Больцмана уравнение для распределения электронов

Теоретическое исследование этих проблем в настоящее время производится на основе уравнения Больцмана, описывающего статистическое распределение электронов, которое устанавливается под действием припеченных полей и в результате соударений ). Ограничения, связанные с размером, вводятся посредством соответствующих граничных условий, налагаемых на решение ). Для тонкой металлической пластинки толщиной а, расположенной в плоскости ху (фиг. 36), уравнение Больцмана можно написать в виде [c.204]

На основании решения кинетического уравнения Больцмана методом возмущений и подстановки полученной функции распределения в уравнение для плотности электронного тока /е теплового потока де получены выражения [c.350]

ПЕРЕНОСА ЯВЛЕНИЯ — неравновесные процессы, в результате к-рых в физ. системе происходит пространственный перенос электрич. заряда, вещества, импульса, энергии, энтропии или к.-л. др. физ. величины. Общую феноменологич, теорию П. я., применимую к любой системе (газообразной, жидкой или твёрдой), даёт термодинамика неравновесных процессов. Более детально П. я. изучает кинетика физическая. П. я. в газах рассматриваются на основе кинетической теории газов с помощью кинетического уравнения Больцмана для ф-ции распределения молекул П. я. в мета.т-лах — на основе кинетич. ур-ния для электронов в металле перенос энергии в непроводящих кристаллах — с помощью кинетич. ур-ния для фононов кристаллич. решётки. Общая теория П. я. развивается в неравновесной статистич. механике на основе Лиувилля уравнения для ф-ции распределения всех частиц, из к-рых состоит система (см. Грина — Кубо формулы). [c.572]

То же выражение для электропроводности можно получить, если исходить из уравнения Больцмана, как это делалось для фононов в п. 1 2 гл. 4 величина т при этом измеряет скорость, с которой неравновесное распределение стремится вернуться к равновесному вследствие процессов рассеяния. Формула (10.9) получается, если предположить, что величина т одинакова для всех электронов на ферми-поверхности. [c.184]

ПОТОК электронов. Поэтому одинаковое число электронов должно протекать в единицу времени в обоих направлениях, и электроны с малой плотностью, текущие в направлении переноса тепла, создают такой же поток, как электроны с высокой плотностью, движущиеся против температурного градиента. Воспользуемся решением уравнения Больцмана (4.7) для заданного времени релаксации, чтобы увидеть, как изменяется распределение электронов в одномерном случае при наличии температурного градиента. Записанное через числа заполнения электронов решение имеет вид [c.187]

Другой результат получается для разреженного электронного газа. Здесь для интеграла в (60.5) пределы интегрирования задаются через (60.4). Этот случай особенно интересен для полупроводников. У них настолько мала концентрация электронов, что в качестве дальнейшей аппроксимации распределение Ферми может быть заменено распределением Больцмана ie вместо 1/(е +1)). Это дает возможность получить одно решение уравнения (60.5) практически для всего температурного интервала. В результате время релаксации получается зависящим от энергии и температуры Г . [c.236]

Для невырожденных электронов в полупроводнике можно считать, что функция распределения /о в уравнении Больцмана в примере 4 совпадает с распределением Максвелла — Больцмана. Вычислить электропроводность для этого случая, полагая г р) = р 12т, X = А 1 v s, где Л>0и5> — 7 — постоянные. [c.402]

Кинетическое уравнение Власова для электронов разреженной плазмы, подобно кинетическому уравнению Больцмана для разреженного газа, может быть получено методом Боголюбова. По этому методу (см. 29) в случае плазмы функции распределения г,(чь Рь. .., qs, разлагаются по степеням малого [c.127]

Если в кристалле существует градиент концентрации носителей, то функция распределения в любой точке образца уже не будет одинаковой. Выберем координатную систему так, чтобы направление градиента концентрации электронов совпадало с направлением оси Z. При этих условиях кинетическое уравнение Больцмана (13.8.1) для стационарного состояния примет вид [c.345]

Б стационарных условиях в однородном кристалле, находящемся в постоянных, однородных электрическом и магнитном полях, функция распределения f (к) зависит только от волнового вектора к электрона. В приближении времени релаксации (т-приближение) уравнение Больцмана для пространственно-однородной функции распределения f k) имеет вид [c.193]

Начнем с вычисления электропроводности для случая взаимодействия электронов с продольными акустическими фононами. Для этого надо сразу же сделать два допущения. Мы предполагаем, что система фононов находится в равновесии, и пренебрегаем процессами переброса. Тогда столкновительный член уравнения Больцмана задается (52.10), где вероятности переходов надо использовать из (49.14). Для п, в (49.14) мы подставим распределение Бозе. Для Пк надо использовать (возмущенную) функцию распределения f k). Матричный элемент, вошедший в вероятность перехода, задается (49.9). В качестве обычного упрощения полагаем, что компоненты Фурье не зависят от д. Это необходимо для того, чтобы вообще иметь возможность провести нижележащие интегрирования. Это приближение совершенно достаточно, пока мы хотим вычислить температурную зависимость электропроводности, но не ее абсолютное значение. [c.232]

