Действие Эйлера

В качестве действия Эйлер и Лагранж использовали тот же самый интеграл, который является основой принципа Якоби — разница заключалась только в параметре т. Более того, Эйлер и Лагранж использовали соотношение (5.6.15) в качестве дополнительного условия, что эквивалентно исключению Г из этого выражения. Как известно, дополнительные условия можно учитывать либо путем исключения переменных, либо при помощи метода неопределенных множителей, Первый способ соответствует методу Якоби, а второй — методу Лагранжа. При этом второй способ приводит к появлению новой формы интеграла действия [c.164]

Принцип наименьшего действия (Эйлера—Лагранжа) 17, 18, 165 [c.403]

Необходимо отметить, что впервые Мопертюи ) ввел понятие действия для случая одной только материальной точки с массой т, относящееся к любой дуге траектории s в виде mvs. Показав неудобство этой оценки действия, Эйлер подставил вместо нее, тоже для случая одной только точки, вышеуказанный интеграл, который потом был обобщен на системы какого угодно числа точек Лагранжем. [c.410]

Родство формы уравнений (13) с уравнениями динамики очевидно V соответствует интегралу действия Эйлера — Лагранжа, уравнение (13) — уравнению живых сил, % — некоторой функции полной энергии. [c.813]

Естественно возникает вопрос об отношении принципа Герца к принципу наименьшего действия Эйлера — Лагранжа в его классической форме и в форме, которую придал ему Якоби, и к принципу Гамильтона. [c.233]

В статье Изыскания о наибольших и наименьших значениях, обнаруживающихся при действии сил Эйлер рассмотрел с помощью методов вариационного исчисления различные задачи равновесия гибкой нити под действием каких-либо сил при различных условиях. Использовав при рассмотрении этих задач принцип наименьшего действия, Эйлер расширил сферу его применения, распространив его на упругие силы. [c.199]

Интегральный вариационный принцип, о котором пойдет речь,, возник значительно раньше принципа Гамильтона в 1744 г., почти одновременно и независимо, появились работы Мопертюи и Эйлера, содержащие в зародыше изложение этого принципа. Мопертюи, формулировка которого была весьма не ясной, придавал высказанному им принципу некий всеобщий телеологический смысл — принцип выражал будто бы целенаправленность действий природы. Эйлеру принадлежит первая отчетливая формулировка математического содержания, которое следует вложить в понятие принципа принцип наименьшего действия есть интегральный вариационный принцип, позволяющий вывести дифференциальные уравнения движения — уравнения экстремалей. В работах, посвященных принципу наименьшего действия, Эйлером быv м созданы основы вариационного исчисления и показано значение интегрального вариационного принципа в механике. Но несмотря на это, сам Эйлер всегда подчеркивал приоритет Мопертюи. Можно предполагать, что выступления Эйлера на стороне Мопертюи в спорах того времени по поводу философского смысла и научно-познавательного значения принципа привели к тому, что имя Мопертюи удержалось в названии принципа. Отметим, кстати, что само название принцип наименьшего действия ,, сохранившееся ло наших дней, принадлежит Мопертюи. [c.251]

Под действием критической нагрузки Р р в поперечных сечениях стержня возникают нормальные напряжения, называемые также критическими. Используя обобщенную формулу Эйлера, имеем [c.212]

Чтобы установить пределы применимости формулы Эйлера, определим критическое напряжение Осг, т. е. напряжение, возникающее в поперечном сечении стержня при действии критической нагрузки [c.270]

На точку Л1 действуют две силы ее вес G и реакция нити N. Уравнения движения точки М в форме Эйлера имеют вид [c.70]

Рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг неподвижной оси 2 под действием приложенных к нему внешних задаваемых сил Pi, Pq,. .., Рп (рис. 227, а). Предположим, что в рассматриваемый момент тело имеет угловую скорость о) и угловое ускорение е. Чтобы воспользоваться принципом Германа — Эйлера — Даламбера, приложим к каждой точке тела М силу инерции Ф,-. [c.289]

