Изотропные среды.Упругие постоянные

Изотропные среды. Упругие постоянные [c.204]

Предположим теперь, что рассматриваемая среда изотропная, с упругими постоянными Ламе Я и [х. Введем функцию [c.27]

Предположим, 5 — замкнутая поверхность класса Л (а), ограничивающая конечную (бесконечную) область П ) из Е , занятую упругой однородной изотропной средой с постоянными Ламе Я, и г. Пусть (5), где О < Р < а < 1. [c.251]

Напряжения, создаваемые одной прямолинейной дислокацией (и действующие на другую дислокацию), убывают обратно пропорционально расстоянию от нее. Поэтому напряжение, создаваемое в точке X дислокацией, находящейся в точке х, имеет вид bDI(x—х ), где D — постоянная порядка величины упругих модулей кристалла. Можно показать, что эта постоянная D > О, т. е. две одинаковые дислокации в одной и той же плоскости скольжения отталкиваются друг от друга (для изотропной среды это показано в задаче 3 28). [c.169]

Рассмотрим первую основную задачу для конечной односвязной области. Так как искомые аналитические функции ф(г) и i j(z) однозначны в данной области S и упругие постоянные Я и х не входят в граничное условие (6.109), то решение этой задачи, даваемое функциями ф(2), -113(2), не зависит от упругих постоянных X и Х, иначе говоря, при заданных внешних силах на границе конечной односвязной области напряженное состояние в заполняющем ее теле не зависит от упругих свойств материала. Для конечной многосвязной области решение, определяемое функциями ф(г), я з(2), зависит от материала среды. Чтобы решение, определяемое функциями ф(2), 1 з(2), не зависело от упругой постоянной ус, главные векторы сил, приложенных к каждому из контуров Lh, как это следует из формул (6.100), (6.101), должны быть в отдельности равны нулю. Именно в этом случае напряженное состояние не зависит от упругих постоянных тела. Этот результат и составляет теорему Мориса Леви, лежащую в основе метода нахождения напряженного состояния в каждой точке изотропной однородной среды на мо- [c.132]

Рассмотренные выше примеры симметрии упругих свойств являются частными случаями наиболее общего анизотропного упругого тела, характеризуемого 21 упругой постоянной. Самое последнее упрощение можно установить еще следующим образом. Будем считать, что выражение для упругого потенциала инвариантно относительно выбора координатных осей (в этом случае среда называется изотропной). Чтобы получить при этом ограничения на коэффициенты, достаточно повернуть координатную систему, например, около оси г на малый угол со. Новые оси х, у, г будут составлять со старыми осями углы, опреде- [c.222]

Покажем, что при заданных % и уравнение Рэлея (10.31) имеет единственный действительный положительный корень, удовлетворяющий условию с < 2, т. е. покажем, что вблизи свободной поверхности полупространства, занятого любой изотропной упругой средой, характеризующейся постоянными Я и р,, могут распространяться поверхностные волны рассматриваемого типа и что скорость распространения этих волн единственным образом определяется значениями параметров Ламе Я и р. [c.406]

Данная глава включает шесть разделов, два приложения и список литературы. Основные сведения о распространении механических возмущений приведены в приложении А. Некоторые результаты, относящиеся к динамике линейно упругих тел, обсуждаются в приложении Б. В разд. II дается обзор теории эффективных модулей для слоистых сред и сред, армированных волокнами. Несколько более подробно рассматривается слоистая среда, состоящая из чередующихся слоев двух изотропных однородных материалов здесь находятся выражения для эффективных модулей через упругие постоянные материала и толщины слоев. Построенная теория используется для нахождения постоянных фазовых скоростей продольных и поперечных волн в направлении, параллельном слоям. После этого исследуются пределы применимости теории эффективных модулей для изучения волн в слоистой среде. Соответствующие ограничения устанавливаются сравнением частот и фазовых скоростей с точными значениями, найденными в разд. III. [c.358]

