УРАВНЕНИЯ нормали с осями координат

Тогда косинусы углов, образованных направлением N с осями координат, можно определить по формулам дифференциальной геометрии как направляющие косинусы внешней нормали к поверхности, имеющей уравнение f(x, у, z) = Q [c.66]

Если границы рассматриваемой жидкой массы суть неподвижные стенки, то, называя через а, Р, 7 углы с осями координат нормали к поверхности стенок, умножим наши уравнения на сова, os р, os if п сложим [c.405]

Из уравнений (3.60) должны быть определены неизвестные I, т, п — косинусы углов нормали к главкой площадке с осями координат. Эти косинусы не могут одновременно равняться нулю, так как [c.104]

Записывая уравнения (1.9-1.12) в разрывах, получим систему однородных уравнений относительно неизвестных, 77 , ij. Раскрывая характеристический определитель, получим уравнение относительно направляющих косинусов нормали ai к поверхности слабого разрыва. Существенные упрощения достигаются при использовании канонической системы координат. В этом случае оси Xi совпадают с главными осями тензоров напряжений и скоростей деформации. Искомое уравнение в канонической системе координат будет иметь вид [c.86]

Для исследования интегральных кривых и характеристических скоростей при 5 О на фазовой плоскости введем вспомогательную систему координат г/ьУг- Это декартова система с началом координат в заданной точке г, в, у которой оси направлены по радиусу-вектору и нормали к нему. В этих переменных уравнения (9.4) сохранят свой вид, если по-прежнему [c.368]

Выберем систему координат с осью Хз, направленной по внешней нормали к плоской поверхности кристалла (рис. 9.7), и будем искать решения уравнения (1.2) в виде волн с прямолинейным фронтом, убывающих в направлении отрицательных Хз. Иными словами, [c.227]

Обозначим левую часть уравнения (1.94) через 2Ф(х, (/, г). Учитывая коллинеарность радиуса-вектора точки пересечения главной оси с поверхностью эллипсоида и орта нормали к поверхности эллипсоида, найдем координаты этой точки. Имеем равенства [c.82]

Пусть в преграду толщины к по нормали к свободной поверхности ударяется тело длины I и среднего диаметра к = 2г со скоростью Ос- В результате удара образуется отверстие. Экспериментально установлено, что при ударе тела длины /> 2/ о в преграду толщины /г > 2го отверстие имеет цилиндрическую форму [12], [27], поэтому можно пренебречь краевым эффектом и считать, что диаметр отверстия определяется только радиальным расширением. В этом случае расчет радиуса отверстия сводится к решению следующей задачи. В момент времени i = О в срединной поверхности преграды образуется отверстие й = 2го, в котором действует давление р , равное давлению за фронтом ударной волны в момент начала соударения и распространяющееся по срединной поверхности с образованием ударной волны. Требуется найти закон расширения отверстия и его диаметр по окончании процесса соударения, предполагая материал преграды за ударной волной жидким или идеально-пластическим. Плотность среды за ударной волной считается постоянной и определяется из условий, имеющих место на ударной волне в момент взаимодействия. Предполагается, что за время движения среда перед ударной волной находится в покое. Задача обладает цилиндрической симметрией и рассматривается в полярных координатах. Уравнения движения и неразрывности принимают вид [c.193]

Здесь интеграл берется вдоль границы зоны полного насыщения S = = 3(т), ds — длина ее элемента, аналогично г означает пару координат точки границы, G(r, — известная двухточечная функция, /( ) и С — подлежащие определению интенсивность источников и константа. Граница S состоит из Г, отрезка Го оси ж, принадлежащего зоне полного насыщения (а в задаче о системе борозд с некоторого момента Т2, в который зона полного насыщения, распространяясь вправо, достигает прямой у = Y, — из ее отрезка Гу), а также из дуги Гу переднего фронта и из дуги Г возникающего при г = ti заднего фронта. Уравнение (2.2) и его следствие, получающееся дифференцированием (f из (2.2) по нормали к , справедливы, в частности, и на S. Это дает два уравнения [c.305]

