Уравнения неголономных связей в обобщенных координатах

Уравнения неголономных связей в обобщенных координатах [c.205]

Если на систему наложены и неголономные связи, то можно получить уравнения движения системы в обобщенных координатах с помощью введения так называемых обобщенных реакций связей, аналогично тому, как это было описано в 3.8 в декартовых координатах. Обозначим [c.216]

Вернемся к уравнениям (6) в предположении отсутствия неголономных связей. Выберем обобщенные координаты так, чтобы уравнения связей приобрели наиболее простую форму [c.262]

Кроме того, под системами Чаплыгина будем понимать и системы неконсервативные или с неоднородными кинематическими связями при условии, что в выражения обобщенных сил и коэффициентов уравнений неголономных связей не входят координаты [c.104]

Уже отмечалось, что уравнения Больцмана — Гамеля сохраняют свою структуру как для голономных систем, так и неголономных все теоремы гамильтоновой механики голономных систем выражаются и в неголономных координатах. Можно было бы ожидать, что будет достигнуто подобное обобщение и для систем с неголономными связями. В первую очередь должен быть рассмотрен вопрос о возможности обобщения ос- [c.7]

При отсутствии проскальзывания колес проекции скоростей точек Аи В соответственно на оси Ух и у2 равны нулю, поэтому обобщенные координаты и скорости удовлетворяют уравнениям неголономных связей [c.556]

Рассматривается система материальных точек, конфигурация которой задается п независимыми обобщенными координатами д . Уравнения неголономных связей, если таковые имеются, записываются в виде [c.392]

Число их равно числу степеней свободы системы. Это дифференциальные уравнения второго порядка относительно обобщенных координат .... д но в общем случае в их состав входят все обобщенные координаты и скорости. Совместно с уравнениями неголономных связей, которые можно записывать в виде (2) или (1), имеем систему п дифференциальных уравнений, содержащую столько же неизвестных. Порядок этой системы равен 2(п — 1)- 1 = 2п — /. [c.395]

Эта связь неголономна и зависит от времени. Положение и скорость движущейся точки, т. е. ее состояние в данный момент времени ty можно задать двумя обобщенными координатами х я у и одной обобщенной скоростью х (вторая обобщенная скорость у, поскольку t известно, найдется из уравнения неголономной связи). Поэтому фазовое пространство рассматриваемой системы, о котором в этом случае имеет смысл говорить лишь применительно к тому или иному определенному моменту времени, будет трехмерным евклидовым пространством точек (х, у, х). Фазовое пространство и время этой системы, т. е. ее пространство состояний и времени — четырехмерное и тоже евклидово пространство точек (л , у, х, t). [c.22]

Перейдем теперь к изложению результатов П. В. Воронца, который вместе с С. А. Чаплыгиным, П. Аппелем и др. является одним из основоположников механики неголономных систем. В своей работе [ ], написанной в 1901 г., П. В. Воронец выводит уравнения движения, не делая ограничивающих предположений, которые приводят к системе Чаплыгина. Поэтому уравнения Воронца приложимы к более широкому классу неголономных систем, чем уравнения Чаплыгина. Следуя работе П. В. Воронца, рассмотрим движение несвободной системы материальных точек под действием сил, имеющих потенциал. Обозначим через Ят+и обобщенные координаты системы и предположим, что уравнения неголономных связей имеют вид [c.115]

Здесь принято во внимание, что при малых углах х — ф. Уравнения (3.3) и (3.4) представляют уравнения неголономных связей, накладываемые на рассматриваемую систему при качении пневматика в принятой идеализации. Согласно уравнениям неголономных связей (3.3), (3.4) вариации обобщенных координат-ф, 0, ,ф оказываются связанными соотношениями [c.379]

Чтобы получить дифференциальные уравнения движения, применим к первому из уравнений (8.69) и уравнениям (8.70) метод неопределенных множителей Лагранжа. В результате придем к уравнениям Лагранжа в обобщенных координатах для систем с голономными и линейными неголономными связями [c.381]

