Преобразования вариационных формулировок

Для тел сложной формы метод интегральных преобразований сохраняет силу, если удается построить полную систему собственных функций и определить соответствующие им собственные значения. Это принципиально выполнимо на основе вариационной формулировки соответствующей однородной задачи или применения метода конформных отображений области сложной формы на более простую [21]. [c.43]

Таким образом, после выполненных преобразований (4.121), (4.123), (4.124), (4.126) исходную вариационную формулировку условия равновесия (4.120) можно представить следующим образом [c.154]

Для получения вариационной формулировки воспользуемся принципом возможных перемещений (5.26). Отдельного рассмотрения требует выражение для работы внутренних сил, при преобразовании которого необходимо принимать во внимание соотношения упругости, представленные для материала обшивок в форме (5.29) [c.205]

Эта теория создана уже около половины века тому назад, но в литературе известны лишь немногие примеры применения ее к задачам механики деформируемых тел. Первые работы принадлежат Р. Куранту [0.9] и Э. Рейсснеру [0.13]. Р. Курант впервые применил преобразование Фридрихса для установления связи между принципами Лагранжа и Кастильяно. Э. Рейсснер [0.13], оценивая результаты своих четырех работ, посвященных вариационным принципам теории упругости, характеризует новизну использования теории [0.9] и полученную в итоге полную формулировку вариационной теоремы как вклад в теорию упругости. В отечественной литературе теория [0.9] впервые применена в работах [0.4], а впоследствии в (0.15, 0.6, 0.1] и др. Однако все эти исследования, как правило, не имеют общего характера и относятся к вариационным формулировкам в терминах стационарности функционалов. К анализу экстремальных свойств функционалов эта теория не применялась. [c.8]

Отсюда видно, что использование полного функционала Эпз(е, it) можно рассматривать как инструмент для получения общего решения уравнений равновесия, более универсальный, чем статико-геомет-рическая аналогия. Преобразование функционала Лагранжа Элз (е, ц) в Э з(е, ц, t )) привело к преобразованию условий стационарности Элэ (уравнений равновесия в деформациях) к форме, являющейся их общим решением. Этот пример показывает, какое богатство возможностей заключено в вариационных формулировках и их преобразованиях. [c.121]

Теория преобразования вариационных проблем дает в наше распоряжение все множество вариационных функционалов, точки стационарности которых являются решением задачи теории упругости или теории оболочек наиболее интересные из них приведены в гл. 3 и 4. В каждой вариационной формулировке задачи принципиально можно применить любой из прямых методов решения вариационные методы в аналитической, численной и комбинированной форме. [c.169]

Из вариационных принципов теории упругости определяющие уравнения вытекают как условия стационарности, и в этом смысле они эквивалентны определяющим уравнениям. Однако вариационные формулировки имеют ряд преимуществ. Во-первых, функционал, который подлежит варьированию, имеет вполне определенный физический смысл и инвариантен относительно преобразования координат. Следовательно, если вариационный принцип сформулирован в одной системе координат, то можно получить определяющие уравнения в другой системе координат, выписав инвариантную величину в новой системе координат, а затем применив варьирование. [c.19]

Во-вторых, вариационная формулировка является удобной для выполнения обычных математических процедур, а именно преобразования данной задачи к эквивалентной, которая решается проще исходной задачи. В вариационной формулировке с дополнительными условиями это преобразование осуществляется с применением метода множителей Лагранжа — весьма эффективного и систематического средства. Таким образом можно получить целое семейство вариационных принципов, эквивалентных друг другу. [c.20]

Основой применения МКЭ являются слабые формы уравнений и вариационные принципы, рассмотренные в гл. 3. Слабые и вариационные формулировки, приведенные в этой главе, прямо использовать для формирования системы алгебраических уравнений нельзя. Требуется сделать ряд преобразований исходных уравнений. [c.156]

Особое внимание уделено получению основных уравнений, соотношений и вариационных формулировок задач статики и термоупругости многослойных оболочек с использованием варианта теории, учитывающего деформации поперечных сдвигов. В качестве кинематических гипотез выступают предположения о несжимаемости стеики оболочки в поперечном направлении и линейном распределении по толщине многослойного пакета касательных перемещений. Распределения касательных поперечных напряжений выбираются в наиболее простом виде независимо от кинематических гипотез. Приведение трехмерной задачи теории упругости к двумерной осуществляется с использованием смешанной вариационной формулировки. Все преобразования выполнены с учетом переменности метрики по толщине оболочки. Показана идентичность полученных уравнений равновесия с интегральными уравнениями трехмерной теории упругости. [c.66]

Нетрудно убедиться и в справедливости принципа минимума потенциальной энергии, а также построить вариационные формулировки о дополнительной работе и смешанные. Однако это относится лишь к теории с G О, где силовые условия ставятся непосредственно по Коши (без преобразования контурного интеграла), [c.225]

