Теоремы о характеристических функциях

Из. ТЕОРЕМЫ О ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯ) [c.58]

В разработку всей этой теории существенный вклад внес М. В. Остроградский. В исследованиях по уравнениям динамики он дал каноническую форму уравнений динамики и установил теоремы о характеристической функции, принимая связи системы зависящими от времени. В работах этого цикла, независимо от Гамильтона и Якоби, он развивает также и теорию того уравнения в частных производных, которое обычно называется уравнением Гамильтона — Якоби. Независимо от Гамильтона и Якоби Остроградский доказал, что задача определения интегралов канонических уравнений эквивалентна нахождению полного интеграла некоторого дифференциального уравнения в частных производных. Все искомые интегралы канонических уравнений можно найти дифференцированием полного интеграла уравнения в частных производных. [c.217]

Рассматриваем это уравнение как неявную функцию А(е). При е = О уравнение переходит в характеристическое уравнение нутационной системы, у которого, в соответствии со сделанными выше замечаниями, т ненулевых корней Л",. .., Aj . По теореме о неявных функциях, в случае, если среди AJJ нет кратных, корни полного уравнения можно искать в виде [c.194]

Этот тензор, хотя и не допускает непосредственной геометрической интерпретации, является не менее важным в частности, он играет существенную роль в теореме о представлении функции реакции для тензора напряжений Коши (теорема 3.6-2). Пока лишь отметим, что матрицы С = и В = РР имеют один и тот же характеристический многочлен, так как это верно вообще для произведений РС и СР любых матриц Р я О одинакового порядка. При С = Fт последнее утверждение вытекает непосредственно из теоремы о полярном разложении (теорема 3.2-2). [c.77]

Итак, согласно теореме о преобразованиях Якоби Ог, т) , т) также образуют каноническую систему с той же самой характеристической функцией Р, Наконец, линейная подстановка (9) и (9 ) очевидно оставляет неизменной каноническую форму. [c.598]

Случай, когда Н не содержит времени. В задачах небесной механики переменные а, и обычно оказываются неудобными, и поэтому, пользуясь теоремами о преобразовании канонических уравнений, их заменяют какими-нибудь другими более подходящими и также каноническими переменными. Ниже мы рассмотрим некоторые системы этих переменных, а сейчас разберем случай, когда характеристическая функция Я не содержит явно времени. В этом случае уравнение (94) можно заменить следующим [c.415]

Выберем число ае так, чтобы для j = 1, 2,..., к выполнялись неравенства О < ае < 2rj. Тогда при достаточно малых /х функция W будет определенно-отрицательной. Но функция У, очевидно, знакопеременная и, следовательно, не является знакопостоянной, противоположного с W знака. На основании второй теоремы Ляпунова о неустойчивости получаем отсюда вывод о том, что при наличии хотя бы одного корня характеристического уравнения с положительной вещественной частью невозмущенное движение неустойчиво. Теорема доказана. [c.532]

Для рассматриваемого случая, полагая в (1.1), (1.2) для фиксированного i (ai u)=0, получим течение типа плоской двойной волны (вместо (3) останутся два уравнения, получающиеся составлением соответствующей линейной комбинации) полагая, что в нуль обращаются сразу два таких соотношения, получим плоские волны Римана. Каждый раз, в соответствии с теоремой [7] о примыкании течений различных рангов, плоскости типа и) = О или прямые ((а и)=0, и) = О, i ф к) в пространстве годографа скоростей М2, будут являться характеристическими многообразиями соответственно для уравнений тройных и двойных волн. Таким образом, в случае, если сохраняется потенциальность течения, можно с помощью (1.1), (1.2) построить решение в некоторой области взаимодействия трех волн Римана (функции определяются по заданным [c.151]

Причина этого явления может быть объяснена с двух различных точек зрения. Во-первых, подобные неэкспоненциальные асимптотические решения лежат на центральных многообразиях, которые в большинстве случаев не аналитичны. Во-вторых, вводя некоторый малый параметр (соответствующий квазиоднородной шкале, ассоциированной с первыми нетривиальными членами построенных рядов) в рассматриваемую систему, мы можем получить сингулярно возмущенную систему, теряющую некоторые производные при обнулении малого параметра. В любом случае явление подобного рода связано с взаимодействием переменных, отвечающих 13 нулевым и ненулевым корням характеристического уравнения. Получаемые ряды являются асимптотическими рядами для требуемых частных решений, но прямое использование техники абстрактной теоремы о неявной функции в данной ситуации невозможно. Для доказательства факта асимптотичности построенных рядов необходимо применять теорию, принадлежащую А.П. Кузнецову [14, 15]. Грубо говоря, эта теория утверждает, что если гладкая система дифференциальных уравнений обладает формальным решением в виде рядов (10), то она обладает настоящим гладким решением для которого (10) дает асимптотическое разложение. [c.102]

