Уравнения Лагранжа 1-го рода. Множители Лагранжа

Уравнения (2.121) имеют форму простейших уравнений Лагранжа второго рода. Переменными полями здесь являются функции Фг. Определив из уравнений (2,121) функции Ф,, находим, при заданном р, из уравнений (2.118) функции фгг и далее из равенств (2.114), (2.115)—множители Лагранжа Функции фгг определяются с точностью до слагаемых, не зависящих от t и определяющих некоторое поле квазистатических напряжений в переменных Лагранжа. Если плотность р неизвестна, следует привлечь равенство (2.112). [c.58]

Учитывая вышеприведенное утверждение, зададимся вопросом какого рода соотношения будут получены, если в вариационном принципе дополнительной виртуальной работы вместо уравнений равновесия и множителей Лагранжа будут использованы функции напряжений [c.40]

Составить уравнения движения точки и определить множитель Лагранжа. Уравнения Лагранжа первого рода в этом случае [c.321]

Эти дифференциальные уравнения называют дифференциальными уравнениями Лагранжа первого рода для движения несвободной материальной точки. Из этих трех дифференциальных уравнений и одного конечного уравнения — уравнения поверхности / х, у, г) = О можно найти четыре неизвестных — координаты точки х, у, ги неопределенный множитель Лагранжа о как функции времени и произвольных постоянных интегрирования. Произвольные постоянные определяются из начальных условий. [c.226]

Из (30) получим уравнения Лагранжа второго рода, или просто уравнения Лагранжа. Уравнения Лагранжа первого рода — уравнения с неопределенными множителями Лагранжа — получены для одной точки в 8 гл. 1. Уравнения Лагранжа первого рода можно получить и для системы. [c.393]

Действительно, число независимых постоянных интегрирования равно числу независимых первых интегралов или удвоенному числу независимых вторых интегралов уравнений движения. Но кинематические уравнения движения должны удовлетворять уравнениям геометрических и кинематических связей, не зависящим от постоянных интегрирования. Уравнения геометрических связей можно рассматривать как вторые интегралы уравнений Лагранжа первого рода с исключенными множителями kj и рз, а уравнения кинематических связей, соответственно, как их первые интегралы. Итак, среди интегралов рассматриваемой системы уравнений есть к вторых интегралов и I первых, независимых от постоянных интегрирования. Следовательно, число независимых постоянных интегрирования равно 6/г — 2/г — I. [c.34]

После нахождения закона движения определяются реакции связей. Для этого следует составить систему дифференциальных уравнений Лагранжа первого рода и определить множители связей так, как это было указано в 6. Можно также воспользоваться принципом Даламбера. [c.136]

Уравнения эти носят наименование уравнений Лагранжа первого рода или уравнений с множителями в декартовых координатах. [c.386]

Обычный путь решения уравнений Лагранжа первого рода заключается в том, что сначала из s уравнений, произвольно выбранных среди Зп уравнений (4), определяют s множителей связей Подставляя эти значения в остальные Зп — s уравнений (4) и объединяя их с уравнениями связей (1), получают систему Зп уравнений, из которых находят Зп координат как функции от времени после этого определяют а затем по (6)—реакции связей Nix, Niy, Niz- [c.387]

В только что рассмотренных примерах определить реакции можно было и без применения уравнений Лагранжа первого рода, непосредственно составляя условия равновесия движущейся точки под действием силы тяжести, реакции и центробежной силы инерции. Метод множителей Лагранжа оказывает существенную пользу в тех случаях, когда поверхность или кривая не обладают теми простыми геометрическими свойствами, как сфера или окружность покажем это на следующем примере. [c.392]

УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ВТОРОГО РОДА С МНОЖИТЕЛЯМИ 419 [c.419]

Уравнения Лагранжа второго рода с множителями [c.419]

Уравнения (7.4.2) можно рассматривать как уравнения связи, при выполнении которых справедливо (7.4.1). Составим уравнения равновесия при этих условиях как уравнения Лагранжа первого рода, введем множители Лагранжа, обозначив их (—Сту). [c.219]

