Дифференциальное уравнение в частных производных однородное

Рассмотрим теперь решение уравнения (8-29) при указанных граничных условиях. Уравнение (8-29) является линейным и однородным. Дифференциальные уравнения в частных производных такого типа всегда могут быть решены методом разделения переменных. Предположим, что решение уравнения (8-29) можно представить в виде произведения [c.155]

Процесс конвективного теплообмена описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных. Для однородной несжимаемой вязкой жидкости с постоянными физическими свойствами (исключая плотность) эти уравнения имеют следующий вид [c.157]

Приведенные дифференциальные уравнения в частных производных имеют восьмой порядок, поэтому при их решении необходимо задать восемь граничных условий. Если относить к внутренним участкам имеющиеся на концах ротора сосредоточенные массы, жесткости и демпферы, то граничные условия можно привести к однородному виду. В случае свободного конца граничные условия имеют вид(3у =Q = 0 [c.135]

Рассмотрим свободные колебания вращающейся лопасти с частотой V. Тогда в однородном дифференциальном уравнении в частных производных, описывающих изгиб лопасти в отсутствие аэродинамических сил (f2 = 0), можно принять 2 = = т)(г)е /, где т] — форма изгиба. В результате получим [c.357]

Соответствующая зависимостям (2.25) однородная система сводится к следующему дифференциальному уравнению в частных производных восьмого порядка относительно потенциальной функции Ф [c.103]

Как и в случае автомодельных ламинарных пограничных слоев, возможно преобразование дифференциальных уравнений в частных производных для автомодельных турбулентных пограничных слоев в обыкновенные дифференциальные уравнения с последующим решением их одним из известных методов. Таким путем можно получить надежные данные по геометрическим размерам равновесных пограничных слоев и по распределению касательного напряжения на обтекаемой поверхности. Тот факт, что равновесные пограничные слои возможны только в ограниченных случаях степенного распределения скорости внешнего потока, существенно ограничивает применение автомодельных решений. Однако при многих распределениях давления вдоль обтекаемой поверхности пограничные слои по своим свойствам приближаются к свойствам равновесных слоев и на них могут быть распространены автомодельные решения. Существует по крайней мере две категории таких пограничных слоев. Примером пограничного слоя первой категории является след за цилиндром в однородном потоке, в котором распределения осредненной скорости и рейнольдсовых напряжений имеют выражения [c.343]

Так как напряженное состояние в бесконечно малой области вокруг точки X, у в переменном поле напряжений является однородным (если исключить особенности), то из предыдущего следует, что, как и в случае уравнений (37.53а), дифференциальное уравнение в частных производных [c.625]

Наиболее сложна тепловая модель конструкции, показанная на рис. 7.37, г. Все пространство представляется однородным с распределенным по объему источником энергии Р (х, у, г). Такая модель описывается системой дифференциальных уравнений в частных производных, получаемой на основе фундаментальных уравнений теории теплопроводности. Решение этих уравнений позволяет исследовать температурные поля нагретой зоны конструкции. [c.201]

Если в (20.7) выполнить дифференцирование, проинтегрировать по частям и использовать дифференциальное уравнение (20.4) совместно с граничными условиями (20.5), то нетрудно убедиться, что I (г, г ) удовлетворяет однородному интегральному уравнению, соответствующему уравнению (20.6). Поскольку мы предполагаем, что неоднородное уравнение (20.6) имеет единственное решение, то соответствующее однородное уравнение может иметь только тривиальное решение. Из этого можно сделать вывод, что (г, г ) = 0. Другими словами, функция К г, г ) подчиняется дифференциальному уравнению в частных производных [c.561]

Если в (20.47) выполнить дифференцирование, произвести интегрирование по частям и воспользоваться дифференциальным уравнением (20.44) совместно с граничными условиями (20.45), то нетрудно убедиться, что функция (г, г ) удовлетворяет однородному уравнению, соответствующему уравнению (20.46). Поскольку предполагается, что неоднородное уравнение имеет единственное решение, то можно сделать вывод, что I (г, г ) = 0. Другими словами, функция К (г, г ) удовлетворяет дифференциальному уравнению в частных производных [c.570]

