Грина теорема уравнения

Первый интеграл представляет момент инерции жидкой массы, который мы назовем через А] второй интеграл может быть преобразован по теореме Грина и уравнениям (33) и соединен с третьим в четвертом же можно совершить интеграцию по г. Таким образом, получаем [c.211]

Одной из наиболее интересных теорем теории упругости является теорема взаимности (теорема Бетти). Эта теорема имеет весьма общий характер и дает возможность построить методы интегрирования уравнений теории упругости, основанные на использовании функций Грина. Теорема взаимности была обоб- [c.54]

Указанная трудность преодолевается [16] с помощью теоремы взаимности для функций Грина параболических уравнений, описывающих распространение волны в прямом и обратном направлениях. [c.33]

Разрывность поверхности 0(/) означает, что некоторые полевые величины, определенные на Т, являются кусочно-непрерывными и испытывают скачок при переходе через o t). Очевидно, что при помощи теоремы Грина — Гаусса уравнение (А. II. 7) можно переписать в виде [c.542]

Теорема Бетти имеет весьма общий характер. Она позволяет построить методы интегрирования уравнений теории упругости, основанные на использовании функций Грина [41, [c.95]

Из канонических уравнений (6.6.1) непосредственно следует, что это соотношение выполняется, причем не только для консервативных, но и для произвольных систем. Напомним теперь, что теорема Грина, переводящая объемный интеграл от дивергенции в интеграл, определяющий поток через поверхность, применима в случае п измерений в такой же степени, как и в случае трех измерений. Ввиду наличия такого преобразования уравнение для дивергенции [c.208]

Это уравнение называется теоремой Грина. Если V и , —, — также [c.155]

Правая часть этого уравнения, а вместе с нею и левая, на основании выраженной уравнением (14) шестнадцатой лекции теоремы Грина, равна [c.258]

Соотношение (1.47) является формулировкой теоремы взаимности функций Грина основного и сопряженного уравнений при инверсии координат источника (го, то) и точки измерения (Г(, ti). Аналогичная теорема взаимности для дифференциальных уравне ний второго порядка известна в математике [85] и доказана Б. Б. Кадомцевым для кинетического уравнения переноса лучистой энергии 1[24]. [c.21]

Таким образом, при = + дифференциальные уравнения для функций Грина G(r Го) и С+(г Го), а также граничные условия к этим уравнениям совпадают по виду. На основании теоремы единственности это означает полную идентичность решений обоих уравнений, т. е. [c.21]

ТЕОРЕМЫ ВЗАИМНОСТИ И ОБРАТИМОСТИ ФУНКЦИЙ ГРИНА ОСНОВНОГО И СОПРЯЖЕННОГО УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ СОПРЯЖЕННОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ [c.40]

Канал с твэлом и теплоносителем. Перейдем к рассмотрению теоремы взаимности функций Грина в задачах для канала с твэлом и теплоносителем. Соответствующие уравнения для функций Грина имеют вид [см. (2.17) и (2.27)] [c.42]

Из сопоставления основного и сопряженного уравнений для функций Грина (2.176) и (2.177) [см. также (2.139) и (2.144)1 следует, что они становятся идентичными при обращении потока жидкости вспять . Если ввести, например, в основное уравнение обратный вектор скорости потока v(r)=—u(r) и тем самым поменять местами входное и выходное сечения канала, то и граничные условия для функции и+(г) (2.147), (2.166) — (2.168) станут идентичными граничным условиям (2.141), (2.163) — (2.165) для функции u(r). Граничные условия на боковой поверхности канала (заторможенность потока) также не изменяются по виду [см. (2.142) и (2.162)1. В силу идентичности дифференциальных уравнений и граничных условий к ним на основании теоремы единственности следует вывод об идентичности решений этих уравнений при q = q и Го = п [c.74]

Далее заметим, что в рассматриваемом случае распространен иия постоянного тока в среде под действием единичного источника тока дифференциальные уравнения (5.45) для функций Грина G(r Го) и G+(r Го) совпадают по виду. При одинаково записанных однородных граничных условиях согласно теореме единственности это означает полную идентичность решений обоих уравнений (5.45), т. е. [c.148]

Для функций Грина основных и сопряженных уравнений электропроводности имеет место теорема взаимности и справедливо свойство обратимости. [c.153]

