Интегралы консервативные

Так как кинетическая энергия консервативной системы в общем случае зависит от скоростей точек системы и от ее положения, то время перехода системы из конфигурации А ь В для различных кинематически возможных движений не одинаково. В связи с этим предел t в интеграле (148.1) является переменным. [c.408]

В тех случаях, когда система не консервативна, но имеет место равенство (24) i), формула (25) устанавливает интеграл уравнений движения, подобный интегралу энергии в натуральных консервативных системах. Поэтому при выполнении условия (24) гамильтониан называется обобщенной энергией, а утверждение (25) — обобщенным законом сохранения энергии. Системы, удовлетворяющие условию (24), далее называются обобщенно консервативными системами. [c.265]

Гармонический осциллятор, рассмотренный выше, представляет собою пример автономной консервативной системы второго порядка. Как мы видели, такая система обладает интегралом движения (обычно интегралом сохранения энергии). Фиксируя значение произвольной постоянной в интеграле движения, мы получаем динамическую систему с одномерным фазовым пространством, которое может представлять замкнутую или незамкнутую кривую, состоящую из одной или нескольких фазовых траекторий. Придавая произвольной постоянной различные значения, получим множество одномерных фазовых пространств, которые в совокупности образуют фазовое пространство консервативной системы второго порядка. В конечном итоге двумерное фазовое пространство этой системы оказывается разбитым на фазовые траектории. Замкнутая фазовая траектория соответствует, как известно, периодическому движению в системе. [c.29]

Первый интеграл уравнений движения (68) имеет место при достаточно широких предположениях относительно свойств задаваемых сил (консервативность) и характера связей (стационарность) или, несколько более общо, относительно вида функции Лагранжа L (независимость ее от времени). Обратимся теперь к рассмотрению других первых интегралов, существование которых требует более сильных ограничений, накладываемых на выражение кинетического потенциала. [c.400]

В математическом описании автономных консервативных систем мы встречаемся с интегралом типа [c.42]

Для обобщенно-консервативной системы интегралом является функция pi). Если — циклические коорди- [c.97]

Следовательно, выбирая плотность D как функцию одного из интегралов движения, мы можем гарантировать статистическое равновесие, так как скобка Пуассона [D, Н] будет тогда обращаться в нуль. Поэтому для консервативных систем плотность D может быть любой функцией энергии, так как при этом обязательно будет выполняться условие равновесия. Выбор этой функции определяет характеристики рассматриваемого ансамбля систем. В случае, например, известного микроканонического ансамбля плотность D постоянна для всех систем, имеющих заданную энергию, и равна нулю для других систем. [c.296]

Замкнутые траектории. Теорема Уиттекера. Как мы уже знаем (п. 15), траектории консервативной динамической системы, при--надлежащие к определенной связке, дают интегралу [c.458]

Теорема Ляпунова дает достаточные условия устойчивости движения. Применение этой теоремы требует знания функции F, обладающей вполне определенными свойствами. Общих методов построения таких функций нет. Однако во многих практически важных случаях функцию V можно построить, если известны первые интегралы уравнений возмущенного движения. Например, при доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы в качестве функции V годилась полная механическая энергия системы Е. [c.518]

В случае классической механики консервативной системы можно сформулировать нашу вариационную задачу изящнее, чем это было здесь сделано, без непосредственной связи с уравнением Гамильтона, следующим образом [ 2 ]. Пусть Т( , р) — кинетическая энергия, зависящая от координат и импульсов, Г — потенциальная энергия, т — рационально измеренный элемент объема конфигурационного пространства, т. е. произведение ( д ,..., (1дп, умноженное еще на корень квадратный из дискриминанта квадратичной формы Т(д, р) (ср. Гиббс, Статистическая механика). Тогда значение функции у> должно придавать интегралу Гамильтона [c.678]

Пусть большое количество невзаимодействующих точек выброшено с одинаковой энергией Н из некоторой точки на поверхности И. Поле сил, в котором движутся точки, считаем консервативным. Частицы описывают некоторые траектории, которые на начальном участке перпендикулярны к этой поверхности. Рассмотрим одну из частиц. Она покидает точку О поверхности а в момент времени = О и достигает некоторой точки А на траектории в момент времени Л Взяв интеграл принципа наименьшего действия в форме Лагранжа от О до А, предположив в точке О действие равным нулю, мы найдем, что действие частицы в точке А равно этому интегралу. Следовательно, частица на каждом участке своей траектории связана с некоторым значением действия и действие возрастает по мере того, как частица описывает траекторию. Очевидно, что мы. можем определить действие в любой точке траектории независимо от того, находится там на самом деле частица или нет. [c.874]

Принцип стационарного действия в форме Лагранжа. Движение консервативной системы без неинтегрируемых связей, как мы видели ( 193), геометрически вполне определяется интегралом энергии [c.364]

Характеристическая функция Гамильтона. Положим, что данная материальная система консервативна тогда по формуле (33.25) на стр. 347 одним из интегралов уравнений движения служит интеграл энергии [c.454]

