Основные характеристические функции

Основные характеристические функции [c.64]

Так, величины, являющиеся термодинамическими силами имеют одинаковое значение во всех частях равновесной системы и могут, следовательно, измеряться при наличии соответствующего контакта измерительного прибора с системой и фиксироваться с помощью аналогичных свойств внешней среды. Поэтому цель преобразования характеристических функций S, и состоит в замене некоторых переменных на Zi. Основное условие, которое необходимо выполнить при такой замене, это сохранение характеристичности функции. Иначе говоря, надо ввести в качестве переменных в функцию некоторые из ее производных (9.3), так чтобы из получающейся при этом новой функции A Z q ) можно было бы однозначно восстановить исходную функцию t/(q). Только в этом случае Л(2, q ) сохранит в себе всю физическую информацию, заложенную в t/(q), и будет также характеристической. Этим требованиям удовлетворяют преобразования Лежандра. [c.80]

Рассмотренные выше примеры касались однородных закрытых систем, и поскольку переменные химического состава в них не использовались, то полученные выводы справедливы либо при равновесных химических превращениях веществ в системе, либо при полном отсутствии таковых. Усложнения, появляющиеся при анализе открытых систем или систем с неравновесным химическим составом, вызваны прежде всего увеличением числа аргументов характеристических функций. Можно и в этом случае попытаться применить рассмотренную последовательность получения термодинамических характеристик, т. е. по-прежнему изучать зависимости Ср(Т), V T, Р) и т. п., но при определенных, фиксированных химических составах. Такой путь был бы, однако, неоправданно трудоемким, если в начале его не ориентироваться на использование уравнений Гиббса—Дюгема. Для применения последних надо знать прежде всего зависимость свойств от состава фазы, и определение этих зависимостей при параметрах 7, Р составляет основную задачу экспериментальной термодинамики растворов. [c.95]

Метод термодинамических потенциалов, или метод характеристических функций, был развит Гиббсом. Исходным в этом методе является основное уравнение термодинамики [c.101]

В гл. 4 и 5 будут исследованы динамические свойства ряда основных процессов химической технологии. В соответствии с общей теорией функциональных операторов, изложенной в гл. 2, основное внимание при этом будет уделено получению характеристических функций, с помощью которых удобно описывать динамические свойства технологического объекта. [c.114]

В табл. 2.1 перечислены важнейшие характеристические функции и указаны основные их свойства. [c.134]

Состояние однокомпонентной однородной (однофазной) и двухфазной систем определяется двумя независимыми параметрами. Исходя из термодинамического тождества TdS = dU -f pdV = dl — Vdp, любую частную производную первого порядка от характеристических функций и параметров состояния можно выразить через три другие частные производные первого порядка. Соотношения между несколькими из четырех возможных частных производных первого порядка и составляют в основном совокупность дифференциальных уравнений термодинамики в частных производных, или термодинамических соотношений. Число всевозможных термодинамических соотношений огромно. Обычно ограничиваются теми соотношениями, которые применяются наиболее часто. [c.140]

Характеристическая функция Гамильтона. В случае простого гармонического колебания мы смогли найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби. В основном это удалось сделать потому, что S можно было разбить на две части, одна из которых содержала только q, а другая — только /. Мы сейчас увидим, что если старый гамильтониан не содержит явно t, то такое разделение всегда возможно. [c.308]

Характеристическая функция. Обратимся к основному результату (27.1.5). Ограничимся рассмотрением натуральной системы с п степенями свободы. В этом случае будем иметь [c.552]

Определим характеристическую функцию Гамильтона. Эта функция определяется интегралом действия К, взятым вдоль действительного пути и выраженным через начальные и конечные координаты и постоянную энергии h. Обозначим характеристическую функцию через К ( ю, 920> Qno> qii, Q2i,. . ., Qni, h). Основное уравнение (27.1.5) определяет вариацию характеристической функции при произвольных вариациях ее 2ге -f 1 аргументов. Это соотношение аналогично классической формуле (15.5.11) для [c.553]