В следующей главе на примере сферического маятника мы убедимся, что величины Л можно толковать как реакции системы на воздействие (голономных и неголономных) связей . Там же мы увидим также, что фактическое определение величин Л должно производиться, исходя не из г произвольно выделенных уравнений, как это мы временно сделали при выводе уравнения (12.6), а из совокупности всех Зп уравнений Лагранжа. Нужно подчеркнуть, что метод лагранжевых множителей играет существенную роль не только для уравнений Лагранжа первого рода, но также и для уравнения значительно более общего типа (ср. гл. VI, 34) с другой стороны, этот метод встречается уже в элементарной теории максимумов и минимумов. [c.95]

Из величин 8х только f = Зп — г являются здесь независимыми друг от друга. Однако с помощью соответственного выбора множителей Л (как на стр. 91) можно обратить в нуль г из выражений в фигурных скобках, так что в сумме (38.6) останутся только / членов с Sxk, которые теперь могут рассматриваться как независимые. Поэтому должны обращаться в нуль также все остальные / выражений в фигурных скобках. Таким образом, мы получаем в точности уравнения Лагранжа первого рода в форме (12.9). [c.281]

Впервые уравнения для неголономной системы в обобщенных координатах и не содержащие неопределенных множителей Лагранжа получил С. А. Чаплыгин ). В его уравнения, аналогично уравнениям Лагранжа 2-го рода, входит некоторая квадратичная функция от обобщенных скоростей, имеющая вид дифференциального выражения первого порядка. Развитие идей Чаплыгина было проведено П. Воронцом ). [c.848]

Уравнения эти носят название уравнений несвободного движения с множителями, или уравнений Лагранжа первого рода. Система уравнений [c.299]

Приведение уравнений Лагранжа второго рода к системе уравнений первого порядка. Система S совместных уравнений второго порядка (32.42) относительно s неизвестных функций времени может быть заменена системой 2.S совместных уравнений первого порядка, содержащих 2s неизвестных функций времени. С этой целью мы обратимся к уравнениям (32.40) и выразим множители и входящие в величины через q , и t, так, как это было указано выше затем решим полученные таким образом уравнения относительно ускорений тогда мы придём к уравнениям вида [c.334]

Уравнения Лагранжа первого рода (17.37) дают возможность определить реакцию направляющей, обеспечивающей связь (17.28). Составляющие реакции определяются через множитель Лагранжа [c.32]

Последнее уравнение аналитически выражает тот факт, что скорость точки О всегда направлена вдоль связи 1—2 (перпендикулярно к оси колеса). Уравнения Лагранжа первого рода с неопределенными множителями и Кг имеют вид [c.32]

Уравнения движения МА, работающего в режиме редуцирования и в фазе вынужденного движения, получены на основе представления ИВ в виде двухмассовой динамической модели (рис. 1) и применения уравнения Лагранжа II рода с неопределенными множителями [3, 4] при этом приняты следующие координаты [c.80]

Уравнения двин еиия динамической системы, определяемой зависимостями (10.1)—(10.6), запишем в форме дифференциальных уравнений Лагранжа второго рода с множителями 69] [c.172]

Далее рассмотрим, какие уравнения можно вывести из принципа дополнительной виртуальной работы, если предполагается, что он справедлив для произвольных вариаций напряжений. Универсальным методом решения задач такого рода является метод множителей Лагранжа ). Будем рассматривать (1.48) и (1.49) как ограничения, а перемещения и, v, w как множители Лагранжа, ассоциированные с этими ограничениями. Тогда, проводя все рассуждения в обратном порядке, получим (1.46) из (1.50). Поскольку величины ба , ба ,. .., бт считаются независимыми в соответствии с общей схемой применения множителей Лагранжа, все коэффициенты в уравнениях (1.46) обращаются в нуль, и мы получаем уравнения (1.44) и (1.45). Таким образом, принцип дополнительной виртуальной работы эквивалентен соотношениям напряжения—деформации и граничным условиям в напряже- [c.35]

Учитывая вышеприведенное утверждение, зададимся вопросом какого рода соотношения будут получены, если в вариационный принцип (1.32) вместо вариации перемещений и, v, w будут введены условия совместности (1.15) при помощи множителей Лагранжа Для простоты объемные силы положим равными нулю. Уравнения (1.18а) будем использовать в качестве условий совместности и запишем принцип виртуальной работы [c.39]

