Роль периодических движений

Роль периодических движений. Периодические движения, включая равновесие, составляют очень важный класс движений динамических систем. В этой главе пашей главной целью будет рассмотрение различных общих методов, позволяющих устанавливать существование периодических движений. [c.132]

Обратимся к изучению явлений, возникающих при дальнейшем увеличении числа Рейнольдса, после достижения им критического значения и установления рассматривавшегося в 26 периодического течения. По мере увеличения R наступает в конце концов момент, когда становится неустойчивым и это периодическое движение. Исследование этой неустойчивости должно, в принципе, производиться аналогично изложенному в 26 способу определения неустойчивости исходного стационарного движения. Роль невозмущенного движения играет теперь периодическое движение vo(r, ) (с частотой oi), а в уравнения движения подставляется v = Vo + V2, где V2 —малая поправка. Для 2 получается снова линейное уравнение, но его коэффициенты являются теперь функциями не только координат, но и времени, причем по времени эти коэффициенты представляют собой периодические функции с периодом Т = 2n/ oi. Решение такого уравнения должно разыскиваться в виде [c.156]

Благодаря проникновению в акустику, гидродинамику, оптику и в явления капиллярности, механика некоторое время как бы преобладала над всеми этими областями. Труднее было ей вобрать в себя новую область науки, возникшую в XIX в., — термодинамику. Если один из двух основных принципов этой науки — принцип сохранения энергии — может быть легко объяснен на основании понятий механики, то этого нельзя сказать о втором — о возрастании энтропии. Работы Клаузиуса и Больцмана по изучению аналогии термодинамических величин с некоторыми величинами, играющими роль в периодических движениях, работы, которые и сейчас вполне современны, не смогли все-таки связать обе точки зрения. Но замечательная кинетическая теория газов Максвелла и Больцмана и более общая доктрина — так называемая статистическая механика Больцмана и Гиббса — показали, что динамика, если дополнить ее понятиями теории вероятности, позволяет интерпретировать основные положения термодинамики. [c.641]

Среди бесконечного многообразия повторяющихся движений, с которыми приходится иметь дело, изучая физические явления, важную роль играют так называемые периодические движения, при которых данная материальная точка повторяет одно и то же движение много раз, затрачивая на каждое из них одинаковое время Т, называемое периодом. [c.313]

При исследовании устойчивости механических систем, описываемых каноническими уравнениями движения (в частности с гамильтонианом, периоди-134 чески зависящим от времени), существенную роль играет орбитальная устойчивость Применение предложенного А. Н. Колмогоровым метода теории возмущений позволило получить ряд результатов относительно устойчивости и неустойчивости консервативных систем, близких к интегрируемым для бесконечного промежутка времени. При этом выяснилось существенное отличие систем с числом степеней свободы ге 3 от систем с одной или двумя степенями свободы. Так называемые условно-периодические движения, соответствующие интегрируемым системам с п степенями свободы, образуют п-мерные инвариантные многообразия типа тора. Методом Колмогорова доказывается грубость таких торов — они мало видоизменяются, т. е. устойчивы при достаточно малых возмущениях. При и = 1 или п = 2 в фазовом пространстве 2п измерений устойчивые торы лежат в многообразиях 2п — 1 измерений, которые выделяются требованием постоянства энергии, как соосные торы (и = 2) или концентрические кривые п = 1). Поэтому не только траектории, первоначально лежащие на инвариантных торах, но и траектории, находящиеся между ними, остаются между этими торами. В этом случае существование торов гарантирует устойчивость системы. При га >> 3 гг-мерные торы вложены в пространство 2п — 1 измерений, которое они делить уже не могут, т. е. щели между торами сообщаются друг с другом. Поэтому траектория, начинающаяся между торами, несмотря на их устойчивость по отношению к возмущениям, может, извиваясь между торами, уйти на любое расстояние от них, т,. е. оказаться неустойчивой. Примеры, иллюстрирующие эти общие положения, приведены в докладе [c.134]

Тенденции к порядку и хаосу обусловлены устойчивостью и неустойчивостью. Еще совсем недавно устойчивость рассматривалась как неотъемлемое требование физической реализуемости. Казалось, что неустойчивые состояния равновесия и периодические движения физически нереализуемы на протяжении продолжительных интервалов времени и имеют значение лишь в математических исследованиях, поскольку играют важную роль в формировании границ областей притяжения устойчивых состояний равновесия и периодических движений. [c.43]

