Линии скольжения и их уравнения

Линии скольжения и их уравнения [c.262]

Они позволяют точно или приближенно рассчитывать напряженно-деформированное состояние и деформирующие силы, минуя, как и в методе линий скольжения и характеристик, интегрирование дифференциальных уравнений движения и равновесия в частных производных. Это достигается использованием экстремальных и вариационных принципов, которые основываются на законе сохранения энергии. Вариационные методы позволяют решать наиболее сложные задачи в общей их постановке с минимальным числом упрощений и допущений. Эти методы в настоящее время интенсивно развиваются и совершенствуются. Их успех обусловлен также широким внедрением в науку и производство современных быстродействующих электронных вычислительных машин. [c.294]

Известно 1—4], что определяющие уравнения для напряжений и скоростей теории плоского пластического течения жесткопластического тела приводятся к системе четырех квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка, которые относятся к гиперболическому типу. Их характеристики в физической плоскости совпадают с линиями скольжения и траекториями максимальных касательных напряжений. Построение полей напряжений и скоростей сводится к решению последовательности краевых задач с граничными условиями для напряжений и скоростей. Обычно вначале решаются краевые задачи для напряжений, связанных с уравнениями характеристик, и строится поле характеристик. Затем строится поле скоростей в пластической области при совпадении жесткопластических границ с характеристиками. После этого проверяется условие неотрицательности диссипативной функции и несущая способность принятых жестких областей 2, 3]. Для некоторых типов задач плоского пластического течения со смешанными граничными условиями разработаны методы построения полных решений, в которых вначале строится поле скоростей в плоскости характеристик или в плоскости годографа с использованием кинематических граничных условий на контуре инструмента, а затем строится поле напряжений и вычисляются характеристики в физической плоскости [5—7]. В этих решениях жесткопластические границы также совпадают с характеристиками. В [8, 9] разработан метод решения задач плоского пластического течения с использованием криволинейных координат, совпадающих с линиями тока и ортогональными к ним направлениями, и рассмотрены случаи пластического течения, в которых линии тока являются логарифмическими спиралями. [c.54]

Вышеизложенные краткие сведения о существующих методах решения задач теории пластичности свидетельствуют о широких возможностях метода линий скольжения, метода совместного решения системы дифференциальных уравнений равновесия и условия пластичности и метода конечных элементов и дают основание использовать их при анализе напряженного состояния и несущей способности сварных соединений тонкостенных оболочек давления. [c.100]

Если напряжения известны, задача для скоростей является линейной. Эта система уравнений относится к гиперболическому типу и ее характеристики совпадают с линиями скольжения. В самом деле, пусть скорости Vy непрерывны и значения их заданы на некоторой линии Ц можно вычислить производные Vj , Vy по касательной к L, но тогда из системы (39.1), (39.2) можно всегда найти ) и производные по нормали к L, кроме случая совпадения L [c.156]

Если задача статически неопределима, то необходимо совместное решение уравнений для напряжений и скоростей, что связано с большими математическими трудностями. В таких задачах используют полуобратный метод пытаются подобрать такое поле линий скольжения, для которого распределение скоростей было бы в согласии с граничными условиями. При этом приходится в той или иной мере задавать контуры пластической зоны и дополнять граничные условия для напряжений. Подобные приемы, несмотря на их очевидную ограниченность, позволили найти много важных решений. В связи с этим остановимся на вопросе вычисления поля скоростей по известному полю скольжения. [c.158]

Задача о нахождении функции и г по их известным значениям на некоторой гладкой дуге является задачей Коши для уравнений гиперболического типа. Функции и г могут быть при этом, вообще говоря, найдены в области двух криволинейных треугольников, для которых данная дуга является общей стороной, а другими сторонами служат линии скольжения обоих семейств, проходящие через крайние точки (рис. 57). [c.202]

Линии скольжения как характеристики дифференциальных уравнений теории плоского течения идеально пластичного вещества. Здесь мы займемся некоторыми специальными типами дифференциальных уравнений в частных производных. Мы уже видели в п. 7 настоящей главы, что путем некоторых преобразований независимых и зависимых переменных дифференциальные уравнения — обыкновенные или в частных производных, к которым приводятся задачи, можно выразить в более простой форме, понижая их порядок со второго к первому. Для того чтобы показать существенное различие в характере поведения решений определенных классов дифференциальных уравнений, хорошо известных математикам, мы рассмотрим вкратце три типа линейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка от функции z, зависящей от двух прямоугольных координат х, у. [c.616]

