О статистическом описании состояния системы

О СТАТИСТИЧЕСКОМ ОПИСАНИИ СОСТОЯНИЯ СИСТЕМЫ [c.15]

Описание состояния системы частиц, находящихся в силовом поле, посредством статистических понятий и закономерностей получается обобщением подобного описания для свободных частиц. Очевидно, эти понятия и законы должны быть внутренне непротиворечивы и содержать в себе, как предельный случай, понятия и законы классической механики точечных частиц. Кроме этих общих требований, только успех может решить вопрос о пригодности определённых предпосылок. Для случая одной частицы и при пренебрежении релятивистскими поправками исходные предпосылки можно формулировать следующим образом [c.42]

Решение этих уравнений одновременно со статистическим описанием турбулентного потока представляет нелегкую задачу. Чтобы получить некоторое представление о свойствах системы, решалась стационарная задача, т. е. рассматривались не вероятности нахождения частицы в некотором состоянии в любой момент времени, а следствия этого. Кроме того, точность количественных соотношений ограничивалась порядком величины. [c.61]

Неполнота начальных данных заставляет вводить статистическое описание. Система описывается совокупностью точек фазового пространства г о — чистых состояний, каждое из которых характеризуется статистическим весом. Пусть начальные состояния распределены с плотностью вероятности Во(г о) = О хо, о)- Распределение состояний системы в момент времени I определяется плотностью вероятности [201,202] [c.306]

В заключение отметим, что имеются два типа средних значений. Первый возникает в рамках квантовой механики и следует из того, что квантовое состояние допускает только статистическое описание. Второй тип средних значений чисто классический. Он отражает тот факт, что у нас нет полной информации о системе, мы даже не знаем, в каком квантовом состоянии система находится. В результате возникает усреднённая матрица плотности р. В то время, как в первом случае можно описывать состояние системы вектором состояния, во втором следует обратиться к формализму матрицы плотности. Иногда векторы состояний называют чистыми состояниями, а усреднённые матрицы плотности описывают смешанные состояния В оставшейся части книги мы не будем делать различий между р и р, и станем писать р даже тогда, когда будем иметь дело со смешанными состояниями. [c.69]

Все рассмотренные в предыдущих главах явления и эффекты относятся к разряду регулярных — это колебания или волны в системах или средах без флуктуаций, не требующие для своего описания статистических методов. Накопленный нами опыт и интуиция говорят о том, что в динамической системе, описываемой регулярными уравнениями, ничего нерегулярного, случайного, стохастического быть не может. Да и откуда взяться случайности, если задан однозначный алгоритм поведения, определяющий при конкретных начальных условиях однозначное будущее системы на сколь угодно больших временах Конечно, если система очень сложна — обладает большим числом степеней свободы (например, газ в сосуде), мы понимаем, что детерминированное описание теряет смысл (но в принципе возможно). Оно теряет смысл хотя бы потому, что невозможно задать точно начальные координаты и скорости всех, скажем, 10 молекул, находящихся в 1 см газа. Кроме того, ни одной ЭВМ не под силу расчет траекторий такого числа частиц с учетом их столкновений друг с другом. В простой системе, когда степеней свободы немного (например, п 10), такой проблемы не возникает. Задав 2п чисел, описывающих начальное состояние системы, мы, как кажется, можем вычислить (пусть с помощью ЭВМ) ее состояние в сколь угодно далеком будущем. О каком же стохастическом поведении простых систем мы собираемся вести разговор Как может появиться случайность и, следовательно, непредсказуемость вопреки теореме существования и единственности, гарантирующей при заданных начальных условиях однозначное детерминированное поведение [c.456]

Как и в равновесной теории, при описании необратимых неравновесных процессов (в частности, приближение статистической системы к состоянию равновесия) важную, принципиальную роль играет статистический предельный переход У->оо, М- оо. [c.179]

