Больцмана уравнение для электронов

Больцмана уравнение для электронов 208 [c.414]

Кинетическое уравнение Власова для электронов разреженной плазмы, подобно кинетическому уравнению Больцмана для разреженного газа, может быть получено методом Боголюбова. По этому методу (см. 29) в случае плазмы функции распределения г,(чь Рь. .., qs, разлагаются по степеням малого [c.127]

ПЕРЕНОСА ЯВЛЕНИЯ — неравновесные процессы, в результате к-рых в физ. системе происходит пространственный перенос электрич. заряда, вещества, импульса, энергии, энтропии или к.-л. др. физ. величины. Общую феноменологич, теорию П. я., применимую к любой системе (газообразной, жидкой или твёрдой), даёт термодинамика неравновесных процессов. Более детально П. я. изучает кинетика физическая. П. я. в газах рассматриваются на основе кинетической теории газов с помощью кинетического уравнения Больцмана для ф-ции распределения молекул П. я. в мета.т-лах — на основе кинетич. ур-ния для электронов в металле перенос энергии в непроводящих кристаллах — с помощью кинетич. ур-ния для фононов кристаллич. решётки. Общая теория П. я. развивается в неравновесной статистич. механике на основе Лиувилля уравнения для ф-ции распределения всех частиц, из к-рых состоит система (см. Грина — Кубо формулы). [c.572]

На основании решения кинетического уравнения Больцмана методом возмущений и подстановки полученной функции распределения в уравнение для плотности электронного тока /е теплового потока де получены выражения [c.350]

Уравнения Больцмана для электронной и фононной систем [c.208]

Обратимся теперь к обоим столкновительным членам уравнения Больцмана в (52.2) и (52.5). Они описывают изменение числа заполнения электронных состояний или соответственно изменение числа фононов одного нормального колебания решетки. Оба члена являются суммами или разностями вероятностей перехода, рассмотренных в (49.14). Мы записываем вероятности перехода для электронов в виде [c.210]

Воспользуемся теперь линеаризованным уравнением Больцмана для расчета конкретного свойства. Именно, мы рассмотрим проводимость в однородном электрическом поле таким образом, приложенная сила определяется для электронов как [c.288]

Формулу (16.14) можно вывести, применяя золотое правило нестационарной теории возмущений первого порядка ) к рассеянию блоховского электрона на каждой из примесей. Значительно сложнее проводится более фундаментальный вывод, в котором исходят из полного гамильтониана для электронов и примесей и получают полное уравнение Больцмана со столкновительным членом, даваемым выражениями (16.8) и (16.14) ). [c.321]

Уравнение Пуассона связывает электростатический потенциал свободных и неподвижного зарядов с плотностями свободных носителей, задаваемыми статистикой Больцмана. Поток свободных носителей заряда описывается уравнениями непрерывности для электронов и дырок. Подвижности электронов и дырок, входящие в уравнения, являются функциями напряженности электрического поля V Z I и концентрации примеси [16.3]. Коэффициенты диффузии D и Dp связаны с подвижностями электронов и дырок со-отнощением Эйнштейна. [c.461]

Теоретическое исследование этих проблем в настоящее время производится на основе уравнения Больцмана, описывающего статистическое распределение электронов, которое устанавливается под действием припеченных полей и в результате соударений ). Ограничения, связанные с размером, вводятся посредством соответствующих граничных условий, налагаемых на решение ). Для тонкой металлической пластинки толщиной а, расположенной в плоскости ху (фиг. 36), уравнение Больцмана можно написать в виде [c.204]

То же выражение для электропроводности можно получить, если исходить из уравнения Больцмана, как это делалось для фононов в п. 1 2 гл. 4 величина т при этом измеряет скорость, с которой неравновесное распределение стремится вернуться к равновесному вследствие процессов рассеяния. Формула (10.9) получается, если предположить, что величина т одинакова для всех электронов на ферми-поверхности. [c.184]

С помощью уравнения Больцмана можно найти при тех же предположениях классическое выражение для теплопроводности электронов, причем рассмотрение ведется аналогично тому, как это делалось для фононов. В результате получаем [c.185]