При решении разнообразных инженерных задач часто используется гипотеза полной пластичности, т. е. принимается условие равенства двух главных напряжений. Тогда, как показал в 1923 г. Г. Генки, задача становится статически определимой и система уравнений (3.18), (3.19) для компонент напряжения будет гиперболической. Характеристики совпадают с линиями скольжения в плоскости г, 2. С помощью приемов, аналогичных приемам, применяемым в случае плоской деформации, можно рассматривать различные частные задачи. Поле скоростей, если исходить из соотношений Мизеса, построить, вообще говоря, нельзя из-за избытка уравнений. В связи с этим подобные решения трудно оценить, поскольку обычно их не удается отнести ни к статически возможным, ни к кинематически возможным решениям. [c.108]

Сравнивая уравнения (6.12) и (6.21), заключаем, что линии скольжения совпадают с характеристиками дифференциального уравнения (6.20). Решения уравнений характеристик осуществляются преимущественно с приведением их к так называемой канонической форме путем замены переменных х я у новыми переменными S и т]. На основании интегралов Генки (6.16) примем [c.193]

Метод приближенных уравнений и метод линий скольжения не исключают друг друга, наоборот, вполне целесообразно их совместное использование. [c.233]

Удобно начертить два геометрических места точек, определяемых условиями 5 = О и С = 0. По уравнениям (5) и (6) п. 191 они представляют собой прямые линии. Эти прямые будем называть линией нулевого скольжения и линией наибольшего сжатия. Чтобы начертить эти прямые, необходимо найти точки их пересечения с осями Р и Я. Положим [c.171]

Для определения координат точки т, п по координатам точек т — , п и т, п — 1 и углам ф в этих трех точках воспользуемся дифференциальными уравнениями линий скольжения (9.12). Представим их в разностной форме, полагая, что угол наклона хорд, заменяющих малые дуги, равен среднему значению углов наклона в крайних точках. Тогда получим [c.195]

Если напряжения найдены, известен угол 6 и задача для скоростей является линейной. Эта система уравнений относится к гиперболическому типу, и ее характеристики совпадают с линиями скольжения. В самом деле, пусть скорости V,, непрерывны и значения их заданы на некоторой линии . Вид этих уравнений не изменится, если перейти (как в 32) к локальной системе координат х, у, образованной касательной и нормалью к линии . Поскольку скорости за- [c.160]

Термин статически определимая задача был введен Генки в 1923 г., чтобы охарактеризовать такие случаи, когда независимо от граничных условий имеется столько уравнений, сформулированных относительно напряжений, сколько неизвестных компонент напряжений. Мы используем термин формально статически определимая задача , смысл которого в точности такой же. Формальная статическая определимость еще не гарантирует того, что действительно можно определить поле напряжений (даже если граничные условия сформулированы в напряжениях), не привлекая кинематических уравнений. В тех случаях, когда это действительно удается сделать мы будем вести речь о фактической статической определимости. Различие между формальной и фактической статической определимостью было блестяще продемонстрировано Хиллом на примере формально статически определимой задачи плоского неустановившегося пластического течения если найдется линия скольжения, пересекающая дважды границу раздела упругой и пластической зон, то одних лишь уравнений в напряжениях недостаточно для их определения единственным образом. [c.18]

Теперь можно проследить весь процесс удара, пользуясь графическим методом. Пусть от точки контакта О вдоль осей координат отложены три отрезка ОР, 0Q, ОЯ, представляющих три компоненты ударной реакции Р, Q, Р. Тогда, если, как и прежде, считать их координатами точки Т, то движение Т будет характеризовать изменение сил. Уравнения линии нулевого скольжения найдем, полагая в первых двух уравнениях (6) 5 = 0. Очевидно, что это прямая линия. [c.283]

Сопоставление линий скольжения и характеристических линий. Так как tg 28 + 1 = D >0, то уравнение (XIII.15) принадлежит к гиперболическому типу и имеет два семейства действительных характеристик. Сравнивая дифференциальные уравнения (XIII.4) для линий скольжения с уравнениями (XIII.16) для характеристических линий, обнаруживаем их полное совпадение. Так как tg 0 tg 0=1, то соблюдается и условие ортогональности характеристических линий. [c.282]

