Метод переменных направлений неявный

Эта конечно-разностная схема соответствует методу переменных направлений и благодаря поочередной аппроксимации вторых производных явным и неявным способами приводит к возможности использования эффективного метода разностной факторизации (прогонки) для решения системы двухмерных конечно-разностных уравнений. Разностные уравнения для граничных узлов сетки составляются путем использования условий теплового баланса. [c.265]

Метод переменных направлений позволяет сократить объем вычислений по неявной схеме, сохраняя свойство абсолютной устойчивости. Ниже приводится реализация этого метода для областей прямоугольной формы без внутренних источников теплоты. [c.34]

При центральной разностной явно-неявной схеме расходы потока в КРУ определяются на середину интервала Для ее реализации используются методы расщепления решения — неявный и явный методы переменных направлений [7, 12, 13], использующие комбинацию явных и неявных конечно-разностных схем. Сущность метода рассмотрим на примере неявного метода переменных направлений (НПН). В этом случае временной шаг разбивается на две половины на его первой половине расходы потока в направлении х считаются неявно (на конец интервала ДО, а в направлении —явно (на начало интервала А на второй половине шага направления неявного и явного счета меняются. Исходное КРУ при этом разбивается на два, решение каждого из которых осуществляется методом прогонки [7, 12]. Для обеспечения достаточной точности расчетов по методу НПН рекомендуется [16] следующее ограничение на временной шаг, основанное на численных экспериментах [c.154]

Явный метод переменных направлений (ЯПН) также основан на разбивке временного шага на две половины, но расходы потока рассчитываются неявно не по направлениям х ш у, как в методе НПН, а по диагонали. Рекомендуемое ограничение на временной шаг для этого метода [16] [c.154]

Метод решения. Система уравнений (1.1)-(1-3) решалась конечно-разностным методом по неявной схеме с использованием метода переменных направлений для уравнений завихренности и концентрации. Для конвективных членов применялись как монотонные аппроксимации, так и центральные разности. Использовались неравномерные сетки по обоим направлениям по вертикали в пограничном слое у поверхности растущего кристалла сетки существенно сгущались для разрешения тонкого концентрационного пограничного слоя по горизонтали - в областях X = 2а, 4й и 6а, т.е. в местах смены направлений входящего и выходящего потоков. Уравнение Пуассона решалось итерационным методом с набором оптимальных итерационных параметров. Тестовые расчеты на различных сетках (101 х 61, 201 х 71, 285 х 81) позволили выявить оптимальные сеточные и временные параметры как для эволюционных уравнений, так и итерационные шаги для уравнения Пуассона. [c.73]

Конечно-разностные схемы для решения двухмерных и трехмерных задач. Рассмотренный выше метод решения систем неявных конечно-разностных уравнений применим и при решении двухмерных задач нестационарной теплопроводности в случае использования следующей разностной схемы переменных направлений [c.92]

Для численного решения уравнений (8.30), (8.31) по методу установления нри стационарных граничных условиях (8.33) можно применить неявную схему переменных направлений. [c.66]

Наиболее эффективны неявные схемы, основанные на идее так называемых экономичных методов [12, 14], позволяющих свести решение многомерного уравнения к решению последовательности одномерных задач. При численном моделировании двумерных задач ЕК часто используется схема переменных направлений. В книгах [1—3] приведены некоторые варианты этой схемы в зависимости от способа аппроксимации пространственных производных. Запишем ее для нестационарных уравнений переноса тепла и завихренности, применив консервативные монотонные операторы (4.32) [c.94]

Хорошо известные, простые в реализации, но от-личаюшиеся медленной сходимостью итерационные методы Якоби и Зейделя изложены в 5.1. Детальный анализ более эффективных методов решения многомерных нелинейных дискретных аналогов можно найти в [43, 57,59,73,79]. Среди них заслуживают особого внимания методы переменных направлений (неявный, существенно неявный, модифицированный существенно неявный и др.) [47,73]. Ниже рассмотрен неявный метод переменных направлений как наиболее простой в реализации и обладающий вполне приемлемой эффективностью при решении задач тепло- и массопереноса. Метод пре.дставля-ет собой удобную комбинацию метода прогонки (см. п. 5.1.4) для одномерных задач и метода Зейделя. [c.157]

