Дифференциальные уравнения в полных однородные

Вышеописанная процедура решения дифференциального уравнения при помощи операционного исчисления относилась к случаю обыкновенного дифференциального уравнения (однородного или неоднородного). Эту методику можно распространить и на случай уравнения в частных производных. В этом случае преобразование (10. 1) следует применить столько раз, сколько независимых переменных в уравнении. Мы будем получать последовательно первое, второе и т. д. изображения уравнения. Все эти изображения до (т—1)-го включительно т—число аргументов) будут дифференциальными уравнениями, (та—1)-е изображение будет уравнением в полных производных, и, наконец, т-е изображение будет алгебраическим уравнением, включающим в себя как начальные, так и граничные условия задачи (также в виде соответствующих изображений). Для нахождения окончательного результата необходимо, разумеется, пройти те же т ступеней преобразования в обратном порядке. [c.287]

Далее заметим, что в рассматриваемом случае распространен иия постоянного тока в среде под действием единичного источника тока дифференциальные уравнения (5.45) для функций Грина G(r Го) и G+(r Го) совпадают по виду. При одинаково записанных однородных граничных условиях согласно теореме единственности это означает полную идентичность решений обоих уравнений (5.45), т. е. [c.148]

Вернемся к оболочкам положительной кривизны. Если один из краев такой оболочки закреплен от тангенциальных смещений, то независимо от того, имеются ли другие края, и от того, как они закреплены, ее срединная поверхность не может иметь изгибаний. Этот факт известен. Он относится к любым поверхностям положительной кривизны и очевиден с точки зрения теории дифференциальных уравнений, так как построение изгибаний при таком закреплении края сводится к однородной задаче Коши. Из сказанного вытекает, что по теореме о возможных изгибаниях ( 15.21) решение полной краевой задачи безмоментной теории для оболочки, рассмотренной в предыдущем параграфе (один край свободен от тангенциальных закреплений, а второй — заделан в обоих тангенциальных направлениях), должно существовать и быть единственным. Однако это утверждение может оказаться и неверным, и чтобы разобраться в получающемся несоответствии, вернемся еще раз к задаче построения аналитической функции по условию (18.38.4). [c.269]

Таким образом, получено неоднородное (с правой частью) дифференциальное уравнение второго порядка. Полное его решение состоит из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения описывает свободные колебания системы и получено нами ранее. Частное решение неоднородного уравнения описывает вынужденные колебания и представляется в виде [c.353]

Здесь, на основе концепции Эйлера о разветвлении форм равновесия и выведенных в предыдущих параграфах нелинейных уравнениях изгиба, устанавливаются линеаризованные дифференциальные уравнения устойчивости многослойных композитных анизотропных оболочек. Подробное изложение этой концепции и методики получения пространственных линеаризованных уравнений устойчивости из нелинейных уравнений теории упругости приведено в монографии [206 ]. Для однородных изотропных абсолютно жестких на поперечные сдвиги и обжатие оболочек эти вопросы достаточно полно рассмотрены, например, в монографиях [85, 104, 189], а для многослойных анизотропных оболочек с ограниченной поперечной сдвиговой жесткостью — в монографиях [52, 60, 116]. [c.59]

Формула (6.7), хотя и представляет собой точное решение поставленной задачи, неудобна для практических расчетов. Поэтому изложим упрощенный метод расчета, который назовем "методом трансформатора . Он заключается в том. что соленоид рассматривается как первичная обмотка трансформатора, а металлический полый цилиндр -как вторичная короткозамкнутая обмотка (один виток). При этом дифференциальные уравнения Максвелла заменяются соответствующими интегральными уравнениями. При расчете делается предположение о том. что внутри полости цилиндра напряженность поля однородна по радиусу и длине, т.е. отношение длины цилиндра к его диаметру достаточно велико и краевые эффекты можно не учитывать. В этом случае полем вне соленоида можно пренебречь. Тогда на основании закона полного тока [c.173]

Это система неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка и решение их может быть получено в виде суммы двух решений общего решения для системы соответственных однородных уравнений (левые части уравнений, приравненные нулю) и частного решения для полных уравнений. Общие решения уравнений без правых частей уже известны [см, уравнения (211)], а в качестве частных решений можно предположить [c.546]