Смешанные квантовые ансамбли. Описание многочастичных систем на основе решения уравнения Шредингера является столь же безнадежной задачей, как и описание классических многочастичных систем на основе решения уравнений Гамильтона. С математической точки зрения ясно, что точные решения уравнения Шредингера в большинстве случаев не могут быть получены в явном виде. Физическая же причина невозможности динамического описания состоит в том, что невозможно экспериментально привести макроскопическую систему в чистое квантовое состояние. Кроме того, реальные системы не являются полностью изолированными и в гамильтониане никогда не удается учесть вклад всех степеней свободы, связанных с внешним воздействием на систему. Поэтому в квантовой статистической механике приходится вводить ансамбли более общего типа, чем чистые ансамбли, а именно, — смешанные ансамбли (или смеси ), которые основаны на неполном наборе данных о системе. [c.26]

В параграфе 2.1 уже обсуждалось лежащее в основе кинетического описания системы предположение о том, что неравновесное состояние может быть задано одночастичной функцией распределения fi x t) = /i(r,p, t). Тогда, согласно методу неравновесного статистического оператора, Д/ -частичная функция распределения д х , t) =. .., Ждг, ) должна выражаться в виде функционала от fi x,t). В соответствии с подходом, развитым в параграфе 2.3, первым этапом должно быть построение квази-равновесной Д/ -частичной функции распределения Qq x соответствующей максимуму информационной энтропии при заданной fi x,t). Это распределение уже было получено нами в разделе 2.2.2 в виде (2.2.32). Истинная неравновесная Д/ -частичная функция распределения д х t) = (ж ,..., Ждг, ) находится как решение уравнения Лиувилля с нарушенной симметрией относительно обращения времени [c.164]

Предположим, что суммирование по 5 в (4.3.30) ведется в пределах 1 < 5 < ш. Тогда в квазиравновесном состоянии приведенные матрицы плотности при s <т рассматриваются как независимые неравновесные величины, а матрицы плотности более высокого порядка выражаются через них. Частный случай ш = 1 соответствует граничному условию Боголюбова, согласно которому все приведенные матрицы плотности в отдаленном прошлом выражаются через одночастичную. Если в формуле (4.3.30) мы положим 5 = О при 5 > 3, то получим статистический оператор для квазиравновесного ансамбля, в котором заданными величинами являются одночастичная и двухчастичная матрицы плотности. Этот ансамбль описывает важные долгоживущие корреляции, например, связанные двухчастичные состояния ). Эволюция системы описывается системой уравнений для одночастичной и двухчастичной матриц плотности. Здесь мы не будем излагать эту довольно сложную теорию, а рассмотрим один частный, но важный пример обобщенного квазиравновесного статистического оператора, который соответствует объединению кинетического и гидродинамического описаний квантовых процессов [128]. [c.289]

Теперь можно ввести понятие равновесия. Мы будем говорить, что две системы (в описанных выше предположениях) находятся в состоянии равновесия, если при приведении в контакт распределение дохода между ними не изменяется, т.е. нет потока дохода от одной системы к другой. Контакт здесь снова понимается как открытый список возможных способов перераспределения. Заметим, что подсчет статистического веса может быть произведен при самых разнообразных ограничениях, наложенных на доходы экономических субъектов, т.е. для различных систем функции п Е М) могут быть различными. Здесь пока не идет речь о рынке — модель более простая. Ограничения на [c.40]

Ф ЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО в статистической физике, многомерное пространство, осями к-рого служат все обобщённые координаты и импульсы р-, ( =1, 2,. .., М) механич. системы с N степенями свободы. Т. о., Ф. п. имеет размерность 2N. Состояние системы изображается в Ф.п. точкой с координатами 51, р , i(fi, рц, а изменение состояния системы во времени—движением точки вдоль линии, называемой фазовой траекторией. Точки, соответствующие определ. значению энергии системы, образуют в Ф. п. (2JV- 1)-мерную поверхность, делящую пространство на две части — более высоких и более низких значений энергии. Поверхности разл. значений энергии не пересекаются. Траектории замкнуюй системы (с пост, значением лежат на этих поверхностях. В принципе траектория может быть рассчитана на основе законов механики, такой расчёт можно осуществить практически, если число частиц системы не слишком велико. Для статистич. описания состояния системы из мн. частиц вводится понятие фазового объёма (элемента объёма Ф. п.) и функции распределении системы — вероятности пребывания точки, изображающей состояние системы, в любом элементе фазового объёма. Понятие Ф.п.— основное для классич. статистич. физики (механики), изучающей ф-ции распределения системы из мн. частиц. Д. Н. Зубарев. ФАЗОВОЕ ПРОСТРАНСТВО в теории динамических систем—абстрактное пространство, ассоциированное с конкретной динамич. системой, точки в к-ром однозначно характеризуют все возможные состояния данной системы. Предполагается, что это пространство снабжено естеств. определением меры (расстояний, площадей и т. д.). [c.267]