Мы будем рассматривать слоистую среду, состоящую из чередующихся плоских параллельных слоев двух однородных изотропных материалов. Как и ранее, упругие постоянные Ламе и толщина высокомодульной армировки и низкомодульной матрицы обозначаются через dt и V, Цт, dm соответственно. [c.365]

К группе трансверсально-изотропных композиционных материалов относят материалы, физико-механические свойства которых изотропны в плоскости листа и анизотропны по толщине. Напряженно-деформированное состояние трансверсально-изотропной среды описывается пятью упругими постоянными. Характерной особенностью данных материалов является то, что армирование производится укладкой изотропных или анизотропных слоев. [c.6]

Известно [212], что изотропная упругая среда характеризуется двумя модулями упругости. Соответственно этому в ней имеются и два независимых коэффициента потерь. Обычно в качестве основных принимаются модули объемного расширения К = Ка - гЩк) и сдвига G — Go i- -i a). Все другие упругие постоянные выражаются через эти два модуля с помощью простых формул [201, 212]. По этим формулам вычисляются и их [c.216]

Если во всех точках среды упругие свойства одинаковы во всех направлениях, такая среда называется изотропной. Ее упругие коэффициенты не меняются при ортогональных преобразованиях (когда новая система координат получается путем жесткого поворота старой). В прямоугольных же декартовых координатах они представляют собой упругие постоянные. [c.182]

Однородное изотропное идеально-упругое тело. Предполагается, что в начальном состоянии среда однородна и изотропна, ее плотность ро постоянна. Этим исключается зависимость удельной потенциальной энергии деформации от ориентации осей выбранной координатной системы и явное вхождение в ее выражение координат точек среды. [c.632]

Соотношения между возможными упругими постоянными линейной изотропной среды приведены в приложении V. [c.34]

Упражнение 1.4. Показать, что для случая изотропной линейной упругой среды постоянная С находится из уравнения (1.17) в следующем виде [c.121]

Те, кто использовал линейную аппроксимацию и испытал выгоду от ее теоретической простоты, подразделили зависимости между напряжением и деформацией на различающиеся множества, каждое из которых сделалось предметом специального исследования. Описание тел на основе схемы линейной упругости привело к обширной экспериментальной программе определения постоянных упругости для изотропных и анизотропных предположительно однородных сред. Далее, это привело к исследованию зависимости этих упругих постоянных (упругих жесткостей или податливостей) от разнообразных параметров, таких, как температура окружающей среды, скорость изменения напряжений, скорость деформации, предшествующая термическая, химическая механическая истории и окружающие электрическое и магнитное поля. По большей части численные значения были табулированы и каталогизированы не просто с целью их собирания (хотя на самом деле это иногда и случалось в наше время), но скорее для исследования и сравнения осмысливаемых экспериментальных данных с теоретическими трактовками с подчеркиванием функциональной зависимости от различных параметров. [c.534]

В предыдущих параграфах мы пользовались сингулярным решением для изотропного упругого тела, хотя в большинстве практических случаев рассматриваемые материалы обладают сильно анизотропными упругими свойствами (например, слоистые и армированные материалы, а также большинство материалов естественного происхождения). Возрастание анизотропии сказывается на уменьшении симметрии в упругих свойствах и увеличении числа упругих постоянных, связывающих напряжения и деформации в точке такого тела. В теории упругости анизотропной среды показано, что произвольный анизотропный материал, не обладающий плоскостями симметрии упругих свойств, можно охарактеризовать 21 независимой упругой постоянной [19,20]. Использованную в этом случае форму закона Гука лучше всего продемонстрировать, записав шесть независимых компонент деформаций и напряжений для трехмерного случая в виде векторов j и е и заметив, что наибо-лее общее линейное соотношение между ними представляется в виде матрицы упругих податливостей [С] размером 6x6, откуда [c.125]

