Периодические волновые пакеты

Исследования Стокса волн на воде (первая публикация [1] в 1847 г.) положили начало нелинейной теории диспергирующих волн. Именно в этой работе, намного опередив другие исследования в данной области, он получил следующие фундаментальные результаты во-первых, в нелинейных системах могут, существовать периодические волновые пакеты и, во-вторых, дисперсионное соотношение содержит амплитуду. Зависимость от амплитуды приводит к важным качественным изменениям в поведении решения и вводит новые явления, а не только численные поправки. [c.453]

Следует также отметить, что выражение (13.118) можно рассматривать как ряд Фурье для периодического волнового пакета и эту общую структуру можно считать заданной с самого начала. [c.455]

Другим характерным следствием нелинейности является существование уединенных волн. Волны с такими профилями в линейной теории диспергируют, но нелинейность уравновешивает дисперсию и приводит к волнам неизменной формы. Уединенные волны были обнаружены сначала как предельные случаи периодических волновых пакетов недавние исследования их взаимодействия и образования из произвольных начальных распределений показали, что их особая структура имеет самостоятельное значение. Мы вернемся к этим вопросам в гл. 17. [c.466]

Проверим сначала существование периодических волновых пакетов. Для того чтобы их получить, положим, как обычно, [c.468]

В случае уравнения Клейна — Гордона периодический волновой пакет описывается формулами (14.4) — (14.5) и содержит параметры ю, f и Л. Нужно найти уравнения, которым удовлетворяют эти параметры для медленно меняющихся волновых пакетов. Уравнение (14.1) является уравнением Эйлера для вариационного принципа [c.472]

Уравнение (14.32) — это уравнение в частных производных второго порядка для функции ф х, 1), и мы предполагаем, что оно имеет решения вида периодических волновых пакетов соответствующего типа. [c.474]

Случай большего числа зависимых переменных требует подробного рассмотрения. Прежде всего для линейной системы относительно неизвестных функций ф( (х, t) периодические волновые пакеты можно описывать выражениями [c.483]

В однородном периодическом волновом пакете и принимает постоянное значение, скажем Для малых возмущений полагаем и = Линеаризованные уравнения для таковы [c.498]

Для уравнения Sin-Гордона потенциал V ( ) — 1 — os , и можно показать, что F" (А) > О, так что периодические волновые пакеты неустойчивы. Этот результат применим к осцилляциям около состояния == О, удовлетворяющего условиям (14.6). В дальнейшем мы отметим существование спиральных волновых пакетов, в которых Ч монотонно возрастает или убывает. Они [c.498]

Периодические волновые пакеты 579 [c.579]

Параболическое уравнение 143 Перевала метод 102, 333, 336, 357 Периодическая волна с разрывами 55 ---- —, описываемая уравнением Бюргерса 112 Периодические волновые пакеты, волны на воде 421, 449, 531 ---, — диспергирующие линейные 9, 15, 349 [c.610]

Если возмущение имеет периодический характер, то решение представляется в виде некоторой линейной комбинации гармонических функций, а любое апериодическое возмущение может быть представлено в виде некоторой линейной комбинации волновых пакетов. [c.137]

Чтобы обеспечить аналогию между этим новым сценарием и дифракцией, на рис. 4.7, а представлены прямоугольная функция и преобразование от нее, обозначенные теперь в соответствии с новой переменной. Однако, как мы уже знаем, основная компонента прямоугольной функции не периодическая (т.е. нулевой частоты) с постоянной амплитудой, вследствие чего функция полностью положительна. Более подходящим примером для рассмотрения световых волн является пара преобразований на рис. 4,7,6. Здесь показана чистая синусоидальная волна с частотой Vi, представленная в виде цуга конечной продолжительности и длины. Она имеет амплитудно-частотное распределение, размытое около V] так, что суммирование дает группу волн (или волновой пакет), которая представляет собой профиль в пределах цуга, но суммарная амплитуда равна нулю с любой стороны от него. Если цуг длинный, то частотное размытие невелико и наоборот, т. е. взаимосвязь здесь такая же, как в случае с парой пространственного преобразования Фурье. Строго говоря, монохроматический свет предполагает наличие цугов бесконечной длины, но это условие физически не выполнимо, поскольку свет излучается атомами дискретно, в виде фотонов в результате все спектральные линии имеют конечную ширину. Если на рис, 4.7, б ширина частотного распределения взята в основном в пределах Vi + 5v, то мы имеем [c.77]

