Спектральное представление функции

Далее удобно перейти к спектральному представлению функции Г рина [c.283]

Пусть Со (х) = с + i (х), где с — математическое ожидание для базового распределения, a i (х) — нормальные флуктуации. Спектральное представление функции с (jt) имеет следующую форму [c.181]

Спектральное представление функции Грина A- A2))z легко находится из выражения (5.1.40) с помощью замены коммутатора [Л ( ), Л2] на [АЛ ( ), A 2( )] и последующего спектрального разложения усредненных произведений. В результате получаем формулу [10] [c.361]

Символом обозначена процедура упорядочения, в результате которой операторы располагаются слева направо в порядке убывания значений переменной х. Для ферми-систем, как и раньше, вводится множитель г] = (—1) , где V — число перестановок фермиевских операторов при упорядочении. Благодаря инвариантности следа относительно циклической перестановки операторов, функция (6.1.44) зависит фактически от п — 1 независимых переменных. Выполняя фурье-преобразование по этим переменным, можно выразить функции типа (6.1.44) через спектральные плотности, зависящие от нескольких частот. Впрочем, для практического вычисления средних значений такое представление менее удобно, чем спектральное представление функций Грина (6.1.19). [c.16]

Спектральное представление функции 13.7 Спиновые системы, приближение к равновесию 15.4 Спинодаль 7.2, 7.5 [c.635]

Ясно, что любая функция D r), являющаяся структурной функцией локально изотропного случайного поля в трехмерном пространстве, будет также и структурной функцией подобного же поля на прямой (т. е. иными словами, структурной функцией некоторого процесса со стационарными приращениями). Так же, как и в п. 12.1, доказывается, что соответствующая одномерная спектральная плотность Ех (Aj), входящая в одномерное спектральное представление функции Ь(г), имеющее вид [c.91]

Спектральное представление корреляционных функций [c.202]

По этой причине в спектральном представлении (5.67) — (5.69), которое называют теоремой Винера—Хинчина для спектральной плотности, вместо /(т) часто используют формальное обозначение шр. Разумеется, его не следует понимать буквально — это не средний квадрат модуля фурье-компоненты, поскольку в формуле (5.71) стоит дельта-функция, а не символ Кронекера. [c.77]

Введем спектральные представления для этих функций [c.167]

При анализе колебаний машинного агрегата с ДВС в резонансных зонах наиболее рациональным является спектральное представление характеристики Mj в виде соответствующего тригонометрического ряда Фурье. Амплитудные и фазовые параметры этого ряда можно получить, следуя зависимости (2.42), если известны ряды Фурье периодических функций (q, р , Ры) и Характеристика q,Q) в форме (2.47) представлена своим рядом Фурье. Компоненты амплитудного Су и фазового спектров ряда Фурье характеристики Mjl q, рс, Pio) можно определить в виде аналитических зависимостей, используя аппроксимации (2.45) для безразмерных функций Kiq) и Siq) [c.41]

Спектральное представление стационарной случайной функции. Рассмотрим сначала стационарную случайную функцию, которую можно представить с помощью разложения [c.175]

Для обычных (детерминированных) функций представление в виде суммы гармонических составляющих составляет спектральное разложение функции. Спектром детерминированной функции называется распределение амплитуды элементарных гармонических колебаний в зависимости от частоты. [c.176]

На рис. 45 показан дискретный спектр функции, имеющий в своем составе конечное число гармоник с частотами (о , 2. > (Одг- Такой спектр характерен для собственных колебаний упругих конструкций. В большинстве практических задач (пульсации, акустические колебания, вынужденные колебания конструкций) спектр имеет непрерывный характер, иногда с дискретными выбросами. Естественно, что для случайной функции спектральное представление не дает зависимости между амплитудой [c.176]

Но спектральное представление для автокорреляционной функции [равенство (25.44) ] имеет все черты обычного спектрального разложения. Оно дает детерминированную связь дисперсии и частоты для элементарной гармонической случайной функции. [c.177]

Спектром стационарной случайной функции называется зависимость дисперсии (или половины квадрата среднеквадратичной амплитуды) от частоты соответствующей гармоники. Именно автокорреляционная функция [уравнение (25.44) ] однозначно определяет спектр стационарной случайной функции (зависимость а от (Ok). Спектральное представление (25.44) относилось к случайной функции с конечным числом элементарных гармонических функций с частотами ш ,. [c.177]

Спектральное представление в комплексной форме. Такое представление оказывается более удобным для теоретического анализа, так как действия с показательной функцией удобнее, чем с соответствующими тригонометрическими функциями. Пользуясь соотношением (25.21), можно записать уравнение (25.59) в такой форме [c.179]

Спектральные представления случайных процессов. Пусть случайная функция и (t) допускает разложение в конечный или бесконечный ряд [c.270]

Его линейность, а также линейность остальных уравнений параграфа 1 делает возможным использование методов спектральной теории стационарных случайных функций в комплексной форме. Зададим девиатор деформации е его спектральным представлением [c.153]

С помощью спектральных представлений случайных функций [c.159]

Предположим, что нелинейные функции в уравнениях случайных колебаний являются аналитическими и допускают разложение в степенные ряды с ограниченным числом членов. Тогда для вывода моментных соотношений и приближенного исследования стационарных процессов может быть применен метод спектральных представлений в виде стохастических интегралов Фурье. [c.91]

Таким образом, спектральный метод анализа нелинейных стохастических систем существенно отличается от метода момент-ных соотношений, основанных на теории марковских процессов. Разрешающие уравнения спектрального метода (4.31), (4.41), (4.47) выведены для произвольно го вида спектральной плотности воздействия. Это позволяет не вводить предположение о дробно-рациональном характере функции 5,(<о). Далее, метод спектральных представлений наряду с моментами фазовых переменных позволяет исследовать двухточечные характеристики случайных процессов, т. е. спектральные плотности и корреляционные функции. [c.98]