Формула (92) была получена Эйлером и носит название формулы Эйлера. Она определяет усилие, действующее на оболочку, ограничивающую некоторый объем, через который осуществляется стационарный проток вещества. Из этой формулы следует, что главный вектор сил, действующих на оболочку со стороны вещества, находящегося внутри объема, отличается от главного вектора внешних сил как раз на ту дополнительную силу / доп. которую пришлось добавить к главному вектору внешних сил для того, чтобы к системам переменного состава можно было бы применять теорему об изменении количества движения. [c.113]

В случае Эйлера тело с неподвижной точкой движется по инерции. Это имеет место тогда, когда действующие на тело силы сводятся к равнодействующей, которая все время проходит через неподвижную точку и, следовательно, не создает момента относительно этой точки ). [c.195]

Полученные формулы справедливы только в пределах действия закона Гука, т. е. для сравнительно тонких и длинных стержней, у которых напряжение сжатия при критических нагрузках оказывается меньше предела пропорциональности. Для коротких и жестких стержней критическая сила будет большей, и в них возникают пластические деформации еще В стадии простого сжатия, т. е. до потери устойчивости. Формула Эйлера (13.4) становится неприменимой, когда а,,р достигает [c.148]

Приведем еще один способ введения угловых координат, иногда более удобный, чем способ Эйлера, поскольку он позволяет исключить вырождение при 03 = ез. Пусть, как и прежде, действие оператора А состоит в том, что [c.93]

Отметим вырождение кинематических уравнений Эйлера, когда = 0. Оно возникает из-за совпадения действий поворотов по углу прецессии и углу собственного вращения, когда = ез (см. рис. 2.5.1). [c.136]

Формула Эйлера определяет усилие, действующее на оболочку, ограничивающую некоторый объем, через который осуществляется стационарный поток вещества. [c.407]

Пример 6.11.3. Астатический гироскоп имеет центр масс, расположенный на пересечении кардановых осей (случай Эйлера-Пуансо, 6.7). Если такой гироскоп установить на земной поверхности и сообщить ему начальную угловую скорость, направленную по оси фигуры, то при отсутствии возмущающих сил эта ось будет сохранять постоянное направление в абсолютном репере. Астатический гироскоп применяется, например, для управления вертикальными рулями торпеды. В этом случае ось фигуры направлена в цель. Если торпеда сбивается с курса, то рама поворачивается относительно вертикального диаметра внешнего кольца подвеса. Это приведет в действие руль поворота, который выправит курс.О [c.500]

Компоненты напряжения характеризуют внутренние силы, действующие в сплошной среде. Эти компоненты будут меняться с течением времени и при переходе от одной точки пространства, занятого сплошной средой, к другой. Таким образом, компоненты напряжения, являясь функциями t, X, у, Z, выражаются в переменных Эйлера, [c.236]

На крыловой профиль со стороны жидкости действуют силы давления, которые согласно интегралу Бернулли — Эйлера определяются по формуле [c.269]

Динамические уравнения Эйлера движения твердого тела вокруг неподвижной точки под действием силы тяжести [c.453]

Динамические уравнения Эйлера движения тела вокруг неподвижной точки в проекциях на подвижные оси, скрепленные с телом, под действием только силы собственного веса имеют вид [c.454]

Динамические уравнения Эйлера (20) движения тела под действием силы веса содержат шесть неизвестных функций времени отл, со , 7 2) Тз- их нахождения имеется всего три уравнения. Недостающие три уравнения можно составить следующим путем рассмот- [c.454]

Если центр тяжести твердого тела является его неподвижной точкой, т. е. Хс = 0, Ус = 2с = 0 и, кроме силы веса, которая уравновешивается реакцией опоры в неподвижной точке, никакие другие силы не действуют на тело, то оно удовлетворяет случаю Эйлера. Моменты инерции Jx, J , Jг могут быть любыми. [c.457]

Динамические уравнения Эйлера вращения тела вокруг неподвижной точки под действием сил получают из теоремы об изменении кинетического момента. Согласно этой теореме, [c.477]