Этим двум уравнениям в частных производных, начальному и конечному, первого порядка, но второй степени, должна тождественно удовлетворять характеристическая функция V они дают (как мы увидим далее) основное средство для раскрытия формы этой функции V и имеют существенное значение для ее теории. Если бы форма этой функции была известна, то мы могли бы исключить Зп — 1 начальных координат из Зп уравнений (С), и хотя мы еще не можем фактически осуществить процесс этого исключения, мы вправе утверждать, что оно удалит наряду с другими и остающуюся начальную координату и приведет к уравнению (б) конечной живой силы, которое затем могло бы быть преобразовано в уравнение (Р). Подобным же образом мы можем заключить, что все Зп конечных координат могут быть совместно исключены из Зп уравнений (О) и что результатом этого будет начальное уравнение живой силы (7) или преобразованное уравнение (О). Поэтому мы можем рассматривать закон живой силы, который помог нам раскрыть свойства нашей характеристической функции V, как включенный в эти свойства и получающийся в каждом частном случае путем исключения из систем (С) и (О) при рассмотрении любой из этих систем или при проведении любого другого динамического исследования методом этой характеристической функции мы вправе использовать уравнения в частных производных (Р) и (О), которым эта функция необходимо должна удовлетворять. [c.181]

Величины е , е ,..., и е , е ,..., е п представляют собой начальные данные, относящиеся к способу движения системы, а Ъп конечных интегралов, связывающих эти 6п начальных данных и п масс со временем и с 3 конечными или переменными величинами г) , г ,. .отмечающими переменные положения п движущихся точек системы, получаются теперь путем исключения вспомогательной постоянной Я из Зп + 1 уравнений (8) и (Е). В то же время Ъп промежуточных интеграла или интегралы первого порядка, которые связывают те же переменные отметки положения и их первые производные со временем, массами и начальными отметками положения, получаются в результате исключения той же вспомогательной постоянной Я из уравнений (Н) и (Е). Поэтому наша основная формула и промежуточные и конечные интегралы могут быть очень просто выражены в любой новой группе координат. При этом частные производные (Е), (О), которым должна удовлетворять наша характеристическая функция V и которые, как мы уже говорили, имеют существенное значение для теории этой функции, также могут быть легко выражены любыми подобными преобразованными координатами путем простого сочетания конечных и начальных выражений закона живой силы [c.187]

Необходимым и достаточным условием подобия процессов сложного теплообмена, так же как и для процессов радиационного теплообмена, анализируемых ранее, является тождественность безразмерной системы основных уравнений, уравнений краевых условий и безразмерных характеристических функций. Такая тождественность безразмерных уравнений для модели и образца будет иметь место, как видно из представленных выше зависимостей, при выполнении следующих конкретных условий. [c.350]

Здесь Т ds — количество тепла, необходимое для поддержания постоянной температуры, н поэтому оно рассматривается как связанная часть энергии (связанная с необходимостью теплообмена). Остальная часть, т. е. разность (dU—Tds) — свободная энергия . В таком же отношении к функции / находится функция Ф, поэтому она получила название свободной энтальпии. В последующем показано, что характеристические функции также весьма удобны для определения целого ряда физических явлений как, например, процессов дросселирования и условий равновесия фаз. Однако основное их значение заключается в развитии математического аппарата термодинамики и установлении важнейших термодинамических соотношений. [c.57]

Обобщением основных разновидностей всех перечисленных типов числовых характеристик являются моментные характеристики. Наконец, обобщением совокупностей моментных характеристик являются производящие и характеристические функции. [c.23]

Функции Uj носят название собственных или характеристических функций, Uq называют основной или фундаментальной собственной функцией. [c.25]

Если независимыми параметрами системы будут энтропия и обобщенная сила Y, то внутренняя энергия не будет уже характеристической функцией характеристической функцией будет энтальпия, определяющаяся с помощью основного уравнения (15,6). Прибавив к правой и левой частям его по d(Yx), получим [c.89]

Отступления от программы сводятся в основном к изменению порядка изложения некоторых разделов курса, продиктованному методическими соображениями. Так, например, в программе дифференциальные уравнения термодинамики объединяются со свойствами характеристических функций iB отдельную тему, в книге л<е они приводятся в тех разделах, где в этом возникает необходимость, в основном — в теории реальных газов [c.3]

Вид фундаментальных функций зависит от характеристического уравнения. Представим 4 основных фундаментальных функций. [c.212]