Если теперь помимо голономных связей наложить на систему еще и неголономны.е, то мы получим запись принципа Гамильтона в виде (4.28), причем уравнения неголономных связей должны быть представлены в обобщенных координатах ). [c.29]

В технических же задачах часто требуется найти реакции связей. Для их нахождения следует применять общие теоремы динамики системы, т. е. составить из этих теорем уравнения движения системы с силами реакций затем подставить в эти уравнения найденные из уравнений Аппеля обобщенные координаты в функциях времени и найти искомые реакции. Ниже приведены уравнения движения для систем с неголономными связями, позволяющие находить не только движение системы, но и реакции связей. [c.381]

Пусть положение несвободной системы, подчиненной как голономным, так и неголономным связям, определяется при помощи г обобщенных координат ц, <72,. .., Цг, в общем случае зависящих друг от друга, согласно 5 уравнениям голономных связей (28). Тогда, составляя по (2) вариации х,-, г/,-, 2/, [c.317]

Но при этом необходимо подчинить Sxk, Syk, Szk наложенным на систему связям. В общем случае неголономных связей нужно потребовать, в соответствии с уравнением (7.4), в котором мы заменяем обобщенные координаты q прямоугольными, чтобы выполнялись соотношения [c.84]

Мы назовем систему неголономной, если невозможно описать конфигурацию с помощью обобщенных координат др (q = 1, 2,. . tV) и времени t, которые могли бы свободно и независимо изменяться. В таких случаях имеются определенные неинтегрируемые уравнения связей вида [c.85]

Уравнения (4) нельзя представить в конечном виде, так как неголономные связи налагают ограничения на скорости, но не на положения точек системы. По этой причине неголономные системы невозможно описать независимыми параметрами, вариации которых были бы также независимы, как это имеет место для описания голономных систем в обобщенных лагранжевых координатах. Следовательно, число уравнений равновесия неголономной системы всегда меньше числа обобщенных координат, т.е. положение равновесия не является изолированным. [c.37]

Пуст . теперь наша система подчинена 5 голономным связям (12.4) и, кроме того, 51 неголономным связям (12.5), причем 5 + 51 < Зп. Снова вводим к = Зп — 8 обобщенных координат ди 72,. .., ди, учитывая лишь голономные связи (12.4). В уравнения (12.5) входят линейно скорости точек системы, которые можно найти из (12.27г) делением на сИ [c.328]

Предположим теперь, что кинетическая энергия Т, потенциальная энергия V, и матрица М неголономных связей, разрешенных относительно части обобщенных скоростей, не зависят от обобщенных координат, соответствующих этим скоростям (т.е. дТ/ду = 0, дУ/ду = 0, дМ/ду = 0). Такие неголономные системы называются системами Чаплыгина и наиболее часто встречаются в приложениях. При этом уравнения движения таких систем можно представить в виде уравнений Чаплыгина [23 [c.442]

Замечание 3. Если на систему наложены еще неголономные связи q-bd = 0, то, согласно (4.4.10), движение системы в пространстве обобщенных координат удовлетворяет аналогу уравнения Даламбера-Лагранжа [c.231]

Применение методов аналитической механики к решению нетривиальных задач требует уже при составлении уравнений подробных сведений по вопросам, на которых, как правило, останавливаются весьма кратко. В связи с этим в книге значительное внимание уделено способам введения обобщенных координат, теории конечных поворотов, методам вычисления кинетической энергии и энергии ускорений, потенциальной энергии сил различной природы, рассмотрению сил сопротивления. После этих вводных глав, имеющих в известной степени и самостоятельное значение, рассмотрены методы составления дифференциальных уравнений движения голономных и неголономных систем в различных формах, причем обсуждаются вопросы их взаимной связи подробно рассмотрены вопросы определения реакций связей и некоторые задачи аналитической статики. Мы считали полезным привести геометрическое рассмотрение движения материальной системы, как движение изображающей точки в римановом пространстве этот материал нашел, далее, применение в задачах теории возмущений. Специальная глава отведена динамике относительного движения, к которому приводятся многочисленные прикладные задачи. Далее рассмотрены канонические уравнения, канонические преобразования и вопросы интегрирования. Значительное место уделено теории возмущений и ее разнообразным применениям. Последняя глава посвящена принципу Гамильтона—Остроградского, принципу наименьшего действия Лагранжа и теории возмущений траекторий. [c.9]