ПОТОК электронов. Поэтому одинаковое число электронов должно протекать в единицу времени в обоих направлениях, и электроны с малой плотностью, текущие в направлении переноса тепла, создают такой же поток, как электроны с высокой плотностью, движущиеся против температурного градиента. Воспользуемся решением уравнения Больцмана (4.7) для заданного времени релаксации, чтобы увидеть, как изменяется распределение электронов в одномерном случае при наличии температурного градиента. Записанное через числа заполнения электронов решение имеет вид [c.187]

Если в кристалле существует градиент концентрации носителей, то функция распределения в любой точке образца уже не будет одинаковой. Выберем координатную систему так, чтобы направление градиента концентрации электронов совпадало с направлением оси Z. При этих условиях кинетическое уравнение Больцмана (13.8.1) для стационарного состояния примет вид [c.345]

Уравнение Больцмана — интегродифференциальное уравнение, описывающее поведение разреженного газа, — было выведено Людвигом Больцманом в 1872 г. Оно до сих пор остается основой кинетической теории газов и оказывается плодотворным не только для исследования классических газов, которые имел в виду Больцман, но — при соответствующем обобщении—и для изучения переноса электронов в твердых телах и плазме, переноса нейтронов в ядерных реакторах, переноса фононов в сверхтекучих жидкостях и переноса излучения в атмосферах звезд и планет. За последние двадцать лет эти исследования привели к значительным достижениям как в новых областях, так и в старой. [c.7]

Таким образом, когда мы имеем дело со статистической механикой, речь идет о вероятностях вместо достоверностей, т. е. в нашем описании нельзя говорить об определенных положении и скорости данной частицы, а только о вероятностях реализации ее различных положений и скоростей. В частности, это справедливо для кинетической теории газов, т. е. для статистической механики молекул газа, и для теории переноса частиц (нейтронов, электронов, фотонов и т. д.). При надлежащих предположениях информацию, требуемую для расчета средних в этих системах, можно свести к решению одного уравнения, так называемого уравнения Больцмана. В случае нейтронов оно часто называется транспортным, в то время как для фотонов обычно используется название уравнение переноса (перенос излучения). [c.11]

Уравнения. Поведение плазмы описывается системой кинетических уравнений Больцмана для каждой из компонент плазмы (электронов а = е, ионов а = I и нейтралов а = ге) [c.433]

В обычной теории переноса обе величины 5 и являются положительными, если перенос осуществляется дырками, т. е. пустыми состояниями в почти заполненной зоне. Уравнение (2.1) справедливо с положительным и- отрицательным знаками для дырок и электронов соответственно в широкой области значений /г. Если п достаточно мало, чтобы можно было применять статистику Максвелла—Больцмана, в формулу вводят дополнительный коэффициент , по порядку величины близкий к единице, величина которого зависит от механизма рассеяния [14]. Расхождения в знаках между и 5 можно, по-видимому, объяснить, используя представления о проводимости, вклад в которую дает более чем одна зона. Другая возможная интерпретация, основанная на справедливости формулы (2.1) для многих [c.36]

Б стационарных условиях в однородном кристалле, находящемся в постоянных, однородных электрическом и магнитном полях, функция распределения f (к) зависит только от волнового вектора к электрона. В приближении времени релаксации (т-приближение) уравнение Больцмана для пространственно-однородной функции распределения f k) имеет вид [c.193]

Взаимодействие электронов с внешним нолем учитывается в настоящем изложении путем составления и решения кинетического уравнения Больцмана, в которое электрическое, магнитное и температурное поля входят явным образом в качестве параметров. В идеальной периодической решетке электрон не испытывает сопротивления при движении однако примеси, колебания решетки и другие виды неидеальностей создают механизм рассеяния, который также должен быть учтен в уравнении Больцмана. Стандартным приемом является введение времени релаксации т, связанного со средней длиной свободного пробега I соотношением т = / V . Можно показать, что этот подход применим нри некоторых довольно ограниченных условиях и что результаты эквивалентны линейной неравновесной термодинамике. Для описания различных механизмов рассеяния, как показано в последующих задачах, используются различные предположения относительно времени релаксации т. [c.458]

