетривиальные решения, то согласно теореме 1 7.7 надо требовать, чтобы внешние силы статической задачи не совершали работы на перемеш,ениях сех возможных изгибаний. Выше было показано, что таких изгибаний бесконечное множество. Однако соответствующие им перемещения меняются по ag как sin rva или os r -ai,2, а внешние силы меняются по как sin ka или os ka2, поэтому, в силу ортогональности тригонометрических функций, работа внешних сил может отличаться от нуля лишь при п> = k. При фиксированном г существуют только два линейных независимых изгибания, а значит, и число нетривиальных условий Существования решения статической задачи также равно двум. Это и будут те два условия, которым должны отвечать правые части двух систем [c.266]

Пример 5. Определ ИМ перемещения оболочки с такими же геометрическими размерами и внешней нагрузкой, как в примере 2 (см. рис. 5.4). При безмоментной теории расчета перемещения вычисляются по формулам (9.11) и (9.10). Учитывая, что для рассматриваемой оболочки X=Y=Z=0, уравнения (9.11) упрощаются, так как Hi = Ti = 0. [c.244]

Уравнения (8.6.2) — (8.6.5) следует дополнить краевыми условиями. Полная система таких условий, соответствующая различным способам закрепления и нагружения краев безмоментной оболочки, приведена, например в [6, 99]. В рассматриваемом далее случае замкнутой в окружном направлении оболочки с жестко защемленными краями s = а, s = Ь эти условия заключаются в обращении в нуль перемещений и , й в точках граничного контура [c.265]

А. Тюманок исследовал неустановившееся движение полубесконечной цилиндрической оболочки, от защемленного края которой равномерно движется осесимметричная волна давления с докритической скоростью [3.72] (1966). Исследования проводились на основе уравнений типа Тимошенко В работе показано, что при больших временах основной вклад в перемещения оболочки вносит безмоментное решение. В моментной части решения существенными оказываются краевой эффект и группа волн с низкой скоростью. [c.214]

Методы расчета безмоментного напряженного состояния и условия его существования рассмотрены в гл. 6. Заметим, что в отличие от осесимметричной деформации оболочек вращения, в общем случае возможен и другой вид медленно меня ющи хся де рмаций оболочки. Этот вид деформации оболочки, при котором срединная поверхность не испытывает рас- тяжениД , называется и з г и б а н н е м, а соответствующее иа пряженное состояние—чисто моментным. Перемещения при такой деформации определяются интегрированием уравнений [c.258]

Нетрудно видеть, что система уравнений чистого изгибания имеет (как и в безмоментной теории) четвертый порядок (второй порядок имеют уррНения перемещений (6.3) и уравнения равновесия). Поэтому и в данном случае точное выполнение всех граничных условий оказывается невозможным. [c.291]

Приближенное решение моментной теории оболочек вращения предполагает расчленение напряжерно-деформированного состояния на безмоментное и краевой эффект. Краевому эффекту соответствует аналитическое решение моментной теории, справедливое в сравнительно узкой зоне оболочки. Оно строится на основе упрощения уравнений моментной теории в предположении, что угол oiq между осью вращения и краем оболочки близок л/2, длина краевой зоны невелика и в ее пределах радиусы кривизны Ri н R2 толщина оболочки не меняются, производные от функции перемещений w углов поворота 0j, сил Т2, 01, моментов Mi значительно больше [c.153]

Анализ полной системы уравнений показывает, что в безмоментной теории оболочек на каждом торце можно задавать только два тангенциальных граничных условия, в которые могут входить либо тангенциальные силы Tj, 5, либо тангенциальные перемещения и, V. Может существовать комбинация величин Ti и v или 5 и м, и невозкожно рассматривать условия Ti одновременно с и, так же как S с v. Далее будет показано, что граничные условия по w можно удовлетворить, рассматривая моментную теорию оболочек. [c.136]