Во многих важных случаях, особенно симметричных тел, являющихся гироскопами, уравнения Эйлера интегрируются приближенно. Известен также ряд частных случаев начальных условий, для которых уравнения Эйлера при движении гироскопа под действием силы тяжести могут быть проинтегрированы точно. [c.482]

После ряда попыток Эйлер прекратил свои исследования, связанные с принципом наименьшего действия, хотя эта область очень интересовала его как приложение разработанных им методов отыскания кривых линий, обладающих свойством максимума или минимума. Все это показывает, что хотя Эйлер и не освободился полностью от влияния телеологического финализма Мопертюи, он, однако, стремился, так сказать, математизировать принцип наименьшего действия. Эйлер, несмотря на использование им терминологии Мопертюи, сформулировал идеи, далеко превосходящие ограниченные и односторонние высказывания Мопертюи. Эйлеру принадлежит первая точная и математически плодотворная формулировка принципа наименьшего действия, открывшая новые горизонты для подлинно научного применения. [c.792]

Сопоставление принципа Гамильтона с принципом наименьшего действия Эйлера—Лагранжа показывает, что первый допускает более широкое обобщение. Принцип Гамильтона является наиболее общей и абстрактной формой изложения физической сущности лгеханики. Почти для всех разделов физики можно найти вариационные принципы, которые приведут к соответствующим уравнениям движения при таком построении теории этих отделов физики будут характеризоваться известной структурной аналогией, имеющей серьезную познавательную ценность. [c.865]

Хотя интеграл А вида (83.1), (83.3) или (83.4) принято называть одним словом действие (ср. Уиттекер [28], стр. 277 Г олдстейн [7], стр. 253, 254), кажется целесообразным иметь какое-то прилагательное, чтобы отличать этот интеграл от лагранжева или гамильтонова действия 64, 68. Обычно с интегралом А в частности в форме (83.4) или в форме гп v ds для одной частицы) связывают имя Мопертюи. Будем употреблять этот термин, хотя, может быть, исторически справедливо было бы назвать этот интеграл действием Эйлера ср. Dugas, цит. соч., 1, стр. 250-264. [c.275]

Легко показать далее, следуя Герцу, что естественное движение свободной голономной системы переводит систему из данного начального в достаточно близкое конечное положение за более короткое время, чем какое-либо другое возможное движение с одинаковым постоянным значением энергии, так как в этом случае энергия п скорость одинаковы, и время перехода пропорционально длине пути. В этом случае интеграл по времени от энергии равен произведению данного постоянного значения энергии на промежуток времени перехода. Таким образом, получается принцип наименьшего действия Эйлера — Лагранжа. Отношение этого принципа к пргшципу Герца такое же, как принципа наименьшего действия в форме Якобп. [c.234]

Таким образом, при установившемся движении вектор равнодействующей всех внешних сил, действующих иа жидкость в фиксированном объеме, равен геометрической разности количеств движения жидкости, вытекающей из этого объема и втекающей и него за единицу времени. В этом заключается теорема Эйлера об изменении количества движения ягидкого объема. [c.56]

Положение оси симметрии г волчка, движущегося относительно неподвижной точки О под действием силы тяжесги, определяется углами Эйлера, углом прецессии ф и углом нутации 0. Составить функцию Гамильтона для углов ф, 0 и ф (угол собственного вращения) и соответствующих импульсов, если т — масса волчка, I — расстояние от его центра масс до точки О, С — момент инерции отно-с1.1те.льно оси 2, А — момент инерции относительно любой оси, лежащей в экваториальной плоскости, проходящей через точку О. [c.375]

Динамические уравнения Эйлера. Пусть на твердое, тело, имеющее неподвижную точку О, действуют заданные Hjm ft, 7S,. .., 7 (рис. 341). Одновременно на тело будет действовать реакция Ло связи (на рисунке не показана). Чтобы исключить из уравнений движения эту неизвестную реакцию, воспользуемся теоремой моментов относительно центра О ( 116), представив ее в виде (74), т. е, в виде теоремы Резаля, Тогда поскольку то(/ о)=0, уравнение (74) даст [c.341]