Важным обстоятельством является то, что после разложения упорядоченных экспонент в ряды по S все средние значения в правых частях уравнений (6.1.15) и (6.1.17) вычисляются с помощью теоремы Вика, поскольку невозмущенный оператор энтропии (6.1.10) есть билинейная форма от операторов рождения и уничтожения. Для слабо неидеальных квантовых газов множитель Лагранжа 52(/ /2 1 2) играет роль малого параметра. В этом случае уравнения (6.1.15) и (6.1.17) можно решить методом итераций (см. задачу 6.1). Если корреляции дают существенный вклад в неравновесные термодинамические величины, то метод итераций непригоден и требуется по крайней мере частичное суммирование формальных рядов теории возмущений. Как уже отмечалось, для равновесных систем суммирование такого рода наиболее удобно проводится в технике температурных функций Грина. Поэтому естественно построить аналогичную технику и для неравновесных состояний. [c.12]

В силовой механике применяется принцип освобождаемости от связей , согласно которому в уравнения движения включаются реакции связей. В случае идеальных связей для представления реакций используются неопределённые множители Лагранжа (первая форма уравнений Лагранжа или, иначе, уравнения Лагранжа первого рода). Для несвободного движения материальной точки на сфере имеем уравнения [c.86]

Идеальные связи и идеальные реакции. Восходящий к Лагранжу классический способ составления уравнений несвободного движения состоит в том, что реакции представляются в виде произведений неопределённых множителей и коэффициентов в уравнениях для виртуальных вариаций (уравнения Лагранжа первого рода). Неопределённые множители (соответственно и реакции), найденные с помощью уравнений связей, в каждый момент времени зависят от положений, скоростей и масс материальных точек. Полученные таким путём реакции идеальных связей для сокращения записей будем называть идеальными реакциями (идеальных связей). В невырожденных случаях идеальные реакции обеспечивают траектории, не нарушающие условия идеальных связей. [c.234]

Замечание 5.1. Если ввести те или иные обобщенные координаты (например, углы Эйлера, определяющие ориентацию подвижной системы координат по отношению к неподвижной, и координаты центра масс тела в неподвижной системе координат), то системе (60)-(62) будут отвечать уравнения движения в форме уравнений Лагранжа первого рода при этом роль неопределенных множителей играют проекции вектора R, а уравнения (63) представляют собой уравнения связей (одно интегрируемое + (г у) = О и два неинтегрируемых). [c.448]

Уравнения (26) называются уравнениями Лагранжа 1-го рода. Из уравнений (26) нужно определить х, у, г в функции времени и множитель X в функции координат. Поэтому при интегрировании к трем уравнениям (26) необходимо присоединить еще уравнение (22). [c.297]

Совокупность координат ( ь Уи 2 1,, Хп, уп, г ) определит конфигурацию равновесия системы точек, а множители Хь 2, , Хк позволят найти реакции наложенных связей. Таким образом, соотношения (53) представляют собой уравнения равновесия несвободной механической системы точек. Эти уравнения называются уравнениями Лагранжа Ьго рода. [c.336]

Уравнения (1.20) являются обобщенными уравнениями Лагранжа в зависимых (избыточных) координатах они не содержат реакций связей (1.18). Эти уравнения более удобны, чем уравнения Лагранжа первого рода со множителями Xj [c.11]

Уравнения Лагранжа второго рода с множителями применяются главным образом для исследования движений систем с неголономными связями, а также в тех случаях сложных го-лономных связей, когда выявление некоторых обобщенных координат оказывается затруднительным. Подробное изложениг теории уравнений Лагранжа, в том числе и уравнений с множителями, относится к специальному курсу аналитической механики ). [c.420]

Если в некоторый момент времени / = 1 некоторые множители связей обращаются в нуль, а затем становятся отрицательными, или левые части уравнений каких-либо связей становятся положительными, то это означает, что в этот момент времени система оставляет упомянутые связи. Тогда найденные ранее интегралы уравнений Лагранжа первого рода пригодны лишь на интервале времени от начального момента / = ДО момента i = ,. В момент времени I = оканчивается первый этап движения системы с односторон-ними связями. После момента t — = следует полагать в уравнениях Лагранжа первого рода множители связей, оставленных системой, равными пулю и интегрировать укороченную сТгстему. Начальные условия для этого этапа определяются из найденных ранее интегралов движения. [c.35]