Эксперименты по эффекту коллапса и возобновлений ясно указывают на корпускулярную структуру поля излучения, другими словами, на то, что число фотонов п дискретно. В самом деле, возобновления, то есть периодическое повторение значений инверсии через целые кратные величине Т интервалы времени, не могли бы происходить, если бы п не было дискретным. Из предыдуш,его обсуждения и из анализа динамики волнового пакета в гл. 9 следует, что эффект коллапса возникает, как только суммирование по п заменяется интегрированием. Эффект возобновления проявляется только тогда, когда мы сохраняем свойство дискретности, используя формулу суммирования Пуассона. [c.498]

Отметим, что, хотя волновой пакет сформирован из волновых функций частицы в периодическом поле, он перемещается с постоянной скоростью, как бы не замечая периодическое поле. Это обстоятельство является следствием квантовой природы электронов. [c.37]

В конце 8.1 отмечалось, что нелинейную периодическую волну можно рассматривать как волновой пакет, состоящий из сильно связанных плоских волн. Между амплитудами этих волн йп существует сильная корреляция. Она формально выражается в том, что все а являются определенными функциями двух параметров Я и к. Далее будем считать нелинейность [c.148]

Итак, случайное блуждание квантовой частицы можно рассматривать как диффузию волнового пакета с вероятностью распределения р 1, его центра тяжести, эволюция которой определяется уравнением (143). Распределение по скорости V можно считать максвелловским, а квадрат ширины х ) периодически то сжимается до после удара, то расширяется до величины перед следующим ударом. [c.139]

Как мы знаем, волновые пакеты атомов испытывают периодические пульсации во времени. Сразу после коллапса зависимость волновой функции от X выглядит как ехр(-х /2й ), где координата х отсчитывается от центра волнового пакета. Перед повторным коллапсом зависимость от х (в среднем) становится равной ехр[-х /2й (1 -ь i)], где = Ьх/т. Таким образом, каждый коллапс можно описать в виде умножения волновой функции атома на формфактор ф = ехр —х /2Ь — i). [c.315]

Глава 6. Модулированные колебания, импульсы и волновые пакеты. В главах 1—5 мы имели дело главным образом с единственной частотой (за исключением п. 2.3, посвященного фурье-анализу). В этой главе рассмотрена суперпозиция различных частот, образующая импульсы и волновые пакеты, и фурье-анализ (введенный в п. 2.3 лишь для периодических функций) распространяется и на непериодические функции. Большая часть физики содержится в трех первых пунктах. [c.13]

Мы получили новое уравнение Шредингера, которое отличается от (21.10) тем, что в него уже не входит в явном виде периодический потенциал V (г). Для этого введен новый эквивалентный оператор Гамильтона вместо оператора кинетической энергии для свободных электронов. Это уравнение точно указывает на свойства квазичастицы —электрона в кристалле. Периодический потенциал включен в свойства электрона. Волновой пакет электрона ведет себя в электрическом поле как свободная частица с зарядом —е и с дисперсионным соотношением Е (к) между энергией и волновым вектором. Соотношение Е к) заменило теперь выражение Е=й к /2т для свободных электронов, а вторая производная функции Е к) (см. (20.11)) заменила обратную массу свободного электрона. [c.94]

Движение электронов в твердом теле под действием внешних сил мы опишем, задав их положения и импульсы (Л-векторы) как функции времени. Это, однако, требует некоторого ограничения. Для описания движения электрона мы строим волновой пакет из одночастичных состояний. Такой пакет имеет некоторую протяженность в геометрическом пространстве и в Л-пространстве. Его среднее сечение Дг в геометрическом пространстве связано с его протяженностью Ак в Л-пространстве соотношением неопределенности ДлД/г=1. Если мы хотим построить волновой пакет в Л-пространстве так, чтобы его размеры были малы по сравнению со средним радиусом зоны Бриллюэна (порядок постоянной обратной решетки), то его протяженность в геометрическом пространстве будет велика по сравнению с постоянной решетки. Мы должны потребовать, чтобы внешние поля (или другие параметры, влияющие на электрон, как-то температурный градиент или неоднородности) практически не изменялись на ширине волне вого пакета. Движение электрона в быстро изменяющихся полях ионов решетки мы таким способом описать не можем. Поэтому мы построим волновой пакет из блоховских функций, которые уже содержат взаимодействие электрона с периодическим потенциалом решетки. Мы должны соблюдать это условие, когда речь идет об одном электроне в точке г с Л-вектором в Л (в зоне п). [c.208]

