Теорема о возвращении

Теорема 4 (теорема о возвращении). Если / непрерывна на Т и имеет две непрерывные производные по < 2 а пространственное среднее функции f равно нулю, то для любых е > О иТ существует т > Т такое, что /(г, [c.183]

Из этого факта вытекает много важных следствий, например способ быстро писать уравнения движения в криволинейных ч истемах координат, а также ряд качественных выводов, например теорема о возвращении в окрестность начальной точки. [c.52]

Доказательство эргодической теоремы о том, что существует временная вероятность р такая, что точка Р траектории общего положения лежит в заданном объеме v многообразия М, имеет параллели с вышеуказанной теоремой о возвращении, как будет видно в дальнейшем. [c.343]

Теорема о возвращении устанавливала результаты непосредственно из этой леммы. [c.344]

При применении теоремы о возвращении нужно иметь в виду, что Ш должно быть инвариантным множеством конечной внешней меры, лежащим в области определения 91. Например, если /1 = 1, /2 = О, m = = 2, то множеством 91 будет вся плоскость, а траекториями будут все прямые, параллельные оси абсцисс но тогда из конечности Уа Ш) следует, что 9Л имеет меру нуль, так что теорема о возвращении становится бессодержательной. Чтобы для данной системы (1) с помощью теоремы о возвращении получить существенные результаты, нужно столь много знать о поведении траекторий в целом (im Gro en), что можно будет доказать существование измеримых инвариантных множеств с положительной конечной мерой. Для этого нужно иметь некоторое инвариантное множество Ш с конечной внешней мерой Т4(ШТ) и в нем [c.359]

Теорема 9.5.6. (Теорема Пуанкаре о возвращении). Пусть Г — сохраняющее объем непрерывное взаимно однозначное отображение, переводящее ограниченную область О евклидова пространства в себя ТО = О. Тогда в любой окрестности С1 любой точки из О найдется точка х 1, которая возвращается в окрестность Г2, т.е. Г а 6 П при некотором п > 0. [c.671]

В некоторый момент времени перегородку убрали, и газ начал заполнять весь объем сосуда. Следует ли из теоремы Пуанкаре о возвращении, что найдется такой момент времени, когда все молекулы газа снова соберутся в той части сосуда, где они первоначально находились [c.702]

Г. Теорема Пуанкаре о возвращении. Пусть д — сохраняющее объем непрерывное взаимно однозначное отображение, переводящее ограниченную область В евклидова пространства в себя дВ = В. [c.67]

Теорема 4.1.19 (теорема Пуанкаре о возвращении). Пусть Т — сохраняющее меру преобразование пространства Лебега (X, ), и пусть А сХ —измеримое множество. Тогда для любого N eN имеем [c.152]

М и покажем, что сильно неустойчивое многообразие W (p) плотно в М для каждой периодической точки р потока р . Аналогично тому, как это имеет место для диффеоморфизмов, из этого факта следует топологическое перемешивание. Пусть dim M = 2m -1. Контактная форма 9 индуцирует инвариантную гладкую меру, соответствующую элементу объема в так что по теореме Пуанкаре о возвращении 4.1.19 NW(ip ) = M. Таким образом, топологическая транзитивность следует из связности и наличия спектрального разложения. Достаточно показать, что множество W (p) плотно в окрестности U точки р, потому что тогда классы эквивалентности, определенные пересечениями многообразий, открыты, так что на самом деле есть только один такой класс и W (p) плотно. [c.577]

Доказательство. Если / обладает инвариантной гладкой мерой А, то теорема Пуанкаре о возвращении 4.1.19 позволяет заключить, что А-почти все точки являются неблуждающими. Так как множество NW(f) замкнуто и мера А положительна на открытых множествах, NW(f) = M. По следствию 18.3.5 это значит, что f—топологическое перемешивание. [c.638]

О-Сг) < ( +х) Ч Х-уУ<2 (О-с.). которые являются следствием интеграла Якоби. Эти неравенства определяют в плоскости У круговое кольцо, площадь которого не превосходит 2я(сг—С1). Из этих замечаний вытекает конечность ц(Л1) и, следовательно, возможность применения теоремы Пуанкаре о возвращении для почти всех р М полутраектория (р) пересекается с любой окрестностью точки р при сколь угодно больших значениях Такие движения названы Пуанкаре устойчивыми по Пуассону. [c.89]

ПУАНКАРЕ ТЕОРЕМА о возвращении — одна из осн. теорем, характеризующих поведение динамической системы С инвариантной мерой. Примером такой системы является гамильтонова система, эволюция к-рой описывается решениями Гамильтона уравнений — дЩдр , Р = — дЯ дд [< / и — канович. координаты и импульсы г =1,. .., п Н = Н[р, ) — Гамильтона функция, точкой обозначено дифференцирование по времени ]. Инвариантной (сохраняющейся [c.174]