Для осциллятора, имеющего лишь одну степень свободы, п=2. В этом случае, согласно выражению (5.1), уравнение движения осциллятора становится линейным неоднородным уравнением, для решения которого теория дифференциальных уравнений предлагает ряд методов. Можно показать, что общее решение полного (неоднородного) уравнения L x)=f t) является суммой общего решения соответствующего однородного уравнения Ь (л )=0 и частного решения неоднородного уравнения. Так как решение однородного уравнения соответствует собственным колебаниям исследуемой системы, при действии внешних возмущений движение этой системы представляется наложением свободных и вынужденных колебаний. [c.181]

Большинство теоретических исследований теплопроводности газовых смесей являются продолжением и развитием фундаментальных работ Л. Больцмана [11]. Газ или смесь газов структурно моделируется дискретной средой с локальными скоплениями массы в виде атомов и молекул, хаотически движущихся в пространстве. Используя представления молекулярно-кинети-ческой теории, Л. Больцман вывел основное интегро-дифференциальное уравнение газового состояния, решение которого позволяет аналитически выразить коэффициенты переноса, в том числе и коэффициент теплопроводности смеси газов через определяющие параметры (атомные или молекулярные веса компонент, их форму и размеры, радиальную функцию и закон распределения скорости молекул, вид и параметры потенциала межмолекулярного взаимодействия). Однако до настоящего времени геометрические параметры молекул веществ и характер их силового взаимодействия изучены недостаточно полно. Кроме того, исходное интегро-дифференциальное уравнение относится к однородному одноатомному газу, находящемуся в условиях, близких к равновесному состоянию. [c.233]

Пример 1. Показатели переходных процессов ЭМП (максимальные и минимальные значения токов, напряжений, время переходного процесса и др.) можно определить путем решения уравнений динамики. Однако даже после преобразования кординат решение дифференциальных уравнений вызывает затруднения, особенно при переменной частоте вращения. В то же время полные решения уравнений динамики несут значительно большую информацию, чем это необходимо для оценки качества переходных процессов. Поэтому на практике часто пользуются грубыми, косвенными оценками динамических показателей типа переходных и сверхпереходных сопротивлений, постоянных времени и т. п. Их рассчитывают с помощью уравнений, аналогичных по форме уравнениям расчета установившихся процессов. Таким образом, надобность в дифференциальных уравнениях отпадает и расчетные алгоритмы приобретают большую однородность и простоту. [c.97]

В работах XVIII в. использовалось понятие устойчивости равновесия или движения без уточнения его содержания и без введения для него количественной меры. Это в значительной мере верно и для работ дальнейшего периода, охватывающего почти весь XIX в. — от Лагранжа до Пуанкаре и Ляпунова. Теория малых колебаний около положения равновесия или движения оставалась основным аппаратом теории устойчивости. Она была усовершенствована за это время математически Дж. Сильвестр, К. Вейерштрасс, К. Жордан дали полный анализ всех случаев, которые могут представиться при решении однородной системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. К. Вейерштрасс и, независимо от него. [c.119]

Тем более подобные ситуации возможны при распространении метода Гамильтона — Якоби на системы с неголономными связями. Мы проиллюстрировали предложенный нами описанный способ применения метода Гамильтона — Якоби к неголономным системам на примере частного случая задачи Каратеодори — Чаплыгина, а также на примере движения без скольжения однородного шара по горизонтальной плоскости. Для данной задачи уравнение Гамильтона — Якоби было составлено в нормальных неголономных координатах, полный интеграл был найден и с его помощью выявлен один первый интеграл уравнений движения — неизменность проекции угловой скорости шара на вертикаль. Этого было достаточно для решения всей задачи в силу наличия двух дифференциальных уравнений связей, интеграла энергии и вытекавшей из элементарных соображений общей механики прямолинейности движения центра тяжести шара. Наши работы по данному вопросу получили в дальнейшем отклик. В конце сороковых годов итальянский механик Пиньедоли опубликовал статью по данному вопросу с той же методикой. В настоящее время данной проблемой занимались в своих кандидатских диссертациях молодые научные работники (Назнев X. А., Титкова С. И.). [c.8]

Шар, катяидийся без скольжения по шероховатой поверхности, является простейшим примером неголономной системы. Задача о качении однородного шара по горизонтальной шероховатой плоскости разрешена и ее решение содержится, в частности, в книге [I]. Однако решение этой простейшей задачи не доведено еще, на наш взгляд, до полной ясности. Так, апример, Мак-Миллан приводит дифференциальные уравнения движения шара для углов Эйлера, но из этих уравнений получает только один интеграл — постоянную проекцию угловой скорости шара на вертикальную ось. А будут ли постоянными две другие проекции угловой скорости шара на неподвижные оси координат, остается неизвестным. [c.47]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...