Поскольку дальше речь пойдет лишь о квазигармонических модулированных волнах, оговоримся здесь о существовании в общем случае гораздо более широкого класса модулированных волн — несинусоидальных (и даже не обязательно периодических) волн с медленно изменяющимися параметрами. Как мы уже знаем, поведение волны в нелинейной среде зависит от соотношения параметров дисперсии О и нелинейности N. Когда N < В, волна будет квазигармонической, ее гармоники будут бежать с существенно различными скоростями (нет синхронизма) и потому эффективно основной волной возбуждаться не будут т. е. не повлияют существенно на ее форму. При этом волну можно записать в виде А(г, ) ехр(г ) - - к. с., где А — медленно изменяющаяся амплитуда, а ф — полная фаза (эйконал). В рамках такого описания можно построить нелинейную геометрическую оптику (по поводу линейной геометрической оптики см. [5] и гл. 12), в которой уравнения для амплитуды волны и полной фазы в отличие от линейной задачи оказываются связанными. При этом характер модуляции волны в процессе распространения зависит от ее амплитуды (это само-воздействие именно к такому классу явлений относятся упоминавшиеся самофокусировка волновых пучков и самомодуляция, приводящая к образованию волновых пакетов). [c.411]

Теперь можно задать вопрос каким будет поведение электрона, если кроме периодического потенциала самой решетки на него действует еще некоторое внешнее поле Пусть Р — внешняя сила тогда изменение во времени энергии построенного нами волнового пакета будет [c.78]

Для вычисления отклика неоднородного полупроводника на приложенный внешний электростатический потенциал и даже для расчета распределения электрического заряда в отсутствие приложенного потенциала почти всегда используют полуклассическую модель, описанную в гл. 12. Когда потенциал ф (х) налагается на периодический потенциал кристалла, электроны п-ш зоны можно рассматривать (в полуклассической модели) как классические частицы (т. е. волновые пакеты), описываемые гамильтонианом [c.212]

В заключение следует указать, что прежняя квантовая теория вообще могла сделать определённые высказывания о стационарных состояниях только в частном случае многократно периодических систем, тогда как в волновой механике проблема собственных значений имеет решение всегда. Даже и в этом общем случае, как мы видели, всегда можно построить волновые пакеты, которые движутся вдоль траекторий классической механики. С те- [c.164]

Уравнения (1.36) находятся в замкнутом виде без дальнейших упрощений и выражаются через эллиптические функции Якоби. Поскольку решения / (0) выражаются через эллиптический Косинус СП 0, они называются кноидалъными волнами. Эта работа подтверждает общие выводы работы Стокса. Во-первых, существование периодических волновых пакетов с произвольной амплитудой а проверяется непосредственно. Во-вторых, это решение дает конкретное дисперсионное соотношение между со, х и а, причем главным нелинейным эффектом снова является то, что в это соотношение входит амплитуда. [c.20]

Прежде всего следует обсудить вопрос о том, как развить далее подтверждаемый многими примерами общий результат Стокса существование периодических волновых пакетов является типичным свойством нелинейных диспергирующих систем. Эти решения являются аналогом решений вида (1.3) в линейной теории, но теперь уже не действует принцип суперпозиции. Однако, как уже было указано в связи с формулой (1.26), многие важные результаты линейной теории основываются на использовашш групповой скорости модулированных волновых пакетов. При этом переход к интегралу Фурье несуществен, так что можно построить теорию нелинейной групповой скорости. Соответствующие рассуждения проводятся в гл. 14 на основе уже упоминавшихся вариационных принципов. Зависимость дисперсионных соотношений от амплитуды приводит к ряду новых эффектов (например, к наличию двух групповых скоростей), которые обсуждаются в общем виде в гл. 15. Кроме исходных задач о поведении волн на воде, одной из главных областей приложения теории является нелинейная оптика, новая быстро развивающаяся область. Ряд приложений к обеим областям дается в гл. 16. [c.21]

Нелинейные эффекты, обнаруженные при изучении волн на воде, характерны для общих диспергирующих систем. Периодические волновые пакеты, подобные волнам Стокса и Кортевега — де Фриза, найдены для большинства систем и являются исходными решениями, аналогичньши элементарным решениям в ли- [c.466]

Когда со 2 ) С О, характеристики мнимы и система эллиптическая. В контексте волнового распространения это приводит к некорректно поставленньш задачам. Кроме всего прочего, это означает, что малые возмущения будут со временем расти и в этом смысле периодический волновой пакет неустойчив. Эллиптический случай не является чем-либо необычным, и теория модуляций дает интересный подход к некоторым аспектам теории устойчивости. [c.471]

