Грина порядка

Функция Грина. Функция G x, у, z, а, Ь, с) называется функцией Грина, если 1) она является гармонической внутри объема F, ограниченного S 2) она является конечной вместе со своими производными двух первых порядков внутри F 3) на поверхности S принимает значения 1/г. Пользуясь соотношением [c.271]

Здесь г (х) — заданная непрерывная функция. Краевые условия Nj у) — О представляют собой линейные однородные уравнения относительно значений неизвестной функции и ее производных до порядка к — 1 включительно в фиксированных точках х = О и X I. Если однородная краевая задача (1.13), (1.14) (т. е. задача (1.13), (1.14) при г х) = 0) имеет только нулевое решение, то существует функция Грина С х, ). При этом единственное решение краевой задачи (1.13), (1.14) дается формулой [c.236]

Соотношение (1.47) является формулировкой теоремы взаимности функций Грина основного и сопряженного уравнений при инверсии координат источника (го, то) и точки измерения (Г(, ti). Аналогичная теорема взаимности для дифференциальных уравне ний второго порядка известна в математике [85] и доказана Б. Б. Кадомцевым для кинетического уравнения переноса лучистой энергии 1[24]. [c.21]

Заметим, что в тех случаях, когда известна функция Грина сопряженного уравнения, теорию возмущений высших порядков сравнительно несложно построить по методу, описанному в [70, 74, 76] (см. также 2.4, 4.3, 5.4). [c.29]

Таким образом, решение общей задачи теории теплопроводности сводится к определению функции Грина для тела, температуру которого требуется найти. Для линейного или двумерного теплового потока результаты, подобные (1) и (2) можно получить легко. Вместо бесконечности порядка [c.190]

Дифференциальные инварианты первого и второго порядка взаимосвязаны при помощи теоремы Грина [c.88]

Решение уравнений (1) — (3) проводилось следуюш,им образом. Вначале решалось уравнение (3). После применения к нему интегрального преобразования Лапласа было получено операторное решение, выраженное через функции Макдональда. После применения интегрального преобразования Лапласа к уравнению (1) было получено линейное неодно родное дифференциальное уравнение второго порядка, которое затем решалось с помощью функции Грина. Аналогичным образом было найдено операторное решение уравнения (2). В результате были получены точные решения уравнений (1) — (3) в критериальной форме [c.87]

Предположим теперь, что перемещения Ui, иг, w и углы поворота Yi. Va однозначные и имеют непрерывные производные второго порядка в области G-fg. Преобразовывая криволинейный интеграл в двойной по формуле Грина и используя уравнения [c.35]

Изложенные методы определения решения уравнения (5.41) и матрицы Грина справедливы не только для системы второго порядка (5.40) (на примере которой были проделаны все необ- [c.169]

Символом обозначена процедура упорядочения, в результате которой операторы располагаются слева направо в порядке убывания значений переменной х. Для ферми-систем, как и раньше, вводится множитель г] = (—1) , где V — число перестановок фермиевских операторов при упорядочении. Благодаря инвариантности следа относительно циклической перестановки операторов, функция (6.1.44) зависит фактически от п — 1 независимых переменных. Выполняя фурье-преобразование по этим переменным, можно выразить функции типа (6.1.44) через спектральные плотности, зависящие от нескольких частот. Впрочем, для практического вычисления средних значений такое представление менее удобно, чем спектральное представление функций Грина (6.1.19). [c.16]

Из обсуждения в разделе 6.1.2 ясно, что, зная одночастичную функцию Грина, можно вычислить квазиравновесные средние значения динамических переменных, которые являются билинейными формами от операторов рождения и уничтожения ). Многочастичные корреляции в квазиравновесном состоянии описываются термодинамическими функциями Грина высших порядков. Определим 5-частичную функцию Грина с помощью соотношения [c.19]

