Равновесие — Устойчивость системы с трением

В диссипативных системах ситуация иная — по определению фазовый объем в таких системах в среднем сжимается, т. е. в среднем по фазовому пространству div и < О (и — векторное поле в фазовом пространстве). Хотя сжатие фазового объема — локальное свойство фазового потока (его можно проверить в любой момент времени в каждой точке), в практически встречающихся системах с трением или вязкостью оно часто влечет за собой глобальное свойство — существование в фазовом пространство аттрактора — замкнутого множества, к которому при t оо стремятся все окружающие траектории и остаются в нем. Устойчивое состояние равновесия и устойчивый предельный цикл — знакомые нам примеры регулярных аттракторов. Поскольку фазовый объем в диссипативной системе сжимается, аттрактор имеет нулевой фазовый объем. Всякая траектория, не принадлежащая аттрактору, является переходной. [c.464]

Одновременно с рассмотрением собственных колебаний решается вопрос об устойчивости относительного равновесия упругой гироскопической системы под воздействием внутреннего и внешнего трений. [c.6]

Система называется устойчивой, если она после снятия возмущающего воздействия возвращается с достаточной для практики точностью в исходное состояние равновесия. В качестве простейшего примера устойчивой системы может служить изображенный на фиг. 30-16,а шарик на дне чаши, движение которого тормозится сопротивлением воздуха и трением. [c.522]

Теория вынужденного движения триплета. Задача о движении триплета с трением и внешней силой позволяет проиллюстрировать известное в гидродинамике явление—увеличение числа положений равновесия при изменении внешних параметров, которое сопровождается потерей устойчивости первичного состояния и переходом системы в качественно новое состояние, причем последнее определяется, как правило, не однозначно, так как зависит от неконтролируемых (случайных) возмущений начальных условий. [c.58]

Таким образом, особая точка типа фокуса, вообще говоря, может быть как устойчивой, так и неустойчивой (в отличие от особой точки типа центра, которая, как мы видели, всегда устойчива). В рассматриваемом случае фокус устойчив, потому что А О. Физический смысл этого условия устойчивости ясен трение должно быть положительно, т. е. должно препятствовать движению и потреблять энергию. Такое положительное, препятствующее движению трение, на преодоление которого затрачивается работа, не может вызвать неустойчивости, и если положение равновесия в.системе было устойчиво при отсутствии трения (в гармоническом осцилляторе), го оно останется устойчивым и при наличии положительного трения. При дальнейшем рассмотрении мы встретимся с неустойчивыми особыми точками типа фокуса. [c.59]

Как мы уже говорили, мы будем делать различие между интегральными кривыми и фазовыми траекториями, так как одной интегральной кривой может соответствовать несколько существенно различных движений или, иначе говоря, несколько различных фазовых траекторий. Например, в рассматриваемом случае, задавая определенное значение константы С, мы еще не фиксируем единственную траекторию, так как в нашем случае каждая интегральная кривая проходит через особую точку и, следовательно, состоит из трех фазовых траекторий (две из них соответствуют движениям, асимптотическим к состоянию равновесия, третьей является само состояние равновесия). В нашем случае все интегральные кривые проходят через особую точку. Такая особая точка, через которую проходят интегральные кривые, подобно тому, как семейство парабол у = Слг" (а 0) проходит через начало координат, носит название узла. Нетрудно видеть, что состояние равновесия, соответствующее в нашем случае особой точке — узлу, является устойчивым по Ляпунову, так как изображающая точка по всем интегральным кривым движется по направлению к началу координат. Устойчивое состояние равновесия, которое соответствует особой точке типа узла, мы в дальнейшем будем называть устойчивым узлом. Как мы убедимся в дальнейшем, узел может быть и неустойчивым, для чего достаточно, чтобы к было отрицательно. Как и в случае фокуса, физический смысл этого обстоятельства заключается в том, что если состояние равновесия в системе без трения с одной степенью свободы устойчиво, то прибавление положительного трения, т. е. трения, на преодоление которого должна затрачиваться работа, не может нарушить устойчивости (даже более того — положительное трение сообщает положению равновесия абсолютную устойчивость). [c.66]

Система состоит из двух однородных стержней ОА и AD длины а и массы т, расположенных в вертикальной плоскости. В точке А стержни соединены шарниром. В точке О — неподвижный шарнир. В точке В стержень AB соединен шарниром с телом С массы П1, которое может перемещаться по вертикали, проходящей через точку О. Середины стержней ОА п AB соединены пружиной жесткости с. Длина пружины в ненапряженном состоянии lad а. Найти положения равновесия и условия их устойчивости. Трением и массой пружины пренебречь. [c.399]