При изложении теории струн обычно принято начинать с двух частных решений дифференциальных уравнений в частных производных, представляющих распространение волн в положительном и отрицательном направлениях эти решения соединяют так, чтобы приспособиться к случаю конечной струны, концы которой удерживаются в покое ни одно из решений в отдельности не совместимо с существованием узлов или мест постоянного покоя. Эта сторона вопроса очень важна, и мы рассмотрим ее полностью однако, едва ли было бы желательно основывать решение сразу же на таком свойстве, характерном для однородной струны, как невозмущенное распространение в( лн. Мы будем следовать более общему методу, принимая (в согласии с тем, что было доказано в предыдущей главе), что движение может быть разложено на [c.194]

Поскольку L, р и Ь —заданные функции от X, то (14) представляет собой линейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка относительно смещения и. Для однородного тела (14) имеет в компонентной записи такой вид [c.299]

Именно первое направление общей проблемы устойчивости оболочек, т. е. проблема определения критических нагрузок, рассмотрено в настоящей книге. Следует отметить, что большинство опубликованных в настоящее время работ по устойчивости оболочек в той или иной мере затрагивает эту проблему. В подавляющем большинстве случаев задача об определении крити-че ской нагрузки для оболочки сводится к отысканию наименьшего собственного значения системы однородных дифференциальных уравнений в частных производных с переменными коэффициентами и однородными граничными условиями или к соответствующей вариационной задаче. [c.6]

Это однородное уравнение в частных производных решаем методом характеристик, т. е. интегрируем обыкновенное дифференциальное уравнение вида йх1 = 1х1 и или и<1х = х1х. [c.377]

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения является, как известно, суммой решения неоднородного дифференциального уравнения с частными производными [в данном случае, например, вида х = Л sin (wt — ф)] и обш,его решения однородного уравнения [c.188]

И В 2л -периодичности решения по угловой координате (р. Спектр бифуркационных нагрузок и соответствующих им форм потери устойчивости определяется путем интегрирования линейной однородной краевой задачи на собственные значения для данной системы дифференциальных уравнений с частными производными. Коэффициенты Т, Т, Т, dw/ds, dw/d

[c.257]

Вышеописанная процедура решения дифференциального уравнения при помощи операционного исчисления относилась к случаю обыкновенного дифференциального уравнения (однородного или неоднородного). Эту методику можно распространить и на случай уравнения в частных производных. В этом случае преобразование (10. 1) следует применить столько раз, сколько независимых переменных в уравнении. Мы будем получать последовательно первое, второе и т. д. изображения уравнения. Все эти изображения до (т—1)-го включительно т—число аргументов) будут дифференциальными уравнениями, (та—1)-е изображение будет уравнением в полных производных, и, наконец, т-е изображение будет алгебраическим уравнением, включающим в себя как начальные, так и граничные условия задачи (также в виде соответствующих изображений). Для нахождения окончательного результата необходимо, разумеется, пройти те же т ступеней преобразования в обратном порядке. [c.287]

Операторы, задаваемые с помощью дифференциальных уравнений (обыкновенных или в частных производных) будут однородными только в том случае, если все коэффициенты уравнений не зависят от времени. Например, пусть оператор задается с помощью уравнения [c.55]

Состояние однокомпонентной однородной (однофазной) и двухфазной систем определяется двумя независимыми параметрами. Исходя из термодинамического тождества TdS = dU -f pdV = dl — Vdp, любую частную производную первого порядка от характеристических функций и параметров состояния можно выразить через три другие частные производные первого порядка. Соотношения между несколькими из четырех возможных частных производных первого порядка и составляют в основном совокупность дифференциальных уравнений термодинамики в частных производных, или термодинамических соотношений. Число всевозможных термодинамических соотношений огромно. Обычно ограничиваются теми соотношениями, которые применяются наиболее часто. [c.140]

При заданных начальных условиях (2.36). произвольные постоянные вычисляются в результате решения системы п алгебраических уравнений. Для нахождения такой системы в решение (2.34) подставляются общее решение (2.35) однородного дифференциального уравнения и частное решение неоднородного дифференциального уравнения. Затем должны быть взяты (п — 1) производных от величины (О по и после подстановки i = 0 полученные выражения приравниваются к соответствующим значениям производных из начальных условий (2.36). [c.41]