Для неравновесной системы электронов параметры 5 (р) и 2(к) являются некоторыми функционалами от одночастичной функции распределения f p t) и корреляционной функции По аналогии с равновесным случаем [см. (6.1.65)] следует ожидать, что функция 2(к) сингулярна в пределе к О, поэтому при вычислении средних значений в правых частях уравнений (6.1.61) и (6.1.62) вклад членов с малыми к необходимо учесть во всех порядках теории возмущений по оператору S. С этой целью наиболее удобно воспользоваться диаграммной техникой для термодинамических функций Грина. [c.22]

Поправка п-го порядка по возмущению S дается суммой всех связных топологически неэквивалентных диаграмм, содержащих п линий взаимодействия (6.1.69) и 2п +1 линий, соответствующих свободным функциям Грина G a Каждая такая диаграмма имеет 2п вершин, где сходятся две линии частиц и одна линия взаимодействия . [c.23]

Следуя приведенным выше правилам, нетрудно построить графическое представление для одночастичной функции Грина р гzi,) = в первом порядке теории возмущений. После суммирования по спиновым индексам функция изображается диаграммами, показанными на рис. 6.1. Диаграмма с электронной петлей не дает вклада в функцию Грина, так как член с 52 (0) должен быть опущен в S. Таким образом в первом приближении одночастичная функция Грина записывается как [c.24]

По аналогии с одночастичной функцией Грина (6.3.17), функции Грина более высоких порядков на контуре Келдыша-Швингера определяются как [c.45]

Теперь все готово, чтобы построить цепочку уравнений для функций Грина (6.3.19). Дифференцируя G(1... 5,1. .. 5 ) по одному из временных аргументов, а затем используя (6.3.24) или (6.3.25), получаем для нее уравнение движения, куда входят функции Грина более высоких порядков. Мы не будем выписывать всю эту цепочку уравнений в явном виде (см., например, [49]), поскольку нам понадобятся лишь уравнения движения для одночастичной функции Грина [c.46]

Речь пойдет о начальном этапе эволюции системы из некоторого, вообще говоря, неравновесного состояния, описываемого статистическим оператором ( о) Хотя эта задача имеет долгую историю (см., например, [21, 55, 56, 80, 81, 114, 153, 168]), интерес к ней значительно возрос в последнее время в связи с экспериментальными и теоретическими исследованиями быстрых релаксационных процессов в полупроводниках [83, 149] и столкновений тяжелых ядер [56, 75, 105, 106]. Кинетическое уравнение с учетом начальных корреляций в низшем порядке теории возмущений было выведено в работах [110, 114] из цепочки уравнений для приведенных матриц плотности. Более общее квантовое кинетическое уравнение с начальными корреляциями было выведено методом функций Грина в работе [133], которой мы и будем, в основном, следовать. [c.62]

Смешанные функции Грина. Задача состоит в том, чтобы вывести кинетическое уравнение для функции Вигнера нри t > если начальное состояние системы описывается статистическим оператором (6.4.2). В принципе можно применить метод временных функций Грина, заданных на контуре Келдыша-Швингера С (см. рис. 6.6), но мы сразу же столкнемся с серьезной проблемой. Дело в том, что при вычислении средних значений с начальным статистическим оператором (6.4.2) нельзя пользоваться теоремой Вика и, следовательно, на контуре С не существует обратная одночастичная функция Грина G (l,l ). Иначе говоря, мы не можем записать уравнения движения для G(l,l ) в виде уравнений Дайсона (6.3.29) и (6.3.30). Придется работать непосредственно с цепочкой уравнений Мартина-Швингера для гриновских функций и расцеплять ее на каком-то этапе. Такой подход применялся, например, в работе [153]. К сожалению, он не позволяет продвинуться дальше низшего порядка теории возмущений по начальным корреляциям, так как уравнения цепочки быстро усложняются. В связи с этим напомним два основных достоинства уравнения Дайсона. Во-первых, оно определяет общую структуру кинетического уравнения. Во-вторых, приближения делаются только в массовом операторе, который представляет собой результат частичного суммирования бесконечных рядов теории возмущений для цепочки Мартина-Швингера. Поэтому желательно сформулировать схему вывода кинетического уравнения так, чтобы в ней, в той или иной форме, фигурировало уравнение Дайсона. Мы покажем, что и в случае начального состояния с корреляциями можно вывести уравнение Дайсона, но не для гриновской функции G(l,l ) на контуре Келдыша-Швингера, а для более общего объекта — матричной смешанной функции Грина, заданной на расширенном контуре G. Этот контур лежит в плоскости ( ,ж), как показано на рис. 6.7. [c.64]