Первый из них основан на представлении материала в виде упорядоченно или случайно расположенных в изотропной среде (связующем) армирующих элементов (волокон). Модели такого рода, предложенные различными авторами [1, 26, 27, 50, 86, 98, 103, 104, ИЗ], позволяют определять средние упругие постоянные материала в зависимости от упругих постоянных волокон и связующего и их относительного объемного содержания в материале. [c.5]

Видное место в истории механики сплошной среды занимает Дж. Г. Стокс, давший в 1845 г. вывод уравнений теории упругости, опирающийся на строго континуальный подход (Эйлера — Коши) и естественную гипотезу о линейной зависимости компонент напряжения от компонент деформации. В результате для изотропного тела он получил две упругие постоянные и привел ряд веских соображений в пользу того, что они не могут быть сведены к од- [c.52]

Известно [133, 134], что модули упругости анизотропной среды в общем случае образуют тензор четвертого ранга и имеют 21 независимую постоянную. При существовании в среде элементов симметрии число независимых упругих модулей уменьшается. Так, в случае ортогонально-анизотропной (ортотропной) среды число упругих постоянных уменьшается до девяти, для трансверсальной изотропной — до пяти и для изотропной— до двух. [c.98]

Как уже отмечалось, в уравнения закона Гука для трансверсально-изотропной среды входит пять независимых упругих постоянных [c.100]

Подставляя данные соотношения в формулы (59) — (65), получим следующие выражения для упругих постоянных в безграничной трансверсально-изотропной среде модули Юнга [c.101]

Ультразвуковые измерения 92 Упругие постоянные 17, 178, 182 Упругий импульс в цилиндрическом стержне 73 Уравнение частот продольных колебаний цилиндрического стержня 61 Уравнении движения изотропного упругого тела 83 --упругой среды 18 [c.190]

Отметим, что соотношения (7.15) должны быть разрешимыми относительно компонент деформации у и компонент кручения—изгиба со у. Это условие налагает на упругие постоянные с ц и с 1ь определенные ограничения. Подробнее об этом для изотропной среды будет сказано в следующем пункте. [c.33]

Таким образом, изотропная среда с центром симметрии характери-зуется шестью упругими постоянными. [c.33]

На языке предыдущих параграфов содержание определений (11.6) и (11.7) можно изложить так. Рассматривается изотропная и однородная (по отношению к упругим свойствам) среда с постоянными Ламе А, и ы. Плотность масс этой среды, обозначаемая через р, предполагается постоянной. Предполагается также положительная определенность удельной энергии деформации (см. (6.19)). Компоненты напряжений считаются непрерывно дифференцируемыми как по декартовым координатам точки среды, так и по времени, а компоненты смещений — дважды непрерывно дифференцируемыми по тем же переменным (предположение I из 11.7). Предполагаются также применимыми уравнения движения (4.3) (предположение II из 11.7) и закон Гука (5.15) (предположение III из 11.7). [c.43]

Тела, у которых упругие свойства одинаковы по всем направлениям, обладают полной симметрией и называются изотропными. В этом случае любая плоскость и любая ось являются плоскостью и осью симметрии. Для изотропных сред число независимых упругих постоянных сводится к двум, И ИХ матрица симметрична независимо от существования функции энергии деформации. Выбирая в качестве двух независимых констант известные постоянные Ламе Я п 1-1, напишем матрицу (6.19) для изотропной упругой среды [c.204]

В безграничной изотропной среде скорость распространения УЗК зависит от двух упругих постоянных Лямэ б и [c.143]