В то же время математические преобразования, которые при других способах могут оказаться трудоемкими, становятся простыми, если использовать функцию Лагранжа I. По-видимому, для отыскания вариационных принципов, отвечающих данной системе уравнений, не существует общего метода, отличного от эмпирического подхода. Однако для многих важных случаев такие вариационные принципы известны. Как это ни странно, по-видимому, соответствующей вариационной формулировки для волн на воде в литературе до сих пор дано не было заведомо, она не является общеизвестной. Волны на воде представляют собой основной пример, рассмотренный в этой статье в качестве типичного примера волн в средах с дисперсией. Первые два раздела статьи содержат изложение соответствующего вариационного принципа и приближений для длинных волн. [c.12]

Преимущества вариационной концепции. Хотя принцип Гамильтона в форме (2.2) можно распространить на случай неконсервативных систем и неголономных связей, однако практически этот принцип наиболее полезен тогда, когда можно составить лагранжиан из независимых координат. Вариационный принцип Гамильтона в компактной форме содержит в себе всю механику консервативных голономных систем. Кроме того, этот принцип имеет то достоинство, что в его формулировке фигурируют только такие физические величины, которые не связаны с частной системой обобщенных координат (кинетическая и потенциальная энергии). Поэтому этот принцип автоматически инвариантен относительно преобразования обобщенных координат системы. [c.58]

Роль принципа Даламбера в механике. Принцип Даламбера дает полное решение задачи механики. Все остальные принципы механики — это просто математически другие формулировки принципа Даламбера. Наиболее развитый вариационный принцип механики, принцип Гамильтона, может быть получен из принципа Даламбера путем некоторого математического преобразования. В тех случаях, когда оба принципа применимы, они эквивалентны. Однако принцип Гамильтона относится лишь к голономным системам, в то время как принцип Даламбера равно применим и к голономным и к неголономным системам. [c.116]

Таким образом, даны три эквивалентные математические формулировки динамических контактных задач с односторонними ограничениями для упругих тел с трещинами. Первая свелась к начально краевой задаче (3.1) — (3.3) с односторонними ограничениями, вторая вариационная заключается в нахождении седловой точки граничного функционала (4.56) на множествах допустимых вариаций (4.55) и (4.57), третья предполагает выполнение прямого и обратного преобразования Лапласа и решение бесконечного множества систем граничных интегральных уравнений (5.81) с учетом односторонних ограничений [c.131]

Несмотря на простоту и наглядность индуктивного метода, предпочтение все-таки следует отдать второму способу построения классической механики. Преимущество вариационной концепции заключается прежде всего в ее независимости от конкретного выбора системы обобщенных координат и, следовательно, от выбора системы отсчета напротив, беря за основу построения механики уравнения движения Ньютона, мы ограничиваем себя использованием только инерциальных систем отсчета. Действительно, в формулировке принципа Гамильтона — Остроградского фигурируют только такие физические величины (кинетическая и потенциальная энергия), которые не связаны с какой-либо частной системой обобщенных координат. Поэтому указанный принцип оказывается инвариантным относительно любого точечного преобразования координат (28.17), в том числе и относительно точечного преобразования, связанного с переходом от инерциальной системы отсчета к любой неинерциальной системе координат. [c.186]

Вариационные принципы применительно к динамическим задачам теории упругости могут быть сформулированы на основании общих вариационных принципов механики. Однако для линейных систем все необходимые формулировки можно получить, исходя из вариационных принципов статики. Произведем преобразования Лапласа над линейным уравнением [c.152]

Координатная форма записи (6.17) оказывается весьма удобной (хотя, конечно, и не обязательной) при формулировке и исследовании уравнений в вариационных производных (см. ниже 8—10). Она в равной мере применима и к любым другим полям в частности, тензорная размерность Ф и никак не специализируется (с тем лишь очевидным условием, чтобы произведение Г Ф было инвариантно относительно преобразований симметрии, допустимых в данной системе). [c.58]

Действительно, из 17 мы знаем, что формулировка вариационного принципа для каждой совокупности переменных— новых или старых — допускает произвол, связанный с добавлением полного дифференциала и позволяющий преобразовывать функционал (55) к виду (55 ). Если воспользоваться этим произволом, скажем, для новых переменных, то к правой части (66) добавится й X и мы придем к другому достаточному условию каноничности преобразования (65) [c.128]

Отмеченным произволом в формулировке вариационного принципа можно воспользоваться не только для новых переменных, но и для старых. Кроме того, этот произвол можно эксплуатировать независимо для каждой степени свободы — для каждой степени свободы можно произвольным образом выбирать в качестве аргументов производящей функции одну старую и одну новую переменную, каждая из которых может быть либо координатой, либо импульсом. Соответственно будет варьироваться и вид выражающего разрешимость якобиана, и хотя бы один из них будет отличен от нуля — иначе обратился бы в нуль полный якобиан всего преобразования (65.3). [c.129]