Корпусные детали представляют собой в основном пустотелые конструкции из однородного материала. Поэтому решение поставленной задачи может быть выполнено средствами статической и динамической теории упругости изотропного тела. Решить точно известные системы дифференциальных уравнений теории упругости в частных производных для таких пространственных тел, какими являются корпусные детали, в настоящее время не представляется возможным. Точное решение задачи теории упругости пока получено при некоторых частных видах нагружения только для полупространства, бесконечного слоя, шара, цилиндра и др. [40]. [c.13]

Уравнения движения Якоби для консервативной системы. Пусть данная материальная система без неинтегрируемых дифференциальных связей консервативна пусть связи её не зависят явно от времени, а активные силы имеют однозначную силовую функцию U, зависящую только от координат. При выполнении первого условия, как мы видели ( 189), систему можно отнести к таким независимым координатам, чтобы кинетическая энергия системы представилась однородной функцией второй степени от скоростей с коэффициентами, не зависящими явно от времени. Обобщённые силы, являющиеся частными производными от силовой функции, тоже в нашем случае не содержат явно времени. Следовательно, время явно не войдёт и в выражение лагранжевой функции, а также в уравнения движения (33.42) или (32.48) и в те функции, которые мы в предыдущем параграфе обозначили Р . Поэтому, когда систему уравнений (32.48) мы заменим системой уравнений первого порядка [c.335]

Имея в виду свойство общего решения v = v Q)- - Vщ + -f СзЦ(2)+ СзВ(з) однородного дифференциального уравнения, соответствующего уравнению (12.123), отмеченное в табл. 12.8, а также свойство частного решения (12.138) обращаться вместе со своими п — 1 производными (я = 4) в нуль при 2 = 0, получаем механическую трактовку каждой из постоянных интегрирования. [c.221]

Итак, установлена замкнутая система линейных однородных уравнений устойчивости слоистых композитных оболочек. Записанная в вариациях обобщенных перемещений система состоит из пяти дифференциальных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными j S относительно пяти искомых функций и , и . И", TTj. Ее порядок от числа слоев оболочки не зависит и равен 12, что соответствует количеству задаваемых для нее краевых условий (3.3.6). Зависимость коффициентов этих уравнений от параметра внешних нагрузок проявляется через характеристики основного состояния (перемещения, деформации, усилия) и в общем случае нелинейна. Задача заключается в определении таких значений этого параметра, при которых линейная однородная система уравнений устойчивости, подчиненная надлежащим однородным краевым условиям, допускает нетривиальное решение. Этими значениями параметра нагрузок определяются критические точки, которые, согласно существующей классификации [45, 51 ], могут быть двух типов — точки бифуркации и предельные точки. При переходе через точку бифуркации может теряться устойчивость по типу разветвления форм равновесия. Переходу через предельную точку соответствует скачкообразный переход от одной равновесой формы к другой [45, 51 ]. [c.61]

В книге сделана попытка дать новое, более наглядное изложение предложенного Мором графического метода представления напряжений и бесконечно малых деформаций. С этой целью автором широко использовано понятие об октаэдрических составляющих напряжений и бесконечно малых деформаций, с помощью которых многие важные факты в теории пластичности нашли простое выражение. Автор надеется, что инженеры и физики будут шире пользоваться этим методом, весьма удобным для наглядного представления тензоров напряжения и деформации и для анализа критериев прочности и пластичности в твердых телах. Одна из глав посвящена векторному аппарату исследования геометрии напряжений и конечных однородных деформаций. Ее можно рассматривать как попытку познакомить читателя, имеющего математические склонности, с основами теории линейных вектор-функций в ее применении к теории деформаций непрерывной среды и с использованием диадного исчисления Гиббса. Удивительно, что простота, совершенство формы и ясность изложения, которые достигаются при пользовании этим методом, не встретили до сих пор широкого признания в литературе по прикладной механике. В гл. XIV автор следовал изложению книги Вилсона Векторный анализ . Хотя присущие диадному исчислению эвристические достоинства и не требуют рекомендаций для механиков, все же нужно добавить, что этот прием не заключает в себе каких-либо преимуществ перед другими методами в качестве средства для нахождения конкретных решений дифференциальных уравнений в частных производных. [c.6]

Согласно Р. Мпзесу ), составляющие перемещений для плоской пластической деформацпи при неоднородном напряженном состоянии можно определить прп помощи функции тока ф (подобно тому, как это было показано в случае однородного напряженного состояния для составляющих и , Му в прямоугольной системе координат). Функция тока должна удовлетворять дифференциальному уравнению в частных производных гиперболического типа [c.625]