Геожтрическая безмоментная краевая задача. Под этим подразумевается построение в области G такого решения геометрических безмоментных уравнений (7.5.1), для которого на контуре g краевое перемещение V в заданном тангенциальном направлении п принимает заданное значение. [c.110]

Замечание 2. Если в каждой точке края ставится одно тангенциальное статическое граничное условие, заключающееся в требовании, чтобы тангенциальная краевая сила Pi имела заданное значение, и одно геометрическое граничное условие, заключающееся в требовании, чтобы тангенциальное смещение Vn имело заданное значение, то полная безмоментная задача, в сущности, представляет собой соединение статической безмоментной задачи и геомй риче-ской безмоментной задачи. Действительно, в этом случае можно сначала найти Tj, S, Т , интегрируя статические безмоментные уравнения совместно со статическим граничным условием, а затем выразить (алгебраически) ш, Ej через Т , S, Т , при помощи уравнейий состояний. и, наконец, найти перемещения и , Uj, w, интегрируя геометрические безмоментные уравнения совместно с геометрическим граничным условием. Вместе с тем, легко указать на случаи, когда такое разделение станет невозможным. Это будет, например, в том случае, когда оба граничных условия — геометрические. Тогда целесообразно говорить о полной краевой Задаче безмоментной теории, не расчленяя ее на статическую и геометрическую задачи. [c.112]

Рассматриваем сферический сегмент, подкрепленный шпангоутом, к которому приложена произвольная нагрузка. Общее решение для сферической оболочки, нагруженной краевой нагрузкой, может быть получено путем наложения двух решений безмоментного решения и краевого эффекта. Основные соотношенйя для оболочки и кругового кольца и условия их сопряжения рассмотрены в гл. 1, разд. 1.3. Уравнение в векторной форме, связывающее перемещения оси шпангоута и усилия, действующие на шпангоут с учетом реактивных усилий со стороны оболочки, имеет вид [c.202]

Пусть исходное состояние оболочки является безмоментным и может быть описано уравнениями (1.4.3). Пусть перемещения tsP и усилия 7 , S , характеризующие это состояние, яв-лсяются плавно меняющимися функциями а, 3 (т. е. показатель I o изменяемости / = 0). Тогда в силу оценки (1.3.7) и в предположении, что деформация срединной поверхности не близка к ее изгибанию, заключаем, что можно отождествить [c.43]

Метод исследования состоит в том, что для каждого узла записываются уравнения равновесия и условия совместности и решаются относительно неизвестных, введенных таким обт разом, чтобы через них можно было определить все усилия, моменты, напряжения, перемещения и повороты. Для каждой части конструкции общее решение задается в виде суммы ре-шения по безмоментной теории и решения от краевого эффекта. Выражения решений от краевого эффекта для цилиндри ческой оболочки взяты из работы Хетеньи [8], а для сферической оболочки — из работы Лекки [9]. Ни одно из решений [c.60]

С другой стороны, поскольку изложенные здесь результаты в дальнейшем будут применены в исследованиях задач контактного взаимодействия тонкостенных усиливаюш их накладок с массивными деформируемыми телами, то указанные компоненты внешней нагрузки выступают в роли контактных напряжений. Наложенные при этом на них ограничения типа (8.45) и (8.52) приводят к новым постановкам контактных задач, суш ественно отличным от постановок классических контактных задач теории уйругости. Кроме того, в этих задачах, хотя уравнения неразрывности деформаций и оказываются нарушенными, благодаря условиям контакта, заключающимся обычно в приравнивании компонент перемещений контактирующих пар (притом перемещения усиливающих покрытий определяются на основе безмоментной теории), мы в определенной мере добиваемся удовлетворения уравнений совместимости деформаций для тонкостенных элементов. Таким путем возникают различные постановки задач контактного взаимодействия с массивными деформируемыми телами некоторые из них будут обсуждены в дальнейшем. [c.80]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...