До последнего времени для решения уравнений теплопроводности и диффузии обычно использовались метод разделения переменных, метод мгновенных источников, методы, основанные на применении функций Грина, Дирака и др. Эти классические методы предполагают отыскание в первую очередь общего решения и его последующее приспособление к частным условиям конкретной задачи. Детальное освещение классических методов решения уравнений переноса можно найти в фундаментальной работе А. Н. Тихонова и А. А. Самарского (Л. 7]. Получаемые классическими методами решения, однако, не всегда оказываются удобными для практического использования. Так, иногда требуется получить приближенные соотношения, в которых режимные параметры процесса должны быть отделены от физических характеристик тела или системы тел, взаимодействующих с окружающей средой. Эти важные для практики соотношения бывает затруднительно получить из классических решений. Еще большие осложнения возникают при решении систем дифференциальных уравнений тепло- и массопереноса классическими методами. Под влиянием запросов техники за последние десятилетия инженерами и физиками стали широко применяться операционные методы решения. Основные правила и теоремы операционного исчисления получены киевским профессором М. Ващенко-Захарченко [Л. 8]. Наибольшее распространение они нашли в электротехнике благодаря работам Хевисайда. Этот метод оказался настолько эффективным, ЧТО позволил решить многие проблемы, считавшиеся до его появления почти неразрешимыми, и получить решения некоторых уже рассмотренных задач в форме, значительно более приспособленной для численных расчетов. [c.79]

В связи с вышеизложенным, получим аналитическое решение системы уравнений (2.30) с построением функций Грина для перемеш,ений и (а), v(a). Для решения данной задачи воспользуемся аппаратом интегральных преобразований Лапласа, где оригиналами выступают перемеш,ения и а), v(a). Согласно теореме о дифференцировании оригинала [103] будем иметь [c.90]

Если для формулировки алгоритма непрямого МГЭ нам достаточно было воспользоваться простыми физическими соображениями и приемом введения фиктивной системы в неограниченной области, то прямой метод требует более изощренного подхода, который оказывается тесно связанным с использованием интегральных тождеств [7], например второй формулы Грина — уравнение (2.20) и теоремы взаимности Бетти — уравнение (2.30). Тем не менее в обоих методах для определения компонент матричных ядер в окончательных системах уравнений используются те же самые фундаментальные решения для неограниченной области. [c.50]

Однако, согласно теореме Грина, интеграл в левой части вышеприведенного уравнения равен [c.43]

Необходимо заметить, что теорема взаимности Бетти по своей сути связывает решение двух различных краевых задач для одной и той же области. Она является следствием линейности уравнений равновесия и закона Гука- Само фундаментальное решение, которое базируется на рассмотрении задачи о сосредоточенной силе в бесконечной упругой среде, может быть интерпретировано как функция Грина для бесконечно упругой среды или функции влияния. [c.52]

Выводом этих уравнений и их решением мы займемся позже. В этой главе мы будем иметь дело с основными теоремами, которые можно получить из закона Гука, не обращаясь к подробным теориям напряжений и деформаций. Это те выводы, которые сам Гук мог бы сделать из своих наблюдений, если бы он обратился к закону сохранения энергии. Однако заметим, что закон сохранения энергии не был четко сформулирован даже во времена появления мемуара Навье, и только в 1837 г. Грин вывел общие уравнения новым методом, в основе которого лежал закон сохранения энергии ). [c.10]

Важным обстоятельством является то, что после разложения упорядоченных экспонент в ряды по S все средние значения в правых частях уравнений (6.1.15) и (6.1.17) вычисляются с помощью теоремы Вика, поскольку невозмущенный оператор энтропии (6.1.10) есть билинейная форма от операторов рождения и уничтожения. Для слабо неидеальных квантовых газов множитель Лагранжа 52(/ /2 1 2) играет роль малого параметра. В этом случае уравнения (6.1.15) и (6.1.17) можно решить методом итераций (см. задачу 6.1). Если корреляции дают существенный вклад в неравновесные термодинамические величины, то метод итераций непригоден и требуется по крайней мере частичное суммирование формальных рядов теории возмущений. Как уже отмечалось, для равновесных систем суммирование такого рода наиболее удобно проводится в технике температурных функций Грина. Поэтому естественно построить аналогичную технику и для неравновесных состояний. [c.12]

Ключевым моментом в методе функций Грина является то, что одночастичная функция G(l,l ) удовлетворяет уравнению Дайсона на контуре Келдыша-Швингера С. В большинстве практических приложений вопрос о существовании уравнения Дайсона просто не рассматривается. Между тем, это совсем не тривиальный факт. Дело в том, что мы можем записать уравнения движения для G(l,l ) в форме уравнений Дайсона (6.3.29) и (6.3.30) только тогда, когда на контуре С существует единственная обратная функция G (l,l ). В диаграммной технике [19, 54, 55] вывод уравнения Дайсона основан на теореме Вика, с помощью которой каждый член ряда теории возмущений для G(l, 1 ) выражается через произведение свободных гриновских функций. [c.58]