На любое из этих решений а распространяется замечание, вытекающее из теоремы Дирихле для динамического случая, а именно, что возможно указать чисто качественное условие устойчивости, т. е. условие, выражаемое посредством одних только соотношений неравенства. Действительно, таким является в силу уравнений (104) условие, что Н имеет для решения о действительный максимум или минимум (см. п. 7 и гл. VII, пп. 5—6, 17) замечание о лагранжевых системах с кинетическим потенциалом, не зависящим от времени, в конце упомянутого п. 17, гл. VI, таким образом, будет вполне оправдано, так как, как это непосредственно следует из п. 1 той же самой главы, всякая такая лагранжева система определяет каноническую систему с характеристической функцией, не зависящей от t, и обратно. [c.324]

Благодаря открытию Гамильтона система интегральных уравнени задач механики получила замечательную форму. Именно, если характеристическую функцию дифференцировать по произвольным постоянным, которые она содержит, то получатся интегральные уравнения данной системы дифференциальных уравнений. Это аналогично теореме Лагранжа, согласно которой дифференциальные уравнения задачи в том случае, когда имеет место принцип наименьшего действия, могут быть представлены как частные производные одной величины. Однако, Гамильтон хотя и установил ту форму интегральных уравнений, о которой идет речь и которую эти уравнения [c.6]

В разд. 18.6 мы установили необходимость какого-то систематического метода работы с заменой переменных, используемой при выводе более сложных выражений для термодинамических характеристик через частные производные, вычисленные по характеристическому уравнению состояния. Такое уравнение определяет трехмерную поверхность, которую можно назвать характеристической поверхностью. В принципе любую заранее выбранную термодинамическую характеристику простой системы можно представить как функцию двух других термодинамических характеристик, что даст еще одну трехмерную поверхность. Однако, как мы видели, все термодинамические характеристики взаимосвязаны, так что между площадью некоторого элементарного участка характеристической поверхности и площадью аналогичного участка другой возможной поверхности должна существовать какая-то связь. Как будет выяснено в дальнейшем, эта связь устанавливается соответствующей теоремой о якобианах, что и обусловливает целесообразность их использования. Некоторые дополнительные простые теоремы облегчат нащу задачу. [c.333]

Последние работы Каменкова (1966—1967) посвящены исследованию устойчивости периодических движений. Здесь доказана общая теорема о том, что задача об устойчивости периодических движений в случаях, несущественно особенных, всегда приводится к задаче об устойчивости равновесия. Анализируются различные случаи, которые могут при этом представиться. Если среди корней характеристического уравнения имеются по модулю равные единице и выполняются условия отсутствия резонанса в числах до порядка N включительно, то подсистема с 2р переменными, соответствующая этим корням, преобразуется в подсистему с р нулевыми корнями с р группами решений. Если же условия отсутстви я резонанса не выполняются, то каждой паре мнимых сопряженных корней соответствует в преобразованной системе два нулевых корня. Каменков (1967) обобщает свои ранее полученные результаты по принципу сведения на системы с периодическими коэффициентами, а также на системы с произвольными непрерывными и ограниченными коэффициентами. Разработанный Каменковым принцип сведения основан на существовании для укороченной системы функций Ляпунова или Четаева, вследствие чего [c.59]

Это дополнительное исследование делается ненужным в том случае, когда Яг есть знакоопределенная квадратичная форма. Действительно, тогда, по крайней мере при достаточно малых 1 /5 , характеристическая функция Я есть знакоопределенная функция и ее можно взять за функцию Ляпунова. Но, полагая V = Н, мы найдем в силу уравнений (2.34) V = О, откуда следует (по первой теореме второго метода Ляпунова), что невозмущенное движение устойчиво. А отсюда, наоборот, вытекает, что в этом случае все корни определяющего [c.103]

Доказательство. Пусть М — любое Цф-измеримое подмножество множества , а Хм го характеристическая функция, т. е. Хм(Ф)=1 или Хм(Ф)=0 в зависимости оттого, принадлежит а з множеству М или нет. Поскольку Хм функцйя из пространства 2°° , 1 ), подействовав на нее изоморфизмом мы отобразим ее в Зф(З ). Поскольку функция Хм отлична от тождественного нуля и положительна, (хд ) также обладает этими свойствами. Следовательно, (ф (Хм)) Ф О, так как вектор Ф — разделяющий для Яф (3 )". На основании теоремы 11 мы можем заключить, что величина фд,, определяемая соотношением (фд ) = (ф (Хм)- )> есть положительный линейный функционал на удовлетворяющий условию КМШ, т. е. [c.280]