В основе спектрального метода лежит стандартный математический аппарат, позволяющий приближенно решать дифференциальные уравнения в частных производных. Решение ищется в виде разложения по ряду базисных функций от пространственных переменных с конечным числом членов ряда п. Эффективный способ применения спектральных методов к решению нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих гидродинамические процессы, предложен Орсегом 30]. Преимуществом спектрального метода является возможность точного удовлетворения граничных условий при правильном подборе базисных функций, впрочем, только для областей с простой геометрией. Кроме того, этот метод в определенных условиях позволяет получить более точное решение по сравнению с методом, основанным на интегрировании по контрольному объему. Однако применение спектрального метода к решению системы уравнений Навье—Стокса встречает значительные трудности. Число базисных функций п вычисляется как отношение наибольшего характерного геометрического масштаба поля течения к наименьшему. Например, в случае течения в ограниченной области пространства наибольший масштаб имеет порядок размеров этой области, а наименьший определяется толщиной вязкого слоя вблизи стенки. Для сложных пространственных задач и течения с большими числами Рейнольдса указанное отношение может быть достаточно велико. Очевидно, ошибка численного решения уменьшается с ростом числа базисных функций п. Приемлемая точность решения часто не может быть достигнута из-за непомерно возрастающего с ростом п объема вычислений. Кроме того, при применении спектрального метода ошибка решения носит глобальный характер (т.е. появление погрешности решения в какой-либо точке приводит к распространению ошибки на всю область независимых переменных). С увеличением степени нелинейности уравнений эффективность спектральных методов снижается. Поэтому спектральные методы используются в основном для исследования однородной или изотропной турбулентности или для расчета течения в областях простой формы. [c.197]

Уравнения Риккати встречаются во многих задачах, особенно широко они стали использоваться в последние 25 лет в системном анализе и теории управления. Характерные, но ни в коем случае не исчерпывающие примеры применения уравнения Риккати можно найти в обычных классических учебниках по оптимальному управлению (см. работы II—51 и ссылки в них) и фильтрации (см. работы [3, 5—8] и ссылки в них). Одним из лучших учебников по математическим аспектам этой проблемы является работа Рейда [91, в которой наряду с вопросами управления и оценки рассматриваются приложения к дифференциальным уравнениям с частными производными, однородным и неоднородным линиям передачи, диффузионной проблеме Мицельского—Паш-ковского и теории переноса нейтронов. Последняя задача является иллюстрацией той роли, которую играют уравцёния Риккати в методе инвариантного погружения (см. работы [10,111 и ссылки в них). Детали использования этих уравнений в решении двухточечных краевых задач рассматриваются, в частности, в работах Денмана, Бремли и К асти. [c.248]

Как известно, решение дифференциального уравнения второго порядка в частных производных типа = F с однородным краевым условием Дирихле t/ = О (на границе области) приближенно может быть представлено в виде [c.62]

Уравнение (5) представляет сложное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных относительно неиз-иестной функции граничных условиях представляет непреодолимые трудности. Как это уже было сделано в гл. IV при рассмотрении одномерного нестационарного движения, попытаемся линеаризировать уравнение (5). сделав предположение, что в рассматриваемом движении поле скоростей. плотностей, давлений и др. мало отличается от некоторого однородного движения со скоростью V , плотностью р , давлением и т. д. [c.325]

Уравнение (5-38) является линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с частными производными. Его общее решение удобно представить в виде суммы частных решений. Следуя Д. Р. Чепмену и М. В. Рубезину [Л. 65], запишем частное решение в виде [c.166]

В гл. I было выведено дифференциальное уравнение теплопроводности, которое устанавливает зависимссть между температурой, временем и координатами тела для бесконечно малого объема. Это уравнение является линейным, однородным дифференциальным уравнением второго порядка с частными производными. [c.44]

Задача отыскания группы G приводится к интегрировалию некоторой системы однородных дифференциальных уравнений W с частными производными первого порядка (которую не выписываем) для функций Щх), получаемой из требоваиия выполнения (25.7) при условии, налагаемом (Л). Отыскание решения системы W может оказаться не менее сложным, чем исходной, но в ряде случаев решение может быть получено. [c.243]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...