Простейший пример пространственного пристенного пограничного слоя дает продольное осесимметричное обтекание тела вращения. Как и в плоском случае, можно отсчитывать х вдоль контура тела, а у — по нормали к нему (рис. 185) и рассматривать эти координаты как прямолинейные, а радиус-вектор г точки М по отношению к оси тела с достаточным приближением считать совпадающим с радиусом поперечной кривизны тела Го (а ) в соответствующем нормальном к оси тела его сечении. При таком подходе основное уравнение пограничного слоя сохранит тот же вид, что и в плоском случае, а уравнение неразрывности примет обычную для продольного осесимметричного движения в цилиндрических координатах форму [c.492]

Уже говорилось, что изменение объема не влияет на реологические свойства материалов. Следовательно, если рассматривать деформацию, отличную от ламинарного сдвига, при которой будет изменяться объем, то для того, чтобы выразить реологические уравнения в более общем виде, нужно уменьшить напряжения на величину всестороннего равномерного напряжения, а деформации — на объемное расширение. Таким образом, получаем компоненты, относящиеся к формоизменению будем отмечать их индексом (о). Это не окажет влияния на касательные напряжения т, а также на деформации сдвига dt или на градиенты сдвигов потому что, как только что было сказано, в случае ламинарных деформаций объем не изменяется. Иное дело с напряжениями Oj, которые действуют по нормали п к поверхности элемента. Они связаны с линейными или продольными деформациями или удлинениями, которые в связи с этим называются нормальными деформациями и обозначаются через dn. Если принять в качестве системы координат три главные оси i, j, к, тогда [c.126]

При ПОМОЩИ формулы интегрирования Гаусса вторые интегралы в правой части написанных выше уравнений можно вычислить достаточно точно. Первые интегралы вычисляются аналитически с помощью введения локальной системы координат на нагруженном элементе, такой, что ось yi направлена по нормали к элементу, а ось у2 — по положительному направлению касательной. Если направляющие косинусы осей yi и У2 в глобальной систем координат даются тензором е , то [c.109]

Жесткие штампы представляют собой тела враш,ения с обш,ей осью г цилиндрической системы координат. Уравнение штампа F (г, г) О определяет его конфигурацию. Если точка не удовлетворяет неравенству, то она проникла внутрь штампа. Уравнение штампа можно менять путем преобразования координат жестким смещением его в направлении г иг, а также поворотом в плоскости г, г. Штамп перемещают с помощью управляющих функций. Если точка проникла внутрь штампа, ее выводят по нормали на его поверхность, закрепляя с помощью фиктивного упругого слоя по нормали к поверхности и оставляя свободной в касательной плоскости. Если точка находится на поверхности штампа, следует оценить условия отрыва ее от штампа и в случае необходимости освободить. Итерационный процесс заканчивается, если зона контакта установлена с точностью до конечного элемента. Уравнение штампа может изменяться от шага к шагу. Условия взаимодействия могут меняться из-за деформаций текучести, а также вследствие изменения внешних воздействий и температурного поля. Для каждого нового шага состояние зоны контакта заимствуется из предыдущего шага. [c.102]

При этих условиях главные оси напряженного состояния можно было считать неизменно совпадающими с определенными тремя направлениями, а именно 1) с направлением ребра гиба, 2) с направлением общей нормали к поверхностям листа, которое условились называть радиальным, 3) с направлением, перпендикулярным первым двум, которое условились называть тангенциальным. Три нормальных напряжения (в направлении ребра гиба) сг —(в направлении радиальном), ае (в направлении тангенциальном) являются главными напряжениями, а их значения зависят только от одной координаты г. Казалось бы на первый взгляд задача кругового гиба листа является простейшей задачей плоской пластической деформации в полярных координатах. Действительно, ее решение сводится к интегрированию простого по написанию обыкновенного дифференциального уравнения (условие равновесия) [c.296]

