Отображение взаимно однозначное и непрерывное

Эти функции осуществляют отображение взаимно однозначно и непрерывно начального положения на конечное V. В дальнейшем предполагаем, что непрерывная дифференцируемость функций нужное количество раз всегда есть. [c.212]

Известно, что предметом топологии является исследование свойств фигур и их взаимного расположения, сохраняющихся гомеоморфизмами, т.е. взаимно однозначными и непрерывными в обе стороны отображениями. Используя прием идеализации окружающего нас материального мира, мы можем рассматривать топологию выделенных в нем некоторых объектов исследования, наделенных конечной совокупностью свойств. [c.13]

Вышеуказанные результаты показывают, что соотношение (1) при выполнении допущения (а) дает взаимно однозначное и непрерывное отображение, при котором область, расположенная внутри контура С, точечно отображается на область, расположенную внутри контура Г, и обратно— внутренняя область контура Г точечно отображается на внутреннюю область контура С таким образом, что точке внутри контура С соответствует одна и только одна точка Со внутри контура Г и, наоборот, точке Со внутри контура Г соответствует одна и только одна точка внутри контура С. Добавление условия (б) обеспечивает то, что взаимно однозначный и непрерывный характер отображения распространяется на границы областей, контуры С и Г. [c.143]

Конформное отображение. Пусть взаимно однозначное и непрерывное отображение некоторой области плоскости г на область плоскости I определяется формулой [c.144]

Ясно, что условия 5.62 (а) и (б) для отображающей функции выполняются, так как начало координат, в котором производная от функции г обращается в нуль, исключена из рассматриваемой области. Таким образом, отображение является взаимно однозначным и непрерывным. Внутренняя [c.146]

Таким образом, мы получаем топологическое отображение канонических окрестностей Н и Н, обладающее указанными в лемме свойствами (взаимная однозначность и непрерывность этого отображения на границе смежных областей / г и /г и соответственно Л н обеспечивается условием 2). Теорема доказана. [c.355]

Тем самым устанавливается топологическое отображение замкнутых областей Yi и Yi> при котором траектории системы D отображаются в траектории системы D. Взаимная однозначность и непрерывность этого отображения в точках континуумов и К вытекает, очевидно, из леммы 1. [c.429]

Топологическое отображение. Пусть Т — взаимно однозначное и непрерывное отображение множества на К ,. Если обратное отображение Т также непрерывно, то Т называется взаимно однозначным и взаимно непрерывным отображением [c.522]

Этот результат допускает обращение, а именно, если преобразования, относящиеся к двум динамическим проблемам, эквивалентны, то и эти проблемы эквивалентны друг другу. Чтобы доказать это, надо лишь определить взаимно однозначное и непрерывное отображение двух многообразий состояний. [c.315]

В этом случае закон движения (1.2) и (1.3) можно рассматривать как взаимно однозначное и непрерывное отображение областей и /)(,. [c.25]

Мы можем теперь перейти к уточнению понятия качественной картины фазовых траекторий или топологической структуры разбиения на траектории. Две топологические структуры разбиения фазовой плоскости на траектории, заданные двумя системами вида (6.1), называют тождественными, если существует топологическое (т. е. взаимно-однозначное и непрерывное) отображение плоскости в себя, при котором траектории одной системы отображаются в траектории другой этом траектория отображается в траекторию как при прямом, так и при обратном отображении). Это определение тождественности двух структур является косвенным определением самого понятия топологической структуры разбиения на траектории. Можно сказать, что под топологической структурой разбиения на траектории (или, что то же самое, под качественной картиной фазовых траекторий) понимают все те свойства этого разбиения, которые остаются инвариантными при всевозможных топологических отображениях плоскости в себя. Примеры таких свойств были приведены выше. [c.412]

Напомним, что диффеоморфизмом называется взаимно однозначное и непрерывно дифференцируемое отображение f М - N дифференцируемого многообразия М в дифференцируемое многообразие N. обратное отображение которого также является непрерывно дифференцируемым. Если /(М) = N, то говорят, что М н N диффеоморфны. [c.48]

