Явная и неявная схемы

Проведем сопоставление явной и неявной схем Эйлера. С точки зрения объема вычислений для одного шага явная схема имеет преимущество. Только в случае, когда функция / (т, Т) линейна относительно Т, т. е. / (т) а (т)Т + Ь (т), вычисления по неявной схеме не сложней, чем по явной, поскольку тогда уравнение (1.34) разрешается относительно [c.29]

Рассмотрим теперь вопрос о погрешностях численных решений, получаемых по явной и неявной схемам Эйлера. Для этого введем понятия аппроксимации и устойчивости. [c.29]

Э.2. ЯВНАЯ И НЕЯВНАЯ СХЕМЫ [c.79]

Можно построить разностную схему, являющуюся линейной комбинацией явной и неявной схем с весовыми коэффициентами ст и (1 - а) [c.83]

Основное содержание второй части составляет разработанная автором методика проектирования и построения электрических моделей для моделирования нестационарных тепловых процессов. Излагается методика электромоделирования нестационарного теплопереноса на моделях из сопротивлений по явной и неявной схемам и на аналоговых вычислительных машинах. Методологической особенностью проектирования электрических моделей является строгое математическое обоснование, построенное на теории обобщенных переменных. Такой подход позволяет создать единую базу для проектирования моделей различной физической природы при решении задач теплофизики. [c.5]

Это значит, что в явных схемах существует ограничение на выбор временных шагов, а в неявной схеме шаги могут быть взяты произвольно, что, естественно, существенно сокращает трудоемкость вычислительного процесса. Кроме явных и неявных схем бывают еще явно-неявные или экономичные схемы, которые сочетают в себе лучшие качества явных и неявных схем. Выбор схемы при решении той или иной задачи сугубо индивидуален и зависит от конкретных условий. [c.71]

Времени, которые разделяются на явные и неявные схемы интегрирования. Детальное обсуждение достоинств и недостатков многочисленных схем интегрирования по времени можно найти в [11,12]. [c.279]

Комбинация явных и неявных схем для интегрирования -задачи Коши по параметру с дискретной ортогональной прогонкой для решения линеаризованных пошаговых краевых задач использовалась в работах [119, 351, 352,354,35 ,358,361]. [c.187]

Основная сложность, препятствующая применению схемы (6.28), связана с необходимостью многократно решать такие системы уравнений, а все известные методы решения требуют затрат большого числа арифметических действий. В условиях жесткого ограничения на быстродействие и оперативную память ЭВМ начиная с середины 50-х годов был предложен ряд экономичных схем, сочетающих лучшие качества явных и неявных схем [129—132]. Эти схемы безусловно устойчивы при любых т и /I, и затраты на вычисления по ним пропорциональны числу узлов сетки. [c.219]

Явные и неявные схемы [c.29]

Запишите уравнение нестационарной диффузии с нелинейными коэффициентами Ki = Ki (0). Обсудите преимущества отдельных явных и неявных схем решения этих уравнений. [c.243]

Явные и неявные схемы расчета 195 [c.389]

Эта конечно-разностная схема соответствует методу переменных направлений и благодаря поочередной аппроксимации вторых производных явным и неявным способами приводит к возможности использования эффективного метода разностной факторизации (прогонки) для решения системы двухмерных конечно-разностных уравнений. Разностные уравнения для граничных узлов сетки составляются путем использования условий теплового баланса. [c.265]

Кроме явных существуют неявные схемы, в которых значение искомой функции на новом временном слое находится в результате решения уравнения, включающего это значение и значения для предыдущих моментов времени. Неявную схему Эйлера можно получить, если использовать разложение в ряд Тейлора в точке Tj+, Ti лг 7 / + — Т (Xj+,) Ат. Тогда придем к схеме [c.29]