Планка характеристическая функция, 97 Потенциал термодинамический, 97 Поверхность постоянной энергии, 26 Работа газа элементарная, 89, 90 Редуцированное многообразие, 37 Ротационная энергия молекулы двухатомного газа, 73 Структурная функция, 25 Сумматорная функция, 44 Свободный интеграл, 37 Температура абсолютная, 81 Теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы, 70 [c.116]

Если же функция Н не является знакоопределенной или зависит от времени, то задача об устойчивости становится весьма сложной. Для системы (1) справедлива теорема Лиувилля о сохранении фазового объема, поэтому невозмущенное движение не может быть асимптотически устойчивым в системах, описываемых дифференциальными уравнениями Гамильтона, возможна либо устойчивость, либо неустойчивость. Следовательно, если линеаризованные уравнения не дают строгого решения вопроса об устойчивости (как, например, в случае установившихся движений при наличии у характеристического уравнения хотя бы одного корня с положительной вещественной частью), то возникает необходимость рассмотрения нелинейных членов в уравнениях (1), т. е. мы имеем критический случай теории устойчивости. [c.543]

Обсудим теперь задачу о наличии у системы (4.17) дополнительных первых интегралов, полиномиальных по и и г . Легко видеть, что каждый такой интеграл является конечной суммой квазиоднородных полиномиальных интегралов, степени квазиоднородности которых по переменным ик. V равны соответственно 1 и 2. Итак, пусть Г и,ь) — квазиоднородный интеграл системы (4.15) степени т. Согласно теореме 1 3, если точка щ = [/ , Vi = Vi, где /7 , Vi определяются из (4,17), не является критической точкой функции Г, то число т совпадает с одним из указанных выше характеристических корней р. Следует отметить, что не все интегралы удовлетворяют этому условию исключение составляют тривиальные интегралы Ф из серии (4.16). Екли имеются к квазиоднородных интегралов одной и той же степени т, независимых в точке и, ь) = и, V), то корень р = т имеет кратность не менее к. [c.356]

Региение вопроса об устойчивости по Ляпунову региения qj = pj = = О (далее будем иногда говорить об устойчивости системы (1) ) зависит от свойств функции Гамильтона. Если система (1) автономна, то функция Я будет ее первым интегралом и может быть принята за функцию Ляпунова V при региении задачи об устойчивости движения 1]. Если функция Я будет знакоопределенной, то система (1) устойчива. Если же система (1) не автономна или автономна, но п 2, и Я не является знакоопределенной функцией, то задача об устойчивости становится весьма сложной. Для системы (1) справедлива теорема Лиувилля о сохранении фазового объема, поэтому в ней невозможна асимптотическая устойчивость, а устойчивость может быть лигиь тогда, когда характеристические показатели системы с гамильтонианом Я2 будут чисто мнимыми. Так что задача об устойчивости системы [c.114]

В главе 3 изучается устойчивость гамильтоновой системы с одной степенью свободы и 2я-периодической по времени функцией Гамильтона. К такой системе может быть, например, приведена задача об устойчивости периодических движений круговой ограниченной задачи трех тел, отличных от точек либрации. Предполагается, что линеаризованная система устойчива, а ее мультипликаторы различны. Частные случаи этой задачи рассматривались в классических исследованиях Леви-Чивита и в недавних работах Зигеля, Мермана, Каменкова и Мустахишева. В главе 3 рассматриваются как нерезонансный, так я резонансный случаи (когда характеристические показатели + X таковы, что число кХ будет целым при произвольном целом к > 3). Исследование основано на приведении функции Гамильтона к нормальной форме и последующем применении теоремы Ляпунова о неустойчивости и теоремы Мозера об инвариантных кривых [72]. Получены условия устойчивости и неустойчивости. [c.11]

КРИТЕРИИ ОТРИЦАТЕЛЬНОСТИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧАСТЕЙ КОР-0Й ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ. Как следует из теорем Ляпунова, для суждения об устойчивости движения по первому дриближению необходимо иметь в своем распоряжении точные сведения о знаках вещественных частей корней характеристического уравнения. Иначе говоря, нужно знать, как расположены [ орни характеристического уравнения на комплексной плоскости относительно мнимой оси. Когда все корни характеристического уравнения лежат слева от мнимой оси, т. е. имеют отрицательные вещественные части, полином, соответствующий развернутому определителю характеристического уравнения, называется ус-щойчивым полиномом. Решить вопрос об устойчивости или неустойчивости полинома можно без предварительного вычисления его корней с помощью специальных критериев устойчивости, предложенных Э. Раусом, А. Гурвицем, X. Найквистом, А. В. Михайловым [113] и др. В основе этих критериев лежат известные теоремы Коши о числе корней функции внутри замкнутого контура. Некоторые из таких критериев дают возможность не только установить распределение корней полинома на комплексной плоскости, но также и определить необходимые изменения параметров системы, для того чтобы сделать ее движение устойчивым. [c.451]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...