Следовательно, характеристические линии обобщенного уравнения пластического равновесия совпадают с линиями скольжения и поэтому обладают их свойстваим. Например, вдоль характеристических линий, которые также обозначим через и Sa, функции напряженного состояния rj также постоянны и подчиняются тем же соотношениям, какие получены в (XII 1.7), т. е. [c.282]

Методика построения эпюр относительных нормальных напряжений и = onjos вдоль проекций гравюр кузнечных цггампов основана на теоретических исследованиях течения деформируемого металла в тонком слое, выполненных А.А. Ильюшиным и развитых в работах A.B. Ребельского, И.В. Костырева и других специалистов (в частности, в работе [6]) . Достоинством методики является возможность ее приложения для определения эпюр п применительно к практически любой форме поковок и на любой стадии формоизменения заготовок, наглядность и доступность, универсальность и достоверность. Сопоставление расчетных уравнений для определения и в процессе штамповки, полученных Л.А. Шофманом на основе обобщения частных решений задач методом линий скольжения, с расчетными уравнениями [6] показывает их структурное подобие, близость расчетных значений п и усилий деформирования в целом. [c.252]

Следует заметить, что уравнения (5.6) имеют тот же вид, что и основные уравнения поля линий скольжения в случае плоского течения жестко-идеально-пластических тел (см., например, [36]). Таким образом, стержни оптимальной фермы образуют сетку Генки — П ранд тля численные и графические методы, развитые для построения сеток этого типа, могут использоваться и для данных задач (см., например, книгу Хилла [38] и работу Прагера [39]). Отметим лишь одно из многих замечательных свойств сеток Генки — Прандтля. Касательные к двум произвольным линиям одного и того же семейства линий Генки — Прандтля в точках их пересечения с линией другого семейства образуют друг с другом угол, который не [c.51]

Для аналитического описания полей линий скольжения нами в работах /4, 9, 23/ были выполнены решения, на основе которых пол гчены параметрические уравнения линий скольжения для случая плоской и осесимметричной деформации, а также при двухосном нагружении. В частности для случая плоской деформации в работе /4/ показано, что линии скольжения представляют собой семейство циклоид с радиусом производящего их круга [c.44]

Каждая из винтовых линий МдЛ1 и М М является геометрическим местом точек, которыми в процессе зацепления зуб одного колеса касается последовательно зуба другого колеса. Эти линии называют контактными. В любом сечении цилиндров плоскостью, перпендикулярной к их осям, находится только одна точка зацепления (точка перес-ечения плоскости с линией зацепления МоМ), в которой в некоторый момент времени происходит совпадение двух точек, принадлежащих различным контактным линиям, т. е. происходит касание сопряженных поверхностей зубьев. Поэтому зацепление М. Л. Новикова называют точечным. Таким образом, в отличие от обычных эвольвентных косозубых колес здесь образуется не поле зацепления, а линия зацепления. Кроме точки зацепления в упомянутой плоскости находится также мгновенный центр относительного вращения, соответствующий этой плоскости. Мгновенный центр перемещается по оси Р Р от точки Ра к точке Р с такой же скоростью, с какой точка зацепления перемещается по линии зацепления М М, и описывает на равномерно вращающихся начальных цилиндрах винтовые линии РцР и Р Р. Точки контактных линий, совпадающие в точке зацепления, имеют различные скорости. Например, скорость Vmi точки Ml, принадлежащей первой контактной линии, равна произведению OiM fflj и перпендикулярна к 0,уИ, а скорость Vm, точки М , принадлежащей второй контактной линии, равна произведению О М 2 и перпендикулярна к О М. Относительная скорость Vm.m, этих точек, являющаяся скоростью скольжения контактных линий одной по другой, связана со скоростями Vm, и Vm, векторным уравнением [c.226]

Из описанного способа получения фиктивных скорости и температуры видно, что, принимая их в качестве граничных условий на стенке для уравнений Навье—Стокса, мы получим решение, совпадающее вне слоя Кнудсена с истинным, Поскольку при рассмотрении течений при малых числах Кнудсена нас, как правило, не интересуют детали течения в кнудсеновском слое ), то скорость скольжения и температурный скачок — это, собственно, все, что необходимо для расчета течения в навье-стоксовском приближении. Но, как мы видели, для нахождения этих величин необходимо знать значения истинных скоростей и температуры на границе слоя Кнудсена (грубо на линии 55), для определения которых нужно решить уравнение Больцмана внутри слоя при заданном законе отражения молекул на стенке, В настоящее время эта задача решена лишь для модельного Зфавнения, [c.318]