Роль неустойчивых состояний равновесия и периодических движений как границ областей притяжения отражена на фазовом портрете динамической системы (рис. 2.1), которую можно назвать триггером. Точки ж О г — устойчивые состояния равновесия (одно — типа фокуса, другое — типа узла). Точка О — неустойчивое состояние равновесия типа седла. В него входят только две фазовых траектории и 2, и они разделяют устойчивые равновесия О1 и О1, определяя возле каждого из них области притяжения и П . Всякая фазовая точка области стремится к точке 0 , всякая точка области Яд — к точке О г. Таким образом, в зависимости от начальных условий система с таким фазовым портретом оказывается в одном из состояний равновесия (либо О,, либо Ог). Перейти из одного из этих состояний равновесия в другое она [c.43]

В настоящей главе рассказывается о простейших установившихся движениях — состояниях равновесия и периодических движениях. Излагается классификация состояний равновесия и периодических движений, устанавливаются и исследуются основные типы их бифуркации. Рассматриваются не только устойчивые состояния равновесия и периодические движения, но и неустойчивые седловые состояний равновесия и периодические движения. Если первые играют роль основных простейших установившихся движений, то вторые играют определяющую роль в формировании границ их областей притяжения и в формировании хаотических и стохастических движений, а также всего фазового портрета динамической системы. [c.93]

Вместе с тем, несмотря на все эти усложнения, основную роль по-прежнему играют бифуркации состояний равновесия, периодических движений и их интегральных многообразий 5 и >5 . В дополнение к четким законам бифуркаций состояний равповесия и периодических движений обнаружились новые законы серий бифуркаций и их связи с так называемыми вложенными структурами, с касаниями инвариантных многообразий и 8 , с особым характером зависимости числа вращения Пуанкаре от параметров. [c.163]

В настоящее время в литературе часто встречаются утверждения об аналогии между переходами динамических систем от движений одного типа к движениям другого типа (например, от состояния равновесия к периодическому движению, от регулярного движения к хаотическому, от одних хаотических режимов к другим и т. п.) и известными в статистической физике фазовыми переходами второго рода [56, 106, 127, 232, 241, 298, 309, 327, 338, 339, 355, 356]. Действительно, между этими явлениями формально имеется много общего, что проявляется, в частности, в степенной зависимости некоторых величин, имеющих смысл параметра порядка (или беспорядка), от разности между бифуркационным параметром и его критическим значением. (В статистической физике роль бифуркационного параметра играет температура.) Особо важным является тот факт, что показатель" степени, называемый критическим индексом, универсален для целого класса систем, совершающих фазовый переход. [c.239]

Постановка задачи. Рассмотренные выше задачи параметрических колебаний можно трактовать как задачи об устойчивости некоторых режимов установившихся вынужденных колебаний. Поясним это на примере задач, показанных на рис. 1. В случае, показанном на рис. 1, а, роль невозмущенного движения играют продольные колебания стержня, в случае рис. , б — радиальные колебания кольца, в случае 1, в — колебания пластинки в своей плоскости и т. д. Однако весь предыдущий анализ базировался на предположении, что перемещения в невозмущенном состоянии пренебрежимо малы. Рассмотрим уточненную постановку задачи для случая упругого стержня, сжимаемого периодической продольной силой (рис. 3). [c.365]

В следующем по простоте случае имеется система двух уравнений первого порядка. Тут геометрические методы Пуанкаре дают качественные характеристики всех возможных движений, и оказывается, что положения равновесия и периодические движения и в этом случае играют центральную роль. Следующий параграф будет посвящен примеру такого движения. [c.132]

В случае динамических систем более сложного типа неясно играют ли периодические движения столь же важную роль. Для динамических систем с двумя степенями свободы (рассматриваемых в следующей главе) можно сказать, однако, с почти полной уверенностью, что периодические движения продолжают и тут играть основную роль. В более сложных случаях — для систем с еще большим числом степеней свободы рекуррентные движения, которые мы рассмотрим в главе 7, быть может, следует рассматривать как надлежащее обобщение периодических движений, и, таким образом, эти движения могут приобрести большое теоретическое значение. [c.133]

