Задача с начальными деформациями

Книгу условно можно разделить на три части. Первая часть (гл. 1—5) посвящена основам теории упругости. В первой и второй главах излагается теория малых упругих перемещений, а в третьей главе — теория конечных упругих перемещений в прямоугольной декартовой системе координат. В гл. 4 формулируется теория конечных упругих перемещений в криволинейной системе координат. В гл. 5 принцип виртуальной работы и связанные с ним вариационные принципы обобщаются на задачи с начальными напряжениями, задачи с начальными деформациями и динамические задачи. [c.13]

Задачи с начальными деформациями [c.133]

Тогда, следуя результатам 3.6, найдем, что принцип виртуальной работы для задачи с начальными деформациями принимает ( рму, аналогичную (3.49), а именно [c.133]

В-третьих, предположим, что существуют две потенциальные. функции Ф ( ) и Y ( ), определенные соотношениями (3.36). Тогда функционал принципа стационарности потенциальной энергии для задачи с начальными деформациями примет вид [c.134]

Итак, можно сделать вывод, что принцип виртуальной работы и связанные с ним вариационные принципы выводятся так же, как и в гл. 3, за исключением различия в выражениях для А и В. Аналогачные утверждения справедливы для задач с Начальными деформациями в случае малых перемещений. [c.135]

Покажите, что еслн в задаче с начальными деформациями ограничиться малыми перемещениями, то можно доказать, что решение задачи можно получить из условия минимума полной потенциальной энергии в из условия минимума полной дополнительной энергии. [c.155]

Соотношения (6.36) и (6.37) дают частные интегралы, которые требуются в задачах с начальными деформациями или начальными напряжениями соответственно. Поэтому в случае известных начальных напряжений смещения в любой внутренней точке вычисляются по формуле [c.171]

В сочетании с (15.8) имеем плоскую задачу с начальной деформацией (как в 6.7), роль которой играет слагаемое с А к В. Решение этой плоской задачи можно представить как [c.168]

Пластические деформации зависят главным образом от тепловых характеристик процесса сварки, свойств металла и в значительно меньшей степени — от жесткости свариваемых элементов. Это обстоятельство позволяет разделить задачу определения сварочных напряжений и деформаций на две части. В первой части с помощью решения термодеформационной задачи МКЭ определяются пластические деформации, обусловливающие перераспределение объема металла в зоне упругопластического-деформирования при сварке (термодеформационная задача). Во второй части на основе решения задачи в рамках теории упругости определяются напряжения в сварном узле в целом (деформационная задача). Исходной информацией для решения деформационной задачи являются начальные деформации [c.298]

Сначала рассмотрим задачу с начальными напряжениями [1, 2]. Под начальными напряжениями мы понимаем те напряжения, которые возникли в теле в исходном состоянии, т. е. перед началом развития интересующей нас деформации. В задаче с начальными напряжениями мы выберем исходное состояние в качестве отсчетного. [c.127]

Дадим линеаризованную формулировку задачи с начальными напряжениями, предполагая, что перемещения являются беско вечно малыми величинами, т. е. О (в) ), а начальные напряжения — конечными величинами, т. е. aii = О (1). Это предположение приводит к упрощению принципа виртуальной работы (5.7) н к линеаризации соотношений деформации — перемещения (5.6) и соотношений напряжения — деформации (5.8) [c.130]

Здесь задача с начальными напряжениями ( ) — как при температурных деформациях (см. гл. 6). Выражение получено следующим образом [c.321]

Налагая на постоянный тензор L дополнительные ограничения, которые мы обсудим в X. 1, можно, хотя это далеко не просто, доказать теоремы существования, единственности и регулярности для типичной граничной задачи с начальными данными и типичной статической граничной задачи классической теории упругости бесконечно малых деформаций. Без этих ограничений в общем случае типичная граничная задача не имеет решения. [c.300]

На практике часто встречаются конструкции, имеющие регулярную конфигурацию (геометрию) в каком-либо направлении (рис. 1.2), нагруженные периодически изменяющейся системой возмущающих факторов (силы, температура, начальные деформации). Вполне очевидно, что для определения НДС таких конструкций нет необходимости рассматривать их полностью, поскольку НДС регулярных участков конструкции одно и то же. В связи с этим процедура определения НДС регулярной конструкции сводится к выделению из нее регулярного участка и наложения по его границам условия плоских сечений, которое для двумерных задач можно представить в виде и = [c.27]

Таким образом, при решении задачи с учетом проскальзывания необходимо осуществить формирование разрешающей системы конечно-элементных уравнений по алгоритму, описанному в разделах 1.1 и 1.2, предполагая, что в элементах трещины используются эффективная матрица жесткости [KiY и эффективный вектор сил, обусловленных начальными деформациями [c.244]