Начнем с вычисления электропроводности для случая взаимодействия электронов с продольными акустическими фононами. Для этого надо сразу же сделать два допущения. Мы предполагаем, что система фононов находится в равновесии, и пренебрегаем процессами переброса. Тогда столкновительный член уравнения Больцмана задается (52.10), где вероятности переходов надо использовать из (49.14). Для п, в (49.14) мы подставим распределение Бозе. Для Пк надо использовать (возмущенную) функцию распределения f k). Матричный элемент, вошедший в вероятность перехода, задается (49.9). В качестве обычного упрощения полагаем, что компоненты Фурье не зависят от д. Это необходимо для того, чтобы вообще иметь возможность провести нижележащие интегрирования. Это приближение совершенно достаточно, пока мы хотим вычислить температурную зависимость электропроводности, но не ее абсолютное значение. [c.232]

Другой результат получается для разреженного электронного газа. Здесь для интеграла в (60.5) пределы интегрирования задаются через (60.4). Этот случай особенно интересен для полупроводников. У них настолько мала концентрация электронов, что в качестве дальнейшей аппроксимации распределение Ферми может быть заменено распределением Больцмана ie вместо 1/(е +1)). Это дает возможность получить одно решение уравнения (60.5) практически для всего температурного интервала. В результате время релаксации получается зависящим от энергии и температуры Г . [c.236]

В металлах фононы рассеиваются на свободных электронах в дополнение к механизмам рассеяния, рассмотренным в ч. II, 91. В этом случае уравнение Больцмана для фононов может быть решено, подобно противоположному случаю рассеяния электронов на фононах (ч. II, 00). Обсудите процедуру расчета, предполагая, что электронная система остается в равновесии. [c.173]

В статистич. теории в общем случае сред, состоящих из взаимодействующих частиц, Н. с. определяется зависящей от времени ф-цией распределения всех частиц по координатам и импульсам или соответствующим статистич. оператором. Однако такое определение Н. с. имеет слишком общий характер, обычно достаточно описывать Н. с. менее детально, на основе огрублённого иля т. и. сокращённого описания. Напр., для газа малой плотности достаточно знать одночастичную ф-цию распределения по координатам и импульсам любой из частиц, удовлетворяющую кинетическому уравнению Больцмана и полностью определяющую ср. значения длотностен энергий, импульса и числа частиц и их потоки. Для состояний, близких к равновесному, можно получить решение кинетич. ур-ния, зависящее от Т(х.1),. i x,t), и(х,1) и их градиентов и позволяющее вывести ур-ния переноса для газа. Однако ф-ция распределения по энергиям для частиц газа в стационарном Н. с. может сильно отличаться от равновесного распределения Максвелла. Напр., для электронов в полупроводниках в сильном электрич. поле, сообщающем электронам большую энергию, теряет смысл даже понятие темп-ры электронов, а ф-ция распределения отличается от максвелловской и сильно зависит от приложенного поля. [c.328]

Введенный вновь материал распределен по всем трем разделам книги. В качестве неполного перечня новых вопросов отметим в ч. I параграфы, посвященные изложению термодинамики диэлектриков и плазмы, парадоксу Гиббса и принципу Нернста, в ч. II — теорию орто- и парамодификаций, теорию тепловой ионизации и диссоциации молекул, дебаевское экранирование, электронный газ в полупроводниках, формулу Найквиста и особенно главу Фазовые переходы , в ч. III — параграфы Безразмерная форма уравнений Боголюбова , Методы решения уравнения Больцмана , параграфы, посвященные затуханию Ландау, кинетическому уравнению для плазмы и проблеме необратимости. Существенно переработана и расширена глава Элементы неравновесной термодинамики , в которой помимо более детального рассмотрения области, близкой к равновесию, введен параграф, посвященный качественному рассмотрению состояний, далеких от равновесия. [c.7]

Исходя из уравнения переноса Больцмана и используя приближение времени релаксации, показать, что электрическую проводимость однородного полупроводника, рассматриваемого как больцмановский газ электронов и дырок, можно записать как а = ( (/г .1 + р Хр), где i и [Хр — подвижности, т. е. средние скорости дрейфа в электрическом поле единичной напр.чженности. Для электронов и дырок они соответственно равны [c.78]

