Упругая плоскость и полуплоскость

УПРУГАЯ ПЛОСКОСТЬ и ПОЛУПЛОСКОСТЬ [c.513]

Упругая плоскость и полуплоскость [c.513]

УПРУГАЯ плоскость и ПОЛУПЛОСКОСТЬ 523 [c.523]

Метод, о котором идет речь, был предложен Д. И. Шерманом [28, 24]. Этот метод, примененный в его первоначальном виде к решению задач кручения и изгиба упругих брусьев, был впоследствии использован в задачах о плоской деформации. При подборе конкретных примеров особое внимание уделялось специальным вопросам плоской теории упругости, представляющим интерес для математического исследования проблем горного дела. В частности, в связи с этими проблемами был рассмотрен ряд конкретных задач о весомых средах в виде плоскости и полуплоскости, ослабленных двумя отверстиями. [c.576]

Рис. 183. К аналогии между задачами об упругой плоскости с прямолинейными щелями, находящейся под действием растягивающих сил, и действии прямоугольного штампа на упругую нагруженную полуплоскость.

Аналогия задач о давлении жестких прямоугольных штампов на упругую полуплоскость и нагруженной упругой плоскости с прямолинейными шелями 528 [c.562]

Образование краевых дислокаций вызвано присутствием в кристаллической решетке неполных кристаллографических плоскостей. Такие полуплоскости, не имеющие продолжения в нижней или верхней частях кристаллической решетки, называются экстраплоскостями. Краевая дислокация представляет собой область упругих искажений, проходящих вдоль края экстраплоскости. Различают положительные и отрицательные дислокации. Положительная дислокация (ее отмечают знаком ) возникает, если экстраплоскость находится в верхней части кристалла, если в нижней - отрицательная (ее отмечают знаком Т ). [c.21]

Постановка задачи. Пусть в кусочно однородной упругой плоскости, составленной из разных по упругим свойствам верхней и нижней полуплоскостей, на линии раздела сред расположены открытая трещина [а, Ь], берега которой свободны от напряжений [c.301]

В 29 было исследовано распределение напряжений в упругой однородной ортотропной полуплоскости под действием сосредоточенной силы, приложенной к границе, и отмечены характерные особенности этого распределения оно является радиальным, причем (в плоскости поперечного сечения) нормальное напряжение обратно пропорционально расстоянию г от точки приложения силы. Посмотрим, как обстоит дело в непрерывно-неоднородной полуплоскости. [c.202]

Определение амплитуд вынужденных колебаний грунта, вызванных колебаниями прямоугольного туннеля мелкого заложения, с учетом дневной поверхности. Ниже приведены графики, по которым можно определять амплитуды вертикальных колебаний точек поверхности грунта для некоторого частного случая соотношения геометрических и кинематических параметров задачи. Графики вычислены по формулам, дающим решение следующей задачи динамической теории упругости 1[6]. Опреде-ны перемещения и напряжения в упругой однородной изотропной полуплоскости от действия гармонической во времени нагрузки, равномерно распределенной по площади прямоугольника, две стороны которого параллельны границе полуплоскости (рис. 10.5). Главный вектор нагрузки лежит в плоскости, совпадающей с плоскостью рисунка. Здесь же приведены геометрические размеры, характеризующие положение нагрузки, и показана принятая прямоугольная система координат. [c.141]

Таким образом, любое решение задачи о плоскости, ослабленной прямолинейной щелью или системой щелей, расположенных вдоль одной прямой, и находящейся под действием нагрузки, симметричной относительно этой прямой, может быть истолковано как решение задачи о гладком прямоугольном штампе или системе штампов, примыкающих к нагруженной упругой полуплоскости. [c.528]

На рис. 39 изображена упругая среда, ограниченная плоскостью АВ и простирающаяся неограниченно вниз. В точке О приложена сила Р, перпендикулярная плоскости АВ. В случаях плоской задачи рассматриваемая среда называется упругой полуплоскостью. Таких случаев может представиться два. Если протяженность среды в направле- [c.98]

Упругим полупространством называется часть пространства, ограниченная плоскостью. Задача о действии силы Р, приложенной по нормали к этой плоскости (рис. 47), относится к пространственной задаче теории упругости и является более сложной, чем задача о действии силы на границе полуплоскости (см. 6 данной главы). Ее решение удобно строить в цилиндрической системе координат. В этой системе любая точка пространства определяется тремя координатами г, 9, 2. Задача является осесимметричной, поэтому все сечения, параллельные плоскости гОг, находятся в одинаковых условиях и все функции не зависят от полярного угла 0. [c.113]