Условие устойчивости (5.29) является весьма жестким оно, как правило, не соответствует естественным требованиям точности. В случае двух (и более) пространственных переменных применение неявных схем вызывает большие трудности, связанные с решением системы уравнений на верхнем слое. Это обстоятельство послужило одним из стимулов развития группы родственных между собой eтoдoБ (метода переменных направлений, метода дробных шагов, метода расщепления и др.). [c.135]

Уравнения теплообмена и энергии можно решить методом переменных направлений [34]. Численные аналоги уравнений при этом расписываются по неявной схеме и решаются методом прогонки. При решении уравнений движения и неразрывности можно использовать явную двухшаговую схему Р. МакКормака [34, 35], обладающую вторым порядком точности. Таким образом, решение задачи разбивается на два последовательных этапа — решение уравнений теплообмена и совместное решение уравнений движения и неразрывности, которые затем увязываются через уравнение состояния и итерационные циклы. [c.23]

Уравнения теплообмена и энергии решались методом переменных направления [34]. Численные аналоги уравнений при этом расписывались по неявной схеме и решались методом прогонки. При решении уравнений движения и неразрьшности использовался метод прогонки с помощью подстановки Симу-ни. Таким образом, решение задачи было разбито на два последовательных этапа — решение уравнений теплообмена (1.37), (5.3) и совместное решение уравнений движения и неразрывности (5.1), (5.2), которые затем увязывались через уравнение состояния (1.40) и итерационные циклы. [c.137]

Следует отметить, -что ввиду при- менения неявных конечно-разностных схем метод переменных направлений позволяет избежать строгшс ограничений на соотношение пространственно-временных шагов. Для выбранной сетки использовался шаблон, показанный на рис. 5.1. [c.139]

Численное решение на ЭВМ всей системы дифференциальных уравнений в частных производных для газовой и жидкостной фаз включает пошаговое интегрирование в направлении г от начальных значений, заданных в плоскости 2о вычислительной программой L1SP. В каждой последующей плоскости 2 вычисляется совместное решение для всех переменных во всех узловых точках расчетной сетки (г, 0) с использованием комбинированной схемы прогноза с коррекцией. Для большинства уравнений применяется конечно-разностный метод переменных направлений с использованием центральных разностей по г и 9. На этапе прогноза используются линеаризованные конечно-разностные аналоги этих уравнений — явные по г и неявные по 9. Отдельные подпрограммы решают каждое из конечно-разностных уравнений, а также вычисляют связи уравнений и физические свойства газа в зависимости от соотношения компонентов. Использование отдельных подпрограмм обеспечивает удобство при введении требуемых изменений в модели различных физических процессов. Из-за практических ограничений в отношении объема памяти ЭВМ и времени счета программа 3-D OMBUST содержит не более 15 круговых и 7 радиальных линий расчетной сетки и не более 12 диаметров капель. [c.158]

Так как все эти пространства натянуты на произведения одномерных базисных функций, матрицы жесткости К также могут допускать разложение на одномерные операторы. Грубо говоря, это происходит, когда в дифференциальном операторе Ь можно разделить переменные. На практике это встречается в параболических задачах, когда метод Галёркина приводит к неявной разностной схеме с двумерной матрицей массы М, или матрицей Грама, образованной из скалярных произведений функций фз, которую приходится обращать на каждом шаге по времени. Для разностных уравнений именно эта трудность породила метод переменных направлений, в котором обратная матрица приближалась с помощью обращений двух одномерных операторов. Для пространства, образованного как произведение одномерных, применима та же техника с обычной оговоркой,. что если область не в точности прямоугольная, то метод переменных направлений дает хорошие результаты, но сходимость не доказана. [c.111]

Попутно оценивались более слабые, чем (5.4), условия сходимости, которые иногда применяются на практике установление трех и четырех значащих цифр в числе Нуссельта. В результате стало возможным провести некоторое сравнение. Так, установление трех знаков в числе Нуссельта при рещении задачи (5.1) на квадратной сетке 21X21 при Ка = 5-10 достигается за 25—30 шагов по времени при временном шаге т = 0,002 (которое близко к максимально допустимому), если применять неявную схему метода установления, предложенную в [43]. Отметим, что по устойчивости и экономичности она является одной из лучших эволюционных схем, применяемых для решения задач ЕК- При этом на каждом временном слое уравнения переноса тепла и завихренности, аппроксимированные с помощью схемы Самарского С, считаются по схеме переменных направлений, а разностное уравнение Пуассона для функции тока — методом последовательной верхней релаксации. [c.141]