Второе начало термодинамики в этом учебнике изложено классическим методом Карно — Клаузиуса политропный процесс трактуется в нем как процесс с постоянным коэффициентом а = и д паровые процессы исследуются двумя методами — аналитическим и графическим с применением диаграммы г—5. В учебнике дается диаграмма Стодола, приводится вывод адиабаты при переменной теплоемкости газа, рассматриваются характеристические функции. В книге дается также диаграмма г—й для влажного воздуха и показывается применение ее при расчете процессов влажного воздуха. В учебнике уделяется большое внимание выявлению физической сущности исследуемых явлений. В нем хорошо и четко формулируются основные положения термодинамики и выводы проводи.мых исследований. [c.242]

Третье издание учебника имеет следующее построение курса. Часть первая Основные законы термодинамики . Гл, 1 Введение гл, 2 Первое начало термодинамики гл. 3 Второе начало термодинамики (сущность второго начала термодинамики интегрирующий делитель для выражения элементарного количества тепла энтропия аналитическое выражение второго начала термодинамики полезная внешняя работа термодинамические потенциалы и характеристические функции тепловая теорема Нернста дифференциальные уравнения термодинамики в частных производных статистическое толкование второго начала термодинамики) гл. 4 Термодинамическое равновесие гл. 5 Термодинамические процессы гл. 6 Газы и их смеси гл. 7 Насыщенные влажные и перегретые пары гл. 8 Течение газов и паров гл. 9 Общий термодинамический метод анализа циклов тепловых двигателей . Часть вторая Рабочие циклы тепловых двигателей . Гл. 10 Сжатие газов и паров гл. 11 Циклы поршневых двигателей внутреннего сгорания гл. 12 Циклы газотурбинных установок и реактивных двигателей гл. 13 Циклы паросиловых установок гл. 14 Циклы холодильных машин гл. 15 Термодинамические принципы получения теплоты гл. 16 Термодинамика химических реакций . [c.349]

Раздел 2 — Термодинамика квазистатических (обратимых) процессов и состояний равновесия (обратимые изотермические процессы свободная энергия системы математические теоремы об интегрирующем множителе линейных форм в полных дифференциалах основное уравнение термодинамики обратимых процессов энтропия равенство Клаузиуса следствия основного уравнения термодинамики обратимых процессов, относящиеся к равновесным состояниям общие формулы, относящиеся к свободной энергии абсолютная термодинамическая температурная шкала цикл Карно следствия второго начала,. касающиеся обратимых процессов расширения и нагревания газа или жидкости связь эффекта Джоуля—Томсона с уравнением состояния применение этого эффекта для охлаждения газов магнитный метод охлаждения термодинамика гальванического элемента равновесное излучение закон Кирхгофа закон Стефана—Больцмана для равновесного излучения характеристические функции). [c.364]

Продифференцировав характеристическую функцию соответствующее число раз, можно доказать следующие основные свойства гауссовских случайных переменных с нулевым средним [c.46]

Основное требование при записи условий для экстремума характеристической функции — среди них не должно быть избыточных линейно зависимых уравнений, так как иначе система условий становится несовместной и необходимо вводить дополнительные критерии, с помощью которых эту несовместность можно исключить, Минимальйое необходимое и достаточное для решения число условий (и число известных значений различных термодинамических свойств системы) равняется общей вариантности рассматриваемого равновесия, т. е. с + 1. [c.175]

Независи- мые переменные Характер исти-ческая функция Выражение для работы Первые производные характеристической функции Основные термодинами- ческие соотношения [c.103]

При осуществлении анализа необратимых проиессов необходимо иметь в виду следующее. Изменение любой фуикцип состояния в результате необратимого процесса может быть найдено из рассмотрения воображаемого обратимого перехода из начального или исходного состояния в конечное состояние, достигаемое в данном необратимом процессе. Если воображаемый обратимый переход выбран так, что во всех точках его сохраняется основное условие, характеризующее рассматриваемый необратимый процесс, то для анализа могут быть использованы те из дифференциальных уравнений термодинамики в частных производных, которые отвечают указанному основному условию. Это условие записывается в форме X = onst, где X может представлять собой один из терм1гческих параметров, например р, Т, V и т. п., или одну из характеристических функций, например и, I, S и т. и., или комбинацию тех и других. [c.280]