Другой пункт, в отношении которого требуется осторожность, заключается в том, что часть ансамбля, в которой применяется теорема о возвращении систем, должна быт1, полностью определена в кото- [c.144]

Эргодическая теория восходит своими корнями к знаменитой эргодиче-скои гипотезе Больцмана, которая для систем, встречающихся в статистической механике, постулирует равенство некоторых временных и пространственных средних. В математике понятия эргодической теории появились в результате анализа равномерных распределений последовательностей. В качестве одного из первых примеров можно назвать теорему Кроне-кера — Вейля о равномерном распределении (предложение 4.2.1). А. Пуанкаре заметил, что сохранение конечной инвариантной меры приводит к весьма сильным выводам относительно наличия возвращения, и сформулировал эти выводы в своей теореме о возвращении (теорема 4.1.19 [c.20]

Этим неравенством в плоскости (у, у2) определяется круговое кольцо, площадь которого не превосходит значения 2тг(с2 — i), не зависящего от XI, Х2- Так как площадь i конечна, то мера V (ui) также конечна. В силу теоремы о возвращении получим, что для почти всех начальных значений из i точка Рз по прошествии произвольно больших интервалов времени опять будет занимать примерно первоначальное положение и иметь приблизительно первоначальную скорость. То же самое можно сказать о 2- Легко также видеть, что соответствующее утверждение справедливо также и для проблемы Хилла. [c.362]

Идеи, использованные для доказательства теоремы о возвращении, были усовершенствованы Биркгофом [3] и другими авторами для эргодической теории. Но возможность применения этой теории к заданной системе дифференциальных уравнений ограничена трудностями, которые еще более значительны, чем в проблеме устойчивости. В этой связи замечательны результаты, полученные Данжуа [4-6]. [c.362]

В заключение приведем еще одно, восходящее к Шварцшиль-ду [7-9], замечание о задаче п тел, которое проистекает из круга идей теоремы о возвращении. В основу опять кладется система (1), для которой выполнено условие (2). Иусть 21 — открытое множество в области определения мера которого F(2l) конечна. Для каждого т > О обозначим через W множество всех точек р из 21, для которых соответствующая траектория во всем интервале времени О i т остается в 21, т. е. р = 5(р G 21 (О i т). Тогда для О < ti < Т2, очевидно, 21" 2 2 тl Пересечение 21" (т > 0) обозначим через Поскольку 21" — открытое подмножество множества 21, то множество [c.362]

Пример 9.5.3. Преобразование, описываемое системой канонических уравнений Гамильтона, сохраняет объем. Если система автономна дН1д1 = 0), то это преобразование обладает групповыми свойствами. Пусть, кроме того, система склерономна (справедлив интеграл энергии), и потенциал П растет на бесконечности. Тогда теорема Пуанкаре о возвращении применима для области О, выделяемой неравенством [c.671]

В содержание книги включен не только традпционньп материал курсов аналитической механики. Значительное место удел-ено применению к задачам механики методов качественной теории дифференциальных уравнений, на современном уровне трактуются вопросы о ра Дсляемости переменных в уравнении Гамильтона — Якоби, дается рассмотрение эргодических теорем, включая теорему Пуанкаре о возвращении нашл свое место несколько отличное от принятого и приспособленное к задачам динамики изложение теории устойчивости движения, включающее теоремы Ляпунова. В заключительных главах, посвященных ограниченной задаче трех тел и задаче трех тел, автору в небольшом объеме удалось дать хорошее представление о постановках и трудностях этой классической в истории точных наук проблемы. [c.2]

В содержание книги включен не только традиционный материал курсов аналитической механики. Значительное место уделено применению к задачам механики методов качественной теории дифференциальных уравнений, на современном уровне трактуются вопросы о разделимости переменных в уравнении Гамильтона — Якоби, дается рассмотрение эргодических теорем, включая теорему Пуанкаре о возвращении нашло свое место несколько отличное от принятого и приспособленное к задачам динамики изложение теории устойчивости движения, включающее теоремы Ляпунова. В заключительных главах, посвященных ограниченной задаче трех тел и задаче трех тел, автору в небольшом объеме удалось дать хорошее представление о постановках и трудностях этой классической в истории точных наук проблемы. Книга заканчивается теорией периодических орбит. Использование здесь (и в некоторых других местах) простейших понятий и рассужденир теории множеств не может затруднить внимательного читателя. [c.10]

Имеет смысл рассматривать отображения Пуанкаре и глобально, выделяя на фазовой плоскости области, для которых отображение Пуанкаре определено. Они называются областями возможных движений (ОВД). Обычно они определяются из существования решения для уравнения энергии Ж р, q) = Е, р, q) е q = до = onst (в нашем случае р, q) = = L,G,l,g),до = до)- Если уровень энергии является компактным, то справедлива теорема Пуанкаре о возвращении и точка снова пересечет выбранную плоскость, причем бесконечно много раз. Очевидно, что на границе ОВД траектория касается секущей плоскости, т. е. происходит потеря трансверсальности пересечения. Глобальные отображения Пуанкаре еще плохо изучены. [c.56]