Задача 1289 (рис. 695). Три одинаковых однородных стержня длиной / и массой т каждый соединены шарнирно и могут двигаться в вертикальной плоскости. К стержню АВ на расстоянии от неподвижной точки Л, а к стержню D на расстоянии 4 от неподвижной точки С прикреплены пружины жесткостью каждая. Пренебрегая трением и массой пружин, определить величину с , при которой вертикальное положение стержней АВ и D будет положением устойчивого равновесия, если при этом пружины не напряжены. Найти также период малых колебаний системы около этого положения. [c.461]

Задача 1290. Четыре стержня длиной I и массой т каждый, находящиеся в вертикальной плоскости, образуют систему, показанную на рис. 696. Система удерживается в вертикальном положении при помощи двух спиральных пружин. Пренебрегая трением и считая все соединения шарнирными, определить, при каком значении жесткости второй пружины вертикальное положение системы будет положением устойчивого равновесия, а также период малых колебаний системы вблизи этого положения, если жесткость первой пружины равна с и при вертикальном положении системы пружины не напряжены. [c.461]

Задача 1293 (рис. 699). U-образная трубка с одинаковой площадью поперечного сечения по всей длине открыта с двух концов. Трубка содержит две несжимаемых и несмешивающихся жидкости с плотностями р, и р. . Определить период собственных колебаний системы около положения устойчивого равновесия, после того как она была выведена из этого положения, если длина части трубки, занимаемой жидкостью плотности Pi, равна /,, а длина части, занимаемой жидкостью плотности р. , равна 1 . Трением пренебречь. [c.462]

С помощью винтов V и v, винтов и н и и противовеса р, скользящего с сильным трением по игле, которая служит продолжением оси vv тора, можно добиться того, что центр тяжести u подвижной системы расположится на оси vv тора немного ниже точки О. Если тор не вращается, то получится при этом физический маятник, подвешенный на оси АА. Этот маятник находится в положении устойчивого равновесия, когда игла v p, т. е. ось тора, вертикальна. Теперь, сообщив тору при помощи какого-либо механизма очень быстрое вращение вокруг его оси, надо опять положить рамку на ее опору, управляя вилками F к F так, чтобы лезвия ножей А п А в точности заняли предназначенные им горизонтальные положения. С этого момента и начнут развиваться слабые, но вполне заметные явления, обнаруживающие вращение Земли. Система примет новое кажущееся положение устойчивого равновесия, при котором ось тора не будет уже вертикальной, а будет образовывать с вертикалью малый угол Е, который будет тем больше при одной и той же скорости, чем ближе будет вертикальная плоскость, в которой движется ось тора, к плоскости меридиана. При наиболее благоприятных условиях, когда вертикальная плоскость, в которой движется ось тора, установлена в плоскости меридиана, угол отклонения Е оси тора от вертикали заметен очень отчетливо. Он будет тем больше, чем больше собственное вращение тора и чем меньше расстояние OG от центра тяжести до оси АА. Отклонение Е будет происходить к северу или к югу в зависимости от направления вращения тора. Это легко объяснить, применяя к рассматриваемому случаю установленные выше общие формулы. [c.321]

Два тяжелых однородных шара находятся в равновесии внутри сферической оболочки в соприкосновении (без трения) между собой и с оболочкой. Показать, что равновесие системы является устойчивым. (В этом можно убедиться, заметив, что в положении равновесия центр тяжести двух шаров совпадает с самой нижней точкой сферической поверхности, представляющей собой геометрическое место всех его возможных положений.) [c.147]

Наглядны.м примером, демонстрирующим нек-рые аспекты понятия У., является простейшая динамическая система тяжёлый шарик на неровной поверхности (рис. I) в точке I потенц. энергия шарика имеет максимум, и это положение равновесия неустойчиво под действием малых возмущений шарик скатывается в более низкую точку (2 или i), где его потенц. энергия имеет минимум. Если пренебречь трением, то шарик будет в течение бесконечного времени совершать колебания вблизи положения устойчивого равновесия (точек 2 и J). Если шарик начнёт скатываться с точки, более низкой, чем точка i, то амплитуда колебаний будет меньшей (т. к. нач. энергия системы меньше). Однако близким нач. данным будут отвечать траектории с. близкими периодами и амплитуда- [c.253]