Смешанные функции Грина. Задача состоит в том, чтобы вывести кинетическое уравнение для функции Вигнера нри t > если начальное состояние системы описывается статистическим оператором (6.4.2). В принципе можно применить метод временных функций Грина, заданных на контуре Келдыша-Швингера С (см. рис. 6.6), но мы сразу же столкнемся с серьезной проблемой. Дело в том, что при вычислении средних значений с начальным статистическим оператором (6.4.2) нельзя пользоваться теоремой Вика и, следовательно, на контуре С не существует обратная одночастичная функция Грина G (l,l ). Иначе говоря, мы не можем записать уравнения движения для G(l,l ) в виде уравнений Дайсона (6.3.29) и (6.3.30). Придется работать непосредственно с цепочкой уравнений Мартина-Швингера для гриновских функций и расцеплять ее на каком-то этапе. Такой подход применялся, например, в работе [153]. К сожалению, он не позволяет продвинуться дальше низшего порядка теории возмущений по начальным корреляциям, так как уравнения цепочки быстро усложняются. В связи с этим напомним два основных достоинства уравнения Дайсона. Во-первых, оно определяет общую структуру кинетического уравнения. Во-вторых, приближения делаются только в массовом операторе, который представляет собой результат частичного суммирования бесконечных рядов теории возмущений для цепочки Мартина-Швингера. Поэтому желательно сформулировать схему вывода кинетического уравнения так, чтобы в ней, в той или иной форме, фигурировало уравнение Дайсона. Мы покажем, что и в случае начального состояния с корреляциями можно вывести уравнение Дайсона, но не для гриновской функции G(l,l ) на контуре Келдыша-Швингера, а для более общего объекта — матричной смешанной функции Грина, заданной на расширенном контуре G. Этот контур лежит в плоскости ( ,ж), как показано на рис. 6.7. [c.64]

При доказательстве теоремы Грина предполагалось, что как ср, так и 9 суть однозначные функции. Формулировка теоремы должна быть изменена, если одна из двух функций циклична, что может случиться, когда область, по которой производится интегрирование в 43, будет многосвязной. Предположим, например, что <р циклична поверхностный интеграл на левой стороне и второй тройной интеграл на правой стороне уравнения (5) 43 будут тогда по своему значению неопределенны, так как <р само неопределенно. Чтобы устранить эту неопределенность, проведем указанные в 48 перегородки, которые превратят область в односвязную. В преобразован- [c.74]

Уравнения (1) и (2) вместе и составляют то обобщение теоремы Грина, которое предложено Кельвином. [c.75]

Согласно ранее разобранному обобщению Кельвина теоремы Грина уравнения (3) могут быть написаны также следующим образом [c.227]

В главе 2 описываются те свойства векторов, которые важны при изучении движения частиц жидкости и при рассмотрении гидродинамических уравнений. Векторы вводятся здесь независимо от выбора системы координат. Основные свойства векторных операций выводятся операторным методом, который в изложенной здесь форме легко применяется и непосредственно приводит к теоремам Стокса, Гаусса и Грина. Так как эта книга посвящена гидродинамике, а не векторам, то теория последних излагается кратко. С другой стороны, при изложении этой теории имелось в виду помочь читателям, незнакомым с де1 ствиями над векторами читателю рекомендуется полностью и детально изучить содержание этой главы, что необходимо в силу большого числа ссылок на нее. Этот труд хорошо вознаграждается при стремлении понять физи-чс скую сторону рассматриваемых явлений, которая особенно неясна при использовании специальных систем координат. В главе 3 общие свойства движения непрерывной жидкой среды, динамические уравнения, давление, энергия и вихри изучаются в свете векторных формулировок, преимущество которых вполне очевидно. [c.10]

Но поскольку составляющие вектора р удовлетворяют уравнению Лапласа, то по теореме Грина [см. (2) п. 2.62] получаем [c.490]

Докажем эти два утверждения, основываясь на теореме Грина, которая выражается уравнением [c.40]

В качестве второго приложения теоремы Грина уравнение (35) применяется к наружной зоне простой замкнутой поверхности 5 и малой сферы 8 около точки Р, расположенной вне поверхности 5, с функцией 0, которая является гармонической, исчезающей с достаточной быстротой в бесконечности, и с функцией где Н — расстояние от Р. Тогда [c.75]

При известном значении с11 I теорема Грина позволяет представить рещение уравнения (2.26) для рассматриваемого случая в следующем виде (см. рис. 2.12) [c.82]