Анализ нестационарных случайных процессов при помощи спектральных представлений сравнительно редко проводится в задачах статистической динамики. Как обобщение понятия спектральной плотности в статистической радиотехнике вводится так называемый мгновенный энергетический спектр. Его связь с корреляционной функцией нестационарного случайного процесса ( . к) дается соотношениями [14] [c.99]

Если в выражении ф (оо, t) выделить гармонический множитель и функцию частоты, имеющую смысл импеданса, то спектральному представлению (4.52) можно придать следующую форму [c.100]

Обратимся к нестационарному решению. Введем спектральное представление для функции и (t) [c.102]

Спектральное представление для нестационарной функции и (t) запишем в форме (4.57) [c.103]

Для нестационарной случайной функции v (t) также используем спектральное представление [c.154]

Поставим сначала стационарную задачу, т. е. задачу об определении условия существования нетривиального решения для стационарных вариаций у ( ). Используя спектральные представления для функций и (/) и Vq (/), запишем соотношение ме кду случайными спектрами. При двух членах ряда (5.71) имеем [c.158]

Метод интегральных спектральных представлений случайных функций легко распространяется на двумерные и трехмерные объекты — пластины, оболочки, упругие тела. Применим этот метод для анализа деформаций плиты на стохастическом основании. [c.189]

Рассмотрим сначала задачу для пластины неограниченных размеров. Допустим, что нагрузка q и коэффициент постели с представляют собой однородные изотропные случайные поля. Пренебрегая влиянием краевых эффектов, случайную функцию прогиба W ( 1, дга) также будем предполагать однородной. Введем спектральные представления [c.190]

Введем для рассматриваемых функций спектральные представления [c.198]

Метод интегральных спектральных представлений случайных полей дает удовлетворительное описание процессов потери устойчивости и закритического деформирования неидеальных оболочек при определенных ограничениях. К этим ограничениям относится, прежде всего, предположение о слабом влиянии краевых условий на поведение цилиндрических оболочек средней длины, панелей, опирающихся на жесткий контур, и других тонкостенных конструкций с различными способами закрепления. Решение соответствующих задач строят обычно в форме разложения по некоторой системе базисных функций, удовлетворяющих условиям на кромках, с удерживанием конечного не слишком большого числа членов. Упругую оболочку заменяют таким образом дискретной системой, свойства которой характеризуются коэффициентами разложения функций прогибов, напряжений, деформаций. [c.210]

В методе интегральных спектральных представлений детерминистические операции на первом этапе, по существу, отсутствуют. После подстановки в исходные уравнения стохастических интегралов Фурье, представляющих случайные функции, необходимо выполнить операцию осреднения, в результате которой происходит переход к вероятностным характеристикам изучаемых полей. Нагрузка на оболочку выступает здесь как детерминированный параметр критическое значение этого параметра определяет точку бифуркации решения нелинейной задачи относительно статистических характеристик поля перемещений. [c.220]

Кажущееся противоречие двух подходов разрешается путем сопоставления итоговых результатов. Можно ожидать, что для одной и той же задачи критическая величина параметра нагрузки, найденная по методу интегральных спектральных представлений, будет мало отличаться от среднего или среднего квадратического значения случайной критической силы, определенной на множестве отдельных оболочек. Именно эти статистические характеристики определяются при помощи метода дискретных представлений функций Wo (Xi, Х2), w (Xi, X2). [c.220]

В гл. V при рассмотрении временных корреляционных функций и их спектральных представлений (для брауновского движения и, в частности, на примере гармонического осциллятора) мы уже вводили функции Грина (запаздывающие) и их спектральные (частотные) представления (Фурье). Там же были получены для этого случая дисперсионные соотношения (Крамерса—Кронига), соотношения Грина—Кубо и флуктуационно-диссипационная теорема Кэллена—Вельтона. [c.164]

Флуктуационно-диссипационную теорему Кэллена—Вельтона для кинетических коэффициентов можно получить из спектрального представления (9.54) функций Грина аналогично тому, как это было сделано выше для восприимчивости. Так, для симметричной спектральной плотности [c.177]

Спектральное представление типа (4.57) может быть использовано для составления моментных соотношений в нестационарных нелинейных задачах статистической динамики. Рассмотрим вначале гауссовское приближение, т. е. примем, что спектры U (со) обладают свойствами гауссовских функций. Как и в стационарных задачах, вывод моментных уравнений оснойан на операции свертывания случайных спектров. [c.100]

Для составления моментных соотношений в задачах стохастической устойчивости выше были использованы уравнения теории марковских процессов, справедливые при дробно-рациональных спектральных плотностях. Спектры реальных воздействий во многих случаях имеют более сложную структуру. Это относится, например, к пространственно-временным случайным функциям, описывающим атмосферную турбулентность, волнение морской поверхности [19] и т. д. При произвольном виде спектральных плотностей анализ моментных соотношений может быть выполнен при помощи метода интегральных спектральных представлений. Эффективность этого метода обусловлена стохастической орто-гональностью стационарных случайных процессов и однородных полей. Спектры стационарных процессов удовлетворяют соотно- [c.151]

Влияние условий закрепления оболочки по контуру на закри-тические деформации может быть изучено при помощи спектрального представления неоднородных полей. При этом средние значения прогиба W и усилий Njk становятся функциями координат, а флуктуации соответствующих полей представляются в виде стохастических интегралов Фурье, спектры которых также зависят от координатного вектора [c.199]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...