Сформулируем сначала условие эллиптичности задачи. Пусть Ло —любая точка на Г. Будем для наглядности считать, что начало системы координат х перенесено в точку Хо и оси повернуты так, что касательная плоскость имеет уравнение х = 0, а ось х направлена по внутренней нормали. В окрестности рассматриваемой точки поверхность Г записывается уравнением Хп = Ф х ) с бесконечно гладкой функцией Ф от [c.331]

Здесь ЗИП — криволинейные координаты (з отсчитывается вдоль поверхности малой неровности, п — по нормали к ней), ишу — компоненты скорости вдоль осей 5 и п. Если теперь разложения (8.16) поставить в уравнения Навье-Стокса, записанные в криволинейных координатах ( , п), и перейти к пределу <С 6 <С е при е О, то получим, что в первом приближении течение в вязком подслое 4 будет описываться уравнениями пограничного слоя Прандтля для несжимаемого газа [c.383]

Введем в рассмотрение оси х и у. Начало координат поместим в центре тяжести сечения с, ось х направим по касательной к оси бруса, а ось у по нормали. Составляя три уравнения равновесия для отсеченной части бруса, найдем [c.519]

Заметим, что N подчиняется обычным требованиям N-N = 1, когда применяются обычные правила скалярного произведения векторов и произведения комплексных чисел. Кроме того, единичные векторы Nr и Ni образуют правую систему координат, в которой векторное произведение NrX Ni = к, где к — единичный вектор в положительном направлении оси z. Продолжая вывод с учетом обобщенного выражения единичной нормали, подставим уравнение (4.21) в уравнение (4.13). Это дает [c.122]

Эта величина известна нам во всех точках жидкой массы на всех же свободных поверхностях ее мы знаем самую функцию U—Р. Покажем, что на всех неподвижных стенках мы можем определить нормальную производную этой функции. Назовем через а, 5, 7 углы внутренней нормали II неподвижной стенки с осями координат и, умножив уравнения (3) соответственно на osa, os 3, os7, сложим их [c.398]

Пусть объем газа взят в виде элементарного тетраэдра КАВС, три грани которого параллельны координатным осям так, что их внешние нормали направлены против положительного направления координатных осей (рис. 9). Пусть а, Р, X — косинусы углов с осями координат внешней нормали к грани ЛВС, имеющей площадь 2. Тогда площади граней КВС, КАС и КАВ, являясь проекциями (12, будут соответственно равны а 2 р 2 - - Е. Применив уравнение (2.2) к массе газа в объеме этого тетраэдра, получим [c.104]

В том случае, когда направление внешней нормали п в рассматриваемой точке граничной поверхности совпадает с положительным или отрицательным направлением какой-либо оси координат Xif os (п, Xi) = ], то уравнения (6-25) принимают более простой вид [c.174]

При обтекании газом тупого тела с осью симметрии, направленной вдоль скорости невозмущенного потока, на поверхности тела образуется пограничный слой, симметричный относительно оси тела. Линии такого движения лежат в меридиональных плоскостях. В Л. 20, 105] показано, что если x5i и d idaldx малы (х — кривизна меридионального профиля), то уравнения движения и энергии для пограничного слоя имеют такой же вид, как и в случае обтекания газом плоской поверхности, если координата х направлена вдоль контура меридионального сечения, а у — по нормали к нему. [c.23]

Для выпуклых областей простой конфигурации вместо (2.47) удобнее взять норму, согласованную с уравнением границы Г. Так, если Г — эллипсоид, центр которого совпадает с началом координат, а главные оси направлены вдоль координатных осей, то достаточно принять за новые компоненты вектора качества отношения Vilv, идалее использовать норму (2.45). Здесь уГ, п — [c.48]