С другой стороны, при низких температурах длина свободного пробега может оказаться больше глубины скин-слоя. В этом случае задача становится гораздо более сложной. Попытаемся сначала ввести зависимость проводимости от волнового вектора, как мы это делали при вычислении экранирования. Полученное выражение можно аналитически продолжить в область комплексных волновых векторов и попытаться применить его непосредственно к затухающей в металле волне. Такое решение действительно возможно для электромагнитной волны в металле, однако следует сделать дополнительные предположения. Для распространяющейся плоской волны разумно предполагать, что токи и поля имеют одинаковые координатные зависимости. Для затухающей волны вблизи поверхности металла такое предположение довольно далеко от истины. Присутствие поверхности изменяет, вообще говоря, распределение токов и полей, и для решения кинетической задачи оказывается необходимым вернуться к уравнению Больцмана. Сразу же, однако, можно заметить, что поле ограничивается очень тонким слоем вблизи поверхности. Тогда лишь те электроны, которые движутся почти параллельно поверхности, дадут основной вклад в проводи- [c.353]

Уравнение Больцмана для переноса электронов. Рассмотрим подробно предположения, которые были сделаны при разработке статистической теории движения электронов в металле. Предполагается, что электронный газ достаточно хорошо описывается при помощи функции распределения электронной плотности f(x,p )dxdp (для удобства рассматривается только координата х пространства и соответствующий импульс). Отметим, что таким образом мы, по существу, пренебрегаем отдельными флуктуациями. [c.217]

Особенностью атома лития по сравнению с водородом является низкий потенциал ионизации — 8,6 10 Дж (5,4 эВ). По этой причине атомы лития существуют в плазме только при сравнительно низких температурах. Используя формулу Больцмана (5.4) для распределения атомов по возбужденным состояниям и уравнение Саха (5.6) для ионизационного равновесия, можно найти, что оптимальная температура возбуждения, например, для линии Б1 413,2 нм ( возб = 7,7-10 Дж или 4,8 эВ) составляет всего 4500 К. Концентрация электронов, получаемая по этой линии, соответствует зонам источника света, имеющим примерно такую же температуру. [c.274]

Введенный вновь материал распределен по всем трем разделам книги. В качестве неполного перечня новых вопросов отметим в ч. I параграфы, посвященные изложению термодинамики диэлектриков и плазмы, парадоксу Гиббса и принципу Нернста, в ч. II — теорию орто- и парамодификаций, теорию тепловой ионизации и диссоциации молекул, дебаевское экранирование, электронный газ в полупроводниках, формулу Найквиста и особенно главу Фазовые переходы , в ч. III — параграфы Безразмерная форма уравнений Боголюбова , Методы решения уравнения Больцмана , параграфы, посвященные затуханию Ландау, кинетическому уравнению для плазмы и проблеме необратимости. Существенно переработана и расширена глава Элементы неравновесной термодинамики , в которой помимо более детального рассмотрения области, близкой к равновесию, введен параграф, посвященный качественному рассмотрению состояний, далеких от равновесия. [c.7]

Элементарные процессы (блок I). В активной среде ГЛЭВ к ним относятся процессы, определяющие заселенности энергетических уровней атомами или молекулами при возбуждении их электрическим разрядом. Основной характеристикой разряда в этих процессах является функция распределения электронов fe ( — энергия электрона). Определить fe (е) можно из кинетического уравнения Больцмана, которое в общем виде является нестационарным интегро-дифференциальным уравнением [ 128 ], не имеющим аналитического решения в общем виде. Однако в теории кинетических процессов хорошо изучены те упрощения, которые позволяют решать уравнение Больцмана численными методами с использованием ЭВМ, а в отдельных случаях получать и аналитические решения [28]. Для атомарных и молекулярных [c.60]

Кулоновские поправки к термодинамическим функциям при слабой неидеальности можно вычислить, воспользовавшись методом Дебая — Хюккеля так, как это сделано в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшица [1 ] (см. также работу Б. Л. Тимана 111]). Вокруг каждого из ионов или электронов образуется неравномерно заряженное облако из соседних частиц, причем распределение плотности заряда в этом облаке определяется законом Больцмана в соответствии с электростатическим потенциалом, создаваемым совместным действием центрального заряда и облака. Решение уравнения Пуассона для распределения электростатического потенциала по радиусу г около центрального иона с зарядом в первом приближении приводит к формуле [c.186]