Характеристическая функция. Пусть ни (однозначная) силовая функция и, ни уравнения связей не содержат явно времени t в этом случае материальная система консервативна, и одним из интегралов уравнений движения служит интеграл энергии [c.476]

Здесь j, С2, j — произвольные постоянные для сокращения здесь введено обозначение (52.3), причём через обозначено начальное значение проекции (Oj угловой скорости. Рассматриваемое нами твёрдое тело представляет собой консервативную систему ( 186) следовательно, к найденным интегралам присоединяется ещё интеграл энергии [c.584]

Если мы имеем дело с одномерной консервативной системой, уравнение движения всегда решается квадратурой. Действительно, энергия в этом случае будет интегралом движения, и мы можем нат сать [c.13]

Метод Захарова — Кузнецова (1974). Метод состоит в доказательстве ограниченности снизу энергии консервативной системы при условии фиксации нек-рых дополнит, интегралов движения. Проиллюстрируем метод на последнем примере, показав, что интеграл энергии в [R оценивается снизу через заряд Q. В самом деле, [c.259]

Объемные интегралы от непрерывно распределенных консервативных объемных снл очень часто могут быть преобразованы в эквивалентные граничные интегралы при помощи теоремы Гаусса—Остроградского (см. гл. 6). [c.17]

Следовательно, для любой консервативной системы ) гамильтониан является интегралом движения для данных начальных условий постоянное значение гамильтониана есть просто полная энергия системы. Следовательно, траектория системы должна располагаться на энергетической поверхности [c.356]

Раусу принадлежит несколько теорем об устойчивости стационарных движений. Приведем здесь только одну из них, получившую наибольшее распространение. Эта теорема справедлива для голономных консервативных систем, обладающих циклическими интегралами. [c.557]

Пусть положение голономной консервативной системы определяется лагранжевыми координатами д, д2,дн, из которых первые 5 — циклические, которым соответствуют циклические интегралы [c.558]

Уравнение (10.36) называется интегралом энергии и оно выражает закон сохранения полной механической энергии системы если система движется под действием одних консервативных сил, то сумма кинетической и потенциальной энергий сохраняет постоянное значение. Интеграл энергии (10.36) и некоторые его обобщения имеют большое значение в теории устойчивости движения ). [c.246]

Случай, когда система (6) уже имеет гамильтонову форму вида (7) с не зависящим от времени гамильтонианом Н) и инвариант (8) с функцией С. Тогда для выполнения равенств (21) и (22) достаточно, чтобы функции С и ф были первыми интегралами в инволюции ф,С = 0) обобщённо-консервативной системы. [c.231]

Вместе с интегралом энергии (1.12) для консервативных систем при этом имеем семь скалярных интегралов движения. [c.12]

Все равновесные состояния консервативной системы Sn определены в неподвижной области Г фазового пространства (р, q), следовательно, и в неподвижном объеме V физического пространства, т. е. макроскопически система Sn представляется неподвижной. Поэтому интегралы движения Q = 0, G=0 являются тривиальными, и известен только один интеграл движения, явно не зависящий от времени, — интеграл энергий [c.23]

Если матрица Г — нулевая, то уравнения (88) совпадают с уравнениями движения консервативных механических систем с циклическими координатами, записанными в переменных Рауса [1, 2], и допускают т циклических интегралов [c.455]

В частном случае обобщенно консервативной системы гамильтониан Н является интегралом уравнений движения поэтому если некоторая функция f(q, р, 4 —интеграл уравнений движения, то ее первая, вторая и т. д. частные производные по времени также являются интегралами этих уравнений. Действительно, для таких систем в силу теоремы Якоби — Пуассона (/, Я) = = onst и из условия (30) следует, что [c.269]

Периодические движения в консервативной системе отличаются той особенностью, что они никогда не бывают изолированными. Это связано с тем, что если при некотором значении произвольной постоянной в интеграле движения мы имеем замкнутую фазовую траекторию, то в силу непрерывной зависимости решения дифференциальных уравнений от начальных условий и при близких значениях этой постоянной фазовые траектории будут оставаться замкнутыми. Таким образом, замкнутые траектории образуют континуум, заполняя целые области двумерного фазового пространства. При этом возможны два случая в первом случае замкнутые траектории, вложенные одна в другую, стягиваются либо к особой точке типа центра, либо к сепаратрисам седловых особых точек. В случае, когда фазовое пространство представляет собою цилиндрическую поверхность, замкнутые траектории могут охватывать фазовый цилиР1др. [c.29]

Описанная в п. 164, 165 процедура понижения порядка системы дифференциальных уравнений движения является одним из наиболее эффективных и практически важных способов, примеияемы. с при интегрировании уравнений движения. Всякая симметрия задачи, допускающая такой выбор обобщенных координат, чтобы некоторые из них qa были циклическими, приводит к существованию первых интегралов ра = onst и, как мы видели, позволяет свести исследовапие движения к рассмотрению системы с меньшим числом обобщенных координат. Для обобщенно консервативных систем с двумя степенями свободы наличие одпоп циклической координаты позволяет свести интегрирование уравнений движения к квадратурам (см. п. 164). [c.278]