Заметим, что в только что рассмотренной проблеме мы имеем четыре периодических движения, которые играли специальную роль, а именно, движения вдоль обеих осей эллипса и два движения вдоль самого эллипса в обоих возможных направлениях. [c.255]

Для многих задач небесной механики особенно важную роль играют периодические решения дифференциальных уравнений, соответствующие периодическим движениям или пе риодическим орбитам интересующих нас небесных тел [c.123]

Бифуркации периодических движений первого типа очень похожи на бифуркации состояний равновесия (см. рис. 15.5 а) — исчезновение двух состояний равновесия подобно слиянию и исчезновению двух циклов на секущей Е они даже выглядят одинаково — роль состояний равновесия играют неподвижные точки отображения Пуанкаре (рис. 15.12). [c.320]

Изучение колебаний системы в окрестности положения равновесия или периодического движения обычно начинается с ее линеаризации. Линеаризованная система интегрируется. Основные свойства колебаний в исходной системе после этого часто могут быть выяснены с помощью теории нормальных форм Пуанкаре—Биркгофа. Эта теория — аналог теории возмущений (гл. 5 2). Линеаризованная система играет роль невозмущенной по отношению к исходной. В настоящей главе описаны основные элементы этого подхода. [c.267]

С ним мы столкнемся только при рассмотрении неконсервативных систем. Хотя, как мы только что видели, периодические движения в консервативных системах, вообще говоря, неустойчивы по Ляпунову, однако они все же обладают некоторым видом устойчивости. Именно — достаточно близкая траектория всегда лежит целиком в непосредственном соседстве с рассматриваемой. Такой вид устойчивости носит название орбитной устойчивости эта устойчивость играет существенную роль в общей теории поведения интегральных кривых. [c.151]

Наиболее распространенной причиной возникновения звука в среде является периодическое движение тел, погруженных в эту среду, и имеющее достаточно большую, частоту, например колебания ножки камертона, вращательное движение лопастей самолетного или корабельного винта и т. п. Однако звук возникает не только в этих случаях. Он возникает также при обтекании неподвижных твердых тел постоянным потоком (или, что все равно, при движении тел с постоянной скоростью), когда, казалось бы, нет причины для возникновения периодических явлений. Примером такого вида звукообразования может служить свист на растяжках самолетов, на снастях кораблей, звучание проводов и струн ( эолова арфа ), свисты при обтекании углов, щелей и т. п. При этом существенно, что способность той же, скажем, струны колебаться играет второстепенную роль, так как указанные звуки возникают и при обтекании неподатливых, твердых тел. Исходные причины звукообразования в этих случаях не связаны с колебаниями тел, а обусловлены явлениями вихреобразования при обтекании тел потоком. Соответствующий звук называют поэтому вихревым. [c.127]

Маховик является как бы аккумулятором кинетической энергии механизмов машины, накапливая ее во время их ускоренного движения и отдавая обратно при замедлении движения. В некоторых маи]инах, в которых полезная нагрузка периодически меняется в значительных пределах (дробилки, прокатные станы и т. п.). маховик аккумулирует весьма значительные запасы кинетической энергии во время ускоренного движения (при уменьшении величин полезных нагрузок). Такая аккумулирующая роль маховика позволяет использовать накопленную им энергию для преодоления повышенных полезных нагрузок без увеличения мощности двигателя. [c.381]

Все эти свойства, однако, исчезают при переходе к следующим приближениям. Эффекты следующих приближений хотя и являются малыми, но для некоторых явлений могут играть основную роль. Эти эффекты обычно называют ангармоническими в связи с тем, что соответствующие уравнения движения нелинейны и не допускают простых периодических (гармонических) решений. [c.145]

В физике твердого тела при анализе многих явлений (дифрак, ция, движение электронов в периодическом потенциальном поле, рассеяние фононов), связанных с периодическим расположением дискретных частиц, чрезвычайно важную и полезную роль играет обратная решетка. Обратная решетка не является решеткой в том обычном смысле, который мы вкладывали при определении пространственной решетки кристалла, (см. 1.1). Обратной решетки не существует в кристалле, она представляет собой удобную абстракцию, позволяющую математически довольно просто и точно описы- [c.24]