Явления, характеризующиеся общностью закономерностей протекающих процессов по переносу массы, количества движения и энергии, получили название явлений переноса. Явления переноса в газах изучаются с помощью кинетической теории газов, кинематического уравнения Больцмана, в металлах - с помощью кинетической энергии электронов в металле, а переноса энергии в непроводящих кристаллах - с помощью кинетического уравнения для фононов решетки. Общую фемено-логическую теорию явлений переноса, применимую к произвольной системе (газообразной, жидкой или твердой), дает термодинамика необратимых процессов. Из нее следует, что наиболее быстро при сравнимых условиях явления переноса протекают в газах, медленнее -в жидкостях и еще медленнее - в твердых телах. [c.82]

Обе величины легко определяются, если известно число электронов с заданным импульсом в данной точке как функция времени. Эта функция распределения вытекает из некоторого дифференциального уравнения, так называемого уразнения Больцмана, которое мы приведем в 52. Уравнение Больцмана для электронов легко решается, если взаимодействие электронов с решеткой можно описать с помощью времени релаксации, которое входит в виде константы в экспоненциальное спадание возмущения системы электронов. Если это невозможно, то для решения уравнения Больцмана приходится обращаться к вариационному исчислению. Оба эти способа будут описаны в 53 и 54. [c.207]

Что же касается электронов, то при движениях плазмы со скоростями v TJMyl < Vтe их распределение адиабатически следует за распределением поля. Как мы видели в 36, конкретное выражение для электронной плотности М, при этом существенно зависит от характера поля. Для поля без потенциальных ям оно дается просто формулой Больцмана (37,7), так что уравнение (38,4) принимает вид [c.189]

Совокупность электронов проводимости и взаимодействие электрон— электрон. В настоящее время в рассматриваемой области остались две нерешенные проблемы необходимо, во-первых, разработать более точную теорию рассеяния электронов в металлах и, во-вторых, выяснить воиросы, связанные с установлением теплового равновесия. Эти задачи нельзя рассматривать как совершенно независимые, так как обе они требуют для своего решения точного понимания особенностей поведения совокупности электронов проводимости в металле. Когда Лоренц впервые использовал методы статистики ( уравнение Больцмана ) в теории переноса электронов в металлах, он предполагал, что по сравнению с взаимодействием электронов с атомами столкновениями электрон—электрон можно пренебречь. Он писал ...мы полагаем, что преобладают соударения с атомами металла надо считать, что число таких столкновений настолько превосходит число соударений электронов друг с другом, что последними вполне можно пренебречь . [c.215]

Уравнение Больцмана для переноса электронов. Рассмотрим подробно предположения, которые были сделаны при разработке статистической теории движения электронов в металле. Предполагается, что электронный газ достаточно хорошо описывается при помощи функции распределения электронной плотности f(x,p )dxdp (для удобства рассматривается только координата х пространства и соответствующий импульс). Отметим, что таким образом мы, по существу, пренебрегаем отдельными флуктуациями. [c.217]

Особенностью атома лития по сравнению с водородом является низкий потенциал ионизации — 8,6 10 Дж (5,4 эВ). По этой причине атомы лития существуют в плазме только при сравнительно низких температурах. Используя формулу Больцмана (5.4) для распределения атомов по возбужденным состояниям и уравнение Саха (5.6) для ионизационного равновесия, можно найти, что оптимальная температура возбуждения, например, для линии Б1 413,2 нм ( возб = 7,7-10 Дж или 4,8 эВ) составляет всего 4500 К. Концентрация электронов, получаемая по этой линии, соответствует зонам источника света, имеющим примерно такую же температуру. [c.274]

В 1990-х гг. термин броуновское движение применяют в гораздо более широком смысле— в кинетике физической, в статистич. гидродинамике, матем. теории стохастич. процессов в этих областях также используют Ф. — П. у. (в теории стохастич. процессов оно наз. ур-нием Колмогорова). В физ. кинетике Ф. — П. у. получается из цепочки Боголюбова уравнений в приближении малости взаимодействия (малого параметра при потенциале взаимодействия) или малости отношения массы молекулы жидкости или газа к массе примесной частицы. Для достаточно разреженных систем, описываемых уравнением Больцмана, приведённое приближение также даёт Ф. — П. у, В этом случае интеграл столкновения Больцмана разлагается по параметру малости взаимодействия, что в низшем приближении даёт столкновительный оператор Фоккера — Планка. Такой подход используется в кинетике гравитирующих систем и плазмы, а также для описания разл. релаксационных процессов (внутр. степеней свободы молекул газа, электронов в твёрдом теле и др.). [c.332]

