Функции круговые эллиптические

Оказывается, что задача решается в круговых эллиптических функциях, когда [c.106]

Выражения для полей катушечных МИО значительно сложнее выражений, рассмотренных выше для полей МИО с ферро-магнетиками./ ни могут быть представлены лишь через шаро- вые функции или эллиптические интегралы. Приведем здесь выражения поля катушечных МИО в предположении, что МИО является круговым контуром тока с радиусом R [13] [c.72]

Бесконечная плоскость с эллиптическим отверстием отражается на бесконечную плоскость с круговым отверстием радиуса р = 1 с помощью функции [c.319]

Rn.t имеет один максимум, расположенный в том месте, где проходит соответствующая боровская круговая орбита. При п — > 1 функция 2 имеет несколько максимумов (случаи эллиптических орбит в модели Бора). В общем [c.106]

Модуль будет тогда равен нулю, и эллиптические функции обратятся в круговые. Прежде всего третье уравнение Эйлера [c.156]

Но при п = +1, —2, —3 этот интеграл выражается через круговые функции, а случай п — —1 мы исключаем. Следовательно, только при /1 = 0 эта процедура приводит к эллиптическим функциям. [c.91]

Уравнения (4) дают возможность найти законы щ, ф изменения всех обобщенных координат системы (законы управления) для любых заданных функций fj, При прямолинейных перемещениях захвата = f (х) os 0, х = j (t) sin 0 уравнения (4) интегрируются в явном виде [3]. Можно показать, что в этом случае законы управления обладают свойством повторяемости при возвращении захвата в исходную точку координаты Wj, щ, ф принимают первоначальные значения. Другими простейшими (наряду с возвратно-поступательными) движениями захвата являются периодические круговые (г = Га) или эллиптические (г г ), когда [c.10]

Например, уравнение эллиптического цилиндра в виде функции х /а + y / = z с осью 0Z. Это же уравнение описывает прямой круговой цилиндр, но при а = с = R, Z= 1 - [c.174]

К 7. Решение задачи в пп. 7.2—7.3 о круговом кольце представляется более простым, чем в [2]. Решение в замкнутом виде через эллиптические функции предложено в книге [c.925]

В третьей главе исследовано разрушение армированных пластин с отверстиями при нагружении в плоскости. Для прямолинейно-анизотропных пластин, ослабленных одним или несколькими различными вырезами, получены соотношения для расчета напряжений в элементах композиции, выраженные через функцию Эри и необходимые для последующего исследования прочности. Рассмотрена задача о разрушении пластин с эллиптическим отверстием при растяжении па бесконечности равномерно распределенным усилием. Исследована зависимость разрушающей нагрузки от расположения вытянутости отверстия относительно направления действия нагрузки и характера армирования. Определены параметры структуры армирования, соответствующие рациональным проектам по условиям прочности. Проанализировано также разрушение пластин с цилиндрической анизотропией, имеющих форму полного кругового концентрического кольца и нагруженных на внешнем и внутреннем контурах равномерно распределенными нормальными усилиями. [c.5]

В главе 6 рассматривается влияние гравитационных возмущений. С помощью интеграла Якоби исследуются для круговой орбиты области возможных движений оси динамически симметричного спутника. Показано, в частности, что ось динамически вытянутого спутника может совершать ограниченные колебания в окрестности радиуса-вектора орбиты, а ось динамически сжатого спутника — в окрестности нормали к плоскости орбиты. Если же составляющая абсолютной угловой скорости по оси симметрии все время остается равной нулю, то ось динамически сжатого спутника может совершать ограниченные колебания в окрестности касательной к орбите. Если кинетическая энергия относительного вращения спутника достаточно велика, то областью возможных движений становится вся единичная сфера и движение можно рассматривать как ротационное. Для такого движения исследуются вековые гравитационные возмущения и общие особенности движения на круговой и эллиптических орбитах для круговой орбиты, согласно общей теории главы 5, построено решение во втором приближении в эллиптических функциях аналогичное приближенное решение получено для эллиптической орбиты. Сравнение с численным интегрированием точных уравнений показывает, что решение второго приближения обладает очень высокой точностью. [c.13]

На круговой орбите (б = 0) уравнение (2.3.5) переходит в уравнение свободных колебаний математического маятника, которое интегрируется в эллиптических функциях (см. 2 этой главы). Упомянутые выше 2я-периодические решения при 6 = 0 имеют вид [c.96]