Уравнения (2.9) (с учетом обобщенных сил по координатам х и у) были получены Г. Гамелем. Кроме того, эти уравнения Г. Гамель вывел, исходя из принципа Гаусса, что и убедило его в их правильности. Таким образом, рассмотренная П. Аппелем и Г. Гамелем система с нелинейными неголономными связями получается из неголономной системы с линейными связями путем предельного перехода р 0. Однако при этом предельном переходе происходит понижение порядка системы дифференциальных уравнений, т. е. их вырождение, и поэтому заранее не ясно, совпадают ли движения предельной (р = 0) системы с предельными движениями не- [c.227]

Уравнения движения в форме (12) особенно удобны в случае, когда число обобщенных координат п велико и лишь не намного превышает число неголономных связей. Именно такая ситуация имеет место для электрических машин коллекторного типа. Так, например, в случае электрической машины с барабанной обмоткой электрическое состояние в естественной распределенной идеализации характеризуется счетным числом обобщенных координат. Коллектор является устройством, позволяющим фиксировать распределение тока во вращающемся роторе в системе координат,, связанной со щетками. Это приводит к наложению на электрические координаты счетного множества неголономных связей, лишь немногим меньшего числа электрических координат. [c.175]

Основным различием между уравнениями Лагранжа первого и второго рода систем с конечным числом степеней свободы является то, что уравнения Лагранжа первого рода содержат компоненты реакций связей, а уравнения Лагранжа второго рода эти компоненты не содержат. Достигнуть исключения компонент реакций геометрических и интегрируемых кинематических связей из уравнений движения системы с конечным числом степеней свободы можно, введя соответствующим образом выбранные обобщенные координаты. Если выразить позиционные координаты системы через целесообразно выбранные обобщенные координаты, уравнения геометрических и кинематических интегрируемых связей должны быть тождественно удовлетворены. Это позволяет отделить задачу определения закона движения системы от задачи определения реакций связей [40]. Если на систему наложены кинематические неинтегрируемые связи, задача осложняется, хотя и здесь можно локально достигнуть исключения компонент реакций связей посредством введения неголономных координат (квазикоординат), но полное разделение исследования движения несвободной системы на определение закона движения и определение реакций связей возможно лишь в частных случаях. [c.56]

Также надо присоединить к уравнениям (II. 23) условия, налагаемые неголономными связями. Уравнения двусторонних него-лономных связей в обобщенных координатах при помощи преобразования, рассмотренного при выводе формулы (11.21), а также уравнений (I. 4) можно представить так [c.128]

Принцип Гамильтона можно распространить и на неголо-номные системы. При выводе уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона или из принципа Даламбера мы использовали требование голономности связей только на последнем этапе, когда считали вариации 6qj независимыми. В случае неголономной системы ее обобщенные координаты не являются независимыми и не могут быть связаны друг с другом уравнениями связи вида f(q,, q2,. .., qn, t) — Q. Однако рассмотрение неголономных систем оказывается возможным, если уравнения их связей можно представить в виде [c.53]

Dj — квазискорости, i= 1,2,. ..п, —i-я квазикоордината, имеющая, впрочем, весьма условный смысл ввиду неинтегрируемости со и соответствующих уравнений неголономных связей —структурные константы естественно возникающей в пространстве квазикоординат группы Ли, кото- 041 рые определяются неперестановочностью операторов d и б при переходе от обобщенных координат к квазикоординатам [c.241]