Решение осесимметричной деформационной задачи с учетом начальных деформаций и 8 проводится на основе закона [c.301]

Если в материале происходят только малые деформации и он подчиняется закону Гука, то дополнительные напряжения рч связаны с дополнительными деформациями такими же соотношениями, которые имеются для полных напряжений и деформаций. В этом случае в силу линейности задачи можно определять р по внешним нагрузкам так, как если бы начальных напряжений и деформаций не было. Внутренние начальные напряжения (а следовательно, и полные напряжения) можно определить, только если известна технология изготовления данной детали. [c.339]

С другой стороны, большая часть трудностей развития основ теории к настоящему времени преодолена, и подтверждается это тем, что развитые точные методы анализа могли быть последовательно использованы для изучения микромеханики упругопластического поведения композита. В настоящий момент лучше всего разработан метод конечных элементов, который в сочетании с двумя одинаково развитыми возможностями— методом начальных деформаций Фойе и Бейкера [12] и методом касательного модуля Адамса [1—3] — позволяет моделировать сложные области и граничные условия, возникающие в задачах механики композитов. Подходы Фойе —Бейкера и Адамса полностью описаны в их указанных выше работах, соответствующие программы для ЭВМ введены в библиотеки и при желании могут быть использованы. [c.238]

N, где N —число шагов). Возможны две модификации пошагового расчета. Более распространен вариант, в котором по известному состоянию Ri, в начале шага и по приращению внешнего воздействия АВ = (индекс 2 относится к концу шага) находится изменение состояния /S.R = —R . Текущее состояние R (//) находится суммированием приращений AR. В другой модификации расчета [82 ] по состоянию и воздействию В непосредственно находится состояние Идея данной модификации использует тот факт, что от предыстории деформирования можно считать зависящим только поле неупругих деформаций pij (л ), а состояние R определяется по заданному полю pij х) однозначно — из упругого решения. Напомним, что так названо решение краевой задачи термоупругости с дополнительным полем начальных деформаций — в отличие от упругого решения, определяющего реакцию R идеально упругого тела на заданное воздействие В. Таким образом, достаточно суммировать по шагам одно поле неупругой деформации. Это устраняет накопление ошибки, связанной с неточностью выполнения условий равновесия, совместности и физических уравнений (записываемых в первой модификации алгоритма в приращениях и, следовательно, приближенно). С другой стороны, вторая модификация более устойчива по отношению к случайным ошибкам при определении неупругой деформации если в некотором шаге пластическая деформация в какой-либо точке конструкции ошибочно оказалась завышенной, напрял<еиия в ней получатся заниженными и в следующем шаге приращение пластической деформации будет меньше действительного, что частично компенсирует ошибку. [c.207]

Деформационные теории пластичности и ползучести. Расчет дисков в упругопластической области методом конечных элементов с применением итерационных процедур для решения нелинейных упругопластических задач не представляет принципиальных трудностей. Предложенные и развитые [13, 49] численные методы решения упругопластических задач, описанные в гл. 3, могут быть легко использованы и в случае конечно-элементного представления конструкции [14]. Принципиально близкие методы применяют в иностранных работах — метод начальных деформаций и др. [46]. [c.167]

Рассмотрим двусвязное тело, изображенное на рис. 1.2, и сведем его к односвязному с помощью барьерной поверхности Q. Выберем произвольный замкнутый контур С, начальная (i) и конечная (/) точки которого лежат на 2. Применяя уравнения (i) и (ii) задачи 4 к контуру С, докажите, что даже если деформации тела являются непрерывными и удовлетворяют условиям совместности (1.15), то [c.46]

В исследовании устойчивости тел с начальными напряжениями и деформациями. Такая задача будет изучаться в 5.2 в предположении, что изменение геометрии тела до потери устойчивости пренебрежимо мало. [c.101]

Расчетная схема для анализа НДС при взаимодействии остаточных и эксплуатационных напряжений представлена на рис. 6.3. Поля собственных ОН моделировались путем решения упругой задачи с начальными деформациями е , равными остаточным пластическим деформациям sP, полученным при решении динамической или квазистатической упругопластической задачи по взрывной запрессовке или гидровальцовке трубки в коллектор. Нагрев металла трубки и коллектора до температуры эксплуатации 7э осуществлялся линейно по времени за время т = = 10 ч. Одновременно с температурным воздействием проис.хо-дит нагружение коллектора давлением Р. В результате такого нагружения в коллекторе возникают некоторые осевые и [c.339]

В упругопластичности начальная деформация есть просто приращение пластической деформации, но в теории вязкопластичности и в теориях, основанных на введении внутренних параметров, скорость начальной деформации играет роль скорости вязкопластической деформации или скорости неупругой деформации соответственно. Следовательно, основные уравнения для задачи с начальными деформациями совпадают с уравнениями (12.32) и (12.33). Поэтому, следуя описанной выше процедуре, мы получаем следующую запись ПМГЭ для граничной точки [c.346]