Задача в случае эллиптического отверстия в изгибаемой пластинке была сведена М. П. Шереметьевым [6] к некоторой линейной граничной задаче типа задачи линейного сопряжения теории аналитических функций, причем линия скачков представляет собой окружность. Эта последняя задача решается методом последовательных приближений, причем за начальное приближение принимается решение для случая кругового отверстия. [c.593]

Исследование больших перемещений при упругом изгибе тонких стержней в этих случаях представляет большие трудности. Известно точное решение задачи об изгибе кругового стержня под действием равномерно распределенной нагрузки, найденное Ж. Альфаном [85]. Оно выражается в эллиптических функциях Вейерштрасса. Это решение было изложено в книге [51]. Не повторяя его, здесь скажем лишь о применении наших диаграмм упругих параметров к решению любой задачи, не сводящейся к основному классу. [c.185]

А. Н. Динник (1909) и Н. М. Беляев (1924) провели вычисление напряжений в телах, соприкасающихся по круговой или эллиптической площадке (см. также М. С. Кролевец, 1966). Значительное количество важных работ по контактным задачам было выполнено в тридцатых и сороковых годах. В. А. Абрамов (1939 и А. И. Лурье (1940) дали решение контактных задач о нецентрально нагруженном круглом и эллиптическом штампе. Существенные результаты в этом направлении получены И. Я. Штаерманом (1939, 1941, 1943), рассмотревшим различные случаи контакта тел вращения без предположения о малости поверхности их соприкосновения, а также впервые исследовавшим задачу о плотном прилегании штампа. В 1941 г. А. И. Лурье с помощью функций Ламе детально рассмотрел некоторые контактные задачи, причем разработал естественный и единообразный подход к задаче Герца и задаче о плотном прилегании. В работах М. Я. Леонова (1939, 1940) и Л. А. Галина (1946, 1947) дано дальнейшее обобщение ряда контактных задач для полупространства. Большой материал оригинального и обзорного характера, относящийся к рассматриваемым проблемам, содержится в монографиях И. Я. Штаермана (1949), Л. А. Галина (1953), А. И. Лурье (1955), а также в обзорных статьях Д. И. Шермана (1950) и Г. С. Шапиро (1950), в которых имеются ссылки на многие работы, не вошедшие в настоящий обзор. [c.34]

Только что названный метод оказался наиболее удобным для односвязных областей. Как это было выше отмечено, он всегда приводит к эффективному решению, если отображение области осуществляется рациональной функцией. Первые применения метода были указаны самим Н. И. Мусхелишвили, давшим замкнутые решения основных задач для ряда конкретных случаев. Из этой серии задач мы выделим равновесие кругового диска под действием контурных сосредоточенных нагрузок и бесконечную пластинку с эллиптическим отверстием. Результаты Мусхелишвили, о которых здесь говорится, были получены автором в его работах двадцатых и тридцатых годов (среди них следует особо отметить его мемуар, опубликованный в 1922 г.). Все эти результаты вместе с другими, принадлежащими тому же автору, подробно изложены в не раз цитировавшейся выше монографии [c.57]

Этим методом Мусхелишвили (см. выше) решает несколько других задач для эллиптического отверстия и исследует также задачу о воздействии сосредоточенных усилий и моментов на круговой диск. Для областей, отображаемых на единичный круг с помощью рациональных функций, разработана общая теория, а для областей, подобных равностороннему треугольнику или квадрату, построены приближенные методы решений, [c.117]

Для трехосного эллипсоида интегралы, представляющие Л, В, С, будут эллиптическими в нашем же случае они выражаются через круговые функции. Полоншм [c.114]

Opo Tdinme оптические системы в дифракционном приближении. В бо лее строгом дифракционном приближении мы будем пользоваться ска лярной теорией дифракции, которая основывается на том, что различ ные поперечные компоненты электрического или магнитного полей счи таются независимыми друг от друга и рассматриваются порознь. Это позво ляет описывать распределение поля одной из таких компонент (или соче тания двух компонент, соответствующего круговой или эллиптической поляризации) с помощью скалярной функции. Условия применимости такой модели подробно обсуждаются в [77]. В рассматриваемых далее ситуациях, когда и поперечные размеры световых пучков, и проходимые [c.14]

