Скалярное произведение функций

Метод наименьших квадратов. Для формулировки метода введем скалярное произведение двух функций, определенных на отрезке [а, Ь]. Скалярным произведением функции ф (л ) и (х) будем называть число (ф, i1j), удовлетворяющее следующим требованиям [c.112]

Скалярное произведение функций 154 Скорость диффузионная компонента 7 [c.314]

Для упрощения последующих формул введены матрица попарных скалярных произведений функций линейно независимого базиса [c.28]

Скалярное произведение функций 01 и 02, обозначаемое [c.7]

Пространство Соболева (Я) состоит из всех тех функций, для которых соответствующая Соболевская норма конечна. Через (и, и) будет обозначаться (если не оговорено ничего другого) скалярное произведение функций и( ) и (х) в смысле пространства 2 2(/ ) [c.114]

Утверждение (б) вытекает из (а) в пространстве со скалярным произведением функция из подпространства ближайшая к заданной функции и, всегда является ее проекцией на 8 . Обратно, покажем, что (а) вытекает из (б) [c.55]

Одним из самых фундаментальных свойств конечноэлементных аппроксимаций является то, что рассмотренные ранее интерполяционные функции г 51у (х) образуют базис некоторого конечномерного подпространства пространства которому принадлежит аппроксимируемая функция Р (X). В случае когда на задано скалярное произведение, функции -ф (х), как правило, не ортогональны, и это наводит на мысль о построении другой системы функций, которые называются сопряженно-аппроксимационными функциями. В этом параграфе подробно рассматривается понятие сопряженно-аппроксимационной функции и показывается, что эти функции обладают некоторыми определенными свойствами, основополагающими для методов аппроксимации вообще и метода конечных элементов в частности. [c.66]

Определим локальные сопряженные аппроксимации для конечноэлементных представлений с учетом этого замечания. Для начала рассмотрим линейный функционал, соответствующий взятию скалярного произведения функции [c.87]

Очевидно, что все свойства скалярного произведения при этом выполняются. Скалярное произведение порождает норму вектор-функции [c.603]

Рассмотрим теперь функцию Аппеля, которую обозначим S и которая представляет собой половину суммы произведений масс точек системы на квадраты их ускорений. Причем квадрат каждого ускорения можно представить как скалярное произведение ускорения (в векторной форме) самого на себя (скалярный квадрат ускорения) [c.380]

Примечания. 1. Конечно, из векторов А и Mj можно образовать еще ряд инвариантов преобразования полюса. Например, таким инвариантом будет скалярное произведение А-Mq. Среди этих инвариантов независимых лишь два, так как они все являются функциями двух инвариантов А и Mi. [c.175]

Правило дифференцирования скалярного и векторного произведений двух векторов также ничем не отличается от соответствующего правила в случае произведения функций. Иными словами. [c.182]

Определим скалярное произведение двух функций и f2( ) [c.264]

Понятие скалярного произведения может быть использовано для оценки близости двух функций. [c.113]

Приведем некоторые примеры гильбертовых пространств. Рассмотрим пространство Li(Q). Зададим на измеримом множестве й евклидова пространства некоторой размерности т множество функций, определенных почти везде и квадратично суммируемых. Скалярное произведение определим формулой [c.124]

Построение пространства 2 в векторном случае очевидно. Каждая из вектор-функций будет иметь на измеримом множестве й некоторое количество п скалярных компонент. Скалярное произведение определяется так [c.124]

Рассмотрим пространство непрерывных на отрезке [—1, +1] функций, задав скалярное произведение формулой (11.8) (пространство С). Возьмем последовательность функций [c.125]

Область определения оператора будет состоять из функций, непрерывных вместе со своими первыми и вторыми производными в области П и удовлетворяющих условию (11.49). Тогда для любых двух функций U и i) из этой области можно образовать скалярное произведение в энергетическом пространстве [c.135]

Поскольку решение не должно зависеть от угла ср, то все проекции фр, фф и фг, а также функция ф не должны зависеть от ф. Скалярное произведение векторов гиф оказывается равным [c.293]

Основные теоремы векторной алгебры. 1. Любая скалярная функция векторных аргументов может быть представлена через попарные скалярные произведения векторных аргументов. [c.41]

Любая векторная функция векторных аргументов может быть разложена по п линейно-независимым векторам, скалярные коэффициенты при которых единственным образом выражаются через попарные скалярные произведения векторной функции векторных аргументов и линейно независимых векторов. [c.41]