Особенности МКЭ в физически нелинейных задачах рассмотрены в гл. 2.3. Поскольку в неустановившейся ползучести изменение деформаций состоит из приращений упругих деформаций и приращений деформаций ползучести, то наиболее оправданным является использование в каждый момент времени метода начальных деформаций, определяемых напряжениями в каждом конечном элементе. В результате решения задачи теории ушругости с начальными деформациями определяют напряженно-деформированное состояние в конце рассматриваемого интервала времени, после чего осуществ-ляется следующий шаг по времени. [c.125]

Рассмотрим равновесие бесконечно малого параллелепипеда после деформации подобно тому, как это делалось в 3.2, и обозначим внутренние силы, действующие на поверхность со сторонами Eg dx и Ej dx , через —(а + а ) Е dj dx . Силы, действующие на другие поверхности, определяются аналогично. Величины определенные таким образом, будут называться добаючными напряжениями. Тогда найдем, что уравнения равновесия и граничные условия для задачи с начальными напряжениям можно получить из уравнений (3.27) и ( .42), заменяя р . и fx на 0(0) р(0) X р>, и р(0) >. р соответственно. [c.128]

В данной теории тензор деформации, температура и градиент температуры рассматриваются как переменные термодинамического состояния, тогда как компоненты тензора неупру-гой деформации входят как параметры внутреннего состояния (скрытые параметры). Связь между тензором деформации и тензором неупругой деформации не постулировалась. Тензор деформации определяется кинематикой заданного движения тела В тензор неупругой деформации находится из решения задачи с начальными значениями для обыкновенного диффе- [c.108]

Если предположить, что V0 О, и принять условие для бесконечно малых деформаций (3.4), то внутренние параметры X, Р, для упругопластических материалов определяются задачей с начальными услрвиями для следующей системы дифференциальных уравнений [c.125]

Мы считаем Ь заданным (в типичных случаях постоянным или нулевым) вектором, и тогда уравнение (1) превращается в условие на деформацию X. В традиционных теориях это условие имеет вид дифференциального уравнения второго порядка по времени и пространственным координатам (по отдельности или по совокупности). В общем случае это — дифференциальнофункциональное уравнение, которое с учетом приведенной формы определяющего соотношения (IV. 5-5) никогда не является линейным относительно производных по пространственным координатам. Возможности современного анализа далеко не достаточны для того, чтобы подойти к общему решению краевых задач или задачи с начальными данными для таких уравнений. Тем не менее довольно много известно о частных решениях для специальных классов отображений , и остальная часть этой книги посвящена доказательству и объяснению этих известных в настоящее время теорем рациональной механики. [c.170]

Следует быть осторожными и не относить к теореме Колемана — Нолла о замедлении результаты более сильные, чем те, которые они сформулировали и доказали. Эта теорема дает приближенные определяющие соотношения, а не приближенные ре шения конкретных граничных задач или задач с начальными условиями. Решение конкретных задач предполагает дифференцирование определяющего соотношения и затем интегрирование получающихся уравнений движения или равновесия -для определения деформации х. соответствующей конкретным силам, приложенным к конкретному телу. Если две функции отличаются на малую величину, то их производные могут отли- [c.393]

В работе J. Р. Jones a и Р. G. Bhuta [3.112] (1964) исследуется круговая цилиндрическая оболочка под воздействием подвижной кольцевой нагрузки. Установлено, что существуют режимы, которые требуют учета инерции вращения и деформации сдрпга и постановки задачи с начальными условиями. [c.214]

Традиционным подходом к решению задач упруговязкоплас-тичности (наличие мгновенной пластической деформации и деформации ползучести) при переменном во времени термосиловом нагружении является комбинация двух отдельных задач — упругопластической и вязкоупругой. Найденные из первой задачи пластические деформации являются начальными деформациями для задачи вязкоупругости, решение которой осуществляется численным интегрированием во времени уравнений ползучести с применением шагово-итерационной процедуры метода начальных деформаций [10]. Как видно, такой метод исключает возможность анализа НДС элемента конструкции, когда пластическое (неупругое) деформирование материала обеспечивается мгновенной пластической деформацией и деформацией ползучести одновременно. Для решения подобного рода задач можно использовать подход, разработанный в работах [43, 44]. Он основан на введении мгновенных поверхностей текучести, зависящих не только от неупругой деформации (неупругая деформация равна сумме мгновенной пластической деформации и деформации ползучести далее неупругую деформацию будем называть пластической), но и от скорости деформирования. В этом случае решение вязкопластической задачи сводится [c.13]