Здесь Lij — общий эллиптический оператор порядка ш с аналитическими коэффициентами, действующий на многомерный вектор Uj. Далее, можно показать [2], что существует множество фундаментальных решений соответствующих 1/г в случае уравнения Лапласа, таких, что при подстановке совместно с j в обобщенную формулу Грина возникает тождество [c.15]

Много сил было затрачено (см., например, [2]) на развитие теорий гравитационных волн в приближениях более высоких порядков, основанных на исходном уравнении (1) и граничных условиях (2). Простые линейные теории являются общепринятыми главную задачу представляет, по-видимому, учет нелинейных членов, хотя важны также эффекты переменной глубины и др. Заметим, однако, что основное уравнение линейно, и можно по-прежнему применять вторую формулу Грина, но с нелинейными граничными условиями на поверхности, положение которой неизвестно. Тем не менее при этом возникает некоторая определенная и однозначная задача. В отличие от обычных случаев электростатики, стационарной теплопроводности и др., которые описываются уравнением Лапласа и где предполагается, что все возмущения исчезают [c.25]

При применении метода ГИУ к задачам механики разрушения остается ряд нерешенных вопросов, в особенности в случае трехмерных трещин. Две главные задачи состоят в моделировании компланарных поверхностей трещины и создании в трехмерном случае метода решения задач о трещинах при помощи функции Грина. Другим перспективным направлением исследований представляется объединение возможностей метода ГИУ и метода конечных элементов для моделирования сложных крупногабаритных конструкций,.Наконец, необходимо изучить общий вопрос о точности решения в зависимости от порядка аппроксимации граничных значений, в особенности для задач механики разрушения. Любые существенные усовершенствования метода, повышающие его эффективность, могут значительно увеличить возможности для применения метода ГИУ в обычных инженерных расчетах конструкций, имеющих трещины. [c.66]

Итак, компоненты тензора напряжений согласно закону Гука есть линейные функции компонент e тензора деформации и вместе с тем в соответствии в формулой Грина являются частными производными первого порядка упругого потенциала W (в ) по соответствующим компонентам тензора деформации. Отсюда становится очевидным,"что упругий потениил W ( и) представляет собой функцию второго поряд-к а компонент тензора деформации. Общее выражение этой функции можно представить в следующем виде [c.57]

В разд. VI, А рассматриваются кинематические условия, в разд. VI, Б — уравнения равновесия, а в разд. VI, В мы приводим определяющие уравнения для упругого поведения в форме, предложенной Спенсером [40]. Связь напряжений с деформациями для трансверсально изотропных растяжимых материалов обсуждается в разд. VI, Г соответствующие уравнения, полученные Эриксеном и Ривлином [10], по нашему мнению, можно использовать для получения приближений высшего порядка, учитывающих малую, но отличную от нуля растяжимость волокон. В разд. VI, Д мы приводим перечень задач, которые могут быть решены в явном виде без предположения о нерастяжимости волокон. Читателя, интересующегося подробными решениями, мы отсылаем к книге Грина и Адкинса [15]. [c.345]

Подставив эти выражеиня в уравнение (2.35), получим после замены порядка интегрирования теорему взаимности функций Грина в случае канала с твэлом и теплоносителем [c.43]

Из ур-ний ренормализац, группы следует, что поведение п-частичной Грина функции Г (pi, рг,. .., р ) при изменении масштаба импульсов в области, где все скалярные произведения PiP/(i, i — i, 2,. .., n) одного порядка ( р ) и много больше квадратов масс частиц, эквивалентно (с точностью до изменения константы взаимодействия) поведению при изменении нормировочного импульса у,. Если в пределе р —> оо инвараантный варяд g — то [c.88]