Уравнения (14.49) и (14.51) — это обыкновенные дифференциальные уравнения, описывающие однородный периодический волновой пакет, но с той разницей, что параметры V, А и Л теперь являются функциями от X и Т . Зависимость от 0 в точности та же, что и для периодического волнового пакета зависимость параметров v,feи 4oтXи Т обеспечивает модуляцию. Явное отделение переменной 0 от X и Г автоматически позволяет интегрировать по 0 при фиксированных к ж А теперь ясно, что интегрирования в (14.25) и (14.26) проводятся именно в таком смысле. [c.477]

Как было указано в 14.2, периодические волновые пакеты в определенном смысле неустойчивы, когда уравнения модуляций зллиптические. Чтобы убедиться в этом, заметим, что уравнения модуляций имеют следующий общий вид [c.498]

В гиперболическом случае а > О такие предельные уединенные волны отсутствуют, но можно найти периодические волновые пакеты и уединенные волны с амплитудой а, отделенной от нуля. Это похоже на истину, поскольку при ст > О модуляции в гиперболической теории (е = 0) приводят к искажениям, но не нарастают. Дисперсия может противодействовать этим искажениям и привести к стационарным профилям, и нет причины для возрастания, ведущего к предельному случаю с а = 0. Наличие таких профилей подтверждает существующее мнение, что в некоторых случаях не происходит опрокидывания, и в области опрокидывания волновой пакет стремится к стационарному осциллирующему профилю. [c.507]

Рис. 9.2. Экспериментальные данные по автокорреляционной функции t) = = ф 1) ф 0)) атомного волнового пакета. Из (а) видно, что на ранней стадии t) почти периодична с периодом Т = 15,3 пс, соответствующим типичному расстоянию между соседними энергетическими уровнями. Однако при больших временах эта периодичность исчезает и возникает новое явление на временных масштабах, являющихся долями другого характерного времени Т2 Т, система вновь становится периодической — явление, называемое дробными возобновлениями. Период составляет теперь долю промежутка времени Т. В непосредственной близости к моменту времени Т2 = 474 пс сигнал даже успевает почти полностью восстановить свою форму, приводя к полному возобновлению. Кроме того, как показано на рис. б, периодическое поведение с периодом Т возникает вблизи момента времени Т2/2 = 237 пс, но в этой области структура сигнала сдвинута на Т /2 по отношению к начальной. Такие дробные возобновления имеют асимметричную форму с быстрым затуханием с одной стороны и медленным осциллирующим падением с другой. Взято из работы J. Wals et а/., Physi a Ser. 1995. V. Т58. P. 62

При падении плоской световой или де-бройлевской волны на периодическую структуру, например, механическую решётку, возникает периодическая цепочка волновых пакетов. Картина распределения интенсивности света или атомов после прохождения зешётки вытекает из принципа суперпозиции волновых пакетов, заспространяюш,ихся в соответствии с функцией Грина свободной частицы. Получаюш,иеся узоры проявляют примечательную регулярность. В частности, суш,ествует расстояние от решётки, на котором воспроизводится исходная цепочка волновых пакетов. Кроме того, на определённых долях этого расстояния исходная цепочка имеет меньший период. Это явление называется эффектом Тальбота. Оно экспериментально наблюдалось для света и атомов. [c.286]

Рис. 16.5. Динамика модели Джейнса-Каммингса-Пауля, представленная (Э-функцией поля (вверху) и инверсией атомных населённостей (внизу), для двух интервалов времени. На начальной стадии (левая колонка) (Э-функция поля вращается в фазовом пространстве, что приводит к периодическому появлению инверсии. Этот эффект соответствует классическому периодическому движению волнового пакета для механического осциллятора. На языке модели Джейнса-Каммингса-Пауля такое периодическое поведение называется возобновлением. Отметим, что в области дробных возобновлений (правая колонка) вблизи t = (1/3)Т2/2 (Э-функция поля имеет больше пиков, и периодичность инверсии меняется. Взято из работы I.Sh. Averbukh, Phys. Rev. A. 1992. V. 46.

