Столкновительные члены в уравнении Больцмана

Столкновительные члены в уравнении Больцмана [c.16]

Это уравнение называется уравнением переноса Больцмана. Вычисление столкновительного члена в правой части уравнения (6.34) будет дано в следующем параграфе. [c.267]

Столкновительный член в линеаризованном выражении (52.15) может рассматриваться как интегральный оператор, примененный к искомой функции 6 (ft). Если записать (отрицательный ) столкновительный член в виде (бФ) или сокращенно Ф и левую часть уравнения Больцмана обозначить —F, то (52.2) будет иметь вид Р = ЬФ. [c.216]

Можно показать, что если в уравнении Больцмана отбросить столкновительный член, то звуковая волна не будет испытывать поглощения и а=0, как и должно быть. [c.256]

Последний интеграл равен нулю по тем же причинам, что и интегралы (ЗЛО), Как мы увидим ниже, первый интеграл при выполнении условия хаоса переходит в больцмановский столкновительный член. Второй интеграл в общем случае отличен от нуля, и, следовательно, уравнение не сводится к уравнению Больцмана. [c.52]

Еще один способ учета взаимодействий между далекими молекулами состоит в допущении а->оо в столкновительном операторе Больцмана, что приводит к распространению анализа парных столкновений на расстояния, где он, строго говоря, не применим. На первый взгляд это кажется очень странным, потому что а, как определено выше, является величиной порядка 10 см и при выводе уравнения Больцмана использовался предельный переход а->0. Однако можно оправдать и предположение а= оо дело в том, что о входит в (4.16) только через 6(0, V) и увеличение а означает, что учитываются более скользящие столкновения. Эти добавляемые столкновения настолько скользящие, что они едва отклоняют молекулы от их первоначальных путей молекула, претерпевающая такое скользящее столкновение в определенном состоянии движения, выходит из него практически в том же самом состоянии, и, следовательно, вклад от таких столкновений в интеграл в (4.16) практически равен нулю ([7 IIJ Иначе говоря, если согласиться с этим рассуждением, то нужно сказать, что при произвольном увеличении о, и в частности при а->оо, мы ничего не изменяем, поскольку просто добавляем одно и то же большое число к каждому из двух членов разности [c.107]

Из-за нелинейного характера столкновительного члена решение и анализ уравнения Больцмана связаны со значительными трудностями. В разд. 10 гл. III был исследован весьма частный класс решений, а именно максвелловские распределения. Смысл этих распределений ясен они описывают равновесные состояния (или несколько более общий класс состояний, характеризующихся отсутствием теплового потока и вязких напряжений). Для того чтобы описать более реальные неравновесные состояния, когда имеются вязкие напряжения и теплоперенос, приходится полагаться на приближенные методы. [c.181]

Методы, изложенные в разд. 2—5, применяются не только к нелинейному уравнению Больцмана для одноатомного газа, но также к линеаризованному уравнению Больцмана, к уравнениям типа Больцмана, которые получаются при замене квадратичного столкновительного члена модельным членом /(/) (разд. 10 гл. I и разд. 9 гл. IV), и к обобщенным уравнениям Больцмана, описывающим смеси и многоатомные газы. Сделаем в связи с этим несколько замечаний. [c.291]

Обратимся теперь к обоим столкновительным членам уравнения Больцмана в (52.2) и (52.5). Они описывают изменение числа заполнения электронных состояний или соответственно изменение числа фононов одного нормального колебания решетки. Оба члена являются суммами или разностями вероятностей перехода, рассмотренных в (49.14). Мы записываем вероятности перехода для электронов в виде [c.210]

Введение времени релаксации существенно упрощает решение уравнения Больцмана. Поэтому мы исследуем, при каких предпосылках применимо приближение времени релаксации. Для этого мы должны попробовать привести столкновительный член к такому виду, в котором бы он был пропорционален бf, а коэффициент пропорциональности не зависел бы от возмущения. [c.213]