Свойство нашей характеристической функции, выражающееся в том, что она зависит только от внутренних или взаимных отношений между начальными и конечными положениями точек притягивающейся или отталкивающейся системы, свидетельствует о преимуществе применения внутренних или относительных координат. По аналогии с другими применениями алгебраических методов к исследованиям геометрического типа можно предполагать, что полярные и другие отметки положения могут также зачастую оказаться полезньши. Предполагая, следовательно, что Зп конечных координат х-у, Уу, Ху,, х , у , выражены как 3/г функций других переменных г]у,. .., и что Зл начальных координат подобным же образом выражены как функции аналогичных Ъп величин, которые мы обозначим бу, 2 > зп) перейдем к определению общего метода для введения этих новых отметок положения в выражения наших основных зависимостей. [c.185]

Итак, основные этапы развития аналитической динамики таковы первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжев метод вариации произвольных постоянных и аналогичная теория Пуассона и связанные с нею проблемы интегрирования затем Гамильтон представил интегральные уравнения посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или из того условия, что она должна одновременно удовлетворять двум дифференциальным уравнениям в частных производных Гамильтон же нашел новую форму уравнений движения Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений динамики к нахождению полного интеграла единственного дифференциального уравнения в частных производных он же развил теорию последнего множителя системы дифференциальных уравнений движения Остроградский рассмотрел проблему интегрирования уравнений динамики Раус нашел новую форму дифференциальных уравнений движений Пуанкаре развил теорию интегральных инвариантов наконец, [c.848]

Это — общее условие канонического преобразования, причем любая функция и Q может быть выбрана как производящая функция канонического преобразования. В добавление к этой функции могут быть заданы некоторые условия между и Qi (число условий может изменяться от 1 до п). Формулы канонического преобразования имеют ту особенность, что они не выражают это преобразование в явном виде. Вместо определения новых переменных только через старые, или наоборот, обычно применяется смешанное представление, в котором старые обобщенные импульсы выражаются через старые и новые координаты положения. Как известно, если ввести риманово мероопределение, то гамильтонова характеристическая функция в оптике и основная функция в динамике определяют расстояние в римано-вом пространстве, выраженное в функции координат конечных точек этого расстояния. Эта функция, которая тесно связана с вариационным интегралом, является производящей функцией некоторого частного канонического преобразования. [c.877]

Можно сделать попытку обозреть основные этапы развития аналитической динамики до середины XIX в. Первым шагом явилось установление лагранжевой формы уравнений движения, затем лагранжева теория вариации произвольных постоянных, а также теория Пуассона. Следующим этапом явились во-первых, представление Гамильтоном интегральных уравнений посредством единственной характеристической функции, определяемой а posteriori посредством интегральных уравнений, предполагаемых известными, или посредством условия, что она одновременно удовлетворяет двум дифференциальным уравнениям в частных производных, и, во-вторых, установление канонических уравнений движения. Вслед за тем Якоби свел интегрирование дифференциальных уравнений к проблеме нахождения полного интеграла единственного уравнения в частных производных и дал общую теорию связи интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнения в частных производных первого порядка. Наконец, была разработана теория систем канонических интегралов. [c.910]

Центральная идея его метода — идея характеристической функции для каждой оптической системы лучей. Это характеристическое соотношение, различное для различных систем, таково, что геометрические свойства системы могут быть выведены из него методом, аналогичным тому, который был изобретен Декартом для алгебраического решения геометрических проблем. Все свойства оптических систем для каждой кривой или поверхности вытекают из основного соотношения. В этой теории устанавливается связь восьми величин, из которых шесть суть координаты двух переменных друг с другом оптически связанных точек в пространстве , седьмая есть индекс цвета (index of olour), что соответствует показателю преломления, а восьмая, которую Гамильтон назвал характеристической функцией, есть действие между двумя переменными точками. Эта функция V называется характеристической, ибо Гамильтон нашел, что в характере зависимости этой функции от семи названных выше величин заключены все свойства оптической системы. Поэтому Гамильтон говорит Я рассматриваю все проблемы математической оптики, относящиеся ко всем мыслимьш сочетаниям зеркал, линз, кристаллов и атмосфер, как сводимые к изучению этой характеристической функции, посредством... фундаментальной формулы [c.206]