Заметим, что уравнение Пуассона лежит и в основе вычисления кулоновского взаимодействия данного иона с образующимся вокруг него электронно-ионным облаком в методе Дебая — Хюккеля. Однако, в отличив от этого метода, здесь кл лоновская энергия не предполагается малой по сравнению с кинетической и для плотности зарядов выписывается точное выражение, а кроме того, для описания электронов используются функции распределения не Больцмана, а Ферми — Дирака. [c.198]

Кроме того, сама возможность применения к плазме во внешнем поле классического уравнения Больцмана связана с определенными условиями, наложенными на волновой вектор к и частоту со поля. Характерные расстояния изменения поля ( 1/ ) должны быть велики по сравнению с де-бройлевской длиной волны электронов (А/р), а связанная с этой неоднородностью неопределенность импульса ( А ) должна быть мала по сравнению с шириной ( Т/у) области размытия теплового распределения электронов. Для невырожденной плазмы Т/и (тТ) /г, так что оба эти условия совпадают. Для вырожденной плазмы р рр, Ь Ур-=рр1т, но поскольку Т Вр, то Т/и р. Таким образом, достаточно потребовать в обоих случаях [c.200]

В статистич. теории в общем случае сред, состоящих из взаимодействующих частиц, Н. с. определяется зависящей от времени ф-цией распределения всех частиц по координатам и импульсам или соответствующим статистич. оператором. Однако такое определение Н. с. имеет слишком общий характер, обычно достаточно описывать Н. с. менее детально, на основе огрублённого иля т. и. сокращённого описания. Напр., для газа малой плотности достаточно знать одночастичную ф-цию распределения по координатам и импульсам любой из частиц, удовлетворяющую кинетическому уравнению Больцмана и полностью определяющую ср. значения длотностен энергий, импульса и числа частиц и их потоки. Для состояний, близких к равновесному, можно получить решение кинетич. ур-ния, зависящее от Т(х.1),. i x,t), и(х,1) и их градиентов и позволяющее вывести ур-ния переноса для газа. Однако ф-ция распределения по энергиям для частиц газа в стационарном Н. с. может сильно отличаться от равновесного распределения Максвелла. Напр., для электронов в полупроводниках в сильном электрич. поле, сообщающем электронам большую энергию, теряет смысл даже понятие темп-ры электронов, а ф-ция распределения отличается от максвелловской и сильно зависит от приложенного поля. [c.328]

Уравнение (4.4)—это замечательное уравнение, называемое уравнением Власова. Оно совернленно отлично от уравнения Больцмана и полезно для описания системы слабо взаимодействующих материальных точек в течение короткого промежутка времени это случай разреженного газа, частицы которого взаимодействуют посредством сравнительно слабых дальподей-ствующих сил, например электроны в ионизованном газе (кулоновская сила) или звезды в звездной системе (гравитационная сила). Однако в обычном газе, когда частицы находятся близко одна от другой, межмолекулярная сила довольно велика следовательно, модель жестких столкновений, хотя и весьма грубая, при описании существенных особенностей системы оказывается точнее модели непрерывно распределенной слабой силы. [c.73]

Обе величины легко определяются, если известно число электронов с заданным импульсом в данной точке как функция времени. Эта функция распределения вытекает из некоторого дифференциального уравнения, так называемого уразнения Больцмана, которое мы приведем в 52. Уравнение Больцмана для электронов легко решается, если взаимодействие электронов с решеткой можно описать с помощью времени релаксации, которое входит в виде константы в экспоненциальное спадание возмущения системы электронов. Если это невозможно, то для решения уравнения Больцмана приходится обращаться к вариационному исчислению. Оба эти способа будут описаны в 53 и 54. [c.207]

Что же касается электронов, то при движениях плазмы со скоростями v TJMyl < Vтe их распределение адиабатически следует за распределением поля. Как мы видели в 36, конкретное выражение для электронной плотности М, при этом существенно зависит от характера поля. Для поля без потенциальных ям оно дается просто формулой Больцмана (37,7), так что уравнение (38,4) принимает вид [c.189]

Эти соотношения образуют систему замкнутых дифференщ1альных уравнений в частных производных. Уравнение Пуассона, являющееся одним из уравнений Максвелла, описывает распределение заряда в полупроводниковом приборе. Уравнения непрерывности описывают локальное равновесие между приходом и уходом электронов и дырок. Выражения для токов задают абсолютное значение, направление и ориентацию электронного и дырочного токов. Уравнения непрерывности и формулы для токов совсем не тривиально выводятся из уравнения Больцмана. Из-за ограниченности места привести здесь этот вывод нет возможности. Интересующихся читателей можно отослать к [15.172] и к литературе или монографиям по полупроводниковым приборам, например [15.18, 15.78, 15.136, 15.148]. [c.392]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...