Допустим теперь, что полутраектория р = / р, /+) гомеоморфна полупрямой < 1 < + оо, то есть существует взаимно однозначное и непрерывное отображение [c.48]

Легко видеть, что о является взаимно однозначным и непрерывным отображением в / . Поскольку Я компактно, о является гомеоморфизмом на подмножество о (Я) про странства / . [c.84]

Взаимно-однозначное и взаимно-непрерывное отображение области называется гомеоморфным. [c.69]

Топологическая эквивалентность означает существование взаимно однозначного и взаимно непрерывного отображения [c.84]

Так как функция Ф монотонна, то она имеет непрерывную и монотонную обратную функцию Ф Пусть А — точка тора, а 9 и 6 — ее приведенные координаты. Проведем через эту точку интегральную кривую 0 = Р((р, Од), поставим точке А в соответствие точку В с координатами (О = хср - -Ф(6о), 9 = (р). Это отображение и будет требуемым. Нетрудно видеть, что это отображение взаимно однозначно при 0<[(р <2и и взаимно непрерывно. Покажем, что оно взаимно однозначно и при <2те, т. е. покажем, что [c.172]

Как уже говорилось, удобство римановой поверхности состоит в том, что отображение на нее может рассматриваться как однозначное. Поскольку рассматриваемое течение реально существует в физической плоскости, которая однолистна, отображение взаимно однозначно. Кроме того, по определению решения уравнений газодинамики, поле скорости V(x, у) и поле давления р х, у) непрерывно, т. е. отображения (х,у) х у) р /З) непрерывны. (Если область определения [c.29]

Функции ф (я, t), тр (я, /) являются, следовательно, однозначными и непрерывными во всех точках прямоугольника (2), и, кроме того, всяким двум различным парам значений (я, () соответствуют различные пары значений (ф ( , ), ф ( , <)) (последнее условие обеспечивает взаимную однозначность отображения Т). [c.531]

Математическое определение качественной (топологической) структуры разбиения на траектории и качественного исследования динамической системы. Для того чтобы привести соответствующие математические определения, напомним прежде всего использующееся при этом понятие топологического отображения плоскости в себя (или в другую плоскость) или области в себя (или в другую оол стъ).. Топологическим отображением (или гомеоморфизмом) плоскости (области) в себя называется взаимно однозначное и двусторонне непрерывное отображение плоскости (или области) 2°). [c.37]

Перейдем теперь к рассмотрению значительно более сложного однозначного, но не взаимно однозначного точечного отображения Т прямой в прямую. Все сказанное ранее о неподвижных точках отображения остается в силе. Новое состоит в возможности возникновения очень сложных структур. Причину их появления можно понять, рассматривая обратное отображение Т . Именно допустим, что обратное многозначное отображение Т расщепляется на ряд непрерывных однозначных отображений 7 7 , записываемых в виде х = g,- (л) i = I, 2,...), и пусть однозначные отображения с / = 1, 2, р преобразуют [c.287]

С этим преобразованием координат можно связать определенную геометрическую картину. Пусть q так же, как и <7 ,— прямоугольные координаты в п-мерном пространстве. Будем рассматривать точки в <7-пространстве и точки в -пространстве. Некоторой точке Р в (/-пространстве соответствует определенная точка Р в (/-пространстве. Поэтому преобразование вида (1.4.3) называется точечным преобразованием . В некоторой области точки -пространст-ва находятся во взаимно однозначном соответствии с точками (/-пространства. Мы имеем, таким образом, отображение и-мерного пространства самого на себя. Это отображение не только удовлетворяет обычным требованиям взаимно однозначного соответствия. Сохраняется непрерывность. Окрестность точки Р отображается в окрестность точки Р и наоборот. Можно утверждать даже большее. Прямая линия в (/-пространстве не остается прямой в (/-пространстве. Однако по мере уменьшения размеров области соотношения [c.37]

Определение. Взаимно однозначное отображение областей С/с/ " и Ус/ ", i.U V называется диффеоморфизмом, если прямое и обратное отображения непрерывно дифференцируемы. [c.311]