Таким образом, как объективные причины — потребности небесной механики, так и субъективные — деятельность Гамильтона в качестве королевского астронома и профессора астрономии, и, наконец, внутренняя логика его работ (оптико-механическая аналогия) определили направление работы Гамильтона в области дальнейшей разработки найденного и примененного им в оптике математического метода. Сам Гамильтон неоднократно подчеркивал тесную связь своих работ но динамике с предшествовавшими работами по теории систем лучей. В письме к Уэвеллу (18 марта 1834 г.) он пишет, что публикуемая им в Phylosophi al Transa tions работа есть новое приложение тех математических принципов, которые. .. (он.— Л. П.) уже прилагал к оптике . В его письме к Дж. Гершелю (17 октября 1834 г.) мы читаем следующее ...почти достигнув в оптике желаемой цели..., я вернулся к старому проекту применения того н е метода к динамике . Гамильтон не ставит себе задачи создания новых или даже видоизменения классических основных принципов механики. Его задача — иная она точно выражена в названии его работы Об общем методе в динамике, с помощью которого изучение движения всех систем взаимно притягивающихся или отталкивающихся тел сводится к отысканию и дифференцированию определенной центральной зависимости или характеристической функции [c.211]

Это привело его к мысли ввести новую функцию S, которая была бы связана с F и из которой был а бы исключена упомянутая константа. В итоге исключения, посредством которых (Гамильтон.— Л. П.). .. я был вынужден избавиться от этой вспомогательной константы и ввести взамен ее время, сделали метод более обширным, чем он был В дальнейшем функция S taHOBHT fl основной функцией Гамильтона. Уже в конце своей первой статьи Гамильтон помещает краткую главу под названием Введение времени в общем виде в выражение характеристической функции в любой задаче динамики . [c.212]

Основное уравнение термодинамики связывает пять физических величин Т, р, V, S, U. Для каждой пары из этих пяти величин существует характеристическая функция. Кроме перечисленных, термодинамическим потенциалом йожет быть энтальпия H S, p) = U+pV, а также энтропия и объем системы. При этом практически наиболее удобными являются свободная энергия Гельмгольца и термодинамический потенциал Гиббса, поскольку переменные V, Т) и (р, Т) могут быть экспериментально измерены. [c.157]

В работе изложен приближенный метод определения параметров свободных колебаний цилиндрических оболочек с вырезами, свободными либо подкрепленными шпангоутами и стрингерами. Исследование основано на методе Рэлея — Ритца, в котором при описании изогнутой поверхности оболочки в рядах для перемещений могут быть использованы различные аппроксимирующие функции. В настоящем исследовании для аппроксимации перемещений в осевом направлении используются балочные характеристические функции, а для аппроксимации перемещений в окружном направлении — тригонометрические функции. В результате проведенного исследования установлено, что вырезы в общем приводят к снижению собственных частот колебаний, и этот эффект в наибольшей степени прояв- ляется для основной частоты колебаний. Физически это означает, что вырез уменьшает эффективную жесткость оболочки в большей степени, чем это делает уменьшение эффективной массы. Формы колебаний оболочек с вырезами проявили Сильное взаимодействие с различными волновыми формами, отличающееся в сравнении со сплошной оболочкой. При этом авторы установили возможность существования пиков для амплитуд нормальных перемещений как вблизи, так и вдали от края выреза. Уменьшение низших частот колебаний (обусловленное наличием выреза) для подкрепленной оболочки было меньше, чем для неподкрепленной. [c.238]

Основное свойство каждой из характеристических функций заключается в том, что, зная аналитическое выражение этой функции через определенные независимые параметры системы, можно в явной форме получить все основные тep мoдинaмичe киe величины, характеризующие рассматриваемую систему. [c.91]

В основном развитие термодинамики ироисходило в следующи.х направления.х 1. Развитие общей теории термодинамики и ее методов исследований. При.менение их при изучении закономерностей физических и химических процессов. Введение в термодинамику характеристических функций — свободной энергии, термодинамического изобарного иогенциала, энтальпии. Развитие учения о равновесии. [c.68]

Это сочинение имеет разделы термодинамика и механика Ньютона первое основное уравнение термодинамики второй иринции термодинамики теорема Клаузиуса характеристические функции теорема Нернста применение термодинамических соотношений к исследованию свойств жидкости (воды) и насыщенного пара перегретые пары приложение принципов термодинамики к химическим процессам и т. д. При этом надо заметить, что предпоследней теме отводится 50% всего этого сочиненпя. Сочинения Мерцалова по термодинамике были нами рассмотрены в 4-3 и 5-6. [c.621]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...