По гладкому кольцу радиуса К (см. рисунок), расположенному в вертикальной плоскости, может скользить стержень длины 2К. По стержню может двигаться без трения бусинка массы ш, соединенная с одним из концов стержня пружиной жесткости с ф Ф 2mg К, длина которой в недеформированном состоянии равна К 2. Пайти положения равновесия системы и исследовать их устойчивость. [c.154]

Грузы массы тх и Ш2 (см. рисунок), связанные между собой и с неподвижными опорами пружинами, как показано на рисунке, могут перемещаться по вертикали, причем па один из грузов действует сила вязкого трения — Рг (Р > 0). Используя критерий Рауса-Гурвица, показать, что положение равновесия этой системы будет асимптотически устойчивым при любых и. [c.179]

Свободные колебания линейного гармонического осциллятора, если они происходят в вязкой среде, постепенно затухают в результате действия со стороны среды диссипативных сил трения. Как было показано в 29, для полного описания движения механической системы, подверженной действию сил вязкого трения, необходимо наряду с лагранжианом ввести диссипативную функцию Рэлея (29.19), описывающую процесс рассеяния механической энергии. Для одномерной механической системы, совершающей малые колебания вблизи положения устойчивого равновесия, указанные функции имеют вид [c.223]

Если X > Шо (т. е. когда квазиупругие силы малы по сравнению с силами трения), то оба корня (40.5) характеристического уравнения являются действительными и отрицательными. В этом случае движение системы состоит в монотонном убывании смещения X, т. е. в асимптотическом приближении системы к положению устойчивого равновесия при с по закону [c.225]

Молекула аммиака. Молекула аммиака КНз состоит из одного атома азота и трех атомов водорода (см. том II, стр. 314). Три атома водорода образуют равносторонний треугольник. Назовем плоскость этого треугольника плоскостью Н,. Атом N имеет два возможных положения, относительно которых он может колебаться, что соответствует двум маятникам, а и 6. Первое положение (а) — с одной стороны от плоскости Нд и второе положение (6) — с другой стороны от нее. Атом не может легко переходить из состояния а в состояние Ь и обратно, потому что между состояниями а и 6 имеется потенциальный барьер. В классической механике (т. е. механике, основанной только на законах Ньютона) а и 6 являются положениями устойчивого равновесия и атом азота, колеблющийся в состоянии а, никогда не сможет попасть в состояние Ь. (В случае двух маятников это соответствует отсутствию связывающей пружины. Тогда, если а колеблется, айв покое, такое положение система будет сохранять неограниченно долго, если конечно, пренебречь трением.) Однако в квантовой механике связь между а и 6 проявляется в том, что разрешается проникновение атома азота из состояния а в Ь или обратно через потенциальный барьер. Предположим, что мы наблюдаем с момента /=0 за квантовомеханическим состоянием молекулы, у которой атом азота N определенно нахо- [c.482]

Иначе говоря, модель с двумя ударами ведет себя так же, как и модель с ОДНИМ ударом за период, но с вдвое меньшим трением при Л 2/о существует единственное устойчивое периодическое движение, которое устанавливается при всех скоростях после удара если же 1 1 2/о, то система приходит в одно из состояний равновесия. Картина на фазовой плоскости для модели часов с двумя ударами за период в предположении, что закон удара выражается соотношением (3.36) и что /г 2/о, изображена на рис. 138. [c.211]

Решение рассмотренной задачи используется при расчете устойчивости сооружений с плоской подошвой на едвиг эксцентричной силой (см. тaтью где рассмотрен случай прямоугольной площадки ш). Прикладные задачи равновесия механической системы с трением (и, в частности, вопросы взаимодействия гусеничного самохода с опорной поверхностью) рассматривались в книге . [c.217]

Метод вспомогательных оторЗажений. Опнсанные выше критерии существования неподвижной точки и особенно критерий, основанный на принципе сжимающих отображений, в тех случаях, когда его удается применить, дает значительные, а ииогд ) и исчерпывающие сведения о поведении изучаемой системы. В качестве примера можно привести произвольную механическую систему с взаимными и собственными комбинированными трениями без падающих участков характеристик трения. К такой системе возможно применение принципа сжимающих отображений, позволяющее установить глобальную устойчивость многообразия состояний равновесия или периодических движений при воздействии на такую систему внешней периодической силы. Применение принципа сжимающих отображений позволяет установить существование и единственность вынужденных колебаний в системе с т 1к называемым конструкционным демпфированием. Соответствующие примеры могут быть продолжены, но все же они не очень многочисленны, поскольку далеко не всегда имеется сжимаемость. В настоящем разделе излагается метод вспомогательных отображений, позволяющий расширить применение критерия о существовании и единственности неподвижной точки на несжимающие отображения. Ради геометрической наглядности это изложение, как и относящиеся к нему примеры, будет ограничено двумерными точечными отображениями. [c.301]