Если подвижное звено соединено с источником (или потребителем механической энергии --- в зависимости от направления потока энергии) посредством муфты (рис. 5.5, а), то внешним силовым фактором является неизвестный момент М. Если же подвод (или отвод) энергии осуществляется через зубчатую или фрикционную передачу (рис. 5.5, б,в), то внешним силовым фактором будет не известная но модулю сила f. Расположение линии действия силы f определяется либо геометрией зубчатой передачи (углом зацепления (t,.), либо проходит через точку соприкосновения фрикционных катков касательно к их рабочим поверхностям. При ременной передаче (рис. 5.5, г) внешний силовой фактор представлен уже не одной, а двумя неизвестными по модулю силами fi и F2, связанными между собой формулой Эйлера [1]. Поэтому внешний силовой фактор по-прежнему один раз неизвестен. Линии действия сил fi и / > определяются положением ведущей и ведомой ветвей ременной передачи. Если же подвижное звено первичного механизма совершает прямолинейно поступательное движение (рис. 5.5, д), то внешним силовым фактором является неизвестная по модулю сила F, действующая обычно вдоль направляющей поверхности. Таким образом, и здесь внешний силовой фактор один раз неизвестен. [c.185]

Введение вспомогательных переменных р, q, г ц использование уравнений Лагранжа в форме уравнений Эйлера (53)- -(60) имеет несомнен ые преимущества в тех частных случаях, когда главные моменты действующих сил относительно осей г), не зависят от эйлеровых углов и их производных например, когда эти моменты постоянны (в частности, равны нулю) или являются заданными функциями времени. В этих случаях систему (60) можно рассматривать как независимую систему дифференциальных уравнений относительно вспомогательных переменных р, q, г если эта система разрешена, то уравнения (53) затем определяют эйлеровы углы ф, г , 0 как функции времени. [c.194]

Записанный так функционал, определенный на пучке (40), носит название действия по Гамильтону и играет важную роль при исследовании движения а потенциэотьных полях. Из сказанного следует, что движение, удовлетворяют, е уравнениям Лагранжа, представляет экстремаль функционала (48). В следующем параграфе мы докажем приведенную выше теорему Эйлера для однопараметрического пучка специального типа, пока же выведем формулу для вариации действия эта формула потребуется нам в дальнейшем. [c.275]

Динамика твердого тела изучается на основе общих теорем об изменении кинетической энергии, кинетического момента и количества движения, а также с помощью основных понятий геометрии масс. Показывается, что аппарат динамики системы материальных точек применим для описания движения твердого тела и систем твердых тел. Проясняется вычислительная экономность использования уравнений Эйлера. Традиционно анализируются случаи Эйлера-Пуансо, Лагранжа-Пуассона, Ковгияевской [24]. В качест)зе примера методики по.чучения частных случаев интегрируемости приводятся случаи Гесса и Бобылева-Стеклова [6]. С целью демонстрации приложения развитых методов к практике даются основы элементарной теории гироскопов [14, 41], достаточные для качественного анализа действия гироскопических приборов. [c.12]

Для того чтобы полностью определить закон движения твердого тела, системы динамических уравнений Эйлера недостаточно. Эту систему следует допо.пнить кинематическими соотношениями ( 6.2). В целом получается система дифференциальных уравнений, исследование свойств решения которой часто сопряжено со значительными трудностями. Ниже будут рассмотрены три случая, когда для этой системы аналитически может быть построено общее решение. Это — случай Эйлера, когда момент внешних сил отсутствует, а также случаи Лагранжа-Пуассона и Ковалевской, когда движение вокруг неподвижной точки происходит под действием параллельного поля силы тяжести. [c.466]

Родрига-Гамильтона, 112 -Эйлера, 97 Переменные -действие-угол, 689 -канонические, 632 -сопряженные, 609 Перемещение -виртуальное, 199, 335 -действительное, 199 Планиметр, 309 -полярный, 310 -прямолинейный, 310 -топориковый,310 Плечо [c.709]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...