Перемещение краевой дислокации при сдвиге на одно межатомное расстояние представляет собой согласованную перегруппировку атомов около дислокации и не сопровождается диффузионным переносом массы. Под действием касательного напряжения ряд атомов, образующих дислокационную линию, вытесняет ближайший ряд атомов в соседней плоскости. Этому способствуют упругие искажения кристалла около дислокации, облегчающих разрыв старых и образование новых межатомных связей. Как показано на рис. 5.3, при вытеснении ближайшего ряда атомов плоскость кристалла разделяется на две части одна часть объединяется с избыточной полуплоскостью в целую плоскость, другая — принимает дислокацию и становится избыточной полуплоскостью. Перемещаясь каждый раз на величину вектора Бюргерса — одно межатомное расстояние, дислокация, в конце концов, выйдет на поверхность кристалла, и здесь появится ступенька, равная вектору Бюргерса. Так как в плоскости скольжения движутся десятки и сотни дислокаций, то в результате их выхода на поверхность высота ступеньки будет увеличиваться. [c.125]

При исследовании напряженно-деформированного состояния тел с трещинами широкое применение нашел метод сингулярных интегральных уравнений. Он особенно удобен и эффективен при решении плоских задач теории упругости для тел сложной геометрии, содержаш,их включения, отверстия и трещины произвольной формы. Впервые [И, 137, 181] сингулярные интегральные уравнения использовались при исследовании распределения напряжений около прямолинейной трещины (или полосы пластичности) в некоторых классических областях (полуплоскость, полоса, бесконечная плоскость с круговым отверстием). Система произвольно ориентированных прямолинейных трещин изучалась в работах [21, 22, 70]. Рассматривался также случай криволинейных трещин в бесконечной плоскости [16, 40, 74, 92, 117]. В работах [94—96] основные граничные задачи для многосвязной области, содержащей изолированные криволинейные разрезы и отверстия произвольной формы, сведены к системе сингулярных интегральных уравнений по замкнутым (контуры отверстий и внешняя граница) и разомкнутым (разрезы) контурам. Эти результаты обобщены на случай, когда разрезы выходят на границу тела, а также соединяют отверстия между собой и (или) с внешней границей [97]. К настоящему времени появилось большое количество работ, в которых методом сингулярных интегральных уравнений изучаются плоские задачи теории трещин. Обзор этих исследований имеется в работах [5, 32, 45, 54, 70, 95, 100]. [c.5]

Каждая дислокация, помимо сверхупругих напряжений своем ядре, создает неоднородное поле упругих напряжений. Выше плоскости скольжения в области, где расположена полуплоскость /(+, возникают напряжения сжатия, а при пересечении плоскости скольжения напряжения меняют знак и там, где-отсутствует полуплоскость, возникают напряжения растяжения. Эти упругие напряжения затухают по мере удаления от оси дислокации. При сближении дислокаций одинакового знака поля упругих напряжений складываются и взаимная упругая энергия дислокаций возрастает. При сближении дислокаций разного знака их взаимная упругая энергия убывает. Следовательно, дислокации взаимодействуют по закону одноименные дислокации отталкиваются, а разноименные притягиваются. Дислокации разного знака, оси которых расположены в одной плоскости скольжения, аннигилируют, а если оси дислокаций расположены в разных плоскостях скольжения, то они сближаются и при равновесии располагаются друг против друга. В результате в кристалле может возникнуть вторичная структура — сетка дислокаций. [c.135]

Важно отметить, что такой способ вывода уравнений не ограничивается случаем, когда тело помещается внутрь бесконечной плоскости. В работе [15], как отмечалось ранее, рассматривается погружение тела в последовательность полуплоскостей. Чтобы получить уравнения, допускающие эффективное численное решение, т. е. уравнения Фредгольма второго рода, согласно этому подходу, требуется, чтобы полуплоскости последовательно касались заключенного в них тела при обходе его границы. Такой подход несколько громоздок и особенно неудобен при решении задач теории упругости для анизотропного тела [16] из-за необходимости поворота тензора упругих постоянных. Для эффективности численного решения при любом методе вывода уравнений (включая рассматриваемый в статье) важно, чтобы фиктивные нагрузки были приложены непосредственно к контуру В. Это не позволяет, например, рассматривать тело, заключенное в полуплоскости, при фиктивных нагрузках, приложенных к границе полуплоскости. Следует также заметить, что какой бы метод не использовался, фундаментальное решение для выбранной фиктивной области должно быть простым. Этому требованию лучше всего удовлетворяет бесконечная плоскость. [c.157]