Деформации можно также рассматривать как отображение тела В (недеформированного) на тело В (деформированное) (рис. 1.16). Для описания недеформированного, а также деформированного тел применяются в общем случае различные криволинейные системы координат и Однако обе они описывают евклидово (т. е. не искривленное) пространство. Отображение должно быть непрерывным и взаимно однозначным, т. е. справедливы соотношения [c.33]

Пусть / [О, 1] — [0,1] — кусочно монотонное отображение, взаимно однозначное и непрерывное вне окрестностей конечного числа точек. Удобно представлять такое преобразование в виде / = I о Ь, где Ь — гомеоморфизм, а / — перекладывание отрезков. Пусть /х — неатомарная /-инвариантная борелевская вероятностная мера. Тогда отображение д [0,1]—> [О, 1], д(х) =/х([0, х]), монотонно и определяет полусопряжение / с перекладыванием отрезков, поскольку факторотображение сохраняет меру Лебега и обладает лишь конечным числом точек разрыва. Имеется очевидный, но важный случай, когда полусопряжение становится сопряжением. [c.481]

Топологическая размерность D - всегда равна целому числу. Топологическая размерность относится к топологическому свойству фигур, т.е. к свойству, не изменяющемуся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний (при взаимно однозначных и непрерывных отображениях). Так, окружность, эллипс, контур квадрата имеют одинаковую топологическую размерность Дт=1 и одни и те же топологические свойства, т.е. эти линии могут быть деформированы одна в друтую описанным образом. Поверхность (в частности, плоскость или часть ее) - ее топологическая размерность Б евклидовом пространстве йт 2 (двумерный образ) пространство, а [c.154]

Заметим, что при произвольном фиксированном Ор отображенпе (3) является взаимно однозначным на полуоткрытом прямоугольнике W, определенном соотношениями 0< e — е, 0р < <0 <00 + 2я (рис. 87, а, б). Каждый из этих прямоугольников отображается иа круг С (с центром в О радиуса Q ), у которого удален центр. Каждой точке такого проколотого круга соответствует в точности одЕш точка прямоугольника W (или W). Таким образом, на проколотом круге С определено обратное отображение, нореводящее этот круг в И (или W). Это отображение пе является непрерывным. Нетрудно вхЕдеть, однако, что в любой области Е плоскости (q, 6), имеющей достаточно малый диаметр и не содержащей точек оси е — О, отображение (3) является регулярным (так как в любой такой области оно является взаимно однозначным и непрерывным и, кроме того, соответствующи [c.167]

Теорема I. Взаимно однозначное и непрерывное в одну сторону) отображение ограниченного замкнутого множегтеа пространства на множество К2 непременно является взаимно непрерывным и, следовательно, топологическим. [c.522]

Отображение ф топологического пространства в топологическое пространство Ш.гомеоморфна, если оно биективно (взаимно однозначно) и непрерывно и если непрерывно обратное к нему отображение ф [c.33]

В рассматриваемой задаче предельный цикл — замкнутая фазовая траектория в четырехмерном фазовом пространстве Xi, х , Уи уз — проектируется на отрезок 12 биссектрисы лгз = — Xi плоскости xi,x , в силу чего этот отрезок пробегается изображающей точкой Xi, то в одном, то в другом направлении. Однако можно сделать так, чтобы разрывные периодические колебания отображались движением изображающей точки по обычному предельному циклу на некоторой фазовой поверхности, если только соответствующим образом выбрать вид этой поверхности (вместо фазовой плоскости). Мы видели, что, попадая на замкнутую кривую I (рис. 580), изображающая точка перескакивает на кривую Г, после чего траектории медленных движений заключены в области между этими двумя кривыми. Считая точку а тождественной А, точку Ь тождественной Z и т. д., т. е. спрессовывая в точки отрезки траекторий скачков, мы сможем отобразить эту область (взаимно однозначно и непрерывно) на поверхность шара. Разрывные автоколебания при этом отобразятся предельным циклом (например, экватором). Кроме того, на сфере мы получим две особые точки (два неустойчивых узла), расположенные по разные стороны цикла (например, на полюсах) и соответствующие точкам касания кривых Г и Г. После такого отображения сразу видно, что в мультивибраторе не может быть квазипериодических колебаний (такие колебания могли бы существовать только тогда, когда фазовая поверхность — тор). Не может быть также и периодических движений изображающей точки по замкнутой траектории, дважды охватывающей шар. А priori эти результаты не очевидны. [c.853]

