Элементы Лагранжа оскулирующие

Метод оскулирующих элементов сродни методу Лагранжа вариации произвольных постоянных. В самом деле, пусть изучается движение, описываемое следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений [c.697]

Два векторных равенства (14) и (15) и являются, по сути дела, дифференциальными уравнениями возмущенного движения. В дальнейшем мы 1) заменим их шестью скалярными равенствами 2) выразим входящие в эти равенства величины через оскулирующие элементы е (/), р (/), и (О, у t), (О t), т t) и их первые производные 3) получим выражения для производных от оскулирующих элементов. Это и будут уравнения Ньютона — Лагранжа. [c.270]

Приведем здесь уравнения для оскулирующих элементов эллиптической орбиты в форме Лагранжа [3], где в качестве независимой переменной выбрана истинная аномалия [c.364]

Дифференциальные уравнения для оскулирующих элементов, аналогичные уравнениям Лагранжа [c.127]

Тогда, как показал Лагранж ), дифференциальные уравнения Ньютона, определяющие изменения оскулирующих элементов, можно преобразовать таким образом, чтобы в эти уравнения вместо составляющих 5, Т, А возмущающего ускорения на подвижные оси входили частные производные от функции / по элементам оскулирующей орбиты. [c.611]

Подставляя выражения (12.71 ) в уравнения (12.65), мы получим уравнения для определения оскулирующих эллиптических элементов, называемые уравнениями Лагранжа. [c.616]

Если за произвольные постоянные невозмущенного движения взять кеплеровские элементы оскулирующей орбиты (12.79), то для производных (12.92 ) мы имеем уже готовые формулы, полученные и выписанные в конце гл. X, которыми мы уже пользовались в предыдущем параграфе для вычисления скобок Лагранжа. [c.635]

Лагранж заметил, что уравнения (13,27) можно рассматривать сами по себе, а их интегрирование как самостоятельную задачу, результаты которой можно назвать теорией вековых возмущений оскулирующих элементов. [c.677]

Заметив, что в процедуре элементарного вычисления вековых возмущений оскулирующих элементов участвует только часть возмущающей функции (свободный член ее ряда Фурье), Лагранж пришел к мысли построить теорию вековых возмущений, рассматривая в дифференциальных уравнениях для оскулирующих элементов вместо полной возмущающей функции только этот свободный член, который он и назвал вековой частью возмущающей функции. [c.719]

Уравнения Лагранжа для кеплеровских оскулирующих элементов (общий случай) [c.337]

Уравнения Лагранжа для эллиптических кеплеровских оскулирующих элементов [c.338]

Второе и пятое уравнения системы (4.3.15) имеют особенность при е = О, поэтому их использование в случае эксцентриситетов, близких к нулю, затруднительно. Для устранения этой особенности Лагранж предложил ввести вместо оскулирующих элементов е и л новые переменные Л и А по формулам [c.342]

Второе и пятое уравнения системы (4.4.06) имеют особенности при es = О ( = 1, 2,. .., л — 1), поэтому их использование в случае эксцентриситетов, близких к нулю, затруднительно. Для устранения этих особенностей Лагранж предложил вместо оскулирующих элементов бя, п (5 = 1, 2,. .., л — 1) ввести переменные hs, 5 по формулам [c.355]

Для случая малых эксцентриситетов и малых наклонов (ба О, 5 О, 5 = 1, 2,. .., — 1) удобнее рассматривать вместо оскулирующих элементов е. 1 Й . л переменные Лагранжа Ае, к Рз, Яз- Тогда уравнения возмущенного движения системы материальных точек Рь Р .....Р 1 относительно Ро [c.357]

Лагранж показал (см. 8.03), что уравнения для оскулирующих элементов, в которых возмущающая функция заменена основными членами вековой части (4.6.27), легко интегрируются. [c.404]

Для получения уравнений промежуточного движения возмущаемого тела необходимо заменить возмущающую функцию / в уравнениях Лагранжа (4.3.15) тем или иным осредненным значением. Будем обозначать на ения осредненных оскулирующих элементов через а, р, г. М., ш. [c.436]