Введенный при обсуждении функций Блоха волновой вектор к играет в задаче о движении электрона в периодическом поле кристалла такую же роль, какую играет волновой вектор в задаче о движении свободного электрона. Состояние свободно движущегося электрона с массой т характеризуется энергией Е и импульсом р. При этом [c.216]

Отличие молекулярных спектров от атомных и их характерные особенности определяются тем, что во всех молекулах, кяк двухатомных, так и многоатомных, движение является более сложным, чем в ато.мах. Наряду с движением электронов существенную роль играют периодические изменения относительного расположения ядер — колебательное движение молекулы, а также периодические изменения ориентации молекулы как целого в пространстве— вращательное движение молекулы. [c.233]

Из сказанного следует, что возмущение, накладываемое на основное движение, может оказывать двоякую роль. При малой величине амплитуды в уравнении для поверхности пленки жидкости в виде периодической функции влияние возмущения на [c.22]

Разница между ролью регуляторов и маховиков. Маховик служит также для регулирования движения, но его действие совершенно отлично от действия регулятора. Маховик влияет только на моментальные изменения скорости он регулирует движение, когда оно уже периодически равномерно, и уменьшает отклонение между экстремальными значениями скорости, существующими в течение периода но он не может удерживать одинаковые значения средней [c.476]

Переменные действие — угол. Во многих разделах физики важную роль играют системы, движение которых является периодическим. В таких системах нас часто интересуют не столько подробности траекторий их точек, сколько частоты этих движений. Мы сейчас рассмотрим весьма изящный и эффективный метод исследования таких систем, основанный на методе Гамильтона — Якоби. В этом методе в качестве новых импульсов выбираются не постоянные а,-, непосредственно входящие в полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, а подходящим образом определенные постоянные образующие п независимых функций от 1. Они носят название действий. [c.316]

Ниже мы увидим, что особые точки (дающие положения равновесия) и замкнутые силовые линии (даюш ие периодические орбиты) играют особую роль при изучении движения системы. Начнем с изучения движения в окрестности особой точки. [c.364]

Известное сродство с циклическими системами имеют системы, обладающие периодически.м движением, для которых, стало быть, по прошествии известного времени повторяются точно те же самые состояния движения, в той же последовательности эти системы мы будем кратко называть периодическими системами. Если периодически движущиеся массы играют второстепенную роль, то периодические системы могут обладать почти всеми свойствами подлинно циклических систем. Например, они могут отличаться от подлинно циклических систел только тем, что в их состав входят вращающиеся зубчатые колеса, взад и вперед движущиеся поршни и другие колеблющиеся массы. [c.471]

Явление, которое наблюдалось Брэдли, называется аберрацией света. Брэдли сначала не мог объяснить свои наблюдения кажущимся периодическим движением звезд. Наконец, благодаря случайной помощи матросов парусника, на котором Брэдли в числе других совершал путешествие по реке Темзе, ему удалось найтн истинное объяснение этому явлению. Вот как это произошло. Парусник двигался долгое время то вниз, то вверх по реке. В день прогулки дул умеренный ветер. Брэдли заметил, что при каждом повороте парусника флюгер на его мачте немного поворачивался так, как будто изменилось направление ветра. Он этому удивился и обратился к матросам с вопросом, почему направление ветра регулярно меняется при каждом изменении курса парусника. Матросы объяснили Брэдлн, что никакого изменения направления ветра не происходит и все обусловлено только изменением направления движения парусника. Это наблюдение навело Брэдли на мысль, что в явлении аберрации роль ветра играет распространение света, а роль парусника играет Земля. Следовательно, явление аберрации обусловлено вращением Земли вокруг Солнца и конечностью скорости распространения снега и не имеет никакого отношения к собственному движению звезды. [c.415]

Для существования этой функции, называемой потенциальной функцией, необходимо и достаточно выполнение соотношений dPJda = dP ldag, (s, j= 1,, ,,, к). Из равенства (65) следует, что уравнения для определения порождающих параметров а = aj- совпадают с условиями стационарности фуикции D нетрудно показать также, что условия строгого минимума функции D, основанные на анализе членов второго порядка в разложении этой функции вблизи стационарной точки, совпадают с условиями устойчивости периодических решений (соответствующие минимумы назовем грубыми). Иными словами, в задаче о существовании и устойчивости периодических движений функцня D играет так ю же роль, как и потенциальная энергия в задаче о положениях равновесия консервативной системы, т. е. при существовании функции D результаты, приведенные выше, являются аналогами известных теорем Лагранжа—Дирихле и А. М Ляпунова [35, 37] [c.61]