Необходимо сделать замечание о том, в какой связи находится статистика уровней с понятием ансамбля в обычной статистической физике. Система уровней стохастической части спектра не может быть таким же представителем ансамбля, как, например, какое-либо состояние системы многих тел ). Отказ от точного описапия производится не для системы уровней, а для реальной физической системы, в которой имеются очень сложные взаимодействия и энергетический спектр которой надо определить. Возбужденные молекулы в состоянии, близком к предиссоциации, являются примером такой системы, и точное определение состояний молекул в этом случае является столь же бессмысленным, как и определение одновременно координат большого числа частиц. Энергетический спектр возбужденных молекул является некоторой более тонкой характеристикой системы, и вероятностное описание состояний системы автоматически порождает появление вероятностных свойств в энергетическом спектре. Например, для биллиардов, являющихся А-системами, статистический ансамбль могли бы образовывать такие же биллиарды с небольшим разбросом в их геометрических характеристиках. Поскольку общий характер траекторий в биллиарде не зависит от небольших геометрических возмущений, то таким же свойством должно обладать и распределение уровней (в вероятностном смысле). Поэтому каждая конкретная геометрия биллиарда может служить представителем ансамбля, порождаюпщм соответствующую ему реализацию энергетического спектра. Различные геометрии порождают различные реализации спектра, которые и образуют статистический ансамбль энергетических уровней. [c.217]

Более серьезная помеха для определения спиновой температуры в присутствии радиочастотного поля состоит в наличии поперечной ядерной намагниченности существование последней вытекает, например, из уравнений Блоха и несовместимо с описанием статистического поведения системы спинов при помощи представления о населенностях ее энергетических уровней и тем более температуры. Когда допускается возможность использования радиочастотного поля для приведения системы спинов в данное состояние, благоразумней воздержаться от описания ее поведения при помощи температуры , после того как радиочастотное поле включено (см., однако, гл. XII). Сразу после выключения радиочастотного поля ядерная намагниченность все еще имеет поперечную компоненту и, следовательно, как показано в гл. II, матрица плотности спиновой системы имеет отличные от нуля недиагодальные элементы. Пока существуют эти недиагональные элементы невозможно строгое описание состояния системы спинов при помощи температуры и только через время порядка времени затухания этих недиагональных элементов (Гг) можно пытаться использовать понятие спиновой температуры. Интересным исключением является случай, когда система спинов подвергается действию 180°-импульса или быстрому прохождению, к концу которого нет поперечной компоненты намагниченности, а продольная намагниченность антипараллельна приложенному полю. Этот случай соответствует состоянию, когда верхний энергетический уровень населен больше, чем нижний, и, согласно определению (У.2), должен быть описан при помощи отрицательной спиновой температуры. Следует подчеркнуть, что отрицательной температуре соответствует не более холодное , а более горячее состояние, поскольку для того чтобы привести систему спинов с бесконечной температурой в состояние с отрицательной температурой, нужно сообщить ей дополнительную энергию. [c.135]