Отметим, что в полярной системе координат уравнения равновесия вдоль линий скольжения (7) непосредственно не интегрируются, однако их можно записать в конечном виде [4], если использовать угол в между текугцим радиусом и радиусом фиксированного (нулевого) направления (фиг. 3) [c.232]

Уравнения плоского течения идеально пластичного вещества, вьфаженные в криволинейных координатах, совпадающих с линиями скольжения. В связи с образованием на деформированных телах линий скольжения возникает вопрос, не окажется ли с математической точки зрения удобным выразить уравнения течения при помощи систбхмы естественных криволинейных координат, совпадающих с линиями скольжения. Л. Прандтль, Ф. Кет-тер, Г. Рейсснер, В. Гартман ) и другие расширили их применения на случаи равновесия материалов, наделенных несколько более общими свойствами, например на сыпучие массы (песок), где системы линий скольжения образуют косоугольную сетку. [c.612]

Ж- Добавление. Довольно близкие соображения привели проф. Яки из Технического института в Будапеште ) к установлению ортогональных семейств линий скольжения для тех тел, которые он назвал типами вполне пластичного грунта Он отождествляет их с идеально пластичным телом, в котором течение происходит при постоянном значении максимального касательного напряжения Ттах= = onst, но с учетом силы тяжести у в уравнениях равновесия. Он определил форму изобар и кривых скольжения для полубесконечного тела и для плоского напряженного состояния клина О ф Р, прямолинейные края которого нагружены заданными значениями тангенциальных нормальных напряжений Ot=f] r) при ф=0 и at=h r) при ф=р и равномерно распределенными касательными напряжениями Tri= onst. Он сообщил также о том, что найдено поле скольжения, в котором одно из семейств линий скольжения состоит из множества неконцентрических окружностей. Среди исследованных им случаев — картина линий скольжения вокруг туннеля кругового сечения с горизонтальной осью, пробуренного на определенной глубине под горизонтальной поверхностью тяжелого пластичного грунта в предположении, что на стенках цилиндрического отверстия действует давление, возрастающее пропорционально глубине у. [c.580]

Определение поля скоростей. Система оставшг.хся двух уравнений (46), (47) для скоростей их, Уу также является гиперболической, причем ее характеристики совпадают с линиями скольжения. Вдоль а-и Р-линий скольжения выполняются соотношения Гейрингер [c.77]

Как. видно, линии скольжения являются характеристиками системы уравнений (2.4), или что то же, нелинейной системы уравнений (1.17), (1.18). Нетрудно ипдеть, что они также являются характеристиками системы уравнений (2.8) для скоростей перемещений. Действительно, ири задании функций Па, г р апример вдоль линии а, прирост их в направлении р остается неопреде-лепиым, ибо для этих двух величин имеется только одно уравнение (2.7), а вместе с этим невоз-мож и решение задачи Коши. [c.161]

При содержании второй фазы в пределах 1—10 % (об.) численные оценки с применением выражений (2.81) или (2.82) и (2.83) превышают напряжение Орована в 1,5—2 раза, что на основании рассмотренной выше модели соответствует наличию одной или двух остаточных петель вокруг частиц, что хорошо подтверждается электронно-микроскопическими данными [166]. Сравнение оценки по уравнению (2.82) с экспериментальными данными для сплава Nb — 4 % (об.) ZrN (рис. 2.28, кривые 2иЗ) показывает практически полное совпадение их в широком температурном интервале. Однако, как показывает анализ уравнений, при содержании второй фазы, меньшем 1 % (об.) и при г < 0,05 мкм (т. е. вблизи области дисперсионного упрочнения когерентными выделениями) выражение (2.81) дает завышенные значения Ат, что обусловлено рядом причин. Например, при малых размерах частиц, как отмечалось еще Анселлом [138], необходимо учитывать кривизну дислокационных линий остаточных петель, т. е. при г < 0,05 мкм некорректно использовать выражение (2.74) для вывода уравнения (2.81). Кроме того, в случае малых содержаний второй фазы и малых ее размеров должна резко уменьшиться вероятность встречи движущихся в плоскости скольжения дислокаций с частицами, т. е. должно увеличиваться эффективное расстояние между частицами. Интересно, что, если в уравнение (2.82) подставить выражение для эффективного расстояния между частицами [c.81]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...