При изучении систем ур-иий La f роль Г. ф. играют т. н. м а т р и ц ы Грина. Они позволяют выразить решение неоднородной краевой задачи для системы в виде интегралов от произведений матрицы Грина па векторы npaBoii части системы. Для подобны. с задач полезен интеграл Д ю а м е л я. Напр., частное решение неоднородной системы а = А x)n—F x), где и к h — п-компонентные векторы, А (х] — квадратная матрица порядка п, записывают в виде а(х) = [c.537]

Существуют нек-рые возможности вычисления ф-ций Грина без применения теории возмущений. В теории имеются точные соотношения, выражающие ф-ции Гри-па более низкого порядка через ф-ции более высокого порядка (одночастичную через двухчастичную и т. д.). Если на основании тех или иных физ. соображений удаётся выразить многочастичные ф-ции через одночастичные — произвести расцепление , то для одночастичной ф-ции получается замкнутое ур-ние, допускающее пепосредств. решение. При таком подходе метод ф-ций Грина близок к методу цепочек квантовых ф-ций распределения (см. Боголюбова уравнения). [c.299]

Эфф. вычисление связных средних в каждом порядке разложения (I) для 5(Р) (а также частичное суммирование к.-л. подпоследовательностей членов этого разложения) проводится, как правило, с использованием графич. техники, вполне аналогичной технике Фейнмана диаграмм, где вместо причинных ф-ций Грина, характерных для квантовой теории поля, применяются т.н. мацубаровские ф-ции Грина (см. /рина функция в статистич. физике). В рамках Т. т. в. имеет место теорема (Уорд и Лат-тинжер [2]) о стационарности (точнее, минимальности) функционала свободной энергии У- по отношению к вариациям полной ф-ции Грина или массового оператора частный случай этой теоремы, соответствующий обобщённому среднего поля приближению, эквивалентен т.н. статистическому вариационному принципу [c.92]

Это система (называемая также цепочкой или иерархией) уравнений, определяющая приведенные функции распределения по именам своих создателей (Боголюбов — Борн — Грин — Кирквуд — Ивон) она называется цепочкой БВГКИ. В противоположность уравнению (3.4.1) для F, которое замкнуто, мы имеем теперь совокупность N уравнений скорость изменения /g зависит как от /g, так и от функции более высокого порядка [c.98]

Анализ свободных колебаний защемленных симметричнослоистых пластин с использованием функции Грина проведен в работах [398, 399]. Приводятся результаты численного расчета собственных частот и форм поперечных изгибных колебаний квадратной, круглой и эллиптической пластин. Аналогичный анализ для слоистых прямоугольных пластин в статье [370 проводится с помощью теории слоев высокого порядка, а в статье [435] — методом Ритца. Для симметрично слоистых пластин авторами статьи [480] метод суперпозиции был распространен на анализ параметров свободных колебаний и критических нагрузок выпучивания. [c.18]

Рис. 6.1. Приближение первого порядка для одпочастичпой термодинамической функции Грина

Как и раньше, верхний знак берется для фермионов, нижний — для бозонов. В причинной функции Грина символ означает обычное хронологическое упорядочение операторов, которое уже встречалось в предыдущих параграфах. В данном случае операторы располагаются справа налево в порядке возрастания времен. Для фермионов необходимо также учитывать, что при перестановке любой пары фермиевских операторов произведение меняет знак. В функции (6.3.8) символ означает анти-хронологическое упорядочение, при котором операторы располагаются справа налево в порядке убывания времен. Мы будем называть функцию антипричинной функцией Грина. Наконец, формулы (6.3.9) и (6.3.10) определяют временные корреляционные функции ). Функция д представляет особый интерес в кинетической теории, так как она непосредственно связана с одночастичной матрицей плотности [c.42]

Антипричинная функция Грина получается отсюда заменой операции упорядочения ТС та. Мы не будем приводить явные выражения для 5-частичных корреляционных функций, которые соответствуют различным порядкам времен в аргументах операторов поля. Оставляем это читателю в качестве упражнения. [c.43]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...