Для заданного интервала времени управления вариации указанных характеристик различны. Для того чтобы модель ОУ была адекватна реальной системе, что является необходимым условием формирования эффективных управляющих воздействий СУ, требуется коррекция параметров модели ОУ и учет изменения переменных состояния ОУ. В связи с этим необходимо, чтобы СУ могла периодически производить идентификацию параметров и переменных состояния модели ОУ. При этом порядок формирования управляющих воздействий соответствует описанному для системы координированного управления, однако через некоторый интервал времени Т, зависящий от статистических характеристик стохастических переменных, включается алгоритм идентифи1 ции и модель ОУ подстраивается под новые условия. Для моделей СЦТ по информации, хранимой в базе данных системы, и по результатам текущих измерений должны периодически оцениваться параметры трубопроводов и характеристики оборудования сети и тепловых пунктов. При формировании управляющих воздействий необходимо учитывать на основе имеющихся ретроспективных данных и текущих измерений изменения температуры наружного воздуха и тепловых нагрузок. Блоки иден-тифи1 ии должны включаться в алгоритмы управления каждого уровня иерархии СУ идентификация должна проводиться для моделей всех уровней иерархии ОУ. Частота идентификации возрастает от верхнего к нижнему уровню ОУ. [c.65]

Прежде чем переходить к другим вопросам, заметим, что модель Изинга может дать также схематическое описание жидкости. Действительно, рассмотрим так называемый решеточный гол. Представим себе, что физическое пространство разделено на большое число ячеек, центры которых, расположенные в узлах решетки, пронумерованы. В каждой ячейке может располагаться одна и только одна молекула (это условие отображает наличиетвердого ядра, размер которого, таким образом, равен размеру ячейки). Состояние системы, следовательно, задается числом заполнения каждой ячейки, причем = 1, если ячейка заполнена, и = О, если она пуста. Предполагая, что суш,ествует постоянный потенциал взаимодействия, равный —если оба соседних узла заняты, легко показать, что большая статистическая сумма такой системы имеет вид [c.361]

На протяжении всей книги неоднократно подчеркивалась важная роль термодинамического предельного перехода N оо, N/V = onst) при построении статистических ансамблей, представляющих неравновесные состояния макроскопических систем. Строго говоря, сам принцип отбора запаздывающих решений уравнения Лиувилля, которые описывают необратимые процессы, справедлив только в термодинамическом пределе ). Однако встречаются ситуации, когда система содержит большое число частиц (т. е. возможно ее статистическое описание), но имеет конечные размеры, и поэтому переход к термодинамическому пределу не соответствует физической постановке задачи ). Задачей на будущее является построение последовательной статистической теории диссипативных процессов и флуктуаций в такого рода системах. [c.282]

Рассматривая принципиальные пороки попыток построения статистической физики на классической основе, мы не только отказываемся от исследования вопроса об интерпретации квантовых статистик, но и оставляем в стороне все соображения, связанные с тем, что сами классические понятия приложимы лишь внутри определенных границ, т. е. приложимы лишь к анализу связи опытов определенного типа. Например, опыт, точно определяюш ий все координаты и импульсы частиц, т. е. состояние системы как точки фазового Г-пространства, неизбежно наткнется на квантовые ограничения. Вопрос о том, в какой мере для описания статистических систем можно пользоваться классическими понятиями и в какой мере связь последовательных во времени опытов подчиняется классической механике, будет указано ниже. На основании сказанного в настоящей главе мы можем лишь притти к выводу, что вероятностные законы статистической механики основаны на существенно неклассических свойствах статистических систем (хотя в качестве необходимых условий применимости статистики могут входить и классические условия см. 5 настоящей главы). [c.132]

В частности, при построении Максвелла мы пользуемся теми участками изотермы, которые были исключены из рассмотрения, так как им не соответствуют физические состояния. Здесь было бы неуместно критиковать построение Максвелла за логическую непоследовательность если бы мы придерживались строго логического построения, то уравнение состояния ван дер Ваальса не следовало бы даже обсуждать. Если же, однако, рассматривать уравнение состояния ван дер Ваальса как чисто эвристический способ описания, то построение Максвелла может быть принято на том же основании. Вопрос о логической согласованности можно ставить только в том случае, когда мы будем иметь полную теорию для определения уравнения состояния системы. Эту теорию дает статистическая механика, где можно показать, что точное вычисление уравнения состояния /11рбой системы всегда приводит к результату dP/dV 0. Что касается [c.58]