Начнем с вычисления электропроводности для случая взаимодействия электронов с продольными акустическими фононами. Для этого надо сразу же сделать два допущения. Мы предполагаем, что система фононов находится в равновесии, и пренебрегаем процессами переброса. Тогда столкновительный член уравнения Больцмана задается (52.10), где вероятности переходов надо использовать из (49.14). Для п, в (49.14) мы подставим распределение Бозе. Для Пк надо использовать (возмущенную) функцию распределения f k). Матричный элемент, вошедший в вероятность перехода, задается (49.9). В качестве обычного упрощения полагаем, что компоненты Фурье не зависят от д. Это необходимо для того, чтобы вообще иметь возможность провести нижележащие интегрирования. Это приближение совершенно достаточно, пока мы хотим вычислить температурную зависимость электропроводности, но не ее абсолютное значение. [c.232]

Формулу (16.14) можно вывести, применяя золотое правило нестационарной теории возмущений первого порядка ) к рассеянию блоховского электрона на каждой из примесей. Значительно сложнее проводится более фундаментальный вывод, в котором исходят из полного гамильтониана для электронов и примесей и получают полное уравнение Больцмана со столкновительным членом, даваемым выражениями (16.8) и (16.14) ). [c.321]

Рассмотрите уравнение Больцмана (16.13) для металла, помещенного в постоянное однородное электрическое поле, считая, что входящий в него столкновительный член (16.18) отвечает упругому рассеянию на примесях. [c.327]

Подобные переходы обычно называют столкновениями , чтобы подчеркнуть аналогию с электронными явлениями переноса. Отметим, однако, что в случае фононов к столкновениям относят также процессы, в которых один фонон распадается на несколько, несколько фононов сливаются в один и т. п., т. е. процессы, допускаемые теорией с несохранением суммарного числа фононов. Если справедливо предположение о малости колебаний и ангармонические члены более высокого порядка несущественны, то в каждом отдельном столкновении принимает участие лишь небольшое число фононов. Поэтому перенос энергии фононами можно рассматривать с помощью уравнения Больцмана (гл. 16) со столкновительными членами, описывающими те процессы, в которых фононы могут рассеиваться со значительной вероятностью. В более элементарной качественной теории можно воспользоваться даже единым фононным временем релаксации т, определяющим вероятность того, что за единицу времени фонон испытает столкновение одного из возможных типов 2). [c.126]

Получим выражения для столкновительных членов в уравнении Больцмана при условии молекулярного хаоса, когда взаимные положения и скорости двух молекул до столкно) е-ния не связаны статистической зависимостью и такая зз1 и-симость возникает только после столкновения. [c.16]

Если заменить столкновительный член в уравнении Больцмана выражением (16.9), т. е. воспользоваться приближением времени релаксации, то уравнение упрощается и становится линейным уравнением в частных производных. Можно показать, что функция распределения (13.17), полученная в приближении времени релаксации, является решением такого уравнения (как и должно быть, поскольку в основе обоих методов вывода лежат одинаковые допущения). Мы пэдчеркнваем эту эквивалентность, поскольку очень часто результаты, подобные найденным в гл. 13, получают не прямо из явного выражения (13.17) для функции распределения в приближении времени релаксации, а на первый взгляд совершенно иным способом — путем решения уравнения Больцмана (16.13) со столкновительныи членом (16.9), соответствующим приближению времени релаксации. Эквивалентность этих двух подходов продемонстрирована в задачах 2 и 3, где некоторые из типичных результатов гл. 13 заново выводятся из уравнения Больцмана в приближении времени релаксации. [c.320]

В разд. 10 гл. II обсуждалась возможность замены столкно-вптельного члена в уравнении Больцмана более простым выражением, названным столкновительной моделью. Идея состояла в том, что многие детали парного взаимодействия, содержа-нднеся в столкновительном члене и отражаюндиеся, например, в тонких свойствах спектра линеаризованного оператора, вероятно, не влияют существенным образом на значения многих экспериментально измеряемых величин. Это привело к БГК-модели н ее вариантам, которые обсуждались в гл. II. [c.232]

Число Кнудсена характеризует степень разреженности газа. При больших числах Кнудсена столкновения оказывают малое влияние на изменение функции распределения и при Кп- оо интегралом столкновений можно пренебречь. При малых же числах Кнудсена функция распределения, наоборот, определяется в основном столкновениями. Чтобы подчеркнуть это и придать большее влияние столкновительному члену в состояниях, близких- к локально равновесному, его умножают на большую вели-записывая кинетическое уравнение Больцмана в ви- [c.143]