Конечно, Герц не имел, как имели мы здесь, уже готового предположения о распределении давления по поверхности плитки, при знании которого ему оставалось бы только доказать правильность решения. Он по этому вопросу не делал никаких предварительных предположений и нашел закон распределения давлений лишь в результате своих исследований. Герц пришел к своему результату, опираясь на то, что решение основных уравнений упругого равновесия может быть получено при помощи теории потенциала притягивающих или отталкивающих масс. Если представить себе, что между обоими телами помещен трехосный эллипсоид равномерной плотности, у которого ось, идущая в направлении нормали касательной плоскости, в сравнении с осями, расположенными в площадке сжатия, бесконечно мала, то для сил притяжения масс этого эллипсоида, подчиняющихся закону тяготения Ньютона, можно вычислить потенциал в виде функции от координат ауфпункта ) и для такого потенциала уже давно была выведена готовая формула. Как можно показать, не только сами составляющие сил притяжения, вычисляемые по соответствующим формулам, но и функции, получаемые из них путем диференцирования или интегрирования по координатам, будут представлять решения основных уравнений теории упругости, и вся задача заключается лишь в том, чтобы составить из них такое решение, которое удовлетворяло бы одновременно всем граничным условиям, относящимся к напряжениям и деформациям. Это и удалось сделать Герцу. Кто захотел бы ознакомиться с теорией сжатия упругих тел по оригинальным работам Герца, тот должен иметь соответствующие предварительные сведения из теории потенциала. [c.230]

Свойства поверхностей, к которым прилегает бесконечно тонкий слой врагцаюгцихся частиц жидкости, легко обнаружить из уравнений (5а). Если ,г]и ( лишь в бесконечно тонком слое отличны от нуля, то по известным положениям потенциальные функции Ь, М и N будут иметь на обеих сторонах слоя одинаковые значения, а производные их, взятые в направлении нормали к слою, будут различны. Положим теперь, что оси координат выбраны так, чтобы в рассматриваемом месте вихревой поверхности ось совпадала с нормалью к поверхности, а ось X с осью вращения жидких частиц на поверхности так что в этом месте г] = ( = 0 тогда потенциалы М я М, а также и их производные будут иметь одни и те же значения на обеих сторонах слоя то же имеет место для [c.27]

Рассмотрим прямой брус, находящийся в равновесии под действием произвольной системы внешних (активных и реактивных) сил (рис. 1.22). Рассечем его на две части (I и II) некоторой произвольной плоскостью, перпеь дикулярной к его продольной осн, и отбросим одну из частей (например, I). Выше уже говорилось о том, что внутренние силы по сечению распределены сплошным образом, но как именно они распределены, с помощью уравнений равновесия установить нельзя. Вместе с тем из теоретической механики известно, что любая система сил може-г быть приведена к ее главному вектору и главному моменту, которые статически эквивалентны заданной системе сил. Далее известно, что главный вектор системы может быть представлен в виде трех o тaвJiяющиx по осям выбранной координатной системы. Аналогично, главный момент может быть также разложен на составляющие по осям координат, т. е. заменен тремя моментами, каждый из которых стремится повернуть тело вокруг одной из координатных осей. Конечно, можно определить из уравнений равновесия, составленных для сил, действующих на оставле -ную часть бруса, величины и направления главного вектора и главного момента внутренних сил. Но значительно удобнее определять их составляющие по осям выбранной системы координат. Эту систему выбираем следующим образом начало координат О помещаем в центре тяжести рассматриваемого поперечного сечения (рис. 1.23), ось Ог направляем по внешней нормали к сечению, т. е. вдоль оси бруса, оси Ох и Оу располагаем в плоскости сечения, ось Оу — по оси симметрии поперечного сечения и ось Ох — ей перпендикулярно. [c.21]

При вычислении интегралов в уравнении (4.5.48) удобно использовать сферическую систему координат. Начало координат для отсчета й поместим в рассматриваемую точку, ось Хд совпадает с направлением внешней нормали п. Орты Т1, Та осей Ха расположены в плоскости, касательной к поверхности у и нормальной к вектору п. Поляргый [c.177]