Статистическая теория не отвергает законов механики (классической или квантовой — это уже не играет роли) и ooтвeт tвyющeгo описания механического движения многотельной системы. Потребовалось почти полвека, чтобы физики осознали, что адекватное описание системы с помощью функций распределения возникает не сразу, а связано с переходом к другой, более грубой, чем принятая в механике, шкале времени, что неизбежно приводит к потере значительной доли информации о механическом состоянии системы. Так как обсуждение характера релаксационных процессов, происходящих в системах многих частиц, отнесено к третьему тому, то нам остается только заметить, что при рассмотрении равновесной теории, в которой время 1 как динамический параметр уже не участвует, эта важная для общего понимания теории проблема остается, как говорят, за кадром. [c.19]

С рецептурной точки зрения все выглядит достаточно просто структура смешанного состояния равновесной системы определяется простой экспонентой = ехр -Е /в /2, а связь с макроскопической термодинамикой — просто формулой = -в 1п г, так что читатель с прагматическим строем мышления, которого интересуют не исходные моменты теории, а лишь практические результаты, получа-емь)е с ее помощью, может из всей этой главы усвоить лишь две формулы. Однако не Простота этих формул должна поражать всякого, кто задумывается над смыслом статистической теории (в физике достаточно много формул, связывающих какие-либо три величины), а то, что, во-первых, структура такого смешанного состояния устанавливается в системе самопроизвольно и, во-вторых, в процессе достижения этого состояния число параметров, характеризующих микроскопическое состояние, сокращается от величины порядка числа степеней свободы системы N тел до одного температуры в (параметры V, а, N в счет не идут, они обшие и в равновесном, и в не завновесном случаях, и при механическом, и при статистическом описании равновесного состояния системы). Этот впечатляющий по своим масштабам спонтанный процесс потери статистической системой информации о деталях своего микроскопического состояния (фиксированного, например, как начальное с точностью, удовлетворяющей требованиям механики) в рамках равновесной теории объяснен быть не может (мы уже и так отклонились от своего жанра, этим вопросам посвящен третий том пособия), и когда мы говорим, что смешанное состояние иип 0, V, М) приготовляется термостатом , то принимаем готовый результат уже как заданный. [c.76]

Современное состояние вопроса общего математического описания дисперсных систем нельзя признать до-статочло удовлетворительным, несмотря на растущий интерес к этой проблеме. Каж травило, в работах, шо-священных этому вопросу, фактически используется феноменологический подход к исследованию дисперсного потока в целом. Идея условного континуума п03(В0Ляет полностью использовать математический аппарат механики сплошных сред, но несет с собой погрешности физического порядка тем более существенные, чем значительней макроднскретность системы. Системы таких уравнений, полученные рядом авторов как общие, все же не охватывают класс дисперсных потоков во всем диапазоне концентраций (вплоть до плотного движущегося слоя). Они не учитывают качественного изменения структуры потока и в связи с этим изменения закономерностей распределения частиц, появления новых сил (например, сухого трения), изменения с ростом концентрации (до предельно большой величины) условий однозначности и пр. В основном большинство работ посвящено турбулентному течению без ограничений по концентрациям, хотя при определенных значениях р наступает переход к флюидному транспорту, а затем — плотному слою. Сама теория турбулентности применительно к дисперсным потокам находится по существу в стадии становления (гл. 3). Наиболее перспективные методы — статистические (вероятностные) применяются мало, по-видимому, в силу недостаточной изученности временной и пространственной структур дисперсных систем Общим недостатком предложенных систем уравнений является их незамкнутость, которая объясняется отсутствием конкретных данных о тензорах напряжений и [c.32]

Действительно, когда мы говорим о повторении опытов, служаш их для проверки вероятностного закона распределения, то мы говорим всегда о некоторых идеализированных условиях, в частности — о некотором идеализированном описании системы ансамбля, и всегда считаем, что во всех опытах мы имеем дело с точно такой же (идеа-лизированнс>й) системой. В квантовой механике эти идеализированные условия опыта принципиально однородны (см. 12). В классической механике совершенно однородные условия опыта привели бы к совершенно тождественным результатам испытания поэтому, в соответствии с Гиббсом, считают, что закон распределения результатов испытаний заранее заключен в законе распределения начальных условий,— даже тождественным образом совпадает с ним (с точностью до однозначного преобразования, производимого уравнениями динамики). О недопустимости — с физической точки зрения — предположения о том, что в классической теории законы статистической физики могут основываться на суш ествовании определенных законов распределения начальных микросостояний, уже много говорилось раньше. Здесь отметим лишь, что и в классической теории представление об идеальном ансамбле основано, в соответствии с точкой зрения Гиббса, на представлении совершенно тождественных (по гамильтониану) систем, находяп1 ихся в различных микроскопических состояниях. [c.86]