Упругие полуплоскость и плоскость, усиленные накладкой конечной длины переменной жесткости на растяжение. Интегро-дифференциальное уравнение Прандтля, различные аналитические методы его решения [c.106]

В постановке, изложенной в предыдущем параграфе, рассмотрим смешанную задачу о передаче нагрузки от накладки (стрингера) конечной длины и переменной жесткости на растяжение к упругой полуплоскости и плоскости. [c.106]

Упругие полуплоскость и плоскость, усиленные периодической системой накладок [c.143]

Краевую дислокацию в кристалле можно представить и другим путем. Предположим, что верхняя часть кристалла, состоящего из кубов, отвечающих элементарным ячейкам его атомно-кристаллической решетки (фиг. 10, в), содержит на одну атомную плоскость rj больше, чем нижняя часть кристалла. Тогда такая полуплоскость (AB D) является лишней. Искаженная область у края этой лишней полуплоскости AD) называется краевой или линейной дислокацией, которая обозначена значком j. Кристаллическая решетка вокруг дислокации упруго искажена и является областью концентрации напряжения образование такой области требует значительной затраты энергии. Однако если дислокация уже образовалась, то перемещается она сравнительно легко. Наиболее искаженная часть решетки вблизи AD является центром или ядром дислокации, ее ширина простирается йсего на два — пять периодов решетки, т. е. межатомных расстояний. Линия AD называется осью дислокации, причем длина ее, т. е. длина дислокации, может доходить до многих десятков тысяч периодов решетки. Естественно, что представленное на фиг. 10, г расположение атомов в плоскости, перпендикулярной к оси дислокации AD, является приближенным. Точное распределение атомов вблизи центра или ядра дислокации неизвестно. [c.25]

Качественно более сложным для математического рассмотрения оказались задачи расклинивания вдоль прямой границы раздела кусочно-однородной упругой плоскости. Проблема сводится к обобщенной векторной задаче Римана Гильберта с несколькими особыми точками, общее решение которой неизвестно. Аналитические решения одного частного класса таких задач построены И. В. Симоновым [21] и нашли обобщение в работе Е. Л. Нахмейна и Б. М. Нуллера [14] на случаи произвольного числа участков и большего числа типов условий контакта упругих полуплоскостей. Подробно изучены две задачи расклинивания о несимметричном клине конечной длины, нагруженном силой и моментом и вставленном без трения в разрез между двумя сцепленными различными упругими полуплоскостями, [19] и об установившемся движении несимметричного клина по линии склейки с образованием трещины и каверны (дорэлеевский режим) [20]. Методом сращива- [c.654]

В межзвуковом диапазоне скоростей С2 < с < физическая картина движения тонкого заостренного симметричного клина в однородной упругой плоскости имеет сходство со случаями обтекания тела дозвуковым потоком идеальной сжимаемой жидкости или упругой средой при скоростях Сд < с < С2 (рис. 3). В зависимости от профиля клина /(х) (/(0) = О, / (х) <С 1, / Ч )1 схэ) и скорости, точка отрыва совпадает с задней кромкой тела (/ = 1) или является промежуточной I < 1). Снесенные на прямую у = О смешанные краевые условия этой задачи для определения полей напряжений, смещений (и, у) и скоростей (II, V) в верхней полуплоскости у > О и дополнительные условия в форме неравенств следующие [c.662]

В ПЯТОЙ главе исследуются плоские контактные задачи для упругих тел с тонкими покрытиями (прослойками). Здесь дай общий асимптотический анализ задачи о передаче давления от штампа через покрытие на упругую полосу. Показано, что в зависимости от своей относительной жесткости и толщины покрытие может работать как пластина, описываемая уравнениями различного уровня точности, как накладка или как винкле-ровский слой. Рассмотрена контактная задача для упругой полосы или полуплоскости с тонким покрытием винклеровского типа Задача рассмотрена как в статической, так и в динамической постановке. В последнем случае предполагается, что динамические эффекты локализуются лишь в покрытии. Изучена контактная задача для упругой полуплоскости с тонким нелинейным покрытием винклеровского типа. Для решения использованы асимптотические методы. Исследована контактная задача для упругой полосы, усиленной по основанию прослойкой типа накладки. Рассмотрена задача о движении штампа с постоянной скоростью по границе упругой полуплоскости, усиленной накладкой. Наконец, дано решение задачи о вдавливании круглого упругого диска в границу кругового отверстия в упругой плоскости, поверхность которого усилена тонким покрытием. [c.13]