Неявные схемы метода чередующихся направлений (схемы ADI) были предложены в работах Писмена, Ракфорда [1955] и Дугласа [1955]. Называемая также схемой переменных направлений (Кускова [1968]), эта схема основана на расщеплении шага по времени с целью построения многомерной неявной схемы, в которой требуется обращение только трехдиагональной матрицы ). Первые приложения этой схемы к задачам [c.139]

Для успешного распространения основной неявной схемы метода чередующихся направлений (3.308) на случай трех пространственных переменных нужно принять во внимание некоторые тонкости. В наиболее очевидной схеме в этом случае надо выполнить три вычислительных шага с двумя промежуточными шагами прп /-)-Д//3 и /-)-2Д//3. Эта схема уже не обладает ни вторым порядком точности по времени, ни безусловной устойчивостью (Рихтмайер и Мортон [1967]) и неустойчива при й > 2 (Карнахан с соавторами [ 969]). Продемонстрируем такое распространение схемы на случай трехмерного уравнения диффузии [c.144]

Схема имеет порядок точности О (А/ , Ах , Аг/ , Дг ) и безусловно устойчива. Эта процедура может быть обобщена и на случай больщего числа переменных. Дуглас и Ракфорд [1956], Дуглас и Ганн [1964] и Брайен [1961] предложили другие неявные схемы метода чередующихся направлений в случае трех пространственных переменных (см. также Карнахан с соавторами [c.145]

Используя компактную схему в неявном методе чередующихся направлений (см. разд. 3.1.16), Хёрщ [1975] рассчитал двумерные стационарные течения вязкой жидкости при малом числе Рейнольдса. При помощи компактной схемы четвертого порядка удалось достигнуть экономии мащинпого времени в 20 раз и объема машинной памяти в 3 раза по сравнению со схемой второго порядка (примерно прп той же точности). Граничные условия для вихря брались с предыдущего слоя по времени (как это обычно делается в том случае, когда интерес представляет только стационарное решение), что приводило к потере точности по времени. Трехточечные компактные разности можно также применять для построения схем шестого и более высокого порядка точности (Хёрш, личное сообщение). В схеме Рубина —Хосла [1975], основанной на аппроксимации сплайнами, вводится переменный шаг по пространственной сетке, и в этом случае порядок ошибки для F остается О (А ), но порядок ошибки для S уменьшается до О (А ). [c.174]

Янг и Кинкейд [1969] сравнили представленные выше методы с некоторыми другими методами. Они охватили метод последовательной верхней релаксации с переменным параметром релаксации со, как и в неявной схеме метода чередующихся направлений Дугласа — Ракфорда (см. также Мак-Доуэлл [1967]), еще один модифицированный метод последовательной верхней релаксации, параметры Шелдона для метода верхней [c.192]

Брили [1970], Брили и Уоллс [1971]) обнаружил, что условие сходимости для значения вихря на стенке в действительности накладывает ограничение на величину шага по времени вида А а/Ал , где а — некоторое число, зависящее от задачи и от требований сходимости. Несмотря на то что метод фон Неймана указывает на безусловную устойчивость рассматриваемой схемы, оказывается, что неявное определение значений на стенке фактически приводит к ограничению на величину шага по времени, которое аналогично ограничению, имеющему место для простейшей явной схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным. Такое поведение присуще пе только неявным схемам метода чередующихся направлений, но и всем неявным схемам. [c.144]

Азиз и Хеллумс [1967] с успехом использовали трехмерные неявные схемы метода чередующихся направлений для полного уравнения, включающего конвективный и диффузионный члены. Мак-Ки и Митчелл [1970] рассмотрели неявные схемы чередующихся направлений для задач со смешанными производными по координатам д 1 /дхду. Келлог [1969] исследовал неявную схему метода чередующихся направлений для нелинейного уравнения диффузии с нелинейным граничным условием. Применение неявных схем метода чередующихся направлений для уравнения диффузии в случае переменного шага пространственной сетки и граничных условий общего вида рассмотрел Спеньер [c.145]