В 3, д. изучаются усреднённые характеристики звёздных систем, определяемые функцией распределения звезд l(t, г, V), зависящей от времени (г), координат (г) и скоростей (w). Ф-ция / определяет кол-во звёзд, находящихся в момсит t в единичном элементе объёма фазового пространства в окрестности точки (г, v). С помощью ф-ции распределения выражаются ср. величины, характеризующие звёздную систему плотность р( , г), ср. скорость м (г, г), тензор давлений P/k(t, г) и др. Ф-цпя распределения удовлетворяет кинетическому уравнению Больцмана—Власова, в к-ром учитываются общее усреднённое (самосогласованноо) поле тяготения системы, определяемое гравитационным потенциалом Ф (t, г), и столкновения отд. звёзд, определяемые столкновительным членом St.(f) (интеграл столкновений) [c.60]

Член (12.1.12) обладает весьма большой обпщостью он сохраняется в неизменном виде для всех кинетических уравнений. Самосогласованный член (12.1.13) присутствует во всех тех случаях, когда играет роль усредненное поле, т. е. он пренебрежимо мал в обычном газе молекул с короткодействующими силами. Вклад столкновительного члена пока что наиболее сложен. Кроме того, столкновительный член весьма чувствителен к деталям механизма столкновений и имеет совершенно различный вид в зависимости от того, какое уравнение используется, скажем, Больцмана или Ландау. Мы не будем проводить подробную его оценку, но введем новое удобное обозначение [c.54]

Таким образом, мы обнаружили, что, если речь идет о зависимости от скорости, то уравнение Ландау имеет точно пять независимых инвариантов столкновений. Аналогичные рассзгждения, которые мы предоставляем провести в качестве упражнения читателю, показывают, что и в случае столкновительного члена Больцмана имеются точно те же пять инвариантов столкновений. [c.65]

Уравнение (18.8.1), так ще как и классическое уравнение Больцмана, представляет собой зфавнение баланса, содержащее члены, соответствующие прибыли и убыли . Столкновительный член описывает скорость изменения ф (р ), обусловленного двумя процессами убылью за счет столкновений частиц с импульсами Рх и р2, в результате которых частицы оказываются в состояниях с импульсами pi + Й1, Ра — Й1, и прибылью за счет обратных столкновений, конечными состояниями которых являются р и pj. Отметим, что аргумент б-функции в сечении рассеяния (18.8.2) этих процессов представляет собой разность энергий начального и конечного состояний. Следовательно, произвольное рассматриваемое столкновение возможно лишь в том случае, если оно удовлетворяет закону сохранения энергии. Число столкновений первого типа пропорхщонально вероятности появления частиц с импульсами Pi и р2, т. е. произведению ф (р ) ф (рг) (аналогично классическому случаю), а также вероятности того, что конечные состояния Pi -Ь Й1, р2 — Й1 пусты, т. е. произведению [1 — [c.252]

При решении уравнения Больцмана методом моментов илг замене столкновительного члена простой моделью отказываются от намерения точно, исследовать функцию распределения и огра ничиваются изучением пространственных изменений некоторых моментов, имеющих конкретный физический смысл, таких, ка плотность, массовая скорость, температура и тепловой поток Однако следует заметить, что для сравнения с некоторыми экспериментальными данными не требуются даже столь огра ниченные сведения. В самом деле, типичным результатом экспе риментального исследования течения Пуазейля является зави симость расхода от числа Кнудсена. Аналогично экспернмен тально определяются константа напряжения в течении Куэтта константа теплового потока в задачах о теплопередаче, лобовое сопротивление при обтекании тела потоком газа. С точки зрения нахождения этих суммарных величин любое вычисление полей потока представляется бесполезной тратой времени. [c.395]

Процесс рассеяния упругий (к = к ), так что, обозначив через 0 угол между к и к, имеем (к - к ) — 2А (1 - os 0). Для вычисления вероятности перехода (ч. П.49.10) используем матричный элемент (2.105). Подставляем это в столкновительный член уравнения Больцмана. Здесь можно воспользоваться справедливым для упругих процессов рассеяния уравнеипем (ч. II.53.8), которое дает обратное время релаксации иепосре.чстоенио. Если выполнить [c.113]

Это знаменитое уравнение Больцмана. Члены в его левой части обьгано называют дрейфовыми , а правая часть известна под названием столкновительного члена ). Если в качестве столкновительного члена использовать выражение [c.319]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...