В работе В. М. Толкачева [236] рассмотрены задачи об упругохМ равновесии а — плоскости и б — полуплоскости (1т г>0, z= x-f (/), к которым при х а, у—О приварен упругий стержень длиной 2а. Предполагается, что при х=—а стержень нагружен силой Р, направленной по оси X. [c.160]

Решение плоской задачи теории упругости зависит от двух координат и может быть выражено через две произвольные (с точки зрения выполнения уравнений равновесия и условий неразрывности) двухмерные гармонические функции, определяющиеся путем подчинения решения двум краевым условиям на плоском граничном контуре. То обстоятельство, что ортогональные преобразования координат на плоскости и теория двухмерных гармонических функций тесно связаны с теорией функций комплексного переменного, позволило разработать общий метод решения плоской задачи, основанный на аппарате теории аналитических функций (Г. В. Колосов [10], Н. И. Мусхелишвили [20] и его школа). Этот путь в принципе позволяет подойти к решению любой плоской задачи, но наиболее эффективен для односвязных и (в меньшей мере) для двухсвязных областей. Основная идея, которой при этом руководствуются, состоит в отображении рассматриваемой области на одну из канонических областей (на полуплоскость, круг единичного радиуса или круговое кольцо) с последующим использованием аппарата интегралов типа Коши для нахождения двух неизвестных функций по заданному краевому условию. Если ограничиться только односвязными областями (каковые по существу главным образом и рассматриваются [20], [27]), то можно обойтись и без аппарата интегралов типа Коши, оперируя лишь самыми элементарными представлениями теории аналитических фунщий. В нашей книге, носящей общий характер, мы даем только этот наиболее простой и в то же время достаточно эффективный способ, отсылая читателя за более полным и общим изло- [c.292]

Содержание этого параграфа связано с приемом, который применяется для решения смешанных задач теории упругости для полуплоскости. Рассмотрим потенциал U непрерывного распределения масс в некотором объеме, предполагая объем и распределение масс симметричными относительно плоскости z = 0. Этот потенциал будет необходимым образом четной функцией z, следовательно, производная dUldz обращается в нуль при z = 0 вне заполненного массой объема. Будем теперь сплющивать объем [c.374]

Поскольку в волнах плоской дефор.мации имеются волны Рэлея, возникающие из-за наличия свободных поверхностей, то маловероятно, что аналогичный строгий результат относительно построения статического решения может быть перенесен на случай плоской дефор.мации. Было от.мечено, что в данно.м направлении можно установить только очень слабый результат, который заключается в том, что при внезапной остановке трещины статическое распределение напряжений фор.мируется только на будущей плоскости распространения трещины перед ее вершиной [38]. Было установлено, что так на са.мо.м деле и происходит в [34, 38] было определено точное значение коэффициента интенсивности напряжений для трещины в виде полуплоскости, движущейся с пере.менной скоростью в упруго.м теле, нагружен-но.м пере.менной во вре.мени нагрузкой. [c.116]

К настоящему времени решены уже многие плоские задачи о напряженно-деформированном состоянии тел с отверстиями и трещинами, однако в основном они касаются случаев неограниченных областей (плоскость, полуплоскость, полоса). Изучение таких задач было начато Бови [135] и развито затем другими исследователями [И. 29, 30, 45, 65, 70, 95]. Данная глава посвящена решению задач об упругом равновесии конечной многосвязной области с трещинами и отверстиями, среди которых имеется хотя бы одно круговое. При этом, как и в предыдущей главе, понижен порядок исходной системы сингулярных интегральных уравнений при использовании общего аналитического решения первой основной задачи для бесконечной плоскости с круговым отверстием. Указанный подход позволяет более эффективно решать задачи для многосвязных областей различных внешних очертаний, ослабленных трещинами и круговым отверстием. При этом сравнительно легко могут быть рассмотрены случаи действия сосредоточенных или разрывных нагрузок на круговом граничном контуре, а также трещины, выходящие на край указанного отверстия. [c.183]