В данной главе приведены решения скалярных и векторных волновых уравнений для установившихся волновых движений в системах координат, в которых допустимо разделение переменных и которые используются в последуюших главах при изучении дифракционных процессов. Рассмотрены круговая цилиндрическая. эллиптическая цилиндрическая, сферическая, сфероидальная и параболическая цилиндрическая координатные системы. Для первых трех из указанных систем приведены теоремы сложения волновых функций. Даны основные свойства используемых специальных функций. Отметим, что в случае нестационарных процессов в результате применения интегрального преобразования Лапласа по времени волновые уравнения также сводятся к уравнениям Гельмгольца. Следовательно, приведенные в настоящей главе результаты справедливы и для нестационарных задач. Отличие состоит лишь в том, что в нестационарном случае волновые числа будут чисто мнимыми. [c.28]

СКОЛЬКО работ. Так, в работе [31] приведены результаты изучения собственных поперечных колебаний тонких ортотроп-ных эллиптических пластинок с аналогичным эквидистантным вырезом. Теоретический анализ осуществлен с использованием метода Ритца. При этом проведено преобразование эллиптической пластинки в кольцевую с единичным внешним радиусом путем перехода к новой системе координат. Кольцевая круговая пластинка разбита на ряд секторов. Поперечные перемещения аппроксимируются рядами произведений приемлемых функций секториальнрй балки с малым углом конусности в плане на тригонометрические функции угловой координаты. Перемещения в направлении радиальной координаты аппроксимируются полиномами пятой степени, которые удовлетворяют основному уравнению изгибных колебаний балок.во всех точках внутри выделенного малого элемента и граничным условиям на его концах. В результате цроведенного исследования определены собственные числа и формы собственных колебаний для некоторых образцов изотропных эллиптических и круговых пластинок с подобными центральными вырезами. Для апробации полученных авторами результатов в работе дано сопоставление с результатами точных решений и результатами других авторов, полученных для частных случаев. , [c.293]

В п. 2.4 рассмотрена асимптотика поля скорости вблизи вихревой нити произвольной геометрии. В конкретном случае круговой вихревой нити асимптотику функции тока и скорости можно найти, используя асимптотические свойства эллиптических интегралов [Абрамовиц, Стиган, 1979]. Полагая S = S] Г(), из (2.42) находим [c.103]

Решить задачу дифракции на диэлектрическом эллиптическом цилиндре таким простейшим вариантом метода разделения переменных уже нельзя. Дело в том, что функции, описывающие изменение поля в зависимости от азимутального угла вдоль поверхности, только для кругового цилиндра одинаковы внутри и вне тела. Именно поэтому, сшивая поля внутри и вне цилиндра на его поверхности, мы получали функциональные уравнения (5.45), в которые входят одни и те же функции от углов созтф. Это приводит к тому, что системы (5.46) для различных m независимы. Иная ситуация в случае дифракции на эллиптическом цилиндре здесь аргумент косинусоподобной функции [c.56]

Исследована прочность толстостенных упругопластических цилиндров с учетом разупрочнения материала в пластической зоне. Разупрочнение цилиндра описывается специальной функцией неоднородности пластических свойств. Рассмотрены толстостенный цилиндр в осесимметричной ностановке, толстостенный круговой цилиндр под действием неравномерного но контуру наружного давления и толстостенный эллиптический цилиндр. Задачи решены методом возмуш ений в теории упругопластического тела. [c.27]

Метод степенных рядов применительно к задаче о кольцевых подкреплениях отверстий оказывается принципиально пригодным для эффективного решения каждый раз, когда бесконечная односвязная область, занятая сопряженными телами, конформно отображается на внешность круга посредством рациональной функции и подкрепляющее кольцо переходит при этом в концентрическое круговое. Эффективное решение задачи для случая отображения вида (2) 153 было дано М. П. Шереметьевым [3], [7], который скомбинировал метод степенных рядов с методом интегралов типа Коши. Частный случай крепления в форме софокусного эллиптического кольца (п = 1) рассматривался позже в работах Ода (Oda [1 ] ) и Левина (Levin [1]). В первой из этих работ приводятся два численных примера применительно к задаче о давлении окружающих пород на крепь туннеля с круговым и эллиптическим поперечными сечениями. Во второй работе решение представлено в форме степенных рядов, достаточно удобных для численных расчетов. [c.591]

Д. 3. Авазашвили (1940) построил решение задачи об изгибе консольного призматического стержня при помощи функций комплексного переменного. Конформным отображением на область кольца Б. А. Обод овский. получил решение задачи об изгибе силой полого бруса эллиптического-сечения (1960). Л. К. Капанян (1956) использовал приближенное конформное отображение при решении задачи изгиба для круга с криволинейным квадратным вырезом В. Н. Ракивненко (1962) рассмотрел изгиб кругового цилиндра с двумя полостями с поперечными сечениями в виде квадрата. [c.28]