В связи с наличием в нестационарном уравнении теплопроводности двух дифференциальных операторов — по временной и пространственной переменным - различают два вида схем явные и неявные. Рассмотрим особенности этих схем на примере решения одномерной нестационарной задачи (3.1) —(3.3) на равномерных пространственной и временной сетках (см. рис. 3.1). [c.79]

Локально-одномерная схема является типичным представителем широкого класса схем, применяемых для решения многомерных задач и задач расчета совместно протекающих процессов, описываемых несколькими уравнениями (например, уравнениями теплопроводности и диффузии или уравнениями Навье— Стокса и энергии для потока жидкости). Отличительная особенность этих схем — сочетание сильных сторон явных схем (малые затраты машинного времени на шаге по времени) и неявных схем (безусловная устойчивость). [c.118]

Мы рассмотрели конечно-разностные схемы для решения стационарного уравнения энергии. В случае нестационарной задачи построение соответствующ,их схем производится на основе приведенных аппроксимаций конвективного и кондуктивного потоков точно так же, как это делалось для нестационарного уравнения теплопроводности, т. е. можно использовать явную или неявную схемы. В явной схеме потоки берут с предыдуш,его шага, в неявной — с текущего. Можно ввести и схему с весами. Отмеченные выше отрицательные и положительные свойства аппроксимаций (5.6)—(5.8) проявляются и при решении нестационарных задач. В частности, даже неявная схема с разностью вперед является неустойчивой при любом соотношении шагов по пространственной и временной переменным. С другой стороны, неявная схема с аппроксимацией разностью против потока безусловно устойчива. [c.162]

В неявных абсолютно устойчивых разностных схемах рассмотренного типа допустимый шаг по времени выбирается только из соображений требуемой точности, причем погрешность аппроксимации как явной, так и неявной схемы пропорциональна Ас и (Ах) . Однако в частных случаях, когда Ас и Ах выбраны так, что аАс/(Ах) — 1/6, эта погрешность существенно уменьшается и становится пропорциональной (Аг) и (Ах)" . [c.91]

В работе [382] на примере вантовых систем проведено сравнение различных схем продолжения, в том числе явная схема Эйлера (метод последовательных нагружений), неявная схема типа последовательных приближений (метод упругих решений) и неявные схемы с использованием различных вариантов метода Ньютона. Показано, чго наиболее эффективна неявная схема с использованием модифицированного метода Ньютона. Для вантовых же систем показано преимущество последней схемы по сравнению с явной схемой типа модифицированного метода Эйлера и неявной схемой, использующей для итераций метод Ньютона — Рафсона. [c.195]

При решении задач такого класса широко применяют шаговые методы, сводящие решение исходной задачи к последовательности решений нелинейных краевых задач на временных слоях. Наибольшее распространение получили одношаговые методы (приращений, прогноза и коррекции). В настоящее время применяют также многошаговые методы (методы Адамса), хотя они не являются само-стартующими. При этом используют как явные, так и неявные схемы. [c.249]

Процентное различие между этими двумя решениями мало, поскольку в данном случае решение конечно-разностного уравнения лишь слабо зависит от aes и At, а ударная волиа рассматривается как разрыв. Численные решеиия, полученные при помоши этой и других схем с явной и неявной искусственной вязкостью, несомненно, будут разумными приближенными решениями. Весьма сушественно, что двумерное стационарное решение действительно зависит от At, подтверждая тем самым одномерный анализ величины ats- [c.526]

Для решения сложных дву- н трехмерных нестационарных задач теплопроводности разработаны экономичные конечно-разностные схемы, сочетающие лучшие свойства явной и неявной схем, а именно обладающие абсолютной устойчивостью (как неявная ехема) и требующие на каждом шаге по времени выполнения числа арифметических операций, пропорционального числу узлов разностной сетки (как явная схема). Это достигается за счет замены решения [c.245]

Рассмотренному отличию в поведении решений, полученных по явной и неявной схемам, можно дать следующее физическое объяс- [c.82]