Используя произвол в выборе s множителей подчиним их условию обращения в нуль выражений в каких-нибудь s скобках в равенстве (90). Оставшееся при этом в левой часпг равенства (90) выражение будет содержать k = r — s скобок выражения, заключенные в них, явятся коэффициентами при k = г — S произвольных вариациях б /. Из условия равенства нулю выражений, стоящих в этих k = г — s скобках, получается система г уравнений Лагранжа второго рода с jUHOMureAHMU [c.420]

Для составления уравнений движения механизма с неголо" номными связями нельзя использовать обычные уравнения Лагранжа второго рода, а следует применять их обобщение, известное под названием уравнений Лагранжа с неопределенными множителями-. [c.153]

Сравнивая уравнения (S.8) и (8,9), видим, что прпменепне уравнения Лагранжа второго рода без неопределенного множителя привело к увеличению в два раза агорого члена лепоп [c.156]

Предварительные замечания. Вопрос об определении движения несвободной материальной системы без неинтегрируемых связей может быть решён двояким путём или исчтегрированием уравнений движения, содержащих множители связей, а именно уравнений Лагранжа первого рода ( 177), когда система координат декартова, и уравнений, аналогичных названным, когда система координат произвольная ( 189), или интегрированием уравнений Лагранжа второго рода в независимых координатах ( 191). Последние уравнения быстрее и непосредственнее приводят к цели в них число переменных доведено до надлежащего минимума, поэтому и произвольных постоянных интеграции появляется наименьшее число. Интегрирование уравнений с множителями значительно сложнее число переменных в них превышает Необходимое, а потому и число произвольных постоянных интеграции больше, чем нужно для искомого движения ( 119, 121, 177, 189). Но зато движение системы определяется [c.461]

ЛАГРАНЖА УРАВНЕНИЯ механики. 1) Лаг-ранжа уравнения 1-г и рода — дифференциальные ур-ния движения механич, системы, к-рые даны в проекциях па прямоугольные координатные оси и содержат т. н. множители Лагранжа. Получены Ж. Лагранжем в 1788. Для голопомной системы, состоящей из п материальных точек, на к-рую наложено к связей вида [c.542]

В начале развития динамики неголономных систем дифференциальные 93 уравнения движения были выведены в различном виде Остроградским, Феррерсом и Раусом. Общая методика интегрирования этих уравнений не была разработана, а их структура, связанная с наличием декартовых координат или множителей неголономных связей, создавала значительные трудности при решении конйретных задач (о качении твердых тел). Таким образом,в конце XIX в. проблема составления динамических уравнений неголономной механики в лагранжевых координатах без множителей связей типа уравнений Лагранжа второго рода была вполне актуальной. [c.93]

Уравнения (9) называются уравнениями Лагранжа Ьго рода для голономных систем. Присоединяя к уравнениям (9) к уравнений связей (6), получим полную систему (3/г + й) уравнений, из которых нужно определить Ъп координат системы Х1, уи 2ь Хп, Уп, п к неопределенных множителей Лагранжа Хи Х2, .., Хк. Множители Хи. .., Ад имеют такое же мехническое значение, как и в задачах статики. Проекции силы реакции, возникающей от связи Д = 0, равны [c.488]

Трудности составления динамических уравнений движения механических систем точек методом уравнений Лагранжа Ьго рода, вызываемые большим числом налагаемых связей, нельзя преодолеть, оставаясь в рамках метода неопроделенных множителей. По существу метод неопределенных множителей имеет в виду дать сразу ответ на очень большое число вопросов. Ведь, решая динамическую задачу методом уравнений Лагранжа Ьго рода, мы получаем и закон движения каждой точки системы, и реакции всех наложенных на систему связей. Применяя метод обобщенных координат, мы, пользуясь большим числом ограничений, налагаемых связями, принципиально упрощаем рассмотрение, изучая некоторые интегральные характеристики движения системы. Детали движения отдельных точек познаются в новом методе после исследования интегральных характеристик. Реакции связей при изучении движения методом обобщенных координат полностью исключены. Таким образом, трудности, вносимые большим числом связей в методе неопределенных множителей, становятся источником преимуществ в методе обобщенных координат. [c.490]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...