Д. И. Шерман распространил свой метод вспомогательной функции на задачи изгиба полых призматических стержней и, в частности, рассмотрел случай эллиптического бруса, ослабленного круговой цилиндрической полостью (1953). Ряд задач об изгибе полых стержней методом Шермана исследовал Ю. А. Амензаде круг с эллиптическим (1955) и криволинейным (1956) отверстиями, круг с несоосным эллиптическим отверстием (1958) и др. Сечение в виде эллипса с двумя круговыми отверстиями изучил А. С. Космодамианский (1960). [c.28]

Этот же метод в соединении с функциональным уравнением позволяет рассмотреть задачу о кольцевых подкреплениях в несколько более общем случае, например, когда бесконечная односвязная область, занятая сопряженными телами, отображается на внешность круга посредством рациональной функции и подкрепляющее кольцо переходит при этом в концентрическое круговое. При таком предположении случай отображения (6.2) изучался М. П. Шереметьевым (1949), который привел подробное решение с численными результатами для подкрепления отверстия в виде софокус-ного эллиптического кольца. В упомянутой монографии Г. Н. Савина (1951) приводятся результаты вычислений и для других форм упругого подкрепления, доставляемых отображением (6.2), и напряжения на подкрепленном контуре отверстий сравниваются с теми же напряжениями в двух предельных случаях, когда подкрепляющее кольцо абсолютно гибкое (пустота) или когда оно абсолютно жесткое. [c.64]

Такой подход позволил эффективно приложить (Г. Н. Савин, 1964) развитый ранее применительно к линейным задачам метод функций комплексного переменного и интегралов типа Коши. Р1зучены особенности и условия однозначности комплексных потенциалов, сформулированы различные варианты статических и геометрических граничных условий в начальном и деформированном состояниях (Г. Н. Савин и Ю. И. Койф-ман, 1961). Затем был рассмотрен ряд задач о концентрации напряжений около кругового и эллиптического отверстий (свободного и с подкреплением) при однородном напряженном состоянии на бесконечности Ю. И. Койфман, 1961—1964). Здесь же рассмотрены родственные задачи для пластинки с жестким ядром. [c.77]

A. A. Каминского (1965 и сл.). При рассмотрении задачи о произвольном числе симметрично расположенных трещин, выходящих на свободную поверхность кругового-отверстия в бесконечном теле, О. Л. Бови применил для отображения такой области на внешность единичного круга приближенное представление аналитической функции полиномами, после чего стало возможным применение методов Н. И. Мусхелишвили. Проведенные им конкретное расчеты для простейших случаев одной и двух диаметрально противоположных трещин потребовали большого объема вычислительных работ, так как для достаточной точности оказалось необходимым удерживать около тридцати членов полиномиального разложения. А. А. Каминский существенно усовершенствовал метод Бови, добившись гораздо лучшей сходимости при замене отображающей функции такой рациональной функцией, которая, сохраняя особенность на концах трещин, скругляет углы в местах выхода трещины в полость. Им получены простые формулы) для определения величины предельной нагрузки в упомянутой задаче-о пластине, ослабленной круговым отверстием с двумя равными радиальными трещинами. Используя этот метод, Н. Ю. Бабич и А. А. Каминский (1965) построили решение задачи для одной прямолинейной трещины, а А. А. Каминский (1965) — для двух прямолинейных трещин, выходящих на контур эллиптического отверстия (здесь же приведены результаты, расчетов критической нагрузки в зависимости от длины трещины). В дальнейшем А. А. Каминский (1966) получил решение задач для случая, когда одна или две равные трещины выходят на контур произвольного-гладкого криволинейного отверстия при одноосном или всестороннем растяжении, и определил критические нагрузки, вызывающие развитие расширенных трещин. Г. Г. Гребенкин и А. А. Каминский (1967) в качестве примера произвели расчет критических нагрузок для двух равных трещин, выходящих на контур квадратного отверстия. В. В. Панасюк (1965) рассмотрел задачу Бови о круговом отверстии с двумя радиальными трещинами разной длины, выходящими на границу отверстия. При определении нормальных напряжений используется приближенный метод, аналогичный методу последовательных приближений, развитому в работах С. Г. Михлина (1935) и Д. И. Шермана (1935). Сравнение с решением О. Л. Бови для двух трещин одинаковой длины дает удовлетворительное совпадение. Некоторые результаты относительно влияния свободной границы полупространства на распространение терщины были получены ранее в работах Ю. А. Устинова (1959) и В. В. Панасюка (1960). [c.382]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...