Разностная начально-краевая задача

Разностная начально-краевая задача [c.8]

Аналогично может быть исследована в норме пространства С устойчивость нелинейных разностных задач Коши, а также разностных начально-краевых задач. Заметим, что получаемые при этом условия устойчивости являются не только необходимыми, но и достаточными, поскольку проверяются непосредственно неравенства (3.20) или (3.21), то есть определения устойчивости. [c.26]

Построение разностных схем начально-краевых задач для волнового уравнения может быть выполнено аналогичным образом. [c.239]

В последнее уравнение не входит значение функции ы в центре шаблона (креста, см. рис. 7.7 г). Преимущество метода Дюфорта — Франкля состоит в том, что он является устойчивой схемой при произвольном отношении шагов т и /i. Аналогично можно также сформулировать в разностном виде начально-краевые задачи уравнения теплопроводности. [c.247]

Разностная схема. Ошибка аппроксимации. Обычно при рассмотрении уравненнй эволюционного типа требуется определить решение в некоторой области G по условиям, заданным на определенных частях ее границы Г. Это могут быть начальные условия (задача Коши) или начальные и граничные условия (краевая задача). В процессе изложения будем формулировать различные краевые задачи как для уравнений (3.1), (3.2), так и для других простейших гиперболических и параболических уравнений. [c.75]

Полученная таким способом линейная сеточная краевая задача с постоянными коэффициентами обычно не допускает еще строгого исследования, поэтому производят дальнейшие упрощения, которые приводят к редуцированным краевым задачам, учитывающим лишь некоторые из краевых условий. Далее будем рассматривать простейшую из них — задачу Коши. Таким образом, в вопросе исследования корректности разностной схемы мы ограничимся изучением устойчивости ее относительно возмущений начальных данных. Исследование, проведенное на уровне задачи Коши, позволяет отсеивать многие неустойчивые схемы. Окончательный вывод об устойчивости схемы можно сделать только после ее испытания. [c.85]

Поясним еще раз понятие устойчивости. Ошибки при вычислении начальных и граничных условий и правых частей уравнений из-за погрешностей округления и других причин можно рассматривать как возмуш,ения начальных и граничных условий и правых частей уравнений. Очевидно, что разностная краевая задача (или задача с начальными данными) корректна и устойчива, если решение разностной краевой задачи незначительно изменяется при малом изменении начальных и граничных условий и правых частей, связанном со случайными погрешностями. В противном случае разностная краевая задача неустойчива. Важно отметить, что для неустойчивых разностных схем измельчение сетки не приводит к устойчивости, поскольку любые малые возмущения решения со временем неограниченно возрастают. [c.92]

Рассмотрим решение двумерной задачи о сжатии двух цилиндров. Краевая задача на каждой итерации решалась вариационно-разностным методом. Зона возможного контакта не превышает 1/5 Л и при выбранной дискретизации содержит 21 узел. При решении предлагаемым методом рассмотрен диапазон нагрузок, при которых в контакте находится от 3 до 19 узлов. Для пробной площадки контакта на первой итерации принималось от 1 до 21 узла (с учетом симметрии от 1 до 11). Во всем диапазоне нагрузок и при любом начальном выборе площадки контакта для сходимости потребовалось не более четырех итераций. На рис. 4.11 для одного варианта нагрузки приведена итерационная последовательность количества опорных узлов п для всех вариантов начальной площадки. Например, при 5 = Гк число опорных узлов составило по итерациям 11—8—7—6. Применение операторов ортогонального проектирования в дискретной задаче ускоряет сходимость по сравнению с последовательным перебором возможных площадок контакта [20]. [c.146]

Основная проблема ири использовании этого метода состоит в обеспечении устойчивости и допустимой погрешности разностной схемы. Для дифференциальных уравнений задача Коши, когда заданы начальные значения всех искомых функций, сводится к рекуррентным формулам для последовательности значений в узлах, начинающейся от начальных значений. Такая схема называется явной. Краевые задачи приводят к решению системы алгебраических уравнений — неявная схема. Обычно решение нетрудно реализовать в виде программы для ЭВМ, однако требования к объему располагаемой памяти и скорости выполнения операций оказываются весьма жесткими. [c.83]

За начальное условие обычно принимается равномерное движение воды с расходом Qo перед паводком. Эта система уравнений совместно с начальными и граничными условиями (11.5) образуют краевую задачу, решение которой можно получить либо в аналитическом виде, либо численными методами. Наибольшее распространение получили конечно-разностные методы решения. [c.284]

Уравнение переноса вихря (5.28) является параболическим, и для него ставится задача с начальными данными с ограниченной пространственной областью влияния в предельном случае течения невязкой жидкости 1/Re=О (если рассматривать это уравнение изолированно). Однако уравнение (5.27) является эллиптическим, и для него ставится краевая задача. Поэтому даже в случае 1/Re==0 возмущение в какой-либо точке поля течения немедленно передается во все другие точки через нелинейный член, содержащий скорость V, зависящую от г[), а, следовательно, в силу уравнения (5.27) и от Это свойство наследуется и соответствующими конечно-разностными уравнениями. Можно сказать, что для системы (5.27) — (5.28) и соответствующей системы конечно-разностных уравнений скорость распространения возмущений бесконечно велика. [c.356]