В качестве фиктивных нагрузок , как отмечалось выше, можно выбирать не только сосредоточенные силы, но и другие силовые особенности. Например, в [39] при рассмотрении задач о тонких включениях и трещинах используются наряду с сосредоточенными силами особен ности типа диполя. Описанный способ приводит, вообще говоря, к сингулярным ИУ. Метод особенностей позволяет получить и регулярные ИУ. Для этого можно поступить следующим образом. Рассмотрим со вокупность плоскостей, касающихся данного тела. Пусть Лм — та из них, которая касается тела в произвольной точке М. Поместим в точке М сосредоточенную силу Рм и вычислим напряжения и (или) смещения, возникающие при этом на месте границы 5 тела в полупространстве, ограниченном плоскостью Лл -. Проделав аналогичные вычисления при перемещении точки М по поверхности S и просуммировав вклады, соответствующие различным положениям касательной плоскости, придем, используя граничные условия, к регулярным ИУ по границе S тела относительно распределения сосредоточенных сил. Описанный прием применительно к задачам теории упругости предложен в [36]. Там же показано, что в двумерном случае возникают регулярные ИУ, эквивалентные ИУ Лаурйчеллы — Шермана [41], Подобный способ применяется при сведении к регулярным ИУ краевых задач для систем эллиптических дифференциальных уравнений общего вида и называется обычно методом полуплоскостей или методом замораживания. [c.191]

Во второй главе дано исследование плоских смешанных задач для упругих тел, усиленных прямоугольными накладками. Здесь рассматривается задач-а о передаче нагрузки от полубесконечной накладки к упругой полуплоскости и плоскости. Нри этом модуль упругости накладки по ее длине изменяется по произвольному закону. В случае однородной накладки при помощи одного интегрального соотношения и аппарата полиномов Чебышева — Эрмита разрешающее интегро-дифференциальное уравнение задачи сведено к дискретному уравнению Винера — Хопфа довольно простой структуры. Таким путем удается получить принципиально повое замкнутое решение задачи о полубесконечной накладке. Далее излагается решение задачи о контактном взаимодействии Стрингера конечной длины и переменной жесткости с упругой полуплоскостью или плоскостью, описываемой интег-ро-дифференциальным уравнением Прандтля при определенных граничных условиях. На основе аппарата полиномов Чебышева это уравнение сведено к вполне или квазивполне регулярной бесконечной системе. Здесь же обсуждены многие частные случаи и произведен их численный анализ. Эта же задача исследуется в случае двух одинаковых стрингеров или периодической системы стрингеров. Дано построение решений задачи о взаимодействии стрингера конечной длины с полуплоскостью, когда концентрация напряжений на концах участка контакта отсутствует. Излагаются другие методы решения задачи о взаимодействии накладки конечной длины с полуплоскостью. Именно, используются асимптотические методы и метод специальных ортонормировап- [c.11]

Рассмотрим плоскую контактную задачу о передаче нагрузки от полубесконечной накладки (стрпнгера) к упругой полуплоскости или плоскости. При этом накладку будем рассматривать как упругую тонкую пластину, лишенную изгибной жесткости [1], вследствие чего Оу = ОаСж) 0. Последнее приводит к модели одномерного упругого континуума накладки в сочетании с моделью контакта по линии [2], что описывается соотношениями (3.14) и (3.15) гл. I. [c.81]

Упругие полуплоскость и плоскость, усиленные системой двух иакладок [c.130]

В изложенной в предыдущем параграфе постановке рассмотрим контактную задачу о передаче, нагрузки от системы двух одинаковых иакладок к упруго полуплоскости и плоскости. При этом будем обсу кдать случаи симметрического и кососимметрп-ческого нагружепия накладок. [c.130]

Во второй постановке задачи принимается условие совместности горизонтальных деформаций включения и упругой однородной плоскости со щелью по отрезку [—а, а, загруженной по берегам щели нормальными и горизонтальными силами соответственно интенсивностей —д х) и —т (ж), а такй е исходными сосредоточенными силами и силами на бесконечности. Чтобы вывести уравнение задачи в этом случае, отдельно рассмотрим верхнюю и нижнюю полуплоскости, притом относящиеся к ним величины отметим индексами -Ь и — соответственно. [c.237]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...