НОГО металла. При расчете принимается, что распределение начальных деформаций однородно по зоне перфорации, вне зоны перфорации начальные деформации равны нулю (см. рис. 6.2). При решении плоской задачи необходимо отразить отсутствие искривления образующей коллектора АВ (см. рис. 6.2), по которой производится мысленная разрезка цилиндра. Для этого вводятся дополнительные граничные условия, обеспечивающие отсутствие искривления торцов развертки (искривление линий А В w А"В" рис. 6.2)]. Обеспечение таких граничных условий производится с помощью метода, изложенного в разделе 1.3. [c.336]

Для решения этой задачи необходимо в первую очередь оценить на основании законов старения степень или скорость повреждения тех элементов, которые определяют значение выходного параметра. При этом математическое ожидание и дисперсия процесса оцениваются с учетом спектра нагрузок и режимов работы. Одновременно на основании данных о конструкции основных элементов машины и общей компоновки ее узлов определяются начальные параметры изделия — его геометрическая точность, жесткость, влияние быстро протекающих процессов и процессов средней скорости на параметры изделия. Обычно не все эти показатели могут быть получены расчетным путем. Так, например, методы расчета, связанные с виброустойчивостью и с тепловыми деформациями сложных деталей и узлов, еще недостаточно разработаны. В этом случае следует использовать данные аналогов, производить моделирование процессов на макетах или задаваться допустимой их величиной. В последнем случае при окончательной отработке конструкции изделия всегда могут быть приняты меры для доведения данного параметра до требуемого у зовня. [c.201]

В изложенной формулировке задач устойчивости не учитывается изменение объема и поверхности тела в начальном состоянии равновесия, и поэтому под напряжениями понимаются некоторые условные, а не истинные напряжения. Однако такой подход, предполагающий малость деформаций, вполне оправдан для исследования устойчивости тонкостенных силовых конструкций. Кроме того, действующие на тело силы считаются мертвыми , т. е. неизменными при переходе системы в состояние, смежное с начальным. Это ограничение непринцнпиально условие (3.29) и вытекающие из него уравнения (3.31) и граничные условия (3.32) нетрудно обобщить и на тот случай, когда действующие на тело консервативные силы изменяются при сообщении системе перемещений ы . Тогда для системы в состоянии, смежном с начальным, можно записать = = ёо + = Ро + /oj, где grj и — дополни- [c.83]

В качестве примера использования энергетического критерия устойчивости для систем с распределенными параметрами рассмотрим прямой стержень, нагруженный продольными силами, значения и направления которых не изменяются при деформациях стержкя (рис. 1.15, а). Задачу определения начального напряженно-деформированного состояния такого стержня будем считать решенной и закон распределения по длине стержня начальных сил N о х) известным. При достаточно малых значениях этих сил начальное состояние равновесия стержня с прямолинейной осью является единственным и устойчивым. Найдем условия, при которых это начальное состояние равновесия перестает быть устойчивым. [c.32]

Как И в предыдущих исследованиях цилиндрических оболочек с начальными прогибами по теории конечных прогибов, представление (7.11а) подставлялось в уравнения (6.31к), где полагалось Ь = 1/Д, это уравнение интегрировалось, и из него определялась функция мембранных напряжений ф, при этом использовалось решение —Sxy (или —су 12 в. случае задачи о продольном сжатии) однородного уравнения. Полученное в результате выражение для функции ф и представление (7.11а) для прогиба w подставляются затем в выражения (4.70) и (4.71) для энергии деформации, отлуда, так же как и в ранее обсуждавшихся случаях, с помощью принципа возможной работы определяются неизвестные а, п, Яо и 6. [c.541]

Рассмотрим задачу о начальном развитии пластических деформаций при одноосном растяжении тонкой пей>орированной пластины постоянными усилиями Оу. Будем считать, что пластические деформации сосредоточены вдоль некоторых линий скольжения, исходящих из контура отверстия. Как показывают опыты, пластические области будут представлять в таких случаях отрезки длины (d = I - X) (рис. 2.16). Толщину зоны можно считать равной нулю. В силу симметрии граничных условий и геометрии области D, занятой материалом пластины, напряжения являются двоякопериодическими функциями с основными периодами oi и сог- [c.129]

В турбинных дисках, изготовленных из жаропрочных сплавов, деформации ползучести соизмеримы с упругими деформациями, а иногда и меньше последних. Это, в частности, наблюдается при решении релаксационных задач, связанных с расчетом посадочного напряжения на вал. В турбинах, работающих сравнительно короткое время, начальная стадия неустановившейся ползучести может занимать значительную часть всей жизни диска. Эти вб-стоятельства требуют разработки более точных методов расчета напряженного и деформированного состояний неустановившейся стадии ползучести с использованием- физически более обоснованной теории упрочнения. [c.110]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...