Приведенные выше вариационные неравенства (4.40) и (4.43) имеют место как для произвольного динамического, так и для гармонического нагружения. Из-за наличия односторонних ограничений (3.5), которые делавдт задачу нелинейной, нельзя дать вариационную формулировку задачи в пространстве функций, преобразованных по Лапласу, или для коэффициентов Фурье, как этб делается в линейных задачах [47, 471]. Тем не менее, метод преобразования Лапласа в, рядов Фурье может с успехом применяться при решении динамических односторонних контактных задач [104, 107, 130, 132— 136 и др.]. Вариационные неравенства (4.40) и (4.43) сохраняют свой вид и при таком подходе, а множество допустимых перемещений имеет вид [c.98]

Другая идея статистич. физики, оказавшая влияние на Э.Т.,—это вариационный принцип Тиббса, согласно к-ро-му гиббсовская мера характеризуется макс. значением энтропии при фиксиров. средней энергии. Для одномерной решёточной спиновой модели его точная формулировка такова. Пусть X—пространство последовательностей x= xi, — oпреобразование сдвига, т. е. (X, S)—символич. ДС, для к-рой инвариантная мера пока не выбрана. На множестве всех 5-инвариавтных вероятностных мер ц вводится функционал [c.635]

В мемуаре О дифференциальных уравнениях, относящихся к задаче изопериметров , а затем в письме к Лиосковскому профессору Н. Д. Брашману, напечатанном ь 1866 г., Остроградский высказал сомнение в справедливости принципа наименьшего действия Лагранжа. Основные возражения Остроградского сводятся к следующему. Для Эйлера и Лагранжа принцип наименьшего действия и простейшая задача вариационного исчисления представляли собой одну и ту же математическую проблему. Остроградский же замечает, что в принципе наименьшего действия переменные связаны законом живых сил и не являются поэтому независимыми, в отличие от переменных обыкновенной вариационной задачи. Отсюда следует также, что вариации переменных подчинены некоторому условию и не могут быть совершенно произвольными. Поэтому Остроградский считает формулировку принципа у Лагранжа и его выводы ошибочными и дает собственную формулировку в случае консервативной системы действительная траектория движения между двумя точками обладает тем свойством, что преобразование уравнений движения приводит к условию [c.218]

Для исследования экстремальных свойств функционалов, участвующих в формулировке вариационных принципов теории оболочек, так же как и для функционалов теории упругости, может быть использовано свойство выпуклости (см. Приложение 1) одних функционалов Лагранжа и Кастильяно (исходных пунктов преобразований) и невыпуклости других. Экстремальные свойства различных полных и частных функционалов можно выяснить, используя 3 гл. 2. Результаты представлены в табл. 4.6 в этой таблице стрелки обозначают, что знаки min и max можно поменять местами, так что данный функционал имеет седловую точку. [c.130]

Первое издание книги профессора Васидзу Вариационные методы в теории упругости и пластичности , опубликованное в 1968 г., было хорошо принято инженерами, преподавателями и студентами, занимающимися механикой деформируемого твердого тела и строительной механикой. Публикация этой книги была своевременной, потому что она совпала с периодом бурного развития приложений метода конечных элементов. Принципиальные отличия первого издания состояли в систематическом подходе при выводе вариационных принципов в теории упругости и пластичности, в преобразовании одного вариационного принципа в другой и в обеспечении систематического подхода при математической формулировке метода конечных элементов. Книга получила широкое распространение, и на нее часто ссылаются в литературе, связанной с методом конечных элементов. [c.10]

Соответствующие возможности существенно расширились в последнее десятиле гие благодаря развитию методов решения неклассических вариационных задач (принцип макси-. мума Л. С. Понтрягина, математическое программирование и др.). При этом обнаружилось, в частности, что обе формулировки (статическая и кинематическая) имеют между собой чисто математическую связь и могут быть получены одна из другой путем формальных преобразований, т. е. без интерпретации теорем в терминах механики [70, 71, 104, 109 и др.]. [c.9]

Проводя аналогичные преобразования для случая, когда сплошная среда представляет собой упругое тело, получим формулировку вариационного принципа Гамильтона — Остроградского в эйлеровом представлении для упругой среды [c.444]

Следует отметить, что требования к гладкости, налагаемые на пробную функцию определяющим дифференциальным уравнением, функционалом и вариационными преобразованиями ), вообще говоря, различны. Рассмотрим в качестве примера задачу нз разд. 7.3.2, которой соответствует дифференциальное уравнение второго порядка (7.42). В физической задаче, описываемой этим уравнением, физическое решение обычно является непрерывным вместе с непрерывными первой и второй производными. Функционал (7.33) содержит только первые производные и может быть вычислен, еслн пробная функция непрерывна и имеет кусочно-непрерывные первые производные. Еслн бы функция сама была кусочно-непрерывной, то первые производные были бы неопределенными ) в точках разрыва и значение интеграла соответственно было бы неопределенным. Хотя вариационные преобразования между (7.35) и (7.38) накладывают требования непрерывности пробной функции вместе с непрерывностью первых производных, заметим, что формулировка может быть обобщена на случай непрерывности пробной функции и кусочной непрерывности первых производных. Условия для этого случая являются самыми слабыми доп> стимыми условиями относительно гладкости функций, нЛагаемыми вариационной процедурой, и поэтому рассматриваются как условия допустимости задачи. [c.163]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...