Доказательство следствия. Рассмотрим отображение / вида f(x, у) = х- -а, y- -tp(x)), где tp — функция, построенная в предложении 12.6.3. По предложению 4.2.5 для отображения / имеется несчетное множество различных эргодических инвариантных мер в частности, у этого отображения есть неэргодические инвариантные меры. Если бы / не было минимальным, по предложению 4.2.6 мы имели бы tp(x) = lj(x- -a)— lj(x)- -r для некоторой непрерывной функции ф 5 -+R и reQ. Но тогда для F = rjj —Ф имело бы место равенство F(x- -a)-F(x) — r, причем г О, поскольку иначе F = onst из эргодичности R , что невозможно, так как функция Ф разрывна. Таким образом, мы можем предполагать, что г > О (сл ай г <0 рассматривается аналогично). Тогда i (x+ а) = F(x) - -г > F x) для всех xeS. Но существует множество А =F (—tx, с) положительной меры, что противоречит теореме Пуанкаре о возвращении 4.1.19. [c.422]

Предположим, что имеются две инвариантные окружности с числом вращения а. Их пересечение инвариантно, так что если по крайней мере одна из них транзитивна, то они не пересекаются, что невозможно в силу только что доказанной леммы. В противном случае их пересечение содержит общее множество Обри — Мазера А и эти две окружности задают графики двух различных функций и (р2, которые совпадают на проекции А. Графики функций тах(1р,, 1Р2) и т п(1р,, 1 2) инвариантны, и, следовательно, область между этими графиками тоже инвариантна. Но последняя область должна иметь бесконечно большое количество компонент связности, так как она проектируется в невозвращающиеся интервалы дополнения к проекции множества Обри — Мазера. Таким образом, мы получаем открытый диск с попарно непересекающимися образами, что невозможно в силу сохранения площади (ср. с теоремой Пуанкаре о возвращении 4.1.19). Мы используем здесь иррациональность числа вращения, иначе могло бы существовать конечное число компонент, переставляемых /. [c.431]

Вообще говоря, асимптотическое поведение потоков на поверхностях характеризуется медленным ростом числа орбит, но они обладают менее равномерными типами возвращения и статистического поведения, чем обратимые одномерные отображения, изучаемые в гл. 11 и 12. Первое обстоятельство тесно связано с тем фактом, что и орбиты, и одномерные трансверсали к потоку локально делят поверхность второе же обязано своим появлением прежде всего более сложной, чем у окружности (и тора), топологии поверхностей рода выще единицы и, в меньщей степени, эффектам замены времени. Характерными проявлениями этого типа сложности, промежуточного между простым поведением нашей первой группы примеров ( 1.3-1.6) и диффеоморфизмами окружности с одной стороны и примерами с положительной топологической энтропией ( 1.7-1.9, 5.4, 9.6) с другой, являются теоремы о конечности числа нетривиальных замыканий орбит (теорема 14.6.3) и неатомарных эргодических инвариантных мер (теорема 14.7.6) для потоков на поверхностях рода больще единицы. Эти результаты параллельны единственности минимального множества (предложение 11.2.5) и строгой эргодичности (теорема 11.2.9) гомеоморфизмов окружности. [c.454]

Доказательство. По теореме Пуанкаре о возвращении 4.1.19 множество точек, которые возвращаются на Д, имеет полную меру Лебега и, следовательно, плотно. Предположим, что точка х е Д такова, что у /д(х) = J (x) е 1п1(Д) и / (х), 0 1 < к, — точки непрерывности I. Тогда J является локальной изометрией в окрестности х и, следовательно, отображает окрестность х на окрестность у в Д. С другой стороны, min с11з1(/ (х), Д) = е > О, так что = в окрестности х. Таким обра-iit[c.475]

IV. Пусть / . X X —сохран5пощее меру преобразование пространства Лебега X, д). По теореме Пуанкаре о возвращении 4.. 19 для любого измеримого подмножества УаХ, 11 )>0, существует преобразование /у.У- то(10, определенное следующим образом пусть для хеУ [c.661]

Теперь выберем множество В сВ х , a/4)nAj, диаметр которого меньше чем , имеющее положительную меру. По теореме Пуанкаре о возвращении 4.1.19 для почти всех хеВ существует такое положительное целое число п(х), что е и, следовательно, d(x, >(х)) < . Применяя лемму о замыкании, мы получаем, что существует такая гиперболическая периодическая точка z периода п(х), что d x, z) < 3a/(12Ai))Aj = а/4, и ясно, что z) < d x , а) + d x, z) < а/2. [c.686]

Теорема Пуанкаре о возвращении. Пусть ц(Л1)<оо. Тогда для лю( го измеримого множества положительной меры существует равное ему по мере множество W zV такое, что для всех p W пересечение Гр состоит из бесконечного множества точек. [c.89]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...