Аналогичные рассуждения применимы и к трехмерному интегральному тору и приводят к его бифуркациям как целого типов Л +1 и ]У 1. Однако теперь уже с ростом размерности все большую роль могут приобрести изменения на самом торе. Эти изменения уже сами по себе могут вызывать хаотизацию и стохастизацию движений при сохранении тора как устойчивого многообразия. В случае двумерного тора они не могут хаотизи-ровать движения на торе, но могут привести к его разрушению. К таким бифуркациям следует отнести слияние и последующее исчезновение устойчивого и неустойчивого периодических движений на торе (Л +1). Эта бифуркация будет рассмотрена в следующей гл. 6. Следует иметь в виду, что она не всегда ведет к разрушению тора все может ограничиться изменением числа вращения Пуанкаре фазовых траекторий на торе. Разрушение тора могут быть следствием бифуркации отдельных периодических движений на нем типов N-1 и Это Относится прежде всего к случаям, когда испытывающее бифуркацию периодическое движение не покрывает тор достаточно густо. Бифуркация типа может привести к последующему образованию гомоклинической структуры через касание интегральных многообразий 5 и 8 седловых движений, ранее лежавших на торе. [c.123]

Бифуркации на двумерном торе могут быть вызваны изменением числа вращения Пуанкаре его обмотки. При рациональном числе вращения обмотка тора периодическая, точнее, на торе есть устойчивые периодические движепия, а остальные фазовые траектории к ним приближаются, за исключением такого же числа неустойчивых периодических движений, которые играют роль разделяющих границ локальных областей притяжения устойчивых периодических движений. При иррациональном числе вращения обмотка двумерного тора квазипериодическая. Число вращения Пуанкаре как функция параметра в общем случае ку-сочпо-постоянная, при всяком ее изменении происходят бифуркации обмотки тора — фазового портрета иа торе. Бифуркации отдельных периодических движений на торе ничем не отличаются от описанных уже бифуркаций периодических движений. [c.167]

В большинстве физических явлений в металлах главную роль играют электроны с энергией, близкой кфермиевской. Уравнение (27.5) показывает, что электрон с фермиевской энергией движется в ft-пространстве по орбите, которая образуется при сечении поверхности Ферми плоскостью, перпендикулярной магнитному полю (рис. 33). Для электрона в окрестности экстремума энергии в зоне проводимости эта траектория обычно представляет замкнутую кривую, по которой электрон совершает периодическое движение. Для незамкнутых поверхностей при некоторых направлениях магнитного поля движение электрона будет апериодическим. [c.165]

Наряду с положениями равновесия замкнутые фазовые траектории игр исключительно важную роль в теории колебаний, поскольку они ог бражают периодические движения реальных систем. [c.58]

Перейдём теперь к изучению явлений, возникающих при дальнейшем увеличении числа Рейнольдса. По мере этого увеличения наступает в конце концов момент, когда становится неустойчивым и рассмотренное выше периодическое движение. Исследование этой неустойчивости должно было бы производиться ) аналогично изложенному выше методу определения неустойчивости основного стационарного течения. Роль невозмущённого движения играет теперь периодическое движение Уо(л , у, г, f) (с частотой ш ), а в уравнения движения [c.131]

Перефразируя известные слова Пуанкаре о периодических решениях, можно сказать, что бифуркации, как факелы, освещают путь от исследованных динамических систем к неисследованным. Эту роль теории бифуркаций использовали Л. Д. Ландау и позже Э. Хопф, предложившие эвристическое описание перехода от ламинарного течения к турбулентному при возрастании числа Рейнольдса. В сценарии Ландау этот переход осуществлялся через бифуркации торов все возрастающей размерности. После того, как зоопарк динамических систем и их бифуркаций необозримо разросся, появилась масса работ, описывающих, в основном на физическом уровне строгости, переход от регулярного (ламинарного) движения к хаотическому (турбулентному). С помощью исследования цепочки бифуркаций объяснено хаотическое поведение трехмодовой модели Лоренца конвективного движения это объяснение не вошло в настоящий обзор, поскольку в него, по соображениям объема, [c.9]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...