В заключение отметим, что обычно в книгах после проведения сопоставления явной и неявной схем, подобного рассмотренному Еыше, делается вывод о нецелесообразности применения явных схем. Однако практика решения реальных задач не подтверждает безусловную правильность такой рекомендации. В пользу явной [c.83]

Конечно-разностное представление системы уравиещ)й (5.26), (5,27) с коэффициентами Oi, bt. l, dt, ei, зависящими от искомых функций fi (/г — компоненты скорости, энтальпия, температура, энергия турбулентных пульсаций, масштаб турбулентности и т. д.) и их производных, осуществляется по явной и неявной схемам (см. 4.11). В первом случае искомые функции явно определяются по известным значениям функций. Недостатком явных схем является ограничение по шагу счета, вытекающее из условий устойчивости. При нарушении этих условий могут возникнуть физически неправдоподобные результаты. Неявные схемы обладают безусловной устойчивостью. Неудобство неявных схем заключается в необходимости одновременного решения нескольких уравнений. Ниже приведен пример дискретного аналога системы уравнений (5,25), полученного по двухслойной неявной шсстито-чечной схеме [64] [c.184]

В задачах уст<жчивости деформируемых систем метод продолжения решения по параметру применялся для определения критических нагрузок с учетом докритических деформаций. При этом поведение системы прО сматривается до момента вырождения матрицы Якоби линеаризованной задачи. Кроме упоминавшейся работы Лина [452] такой способ определения критических нагрузок использовался в работах [449, 466, 400, 146, 531, 51, 299, 18]. Применяются различные явные и неявные схемы Продолжения. Как попутный результат частные значения критических нагрузок получены также и в решениях, связанных с исследованием закритических деформаций [315, 69, 274, 298, 370, 459, 151-158, 71, 70, 73, 261, 11, 182, 338, 275, 172,128-133,514,190,49.97,247,235,106,74,340,12,374,262, 125,273,174,284,98,215, 325, 38,217]. [c.189]

И легко обобщается на случай трех пространственных переменных. Однако при расчетах уравнения переноса вихря эта схема, как и явные и неявные схемы метода чередующихся направлений, встречается с трудностью, связанной с неявностью граничных условий. Гурли [1970а, 19706] обнаружил тесную связь между схемой классики , неявной схемой метода чередующихся направлений и схемой Дюфорта — Франкела. [c.154]

Использование сглаживания для повыше1 ия устойчивости схем. Явное и неявное сглаживание можно применять не только для сквозного расчета разрывов, но и для подавления осцилляций, появляющихся обычно в областях больших градиентов. При оценке точности приближенного решения в контрольных расчетах приходится варьировать не только шаги т, h, но и параметры сглаживания. С помощью сглаживания можно смягчить условия устойчивости некоторых явных схем типа предиктор-корректор. Для подавления высокочастотных возмущений, порождающих неустойчивость, значения на промежуточном слое подвергают сильному сглаживанию. Уточняющий пересчет (корректор) погашает погрешность, возникающую в результате сглаживания на промежуточном слое. [c.161]

Схемы вида (1.49) явные. Однако несложно получить и неявные схемы. Для этого следует использовать полином, проходящий не только через известные точки и, . .., но и через неизвест- [c.34]

Вторые производные, через промежутки времени равные 0,5 А1, поочередно аппроксимируются в явном и неявном виде. Эта схема безусловно устойчива и имеет погрешность аппроксимации, п]эопор1щональную Аг, (Ах) и (Ау)"з При решении системы конечно-разностных уравнений методом прогонки каждое из уравнений предварительно приводится к виду (2.38). В рассматриваемых условиях применение )того метода возможно, так как каждое из уравнений (2.49), (2.50) содержит не более трех неизвестных функций (Т ) " /, и или [c.92]