Выражения для возмущений первого порядка элементов а, е, i, Q, п, е (долгота в начальную эпоху t ), получаемые непосредственно из уравнений Лагранжа для оскулирующих элементов, имеют вид (с точностью до е ) [c.511]

Возмущающая функция. В случае орбит с малыми эксцентриситетами правые части уравнений Лагранжа для оскулирующих элементов е и п содержат малый делитель е. Эта трудность легко устраняется, если вместо элементов е, п и в ввести переменные А, / и Я [c.573]

Дифференциальные уравнения для оскулирующих элементов, положенные в основу теории вековых возмущений Лагранжа (см. ч. IV, 8.03), которые получаются из общих уравнений для оскулирующих элементов в результате замены возмущающей функции ее вековой частью (см. ч. IV, 6.04) с точностью до величин второго порядка малости (относительно эксцентриситетов и наклонов), имеют первые интегралы [c.839]

Лагранжа для оскулирующих элементов 338, 350 [c.861]

Действуя так же, как ив 79, мы должны сделать замену переменных, беря в качестве новых переменных эти 18 оскулирующих элементов но для применения метода Лагранжа выгодно выбрать эти переменные (которые полностью мы еще не определили) таким образом, чтобы каноническая форма уравнений не нарушилась. [c.556]

В важной работе Брауэра [3] показано, что при двукратном интегрировании вероятная ошибка равна 0,1124/г , где п — число шагов (величина ошибки выражена в единицах, соответствующих последней значащей цифре). Так, например, после 100 шагов численного интегрирования уравнений второго порядка, описывающих движение спутника, мы с вероятностью 50% можем ожидать, что ошибка округления будет меньше 112,4. В этой работе также показано, что средние ошибки оскулирующих элементов орбиты, полученных численным интегрированием уравнений движения планет в форме Лагранжа (уравнений первого порядка) или при помощи обычных формул по компонентам х, у, г) и х, у, 2), будут пропорциональны Исключением является средняя орбитальная долгота, для которой средняя ошибка опять-таки пропорциональна га . Правда, следует заметить, что она получается в результате двукратного интегрирования. [c.224]

Уравнения Лагранжа для планет (6.30), (6.35) и (6.36) можно интегрировать не аналитически, а численно. При этом в вычислениях на каждом последующем шаге используются новые значения элементов, полученные в конце предыдущего шага. Другой способ состоит в том, что в правые части уравнений подставляются оскулирующие элементы и затем уравнения интегрируются численно на большом интервале времени. В результате для элемен- [c.230]

С тех пор как Лагранж вывел свои уравнения для планет (в которых скорости изменения оскулирующих элементов орбиты планеты выражаются через элементы данной планеты и элементы планет, возмущающих ее гелиоцентрическую орбиту), многие авторы неоднократно пытались устранить некоторые серьезные недостатки этого метода, присущие ему наряду со многими достоинствами. Среди достоинств метода отметим следующие [c.231]

Первые четыре главы книги посвящены общим уравнениям движения тел, представляющих изолированную систему, известным интегралам, основным формулам эллиптического движения и разложению различных функций в гипергеометрические ряды и по функциям Бесселя. В гл. 5 достаточно подробно излагаются уравнения Лагранжа для оскулирующих элементов, чтобы читатель мог ознакомиться с основными процессами перехода от эллиптической орбиты к возмущениям планет. В гл. 6 рассматриваются различные классы неравенств —вековые, короткопериодические и долгопериодические. Гл. 7 посвящена разложению в ряд возмущающей функции, сначала в теории Луны, а затем в теории движения планет. В гл. 8 —о канонических уравнениях — шаг за шагом излагаются различные теоретические положения и приводятся простые примеры. В гл. 9 подробно рассматривается решение уравнений эллиптического движения при помощи метода Гамильтона — Якоби. В следующих двух главах излагаются элементы теории контактных преобразований. Гл. 12 посвящена теории Луны Делонэ в ней подробно описывается основная операция и дается практический метод получения решения п желаемой форме. В следующих двух главах рассматриваются вековые [c.7]