Необходимо отметить, что в системе, состоящей только из двух энергетических уровней (так называемые двухуровневые системы), получение стационарной инверсии невозможно. Действительно, если верхний уровень возбуждается резонансным излучением, то при Nigx — = N g2 вероятности процессов вынужденного поглоще-ния и испускания сравниваются и получение инверсии становится невозможным. Аналогичная ситуация имеет место и при возбуждении частиц в результате процессов столкновения (например, с электронами или атомами). В этом случае по мере нарастания заселенности верхнего уровня возрастает вероятность его тушения в процессах столкновения с частицами и заселенность верхнего уровня не может превышать описываемый уравнением Больцмана (1.17) заселенности с температурой возбуждающих частиц. Так как эта температура всегда положительна, то N2 всегда меньше N. Инверсная заселенность может возникать лишь в том случае, если кинетика возбуждения и расселения верхнего и нижнего уровней определяется разными процессами. Для получения инверсии система должна иметь не менее трех энергетических уровней. Один из этих уровней может быть основным. [c.30]

Элементарные процессы (блок I). В активной среде ГЛЭВ к ним относятся процессы, определяющие заселенности энергетических уровней атомами или молекулами при возбуждении их электрическим разрядом. Основной характеристикой разряда в этих процессах является функция распределения электронов fe ( — энергия электрона). Определить fe (е) можно из кинетического уравнения Больцмана, которое в общем виде является нестационарным интегро-дифференциальным уравнением [ 128 ], не имеющим аналитического решения в общем виде. Однако в теории кинетических процессов хорошо изучены те упрощения, которые позволяют решать уравнение Больцмана численными методами с использованием ЭВМ, а в отдельных случаях получать и аналитические решения [28]. Для атомарных и молекулярных [c.60]

Обычно имеют дело с такими связанны.ми электронными состояниями, для которых функция (Ке+Кпп) имеет глубокий минимум при равновесной конфигурации ядер (глубокий по сравнению с величиной кТ, где k — постоянная Больцмана, а Т—абсолютная температура, так что при комнатной температуре кТ 200 см ). Задачи, возникающие при паличнн более одного минимума (т. е. для нежесткой молекулы), будут обсуждаться в гл. 12. Уравнение Шредингера для колебательно-вращательного движения в связанном электронном состоянии записывается так, чтобы нулевая энергия соответствовала минимальному значению (Уе+Упп) обозначим ее Ее и назовем электронной энергией, тогда имеем [c.185]

Уравнение (4.4)—это замечательное уравнение, называемое уравнением Власова. Оно совернленно отлично от уравнения Больцмана и полезно для описания системы слабо взаимодействующих материальных точек в течение короткого промежутка времени это случай разреженного газа, частицы которого взаимодействуют посредством сравнительно слабых дальподей-ствующих сил, например электроны в ионизованном газе (кулоновская сила) или звезды в звездной системе (гравитационная сила). Однако в обычном газе, когда частицы находятся близко одна от другой, межмолекулярная сила довольно велика следовательно, модель жестких столкновений, хотя и весьма грубая, при описании существенных особенностей системы оказывается точнее модели непрерывно распределенной слабой силы. [c.73]

Кулоновские поправки к термодинамическим функциям при слабой неидеальности можно вычислить, воспользовавшись методом Дебая — Хюккеля так, как это сделано в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [1 ] (см. также работу Б. Л. Тимана 111]). Вокруг каждого из ионов или электронов образуется неравномерно заряженное облако из соседних частиц, причем распределение плотности заряда в этом облаке определяется законом Больцмана в соответствии с электростатическим потенциалом, создаваемым совместным действием центрального заряда и облака. Решение уравнения Пуассона для распределения электростатического потенциала по радиусу г около центрального иона с зарядом в первом приближении приводит к формуле [c.186]

Заметим, что уравнение Пуассона лежит и в основе вычисления кулоновского взаимодействия данного иона с образующимся вокруг него электронно-ионным облаком в методе Дебая — Хюккеля. Однако, в отличив от этого метода, здесь кл лоновская энергия не предполагается малой по сравнению с кинетической и для плотности зарядов выписывается точное выражение, а кроме того, для описания электронов используются функции распределения не Больцмана, а Ферми — Дирака. [c.198]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...