На рис. 16.5 показана эволюцию во времени инверсии для случая, когда функция распределения чисел фотонов Шп резонаторного поля локализована вблизи достаточно большого среднего значения 1. Эта картинка была получена численным расчётом суммы (16.8), которая определяет атомную инверсию в модели Джейнса-Каммингса-Пауля. Отметим, что инверсия, действительно, показывает то же самое поведение, что и волновой пакет, рассматривавшийся в гл. 9. После режима осцилляций с убываюш,ей амплитудой инверсия исчезает на достаточно большой промежуток времени, но периодически возобновляется. Периодическое возобновление инверсии в литературе называют возобновлениями Джейнса-Каммингса. Эти возобновления становятся шире, а их амплитуды уменьшаются. [c.496]

В приведенных здесь рассуждениях переход 7 —> оо предполагает г 0. Разумеется, реальные физические измерения не могут быть проведены мгновенно на величину т всегда должно быть наложено некоторое ограничение снизу [67, 70-72]. Однако не этот вопрос нас интересует в первую очередь. Главным является вопрос о том, действительно ли промежуточные коллапсы необходимы для квантового эффекта Зенона Как видно из приведенных выше рассуждений и цитированной литературы, промежуточные коллапсы не обязательны. Если в схеме рис. 17а периодически открывать заслонку и выпускать частицу из правой ямы наружу, то волновая функция в этой яме периодически будет сбрасываться до нуля даже в отсутствие измерений. Открывание заслонки и испускание волнового пакета исключает последующую интерференцию остатка волновой функции в правой яме с вновь приходящим возмущением волновой функции из левой ямы. Главным является разрушение интерференции, и это разрушение может быть вполне регулярным и не связанным с уничтожением той или иной компоненты волновой функции при измерении. В последующих разделах мы познакомимся с процессами коллапсирования в системах с многими частицами. Там эти коллапсы играют принципиальную роль. [c.200]

Модель непрерывного коллапсирования является слишком упрощенной. Поэтому представляет интерес рассмотреть более реалистичный случай последовательных коллапсов. Но и при этом разумно пойти на некоторые упрощения. Прежде всего представим себе траекторию пробной частицы в виде некоторой ломаной линии. Удобно эту линию распрямить и уложить вдоль оси X, пренебрегая некоторыми тонкостями поведения волновых пакетов вблизи точек рассеяния. Далее, можно приближенно принять, что последовательные рассеяния происходят не по закону случая, а в точности на расстоянии Я друг от друга. И наконец, пренебрежем изменениями скорости частиц при переходе от одного отрезка свободного движения к другому, полагая = тщ/ti, где щ — средняя тепловая скорость. Кроме того, оставим пока свободным параметром величину ширины пакета Ь при каждом из коллапсов. Итак, мы приходим к задаче периодического коллапсирования, так что достаточно рассмотреть лишь один период, когда волновая функция испытывает коллапс (204) с Л = Ь VI при г = О и подходит к следующему коллапсу при t = A/vq. [c.217]

Хотя периодический потенциал решетки играет решающую" роль в полуклассиче-ских уравнениях [он определяет вид функции (к)], эта роль совершенно иная, чем у силы, зависяш,ей от координат. Чтобы найти реакцию на силу с периодичностью решетки, следовало бы локализовать электрон в пределах одной элементарной ячейки. Подобная локализация несовместима с характером используемого в полуклассической модели волнового пакета (см. фиг. 12.1), который размазан на много элементарных ячеек. [c.222]

Путём суперпозиции нескольких собственных функций в области больших квантовых чисел можно легко построить волновой пакет, который совершает периодическое движение вблизи классического пути. Этот пакет описывает состояние, при котором приближённо существует траектория частицы ). Пусть пакет охватывает состояния от п — к до п к. Время t, в течение которого пакет проходит мимо определённого места, обладает неточностью Д/, задаваемой выражением [c.162]

Существенно, что знание фазы периодического движения частицы и знание стационарного состояния взаимно исключают друг друга. Фаза движения частицы (на траектории) в стационарном состоянии не существз ет, ибо каждая попытка обнаружить её перебрасывает систему в другое стационарное состояние. Только в предельном случае больших квантовых чисел плотность группы волн из многих стационарных состояний может изменяться с течением времени в согласии с классической траекторией. Эта возможность вытекает уже и следующих простых соображений. Вследствие соотношений неопределённости волновой пакет в фазовом пространстве занимает по крайней мере площадь /г, тогда как классическая траектория с энергией Е , п-го состояния, охватывает в фазовом пространстве площадь пН. Только если п больиюе число, эта площадь велика по сравнению с /г. Только в этом случае, следовательно, действительно может существовать пакет плотности, совершающий обращение по классическому пути. [c.163]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...