Напомним, что при наличии в каждой части тензорного уравнения нескольких тензоров-сомножителей их дифференцирование по скалярному параметру осуществляется по обычным правилам дифференцирования произведений функций. Например, [c.48]

Здесь — скалярное произведение векторов и г, а векторы I, и скаляр D представляют собой заданные функции от и всех ([X, v=l, Л/). При этом предполагается, что векторы не могут все одновременно обращаться в нуль. [c.12]

С Требованиями теории относительности следует предположить, что вектор Ai имеет четыре компоненты (при использовании математических координат пространственные компоненты должны быть чисто мнимыми). Он является, таким образом, 4-вектором пространственно-временного мира. Рассмотрим этот вектор как некое поле, заданное в виде функции четырех координат <7/ = х/. Образовав скалярное произведение этого вектора на 4-вектор скорости, получим истинный скаляр в пространстве Минковского. Соответственно заменим потенциальную энергию инвариантом [c.366]

При одновременном изменении знаков (Тк и компонент вектора Гк эта система уравнений не изменяется. Знак же скалярного произведения гк Jsk) изменяется на противоположный. Поэтому равенству (43) можно всегда удовлетворить выбором знака а к в функции Гамильтона (32) и соответствующей нормировкой собственного вектора е/.. [c.398]

С помощью приведенных преобразований моншо выразить (f, j, к) как линейные функции I, J, К) и отсюда получить матрицу скалярных произведений М вида (9.1) или матрицу направляющих косинусов вида (9.4). Эта матрица М компактно показана в следующей таблице, в которой для [c.46]

При наличии двух точек на границе возможно более эффективное движение к экстремуму. Корреляцию к в этом случае можно производить с учетом знака скалярного произведения градиентов в этих точках, а также степени приращения градиента и функции качества. [c.214]

Так как все эти пространства натянуты на произведения одномерных базисных функций, матрицы жесткости К также могут допускать разложение на одномерные операторы. Грубо говоря, это происходит, когда в дифференциальном операторе Ь можно разделить переменные. На практике это встречается в параболических задачах, когда метод Галёркина приводит к неявной разностной схеме с двумерной матрицей массы М, или матрицей Грама, образованной из скалярных произведений функций фз, которую приходится обращать на каждом шаге по времени. Для разностных уравнений именно эта трудность породила метод переменных направлений, в котором обратная матрица приближалась с помощью обращений двух одномерных операторов. Для пространства, образованного как произведение одномерных, применима та же техника с обычной оговоркой,. что если область не в точности прямоугольная, то метод переменных направлений дает хорошие результаты, но сходимость не доказана. [c.111]

Метод сопряженных градиентов. В градиентных методах для поиска экстремума использовались свойства ортогональности векторов. В методе сопряженных градиентов оптимум целевой функции ищется на ос-fiOBe свойств орготональности приращений вектора градиентов. Для этой цели наряду с градиентом используют матрицу Гессе Г критерия оптимальности. С помощью матрицы Г удается выбрать направление поиска, наиболее полно учитывающее особенности критерия оптимальности. Напомним, что векторы А и В называют сопряженными относительно симметричной и положительно определенной матрицы Г, если скалярное произведение векторов А и ГБ равно нулю, т. е. <А, ГВ > =0. Направление поиска Р +1 на й+1-м шаге определяется как [c.287]

Правая часть равенства (5.12) называется девятичленной формой диадного произведения, так как она содержит девять коэффициентов. Очевидно, таким путем можно свести к девятичленной форме и любую диаду. Так как коэффициенты девятичленного представления диады являются однородными квадратичными функциями составляющих векторов, то, очевидно, они будут преобразовываться так же, как составляющие тензора второго ранга [см. уравнение (5.10)]. И обратно, из каждого тензора второго ранга можно образовать диаду, для чего достаточно использовать составляющие тензора в качестве соответствующих коэффициентов девятичленной формы. Таким образом, имеется полная формальная аналогия между диадой и тензором второго ранга. Кроме того, они эквивалентны и в отноще-нии действия, производимого ими на вектор, ибо мы знаем, что скалярное произведение диады на вектор есть опять некоторый вектор. Поэтому оператор / можно записать таким образом, что будет ясно видна его диадная форма. Для этого мы введем единичную диаду 1 [c.169]

Консервативные силы. Среди силовых полей по причинам, которые мы лучше выясним в следующем параграфе, наиболее замечательны те, в которых скалярное произведение РйРсши поля Г на произвольное элементарное смещение йР точки ее приложения Р представляет собой полный диференциал некоторой функции и от Р, точнее—от ее координат х,у,.г. [c.322]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...