Методы интегрирования уравнений движения, особенно с переменными коэффициентами и нелинейных, интенсивно развиваются. В настоящее время разработано большое количество разнообразных схем явных и неявных, безусловно устойчивых и нет, характеристических и прямых, с искусственной схемной вязкостью и без нее. Чрезвычайно важные с вычислительной точки зрения вопросы точности и устойчивости всех этих схем решаются на основе изучения спектральных характеристик аппроксимируемых операторов исходной краевой задачи и накладьтают определенные требования на соответствие аппроксимации по пространству (размеры конечных элементов и на временном слое (размер шага At по времени) [49]. [c.114]

Численные методы решения задачи Коши. Наиболее широко применяют одношаговые методы типа Рунге—Кутта, а также многошаговые явные и неявные разностные схемы. Последние особое распространение получили при решении так называемых жестких или сиигулярно-возмущенных систем дифференциальных уравнений, характеризуемых наличием малого параметра при старшей производной. Очевидно, на практике следует использовать такие численные схемы, которые обеспечивали бы требуемую точность решения задачи, гарантировали бы численную устойчивость счета при достаточно крупных шагах интегрирования, позволяли бы легко реализовать автоматический выбор шага дискретизации. [c.120]

Подход Давиденко использован для исследования свшств операторов уравнений Феппля—Кармана в работе [440]. Отдельные задачи [514,462, 402, 38, 179, 39, 343, 300,461, 187, 532] решены с помощью дифференцирования по параметру с применением различных явных схем разного порядка точноста и неявных схем интегрирования задачи Коши по параметру и методов типа прогонки для решения пошаговых линейных краевых задач. [c.186]

Явная схема с однократной коррекцией по методу Ньютона — Рафсона сравнивается с самокорректирующейся схемой [515] и неявной схемой типа последсюательных приближений в работе [225]. [c.195]

Требования к ПТИ могут устанавливаться также на основе требований к достоверности контроля, регламентируемых на процессы и операции контроля в НТД. В процессе проведения МЭ документации, излагающей МВИ, метрологу-эксперту при отсутствии требований к точности измерений в явном и неявном виде (пределов допускаемой погрешности измерений и допускаемых вероятностей ложного и необнаруженного брака измерительного контроля) необходимо аналюировать последствия, возникающие вследствие погрешностей измерений (отклонение режимов технологических процессов от оптимальных, выход значения контролируемого параметра за пределы допускаемых значений, нарушение управляющих функций систем управления и т. д.). Кроме того, при ана. изе документации, излагающей МВИ, необходимо выявлять комплекс требований к процедуре измерений подготовку объекта к выполнению измерений условия измерений метод измерений и выбор СИ и вспомогательных устройств, необходимых для их проведения структуру и состав измерительных установок (систем нли стендов), которые будут использоваться при проведении измерений схемы подключения отдельных элементов измерительных установок (систем или стендов), СИ, приспособлений, линий связи, коммутирующих устройств и т. п. алгоритм вьшолнения измерений (получения результатов) алгоритм обработки промежуточных результатов наблюдений и алгоритм нахождения результата измерения с требуемой точностью. [c.77]

В 1953 г. Дюфорт и Франкел опубликовали свою схему чехарда для параболических уравнений, которая, как и неявные схемы метода чередующихся направлений, пригодна для произвольно больших шагов по времени (при отсутствии конвективных членов), но сохраняет все преимущества чисто явных схем. Эта схема использована Харлоу и Фроммом [1963] при получении их широко известного численного решения для нестационарной вихревой дорожки. [c.21]

Явная схема метода чередующихся направлений, примененная к уравнению диффузии, безусловно устойчива, как и неявная схема метода чередующихся направлений, имеет формальную ошибку аппроксимации Е = О АР, Ах ) (см. Саульев [c.147]

Максимальное значение k и коэффициент Г, выбор которого приводит к явной или неявной схеме, могут изменяться. При maxk- oo и Г=1 схема превращается в полн" -тью неявную схему Лакса — Вендроффа [c.380]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...