Два обстоятельства позволяют разобраться в парадоксах возврата и обратимости статистический характер описания протекающих процессов и их огрубленное описание. Если рассматривать очень большое число частиц (например, 10 ), то время возврата (см. 1.1) чудовищно велико. Или, ипаче, вероятность возврата необычайно мала. Операция огрубления, или введения крупнозернистой функции распределения, является определенным приближением, которое содержит пренебрежение маловероятными событиями. К таким событиям относятся и приближенные возвраты системы. Поэтому кинетическое уравнение, получаемое для огрубленной функции распределения, возвратов не содержит. По той же причине микроскопическая обратимость уравнений движения частиц исчезает при переходе к их описанию с помощью огрубленной функции распределения, так как при этом происходит пренебрежение флуктуациями, которые могли бы выровнять вероятности переходов в обе стороны между какими-либо двумя макросостояниями. По существу, в этол1 и состояла интуитивная позиция Больцмана по отношению к критике со стороны Цермело и Лошмидта. В книге Каца [9] приводятся следующие ответы Больцмана. На возражение Цермело о том, что система должна вернуться в исходное состояние, Больцман сказал Долго же вам придется ждать . А на замечание [c.37]

Благодаря своей простоте квантовые решеточные системы оказываются ценными и в неравновесной статистической механике. Рассматривая предельно простой случай обобш,енной модели Изинга (в смысле, указанном в начале данного пункта), Радин [309] проанализировал поведение во времени величины R) для широкого класса начальных условий и локальных наблюдаемых. Можно показать, что в этом случае эволюция во времени не действует G-абелевым способом. Для физических приложений более важно другое обстоятельство оказывается возможным придать точную математическую форму традиционно принимаемому положению о том, что скорость приближения к равновесию в термодинамическом пределе должна быть связана со степенью непрерывности спектра эффективного гамильтониана. Подчеркнем, что здесь речь идет об эволюции во времени локальной наблюдаемой, погруженной в бесконечную систему, а поэтому гамильтониан, о котором мы говорим, совпадает с тем, который локально реализует эволюцию во времени бесконечной системы. Как оператор этот гамильтониан зависит от гильбертова пространства, на котором он действует в конструкции ГНС, и поэтому степень непрерывности его спектра зависит от представления. Коль скоро начальное состояние фо выбрано, степень непрерывности спектра гамильтониана можно связать с зависимостью функции е ( со — со )=бшш от пространственных переменных. Следует иметь в виду также, что метод Радина допускает обобш,ение на взаимодействия более широкого типа, чем описанная выше простая модель Изинга. [c.388]

Для логич. структуры К. м. характерно присутствие двух разнородных по своей природе составляющих. Вектор состояния (волн, ф-ция) однозначно определён в любой момент времени, если задан в нач. момент при известном вз-ствии системы. В этой части теория вполне детерминистична. Но вектор состояния не есть наблюдаемая величина. О наблюдаемых на основе знания ф> можно сделать лишь статистические (вероятностные) предсказания. Результаты индивидуального измерения над квант, объектом в общем случае непредсказуемы. Предпринимались попытки восстановить идею полного детерминизма в классич. смысле введением предположения о неполноте квантовомеханич. описания. Напр., высказывалась гипотеза о наличии у квант, объектов дополнит, степеней свободы — скрытых параметров , учёт к-рых сделал бы поведение системы полно- стью детерминированным в смысле классич. механики неопределённость возникает только вследствие того, что эти скрытые параметры неизвестны и не учитываются. Однако амер, Зг ёный Дж. фон Нейман доказал теорему о невозможности нестатистич. интерпретации К м. при сохранении её осн. положения о соответствии между наблюдаемыми (физ. величинами) и операторами. [c.262]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...