Следовательно, эти уравнения можно рассматривать независимо от уравнений неголономных связей (42), которые служат для определения переменных у, как уравнения движения механической системы с п степенями свободы, определяемой обобщенными координатами х, кинетической энергией Т и находящейся под действием потенциальных сил, производных от потенциальной энергии V и гироскопических сил (iix) X (заметим, что х" (Ох) х = LOijhXiXjXh = О, так как uJijh = = —ujjih)- Наличие этих сил вызвано существованием неинтегрируемых связей в данной системе, поэтому слагаемые (i2x)x в уравнениях (43) будем называть членами неголономности. [c.442]

Посколы г обобщенные координаты независимы, их в иации 5 р Ьд для голономной системы так же независимы, а следовательно, являются произвольными, бесконечно малыми величинами. В неголономной системе вариации обобщенных координат связаны линейными уравнениями, [c.225]

Уравнения Лагранжа второго рода с множителями применяются главным образом для исследования движений систем с неголономными связями, а также в тех случаях сложных го-лономных связей, когда выявление некоторых обобщенных координат оказывается затруднительным. Подробное изложениг теории уравнений Лагранжа, в том числе и уравнений с множителями, относится к специальному курсу аналитической механики ). [c.420]

Для неголономных систем число степеней свободы п отлично от числа обобщенных координат к, необходимых для определения конфигурации системы, — всегда п< к (к — п = г) в слу-чае неголономных связей оперировать лищь независимыми переменными, исключив из рассмотрения все переменные сверх числа степ ней свободы за счет использования уравнений связей, не [c.17]

Горак и А. Вундхейлер составили в инвариантной форме для линейных неголономных систем первого порядка со склерономными и реономными связями в голономных и неголономных, склерономных и реономных координатах различные варианты уравнений Ньютона, Лагранжа — Эйлера, Аппеля— Гиббса, Больцмана, Чаплыгина — Воронца, Ценова, уравнения в естественной форме. Составление обобщенных уравнений Ньютона в инвариантной форме, представляющих собой частный случай уравнений Го-96 рака, принадлежит Г. Вранчеану, Дж. Сингу и И. Схоутену . [c.96]

Пусть движение рассматриваемой точки не стеснено геометрическими (голономными или неголономными) связями. Выберем в качестве обобщенных координат, характеризующих положение точки в пространстве, координаты вектора Попытаемся выяснить, какова должна быть энергия движения точки в гиперреактивном случае, т.е. для динамического описания с помощью уравнения (5.9). [c.176]

По поводу применения уравнений Вольтерры и Больцмана — Гамеля к системам с неголономными связями необходимо указать также на не которые обстоятельства, вызвавшие обсуждение ряда вопросов в научной литературе. Во-первых следует отметить проблему так называемой перестановочности операций дифференцирования по времени и варьирования. Дело в том, что при выводе уравнений движения в неголономных переменных удобно исходить из общего уравнения, предложенного Е. Бельтрами и содержащего билинейные коварианты от декартовых координат, обобщенных координат и неголономных координат, т. е. выражения вида с1бг—бйг, (16п—6с1п и т. д. Вольтерра, переходивший при выводе уравнений движения от декартовых координат непосредственно к неголономным координатам, применял перестановочность варьирования и дифференцирования для декартовых координат при наличии неголономных связей. Данное обстоятельство вызвало в нашей литературе отдельные возражения. Но, Гамель, в вышеупомянутой его работе, убедительно показал равноправность того и другого подхода, проделав вывод уравнений движения в неголономных координатах и придя к од- [c.6]