К другим неконсерватиБНЫМ задачам устойчивости относят многие задачи аэро- и гид-роупрутости, а также задачи об устойчивости роторов с учетом внутреннего трения и родственных факторов [4]. Эти задачи освещены в гл. 7.6 и 7.8. Системы, нагруженные силами, явно зависящими от времени, также являются неконсервативными. Таковы задачи, в которых неустойчивость связана с возникновением параметрических резонансов. Прямолинейная форма стержня, нагруженного силой, изменяющейся во времени (рис. 7.3.11, в), может быть отождествлена с равновесием, если пренебречь (ввиду большой жесткости) продольными колебаниями стержня. В результате приходим к задаче об устойчивости прямолинейной формы равновесия при неконсервативной (но явно зависящей от времени) нагрузке. [c.480]

При отсутствии жесткой обратной связи и наличии сервомотора переменной скорости динамическое поведение системы зависит от одного существенного параметра А = а в случае сервомотора постоянном скорости — от двух гщественных параметров а = и р = Ооб х X Тдк Та- В первом случае при Л < 3,04 система абсолютно устойчива, при Л > 3,04 — она автоколебательная. Во втором случае при 1 —2р <. <1ехр (—а — 2Р) процесс регулирования абсолютно устойчив. Если последнее условие не выполнено, что соответствует достаточно большому коэффициенту трения, то в трехмерном фазовом пространстве системы наряду с площадкой устойчивых состояний равновесия имеется устойчивое [c.142]

Системы с двумя степенями свободы без трения. Исследование устойчивости состояний равновесия механических систем с несколькими степенями свободы также состоит в изучении свойств во шущенного движения, т. е. того движения, которое будет происходить после произвольного ско.ль угодно малого нарушения состояния равновесия. Названные свойства определяются видом 13 я. г, Пановко [c.193]

Рассмотрим равновесие газа и жидкости при образовании капель. В силу вязкостного трения газ захватывает частицы жидкости, деформируя ее поверхность с образованием волн. Если силы поверхностного натяжепия меньше сил, определяемых скоростным напором газа, то с гребней волн отрываются капли, происходит их унос, т. е. нарушение гидродинамической устойчивости газожидкостной системы. Отрыв капель происходит на границе между газом и жидкостью, т. е. в зоне действия сил вязкостного трения — ламинарной зоне, для которой коэффициент трения определяется законом Пуазёйля = Aj/Re. Запишем условие начала образования капли диаметром d, когда ее внутреннее давление от сил поверхностного натяжения уравновешивается скоростным напором [c.84]

С помощью преобразования прямой в прямую (3.11) пове,до-ние фазовых траекторий уравнения Лоренца можно отобразить в виде серии точечных отображений прямой в прямую, показанных па рис. 7.28. Первый рис. 7.28, а отвечает устойчивости состояния равновесия О (0<г<1), второй рис. 7.28,6 — появлению двух устойчивых состояний равновесия О, и О2, третий рис. 7.28, в — рождению неустойчивых периодических движений Г1 и Гг и появлению разрыва непрерывности, четвертый рис. 7.28, г — возникновению стохастического аттрактора, пятый рис. 7.28, д — влинанию периодических движений Г1 и Гг в состояпия равновесия О1 и Ог и последний 7.28, е — появлению у графика точечного отображения горизонтальных касательных и в связи с этим устойчивых неподвижных многократных точек. Мы видим, что в этой интерпретации возникновение стохастичности и системе Лоренца похоже на то, как возникает стохастичность в неустойчивом осцилляторе с отрицательным трением и ударами, рассмотренном в гл. 3. [c.194]