Однако применение явных схем метода чередующихся направлений для решения задач гидродинамики ограничено по двум причинам. Во-первых, хотя для внутренних точек конечно-разностная схема (3.316) является явной, в целом эта схема фактически будет неявной из-за граничных условий. При первом направлении обхода по схеме (3.316а) должно быть известно значение с (д+1)-го временного слоя при втором направлении обхода по схеме (3.3166) должно быть известно значение где / = maxi. Это обстоятельство не вызывает осложнений в случае задач теплопроводности, где температуры или градиенты температуры на границах, как правило, известны для всех моментов времени. Но значения вихря на стенке не известны и, как уже было отмечено при обсуждении неявных схем метода чередующихся направлений, это вызывает затруднения. Во-вторых (и это гораздо важнее), если данная схема комбинируется с другими схемами и в ней для конвективных членов используются какие-либо варианты аппроксимации из схемы с разностями против потока, схемы с разностями вперед по времени и центральными разностями по пространственным переменным, схемы чехарда и явной схемы метода чередующихся направлений, то полученная комбинированная схема либо оказывается безусловно неустойчивой, либо для нее опять появляются ограничения вида 1 и /г ), характерные для явных схем. Единственной сравнительно успешной комбинацией является комбинация схемы, в которой по обоим чередующимся направлениям обхода точек используются разности против потока для конвективных членов и явной схемы метода чередующихся направлений с осреднением для диффузионных членов (см. Ларкин [1964]) [c.148]

И легко обобщается на случай трех пространственных переменных. Однако при расчетах уравнения переноса вихря эта схема, как и явные и неявные схемы метода чередующихся направлений, встречается с трудностью, связанной с неявностью граничных условий. Гурли [1970а, 19706] обнаружил тесную связь между схемой классики , неявной схемой метода чередующихся направлений и схемой Дюфорта — Франкела. [c.154]

Янг и Кинкейд [1969] сравнили представленные выше методы с некоторыми другими методами. Они охватили метод последовательной верхней релаксации с переменным параметром релаксации со, как и в неявной схеме метода чередующихся направлений Дугласа — Ракфорда (см. также Мак-Доуэлл [c.192]

Нельзя считать окончательно завершенной и работу, связанную с представлением в математических моделях теплоэнергетических установок термодинамических и теплофизических свойств рабочих тел и теплоносителей. Наибольшее количество исследований, выполненных в этом направлении, относится к наиболее распространенному в теплоэнергетике рабочему телу и теплоносителю — воде (водяному пару) [1,2]. В настоящее время широко используются два метода определения свойств воды и водяного пара при выполнении расчетных исследований на ЭЦВМ 1) представление соответствуюш,их свойств в виде явных или неявных функций от одной, двух или нескольких переменных 2) линейная или нелинейная интерполяция по узловым точкам таблиц, введенным в память ЭЦВМ. Наибольшего внимания, по-видимому, заслуживает работа [20], содержа-гцая рекомендованную Международным комитетом по формуляциям для водяного пара систему уравнений, предназначенную для технических расчетов. Однако, во-первых, эти уравнения достаточно сложны и, во-вторых, не содержат явных выражений для определения некоторых часто употребляемых в теплоэнергетических расчетах параметров. Оба эти обстоятельства приводят к суш ественным затратам машинного времени при использовании указанных уравнений. Второй метод определения свойств воды и водяного пара требует меньшего времени расчета на ЭЦВМ, но исходная информация по нему занимает больший объем запоминающего устройства ЭЦВМ. Таким образом, еш е предстоит большая работа по определению целесообразных областей применения каждого из указанных методов в зависимости от требуемой точности вычислений значений параметров, области их определения, характеристик используемой ЭЦВМ и т. д. Этот вывод в еще большей мере справедлив по отношению к новым рабочим телам и теплоносителям, широкое применение которых намечается на атомных электростанциях, в парогазовых и других комбинированных теплоэнергетических установках. [c.10]

Если ввести переменные Лиза-Дородницына, то исходную систему уравнений (2.1)-(2.4) можно преобразовать к виду, более удобному для численного интегрирования. Для аппроксимации полученных уравнений использовалась неявная конечноразностная схема первого порядка точности в продольном направлении и второго порядка — в поперечном. Для регнения краевой задачи на каждом гпаге разностные уравнения линеаризовывались и регнались методом прогонки. Учет нелинейности проводился методом итерации. Такой подход успегнно [c.534]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...