Воспользуемся теперь тем, что ось 2 совпадает с общей касательной к кривым . и / в точке / в этих условиях при элементарном движении от этого момента I до бесконечно близкого момента t- dt полюс I смещается вдоль этой именно оси поэтому Б этот момент должно обращаться такл е в нуль элементарное наращение координаты гц. а вместе с тем в момент I должна обращаться в нуль и производная Если теперь иро-диференцнруем второе из уравнений (23) по времени и отнесем его к тому же моменту 1, то убедимся, что в этот момент также а = 0. Из всего этого следует, что во всякий момент, в который скорость врагорния отлична от нуля, ускорение полюса направлено по обшей нормали к полярным, траекториям. [c.269]

Частные производные эйконала волнового поля, заданного на криволинейной поверхности, уже не имеют смысла направляющих косинусов светового луча, поскольку не совпадают с компонентами градиента эйконала в принятой системе координат. Развернем в данной точке ДОЭ систему координат таким образом, чтобы новая ось 2 совпала с нормалью к поверхности элемента. Эту систему координат назовем системой нормали и обозначим ее оси х, т)х, 2х. Теперь в окрестности рассматриваемой точки эйконалы всех волновых полей оказываются заданными в плоскости, касательной к поверхности элемента (в плоскости х х), следовательно, их производные по координатам Ех, Лх опять имеют смысл направляющих косинусов лучей, но уже в системе координат нормали. Найти производные функций Ф(Е, т)) по Ех и т)х достаточно легко, так как координаты , т] и х, rix связаны известными формулами для поворота системы координат [8] (естественно, при этом необходимо знать конкретное уравнение поверхности ДОЭ). В общем виде можно записать [c.16]

Расположим прямоугольную систему координат х, у в плоскости невозмущенной мембраны и обозначим через смещение в направлении, нормальном к этой плоскости. Предположим, что поверхностная плотность (т. е. масса, приходящаяся на единицу поверхности) одинакова для всей поверхности, и обозначим ее через д. Для того чтобы вывести уравнения движения, рассчитаем силы, действующие на стороны прямоугольного элемента ЬхЬу с центром в точке х, у). В смещенном положении наклон поверхности в направлен1ш, параллельном оси X, равен д /дх, а наклон в направлении, параллельном оси у, равен дХ /ду. Следовательно, компонента в направлении нормали к плоскости ху силы, действующей на отрезок, проходящий через центр элемента параллельно Ьу, равна Р- -6у. Соответствешшо [c.182]

Пусть плоская волна падает из вакуума (или воздуха) на границу оптически одноосной анизотропной однородной среды, занимающей верхнее полупространство (рис. 4.10). Рассмотрим частный случай оптическая ось параллельна границе ху и перпендикулярна плоскости падения хг (т.е. параллельна оси у). Падающую волну разложим на составляющие, поляризованные в плоскости падения и в перпендикулярном направлении. Граничные условия, как и для изотропной среды, выражаются уравнениями (3.1). Чтобы эти условия выполнялись сразу во всех точках границы, у всех трех экспонент зависимость от координат х и у должна быть одинакова. Отсюда, во-первых, следует, что у волновых векторов к и кг отраженной и преломленной волн равны нулю у-составляю щие, т. е. нормали к волновым поверхностям отраженной и преломленной волн лежат в плоскости падения. Во-вторых, из равенства л -составляюших векторов ко, к и кг следуют геометрические законы отражения и преломления, определяющие направления этих волн. Так как/г()х = (ы/с)8 Пф, /г = (ш/с)51пф , то ф1=ф угол отражения ф1 от анизотропной среды равен углу падения ф. [c.187]

Невозмущёппая форма этой поверхности в эллипсоидальных координатах имеет уравнение А = О, а любая её точка имеет координаты (/i, I ). Заданное движение является простым поворотом вокруг оси Oz. Предположим, что поверхность подвергается бесконечно малому непрерывному смещению без изменения полного объёма фигуры. Обозначим через расстояние от точки первоначальной эллинсоидаль-пой поверхности до новерхности деформированной, измеренное вдоль нормали к эллипсоиду, а через д, как и раньше, — суммарную силу в точке (/i, и), обусловленную гравитацией и центробежной силой. Через dS обозначим также элемент площади поверхности в окрестности точки с координатами (/i, г ). [c.139]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...