Устойчивость, таким образом, будет обеспечена, когда V — Т в относительном положении равновесия есть минимум. Это условие, однако, не необходимо, и устойчивость может иметь место и тогда (с рассматриваемой точки зрения), когда V—Т есть максимум, как это мы покажем для частного случая двух степеней свободы. Необходимо, однако, заметить, что если система подвержена каким-нибудь, хотя бы незначительным силам трения, которые влияют на координаты i,. .., i , то равновесие только тогда перманентно или. вековым образом устойчиво, когда V —То есть минимум. Для таких сил характерно, что их работа, произведенная над системой, всегда является отрицательной. А в таком случае, согласно уравнению (6), выражение -f (V —Tj) в алгебраическом смысле будет непрерывно уменьшаться, пока имеет место какое-нибудь относительное движение. Следовательно, если система перешла из относительного положения равновесия в такую конфигурацию, при которой V —Т будет отри цательным, то вышенаписанное выражение, а тем самым и его часть V — To будут принимать непрерывно возрастающие отрицательные значения, что может случиться только тогда, когда система все более и более удаляется от своего положения равновесия. [c.389]

По гладкому кольцу радиуса К (см. рисунок), расположенному в вертикальной плоскости, может скользить своими концами невесомый стержень АВ длины 21. По стержню А В может переме-ш,аться без трения бусинка массы ш, соединенная с точками А и В пружинами жесткости с. Длины пружин в ненапряженном состоянии равны К, плоскость кольца вертикальна. Используя обобш,енные координаты ж, ф, найти положения равновесия системы и исследовать их устойчивость. [c.154]

Цилиндр массы М может скользить без трения но горизонтальной нанравляюш ей Ох так, что образуюш ая цилиндра во время движения совпадает с О ж. В цилиндре может двигаться поршень массы т. Пространство между стенками цилиндра и поршнем заполнено вязкой жидкостью (коэффициент вязкости равен Р). Цилиндр и поршень соединены с неподвижным стержнем пружинами жесткости с, как показано на рисунке к задаче 13.8. Показать, что положение равновесия системы асимптотически устойчиво. [c.183]

На круговой орбите в среде без сопротивления собственные колебания затухают с течением времени и система спутник — стабилизатор переходит в положение устойчивого равновесия. На эллиптической орбите равновесного положения не существует. Система совершает в плоскости орбиты вынужденные (эксцентриситетные) колебания, вызываемые неравномерностью вращения орбитальной системы координат. Амплитуда эксцентриситетных колебаний пропорциональна величине эксцентриситета орбиты и зависит от инерционных характеристик системы и коэффициентов трения и упругости (В. А. Сарычев, 1961, 1963). При отсутствии трения в системе можно так подобрать параметры стабилизатора, что на эллиптической орбите амплитуда эксцентриситетных колебаний спутника будет равна нулю. В этом случае стабилизатор выполняет [c.298]

Таким образом, под действием периодической вынуждающей силы одномерная система вблизи положения устойчивого равновесия совершает движение, представляющее собой наложение двух гармонических колебаний собственного колебания с частотой о)о и вынужденного колебания с частотой вынуждающей силы Y< В отсутствие сил трения вынужденные колебания осциллятора проис ходят либо синхронно с изменением вынуждающей силы (при у < < соо). либо отстают по фазе на угол п (при у > соо). Случай у = = о требует специального рассмотрения. Рассмотрим энергетические превращения, происходящие в механической системе, совершающей вынужденные колебания. Допустим, что в начальный момент / = О система находится в положении равновесия и покоится, т. е. л (0) = О и х (0) = 0. Пусть на систему действует вынужда- [c.220]

Как известно, вопрос устойчивости относительного равновесия для вращающихся систем является более сложным, чем для систем статических. Здесь различают два разных типа устойчивости, обычно определяемых как вековая и обыкновенная . Вековая устойчивость (а точнее, неустойчивость, Б. К. ) предполагает существование трения внутри системы (которое исчезает вместе с относительными скоростями) , в то время как обыкновенная не зависит от действия диссипа- [c.15]

Однако поскольку все подобные конфигурации уже обладают вековой неустойчивостью при смещениях, соответствующих Ь п = 2, р = 2), они пе имеют физического применения и не могут появиться в результате естественной эволюции жидкой массы. Если бы система обладала количеством углового момента, отвечающим условиям (равновесия) любой такой сфероидальной формы, то через внутреннее трение опа нришла бы к соответствующей конфигурации равновесия па последовательности Якоби при условии, что такая конфигурация с заданным угловым моментом сама обладает вековой устойчивостью . Теперь перейдём к рассмотрению вековой устойчивости эллипсоидальных форм. [c.163]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...