Основная идея метода сеток заключается в том, что дифференциальное уравнение, начальные и краевые условия заменяют (аппроксимируют) сеточными уравнениями, связывающими значения искомой функции в узлах сетки. Сеточные уравнения, так же как и сама сетка, зависят от шага h как от параметра. Эту совокупность сеточных задач называют разностной схемой. [c.75]

Заметим, что в предыдущем параграфе мы также рассматривали решение разностного уравнения второго порядка (2.23). Однако там вместо краевых условий (3.33) были начальные условия (2.24), благодаря чему матрица системы была треугольной, и поэтому система разрешалась в явном виде (разностная задача Коши). Ищем решение краевой разностной задачи (3.32), (3.33) в виде [c.178]

В большинстве работ краевые и начально-краевые задачи теории упругости и математической физики сводятся к интегральным уравнениям или к системам интегральных уравнений, для решения которых развит достаточно широкий круг как численных методов (вариационно-разностный [13, 45, 46], граничных элементов [31, 41], коллокаций [41] и др.), так и аналитических и полуаналитических методов (асимптотические [27], ортогональных многочленов [101, 102], комплексных потенциалов [17, 18, 52, 55] и др.). [c.3]

Далее приводятся результаты численного решения для ряда начально-краевых задач для уравнений (8.4), для которых упомянутые выше автомодельные решения могут представлять асимптотики при I оо. Уравнения (8.4) были переписаны в виде неявных нелинейных разностных уравнений, к которым сначала применен метод Ньютона, а затем метод матричной прогонки. Расчет проводился в области на плоскости х, Ь, ограниченной некоторым отрезком оси х, который двигался с подходящим образом подобранной скоростью. Шаг вычислений по оси х выбран таким образом, чтобы вязкость расчетной схемы и другие погрешности счета оставались пренебрежимо малыми по сравнению с вязкими членами уравнений. [c.337]

Предлагается методика численного анализа поведения произвольных тонкостенных оболочек вращения с большим показателем изменяемости геометрии (гофрированные, сильфонные, оболочки с начальньши неправильностями и т. д.), подверженных осесимметричному силовому и температурному нагружению при конечных смещениях. Явления ползучести и пластичности, возникающие при этом, моделируются системой дополнительных сил в уравнениях типа Рейснера. Для описания начальной и последующих геометрий оболочек и уравнений состояния используются онлайновые функции. Решение соответствующих нелинейных краевых задач теории оболочек осуществляется методом факторизации (разностной прогонки) для последовательных приближений. [c.184]

Метод прогонки. Этот метод применяется не к интегральному, а к дифференциальному уравнению переноса. Значительная трудность при его решении создается тем обстоятельством, что задаются не начальные, а граничные условия, так что надо решать не задачу Коши, а краевую задачу, что всегда сложнее. После дискретизации дифференциального уравнения по глубине, углам и частотам получающееся разностное уравнение решается сначала от верхней границы в сторону возрастающих глубин, а затем обратным ходом. Однако в первом случае не известна интенсивность излучения, идущего вверх, а во втором — вниз. Поэтому при прямом проходе находится решение не с определенным граничным значением интенсивности выходящего излучения, а рассчитываются обратные матрицы на случай как бы произвольных ее значений, причем заданных для всех значений углов. Затем решение выбирается так, чтобы удовлетворить условию на нижней границе [45]. После этого вычисляется интенсивность восходящего излучения. В теории переноса такая процедура, которая применяется для расчета как рассеяния в линии, так и при монохроматическом рассеянии, носит название метода Фотрие. [c.201]

Фуджи дал также полезный анализ устойчивости разностных аппроксимаций (по временной переменной) уравнения (24) в методе конечных элементов. Предположим, например, что члены Q" заменяются центральными разностными отношениями второго порядка (А/)-2(д"+ — Q ). Из теории конечных разностей хорошо известно, что величина At должна быть ограничена, или же вычисляемые приближения будут экспоненциально расти вместе с п. Для одномерного волнового уравнения условия устойчивости процесса вычислений имеют вид At h/ 3 для согласованной матрицы массы М и Ai h — для диагональной матрицы, полученной при приближенном расчете матрицы М. (Тонг [Тб] заметил в последнем случае дополнительную устойчивость.) Фуджи исследовал и другие конечноразностные схемы, а также гиперболические уравнения более общего вида для краевых задач с начальными условиями, в том числе и уравнения упругости. [c.293]

Решение разностной задачи (5) — (8) при заданных краевых условиях, которые также должны бытБ представлены в форме разностных соотношений, производится в следуюш,ей последовательности. Начальные условия определяют значения функций ufj , v% , я1т> й]т, Р%т- Переходя от шага к шагу вдоль оси т, можно при помощи уравнений (5)— [c.114]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...