Что касается действительного вычисления векторного инте-1 рала I или, что то же, трех его компонентов 1 , то мы можем повторить соображения, аналогичные тем, которые нашли себе место в рубр. 3 именно, когда задано движение точки приложения силы, вышеуказанные определенные интегралы сводятся к обыкновенным интегралам относительно перемеиной I. Но ясно, что в отличие от того случая, когда мы вычисляем работу, импульс I даже и при позиционных или консервативных силах зависит не только от геометрической природы траектории материальной точки, но и от закона, по которому описывающая ее точка зависит от времени. [c.340]

Движение гироскопа около точки его оси под действием консервативной силы, являющейся производной от потенциала, зависящего только от 0. В этом предположении (гл. IV, п. 5) результирующий момент относительно неподвижной точки активных сил будет направлен по линии узлов и будет поэтому перпендикулярен к неподвижной оси ОС. Следовательно, для задач этого типа, как и в случае тяжелого гироскопа (U = os 0), имеют место-интеграл г = onst и интегралы живых сил и момента количеств движения относительно вертикали. Поэтому такие задачи могут приводиться к квадратурам при помощи способов, рассмотренных в пп. 28, 33 в частности, угол нутации 0 будет определяться одним уравнением обычного типа s = Ф (s) при S = os 0. [c.179]

Таким образом, полное решение вопроса о движении консервативной системы с S степенями свободы ( 191) и без дифференциальных неинтегри-руемых связей требует нахождения лишь 2s,— 3 первых интегралов уравнений движения, отличных от интеграла энергии когда эти интегралы отысканы, дело интегрирования закончится двумя квадратурами. [c.435]

Итак, комбинация люббго интеграла уравнений движения консервативной системы, не содержащего явно времени, с интегралом энергии никогда не приводит к новому интегралу, а даёт тождественный результат. [c.443]

Изложенная нами геометрическая интерпретация равенств (44.5) носит название теоремы лорда Кельвина (Kelvin). Она может быть распространена на произвольное число координат, если ввести в рассмотрение соответствующее многомерное пространство. Пусть положение какой-либо консервативной системы определяется s координатами составим характеристическую функцию 5 для движения этой системы. Функция S служит полным интегралом уравнения (42.40) на стр. 457 и содержит в себе S—1 произвольных гюстоянных й,, s-v кроме аддитивной. Система равенств [c.478]

При разработке конкретного М. д. м. необходимо обратить внимание на то, как алгоритм передаёт нек-рые важные свойства имитируемой динамич. системы, напр. сохранение интегралов движения. Полная энергия консервативной динамич. системы полн должна сохраняться. Легко построить М. д. м., в к-рых < папн сохраняется автоматически. Однако обычные алгоритмы интегрирования дифференц. ур-ний приводят к зависимости полн( Д<), к-рая служит для грубого контроля за правильностью вычислении. Несохраневие полн свидетельствует либо об ошибке в выборе Д , либо о непригодности численной схе.мы. В нестационарных задачах М. д. м. этот критерий вообще бесполезен. Если в рассматриваемой системе интегралом движения является импульс, то М. д. м. обычно автоматически сохраняет эту величину, т. к. при вычислении межмолекулярных сил явно используется третий закон Ньютона. [c.197]

Интеграл от лагранжиана по времени, входящий в соотпошспие (35), называют интегралом действия. Принцип Гамильтона для консервативных систем может быть сформулирован таким образом истинное движение системы под действием консервативных сил происходит так, что на любых изохронных вариациях, обращающихся в нуль на концах отрезка (t , ti), вариация от интеграла действия обращается в нуль (или, иначе, интеграл действия принимает для истинного движения стационарное значение). [c.38]

Рассматривая частные случаи течения жидкости, Лагранж пришел к важной теореме о сохранении безвихревого движения идеальной баротропной жидкости в поле консервативных сил Для безвихревого движения идеальной жидкости он нашел один из первых интегралов движения, позже обоб-ш енный Коши и получивший имя внтетрала Лагранжа — Коши [c.189]

В 1906 г. П. В. Воронец рассмотрел преобразование уравнений Лангран-жа второго рода для консервативных систем при помощи линейных относительно скоростей интегралов, рассматриваемых как уравнения неголономных связей системы (идея трактовки интегралов дифференциальных уравнений движения материальной системы как связей, на нее налагаемых, впервые была высказана Г. К. Сусловым) . Преобразование Воронца имеет значение не только как преобразование уравнений динамики,— оно как бы перебрасывает мост от голономных систем к неголономным и позволяет, следовательно, глубже проникнуть в сущность движения неголономных систем. Оказывается, что дифференциальные уравнения движения неголономной системы можно рассматривать как преобразованные дифференциальные [c.100]

Доказательство. Консервативная механическая система обладает первым интегралом ( 27) вида = Т + П = onst. [c.168]

Если система неконсервативна, но дИ/д1 = О, то система называется обобщенно консервативной, а первый интеграл совпадает с интегралом Пенлеве-Якоби ( 27). [c.280]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...