Нам остается определить положение в пространстве плоскости оскулирующей орбиты. Относительно основной неподвижной плоскости, за которую приняли мгновенную плоскость орбиты Земли для нормальной эпохи 70 = 1950.0, положение оскулирующей орбиты планеты Р можно определить двумя углами i и 2. Угол / определяет наклон орбиты к плоскости эклиптики, а угол 2 определяет долготу восходящего узла орбиты относительно точки весеннего равноденствия нормальной эпохи Го = 1950.0. Возмущения элементов / и 2 определяются известными уравнениями Лагранжа (см. приложение 1) [c.51]

Уравнения Лагранжа, определяющие оскулирующие элементы, могут быть решены только приближенно, например методом последовательных приближений или методом численного интегрирования. [c.175]

IV. 80) мы должны вычислять с постоянными элементами, а остальные элементы в правых частях уравнений Лагранжа рассматривать как оскулирующие элементы, зависящие от времени. Поэтому выведем такие формулы, определяющие зависимость между временем и аномалиями, которые с самого начала учитывают, что в возмущенном движении элементы орбиты являются функциями времени. [c.200]

Последний класс методов получил наиболее широкое распространение в механике космического полета. Он включает в себя метод вариаций элементов, развитый Лагранжем и называемый также методом оскулирующих элементов метод вариаций координат (со всеми его разновидностями). [c.87]

УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ДЛЯ ОСКУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ. [c.97]

Эллиптические оскулирующие элемен-т ы. Метод Лагранжа вариации элементов орбиты является одним из основных методов небесной механики изучения возмущенного движения планет и спутников. Лагранж преобразовал дифференциальные уравнения возмущенного движения к новым переменным и разработал способы их приближенного интегрирования. В качестве новых зависимых переменных он принял оскулирующие элементы. [c.94]

В динамике космического полета можно отчетливо проследить плодотворные взаимодействия техники и ряда фундаментальных и прикладных наук. Особенно следует подчеркнуть широкое использование методов и результатов небесной механики для решения задач динамики в гравитационных полях Солнца и планет солнечной системы. Так теория кеплеровых движений, теория возмущений орбит, исследование движений в оскулирующих элементах (метод Лагранжа) перешли из небесной механики в динамику космического полета с относительно небольшими изменениями и дополнениями. Но в ряде задач (например, теория движения искусственных спутников Земли) динамики космического полета пришлось создавать и разрабатывать совершенно новые методы исследования. Эти новшества вызываются дополнительными силами, которые в задачах небесной механики не играют существенной роли. Так, при движении спутников Земли на высотах до 500—700 км аэродинамические силы, обусловленные наличием атмосферы, оказывают влияние на законы движения и приводят к постепенному изменению (эволюции) орбит спутников. Изучение этих эволюций требует знания строения атмосферы на больших высотах и знания, законов аэродинамического сопротивления при полете с первой космической скоростью в весьма разреженной среде. Развитие космонавтики обусловило быстрый прогресс и аэродинамики и метеорологии. [c.19]

Для этой цели употребляются обычнйе уравнения Ньютона или Лагранжа, определяющие возмущения элементов оскулирующей кепле-ровой орбиты спутника под действием возмущающей силы, заданной своими проекциями на три взаимно перпендикулярные направления. [c.360]

Эти дифференциальные уравнения аналогичны уравнениям Лагранжа для кеплеровых оскулирующих элементов. [c.129]

Уравнения Лагранжа. Как уже отмечалось в 3.15, при с = О и а = О элементы а, е, i, Q,o, oq и Mg превращаются соответственно в большую полуось, эксцентриситет, наклон, долготу узла, аргумент перицентра и среднюю аномалию в эпоху кеплерова эллиптического движения. Поэтому, если положить в уравнениях (4.9.1) е = О, то мы получим уравнения Лагранжа для кеплеровых оскулирующих элементов. [c.141]