Начнем с определения функции Грина, формулировки ее свойств, в частности, теоремы взаимности. Формулы этого параграфа, как правило, не решают задач дифракции, а лишь дают выражения для искомых полей через заданные токи (или граничные значения) в виде интегралов, зависящих от координат точки наблюдения, как от параметра. Ядрами интегралов являются соответствующим образом введенные функции Грина. Эти интегральные выражения позволят нам далее написать интегральные уравнения для искомых полей. [c.105]

Если Я = 0 — собственное значение оператора А, а целью является приближенное решение внешней задачи Дирихле, то можно поступить следующим образом. Заменим область на V E , где Яе —шар малого радиуса, лежащий внутри V , и подчиним решение условию ди/дг- - и = 0 на его внешней поверхности Sj с р = onst, ImP<0. Можно проверить, что модифицированная таким образом задача (36.1) — (36.3) с Я = 0 однозначно разрешима и эквивалентна интегральному уравнению Лф = , в котором А уже не имеет собственного значения 0. Ядро оператора А имеет вид G x, у) а у), где G (х, i) — функция Грина для уравнения Гельмгольца в дополнении к E с указанным выше условием на Sg и условием излучения на бесконечности. Функция G(x, y) — G x — y) принадлежит С°° при х, у (см. [3], гл. III), так что А —А—бесконечно сглаживающий оператор. Поэтому для А сохраняются теоремы 1 и 3 и их следствия. Функцию G x, у) можно выписать в явном виде (см. [67]). [c.358]

Кинетическая энергия струи единичной длины определяется по теореме Грина через потедциад скорости, удовлетворяющий уравнению Лапласа, [c.26]

Отметим, что в случае канала с твэлом и теплоносителем вследствие несамосопряженности операторов основного и сопряженного уравнений теорема обратимости температур, аналогичная (2.40), уже не действует. Можно, однако, доказать более общук> теорему обратимости температурных функций Грина в случае системы канал с твэлом, охлаждаемым движущимся теплоносителем. Для этого перепишем сопряженное уравнение (2.42) для функции Грина в случае постоянных значений теплоемкости твэла и теплоносителя и для следующих условий инверсии [c.44]

Сравнивая полученную формулу с (2.63), видим их полную тождественность, т. е. убеждаемся на рассмотренном примере в выполнении теоремы взаимиости функций Грина основного и сопряженного уравнений (2l47). [c.49]

Интегро-дифференциальное уравнение (4.14) преобразуем с использованием теоремы Гаусса-Остроградсжого и учетом равенства нулю функции Грина, когда г G 5 области V, к виду [c.76]

Э. Рейсснер [27] дает несколько иной вывод уравнений, вводя углы поворота, а также дает способ, преобразования системы уравнении. В 1949 г. А. Грин [23] вывел уравнения Рейсснера энергетическим путем без применения теоремы Кастилиано. Прием А. Грина обсуждает также С. П. Тимошенко [30]. Обобщение варианта Э, Рейсснера на произвольный закон изменения изгибных напряжений по толщине пластины, но одинаковый для всех трех компонентов, дано А. Л. Гольденвейзером [13] (1958 г.). Л. Я. Айнола [1] (1962 г.) показал, что функция распределения напряжений по толщине пластины, введенная А. Л. Гольденвейзером, может быть определена из вариационного принципа Кастилиано. [c.191]

При построении наборов частных решений, необходимых для удовлетворения граничных условий в конкретных задачах, условие (1.18) иногда удобно заменить другим [96]. Однако равенство (1.18) широко используется при доказательстве полноты представления (1.15). Если U — решение уравнения (1.6) в области В, то существуют функции ф и а, удовлетворяющие уравнениям (1.15), (1.16) и условию 1.18). Строгое доказательство этого важного утверждения содержится в работах [104, 186, 269]. Теорема о полноте решения Грина —Ламе впервые была сформулирована Клебшем (1863). Определенную роль в построении четкого доказательства теоремы [c.20]

Используя функцию Зоммерфельд получил с помощью теоремы Трина для вакуума правильное интегральное уравнение (2.95). Мы же рассматриваем более общий случай — радиально-неоднородную усиливающую среду. Функция Грина в этом случае должна удовлетворять уравнению [c.99]

Прежде чем закончить разбор проблемы неразрывности, следует заметить, что уравнение (3) может быть также получено на основании принципа сохранения массы для произвольного объема с помощью математической теоремы, связанной с именами Грина и Гаусса. Эта теорема будет использоваться на страницах данной книги каждый раз, когда встретится необходимость в переводе объемных интегралов в поверхностные, или наоборот. Формулируется эта теорема следующим образом если Р(х, у, z), Q(x, у, г), R(x, у, z), dPIdx, dQjdy и dRjdz — неразрывные и однозначные функции в односвязной области W, ограниченной замкнутой поверхностью 5, тогда [c.36]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...