Дальнейшее исследование свойств подобных дифференциальных форм высших порядков и уравнений движения, выражающихся через них, бесспорно может привести к новым интересным фактам. Лагранж, Эйлер и все другие классики были бы весьма удивлены новым видом уравнений динамики. Но уже и сейчас можно утверждать, что новая форма уравнений динамики является основой дальнейшего развития механики неголономных систем самого общего вида. Если на базе обычных уравнений Лагранжа удается выводить все существующие типы уравнений движения неголономных механических систем только с неголономными связями первого. порядка и 1при этом линейными относительно обобщенных скоростей, то уравнения новой формы могут быть непосредственно применены и для вывода из них уравнений движения с неголономными связями любого вида, т. е. любого дифференциального порядка и любой структуры в смысле линейности или нелинейности уравнений связей относительно производных от обобщенных координат. Уравнения движения для систем с неголономными связями второго порядка были выведены в середине шестидесятых годов тем же И. Ценовым. Уравнения движения с множителями Лагранжа при нелинейных неголономных связях перво- [c.11]

Вместе с развитием неголономных связей и теории общего их вида приобретают значение новые методы в поисках решений классических задач аналитической механики. Такие новые методы базируются, можно сказать, на двух теоремах. Первая теорема высказана в работах П. В. Воронца в первых десятилетиях нашего века в следующей формулировке каждый первый интеграл уравнений движения некоторой механической системы может считаться уравнением связи, наложенной на систему с соответствующими реакциями, равными нулю . Действительно, примем данный первый интеграл за связь и составим уравнения движения с множителем. Далее, учитывая, что первый интеграл тождественно удовлетворяет левым частям всех уравнений с множителем, мы придем к тому, что данный множитель должен быть равен нулю. Обратная же теорема должна читаться следующим образом. Положим, дана механическая система с заданными, пусть идеальными в смысле Лагранжа — Даламбера, связями и активными силами. Имеются динамические дифференциальные уравнения данной системы. Положим, требуется найти янтеграл заданного вида для дайной системы уравнений. Тогда, 1при-няв данный интеграл за уравнение дополнительной связи, будем составлять уравнения движения с подобной связью. Интеграл же может быть любой аналитической структуры, поскольку мы умеем уже составлять уравнения движения при связях любой, если можно так сказать, неголономности. Далее, если мы решим расширенную систему уравнений движения, т. е. уравнений с множителем вместе с уравнением связи, то могут быть две возможности находятся уравнения движения системы, т. е. обобщенные координаты основной задачи в функциях времени и вместе с ними определяется множитель в функции времени. Но, если при каких-либо параметрах системы, или предполагаемого первого интеграла, или при некоторых начальных данных, множитель обратится в ноль, то тогда действительно уравнение связи окажется первым интегралом данной задачи. Возьмем, к примеру, классическую задачу о движении твердого тела вокруг неподвижной точки. Мы знаем, с каким трудом добывались решения этой задачи и как, по существу, их мало. Всего три случая — общего решения, да и общность относится только к начальным условиям, а на другие параметры — распределение масс и положение центра тяжести — налагаются определенные условия. Частных интегралов больше, но все они находились с трудом (вспомним, например, случай Гесса). Данные же методы наиболее естественны нри выяснении вопроса, является ли заданная связь -первым интегралом уравнений движения данной системы как свободной. [c.13]

Механическая система с неинтегрируемыми кинематическими связями, не сводящимися к геометрическим, называется неголономной системой. Неголономная система характеризуется тем, что для нее не существует обобщенных координат, произвольным изменениям которых соответствовало бы движение системы, не нарушающее ее связей. Подчеркнем, что согласно этому определению наличие одной неинтегрируемой связи еще не означает не-голономности системы, поскольку эта связь может оказаться интегрируемой в силу остальных уравнений связей. Так, например, каждая из связей [c.12]

Как следует из обобщенной теоремы площадей Чаплыгина (см. 1 гл. II), вектор момента количеств движения системы относительно точки опоры А постоянен. Убедимся в этом непосредственно. Обозначим через вектор длиною Срсо, направленный по оси гироскопа, и через Ьх, Ьуу — его проекции на оси координат. Пусть X и У — проекции на оси Ах и Ау силы трения (реакции идеальной неголономной связи), развивающейся в точке А опоры гироскопического шара о плоскость. Напишем уравнения движения центра масс и закон изменения момента количеств движения системы относительно центра масс в проекциях на оси координат Ахуг [c.69]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...