Основы теории упругости были разработаны почти одновременно Навье (1821), Коши (1822), Пуассоном (1829). Независимо друг от друга они получили по существу все основные уравнения этой теории. Особо выделялись работы Коши. В отличие от Навье и Пуассона, привлекавших гипотезу молекулярных сил, Коши, опираясь на метод, в котором используется статика твердого тела, ввел понятия деформации и нагфяжения, установил дифференциальные уравнения равновесия, граничные условия, зависимости между деформациями и перемещениями, а также соотношения между напряжениями и деформациями для изотропного тела, первоначально содержавшие две упругие постоянные. В эти же годы появились исследования М. В. Остроградского о распространении волн в упругом теле при возмущении в его малой области. На эти исследования ссылается в своих работах Пуассон, впервые (1830) доказавший существование в однородной изотропной среде двух типов волн (волны расширения и искажения). [c.5]

Среди введенных пяти упругих постоянных X, х = G, k, Е, v для изотропного тела только две из них являются незавиеимыми. [c.63]

Постоянная А, входящая в (3,24) —(3,27), может быть найдена, если известны свойства дефекта, определяющие его способность деформировать окружающую упругую среду. Для характеристики дефекта часто пользуются моделью по точечного дефекта, а сферического включения, помещенного в упругую, деформированную нм среду (матрицу). В рамках этой модели принимается, что в ун-2)угой, однородной, изотропной среде вырезано сферическое отверстие радиуса г, в пего вставлено сферическое включение (модули упругости которого могут и отличаться от модулей матрицы) радиуса Г2, причем может быть как больше, так и меньше Г. Поверхности сферы и отверстия приведены в соприкосновение п соединены. После отого произошла релаксация системы, в результате которой граница мезкду включением и матрицей установилась при некотором иромезкуточном между Гх н Г2 значении [c.62]

В качестве примера трансверсально изотропной среды специального вида рассмотрим слоистую среду, состоящую из чередующихся плоских параллельных слоев двух однородных изотропных упругих материалов. Упругие постоянные й толщина высокомодульного армирующего материала и низкомодульной матрицы обозначаются через Xt, if, di и V, (Xm, dm соответ ственно (см. рис. 2). Согласно теории эффективных модулей, слоистая среда в целом является трансверсально изотропным материалом с осью в качестве оси симметрии следовательно, связь напряжений с деформациями можно описать уравнениями общего вида (12) — (17). Эффективные упругие модули Qi и т. д. были найдены в работах Ризниченко [57], Постма [56], Уайта и Ангона [79], Рытова [58] и Беренса [14] на основании [c.363]

В предыдущей главе отмечалось, что кристаллическая среда проявляет постоянную оптическую анизотропию в виде двойного -лучепреломления. В 1816 г. Брюстером было установлено, что некоторые изотропные материалы, когда в них возникают напряжения или деформации, становятся оптически анизотропными, как кристаллы. Все рассматривавшиеся нами явления, связанные с прохождением света через двоякопреломляющие пластины, свойственны естественным и искусственным кристаллам с постоянным двойным лучепреломлением, а также и изотропным аморфным материалам с временным двойным лучепреломлением. Почти все прозрачные материалы становятся под действием нагрузки двояко-преломляюгцими. В зависимости от материала величина двойного лучепреломления определяется напряжениями или деформациями или же теми и другими одновременно. Однако в линейно упругих материалах, в которых напряжения и деформации связаны линейной зависимостью, оптические эффекты можно в равной мере относить и к напряжениям, и к деформациям. Это свойство временного двойного лучепреломления при действии нагрузки называют фотоупругостью. [c.61]

Дж. Эшелби [14] решил задачу об упругом деформировании изотропной среды с включением эллипсоидальной формы, и на основе этого получил зависимости эффективных постоянных композита от объемного содержания в нем хаотически ориентированных вытянутых эллипсоидов. В работе [20] аналогичная задача решена для включений пластинчатой формы. Впоследствии Рассел [21] использовал решение Эшелби при исследовании влияния длины волокон в однонаправленном волокнистом композите на его эффективные характеристики. [c.17]