Система переменных Андуайе - Депри не разбивается на позиционную и чисто импульсную составляющие подобно углам Эйлера и сопряженным им каноническим импульсам. Однако они очень удобны для применения метода теории возмущений, так как связаны с компонентами кинетического момента. В двух наиболее известных интегрируемых (невозмущенных) задачах динамики твердого тела — случаях Эйлера и Лагранжа — переменные С и Ь соответственно являются интегралами движения. Сходные системы оскулирующих элементов , не обязательно являющихся каноническими, использовались еще Пуассоном, Шарлье, Андуайе и Тиссераном при построении теорий физической либрации Луны и вращательного движения планет в небесной механике. Их введение в этом веке А. Депри в работе [71] преследовало цель прояснить фазовую геометрию случая Эйлера (см. 2 гл. 2) и позволило осознать их универсальный характер в динамике твердого тела — они использовались для применения методов качественного анализа в [92], где называются специальными каноническими переменными, и для численных исследований [28]. [c.47]

В связи с этим, при применении метода Лагранжа изменения произвольных постоянных удобнее и проще пользоваться не кеплеровскими оскулирующими элементами, а элементами Якоби, дифференциальные уравнения для которых в возмущенном движении также имеют канонический вид, что позволяет при исследовании этих уравнений опираться на общие свойства канонических систем и канонических преобразований. [c.687]

Устранение особенности t = О в третьем и четвертом уравнениях систем (4.3.14) и (4.3.15) может быть осуществлено либо с помощью замены I = os i, как было указано в замечании из 3.04, либо введением новых переменных р и q вместо i и Q, как предложил Лагранж. Связь между переменными Лагранжа р и <7 и оскулирующими элементами i и Q дается соотношениями [c.343]

Из уравнений (6.3.52) нетрудно получить дифференциальные уравнения для элементов а, е, 1 и М = /, м = и О = Л. Эти уравнения выведены в работе [55]. Они аналогичны уравнениям Лагранжа для оскулирующих элементов и превращаются в таковые при с = 0. В работе [56] получены уравнения, аналогичные уравнениям Ньютона, в которых правые части содержат не производные возмущающей функции по элементам, а три комт поненты возмущающего ускорения. Еще одна система уравнений, не имеющая аналогов в теории возмущений кеплеровских элементов, была получена в работе [57]. Все эти уравнения обладают тем важным свойством, что дают возможность уже в первом приближении получать неравенства, обусловленные комбинированным влиянием различных возмущающих факторов и сжатием Земли. [c.592]

Наиболее ранние, уравнения возмущенного вращательного движения в оскулирующих элементах были получены с помощью канонических преобразований в работах Лагранжа [7], Лапласа [8], изложение которых содержится в трактате Ф. Тиссерана [1]. В нашем веке эти методы нашли развитие в работах [c.754]

Оскулирующая орбита планеты непрерывно изменяет свое положение в пространстве и свою форму. Изменение оскулирующих элементов орбиты с течением времени определяется уравнениями Лагранжа (вывод уравнений Лагранжа можно найти у М. Ф. Субботина в Курсе небесной механики , т. 2, 1937 или в книге Г. Н. Дубошина Небесная механика , 1963) [c.320]

Многие авторы в своих исследованиях следуют классическому методу Лагранжа. Метод Лагранжа вариации элементов орбиты является одним из основных методов небесной механики. В этой работе изложены идеи метода Лагранжа и предлагается прямой вывод дифференциальных уравнений Лагранжа в оскулирующих элементах. Большое внимание в книге уделяется распространению метода изучения кеплерова невозмущенного движения в плоскости орбиты в полярных координатах" на общий случай неплоского возмущенного движения. Это достигается путем рассмотрения возмущенного движения спутника в подвижной ганзеновской плоскости идеальных координат. [c.5]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...