С каждой неоднородной средой теория эффективного модуля связывает некоторую эквивалентную однородную среду. При этом, если все компоненты композита являются изотропными, эквивалентная среда оказывается, вообще говоря, анизотропной. Так, для слоистого композита эквивалентная среда, как было установлено в гл. 5, является трансверсально изотропной, а для волокнистых однонаправленных композитов и композитов с ортогональным армированием, как было установлено в гл. 6, эквивалентная среда является ортотропной (с числом незаёисимых упругих постоянных от 6 до 9) или трансверсально изотропной. [c.234]

Упругое взаимодействие зерен при их произвольной форме учтено Э. Кренером [28] с помощью введеного Эшелби понятия упругой поляризуемости . Сначала Э. Кренер определил упругую поляризуемость анизотропного шарика в изотропной среде, т. е. тензор определяющий дополнительное стеснение, вызванное формой шарика и различием упругих постоянных шарика и среды. Далее он отметил, что вычисленный тензор упругой поляризуемости не связан с формой зерна, а определяет некоторый упругий диполь, который одинаков для различных форм зерна. Переход к расчету упругих констант поликристалла производится при предположении, что в пределах идеального, т. е. однородного и изотропного, поликристалла суммарная упругая поляризуемость (интеграл тензора упругой поляризуемости по всем возможным ориентациям) равна нулю. [c.391]

Ориентированная система газонаполненных треш[ин. Рассмотрим упругоизотропный материал, содержащий ориентированную систему газонаполненных трещин, однородно и изотропно распределенных в плоскостях, перпендикулярных оси Хз (рис. 4). Тогда среда будет эффективно трансверсально-изотропной с осью изотропии, совпадающей с осью Такая среда характеризуется пятью упругими постоянными, и связь между компонентами тензоров деформации и напряжений для нее имеет вид [6] [c.108]

Рассмотрим плоский слой толш ины /г, абсолютно жестко сцепленный с полупространством (рис. 12.9). Материалы полупрострапства и слоя являются однородными липейпо упругими изотропными средами с упругими постоянными Ло, /io и Лх, /il, а также плотностями Ро и р1 соответствеппо. Гра- [c.310]

Изотропная среда. Компоненты деформаций и напряжений и постоянные, связанные законом Гука, зависят от ориентации осей координат. Если упругие постоянные среды Сщ не зависят от ориентации осей координат, или, как иногда говорят, упругие свойства среды одинаковы во всех направленияХу то ереду называют изотропной. Если среда не является изотропной, ее называют анизотропной. [c.23]

Число различных упругих постоянных в изотропной среде сводится к двум. Это нетрудно показать (см., например, Love [11, Sneddon, Berry [1 J, Филоненко-Бородич [11, Лехницкий [11), воспользовавшись формулой (5.8) и свойствами компонент деформаций и напряжений. Получаются соотношения [c.23]

Из физического смысла следует, что удельная энергия деформации представляет собой положительно определенную квадратичную форму uie mu независимых величин ец. Это условие налагает на упругие постоянные некоторые ограничения. В случае изотропной среды эти ограничения сводятся к следующему [c.29]

Д., а, 8, V, р — упругие постоянные микрополярной (моментной) изотропной однородной среды [c.659]

Конечные деформации изотропной идеально упругой несжимаемой среды. Специальным случаем материала, рассмотренного в 2.2, Б, является упругое тело, обладающее коэффициентом Пуассона v = /2 = onst и постоянными модулями упругости Е и сдвига 0 = Е13 в условиях, когда упругие деформации могут возрастать до конечных значений. Так должна себя вести идеально упругая резиноподобная изотропная среда, не обнаруживающая при умеренных деформациях никакого упругого [c.75]

Первый подход, называемый в иностранной литературе микрострук-турным, основан на представлении композициоикого материала как изотропной среды (связующего), армированной волокнами в общем случае различного сечения. Механические характеристики однонаправленного материала определяются в этом случае расчетным путем, через упругие постоянные волокон и связующего и относительное содержание компонентов. [c.3]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...