Формулами (3.2.19), как уже отмечалось, осуществляется взаимно однозначное и непрерывное отображение неизвестной области D + L плоскости х, у) на единичный круг + С плоскости л) (рис. 3.2). При этом отображении между L A С устанавливается взаимно однозначное и непрерывное соответствие. Обозначим через S длину дуги L, а через S — длину всей кривой L. При этом начало отсчета длины дуги выберем в точке В L, соответствующей при отображении (3.2.19) точке кривой С с координатами р = 1, 6 = 0. Соответствие между L ж С порождает гомеомор-фное отображение Ю, 5] на [О, 2л] [c.77]

Взаимно однозначное и непрерывное отображение компакта есть гомеомор физм. [c.17]

Один из важнейших вопросов, которые возникают при исследовании точечного отображения, — это вопрос о его неподвижных точках, их существовании, числе и устойчивости. Один из наиболее общих критериев существования неподвижной точки основывается на широко известной теореме Брауэра. Эта теорема утверждает, что любое непрерывное отображение Т, преобразующее многомерный шар или любую гомеоморфную шару область G в себя, имеет в G по крайней мере одну неподвижную точку х. Под гомеоморфностью области G шару имеется в виду, что она является некоторым взаимно однозначным и взаимно непрерывным отображением шара [c.297]

Сделаем прежде всего несколько замечаний по поводу перехода от декартовых координат к полярным. Мы будем считать, что радиус-вектор Q может принимать кроме нулевого и положительных также и отрицательные значения. Кроме того, мы будем рассматривать q и 6 ие только как полярные координаты точки М х, у) на плоскости (ж, у), а так же как декартовы координаты на плоскости (q, 6). В этом случае формулы (3) определяют однозначное непрерывное отображеиио плоскости (q,. 0) на плоскость (ж, у). Это отображение, очевидно, не является взаимно однозначным и обладает следующими свойствами [c.167]

Эти функции однозначны и непрерывны и задают отображение области g на g Покажем, что отображение, заданное зтими функциями, взаимно однозначно. Для доказательства предположим противное, т. е. что двум различным точкам (х , и х2, 2) соответствует одна и та же точка Но в силу свойств функции у (х) [c.547]

Однако сначала нужно уточнить смысл некоторых понятий, которыми мы постоянно пользовались, в частности понятий качественной картины фазовых траекторий и качественного исследования данной динамической системы. Для этого нам прежде всего придется напомнить понятие топологического отображения (или преобразования). Как известно, топологическим отображением называется взаимно-однозначное и взаимно-непрерывное отображение плоскости в себя (или одной плоскости в другую), т. е. отображение, при котором каждой точке М (х, у) соответствует одна и только одна точка М х, у) той же самой (или другой) плоскости всяким двум различным точкам Мг (Х1, уг) и Мз (Ха, у ) соответствуют две различные точки М[ (х[, у[) и (х , у ц) и, кроме того, всяким двум сколь угодно близким точкам Мх и соответствуют сколь угодно близкие точки М[ и М[. Отображение, обратное топологическому, очевидно, также является топологическим, т. е. взаимнооднозначным и непрерывным. Всякое топологическое отображение плоскости в себя (или плоскости в другую плоскость) может быть задано однозначными и непрерывными функциями [c.411]

Описанное локальное поведение характеризует аналитические отображения. Можно доказать, что если некоторое непрерывное отображение f локально взаимно однозначно в плоской области D всюду, кроме изолированных точек, в которых оно имеет характер целой степени, то существует непрерывное и взаимно однозначное преобразование D, которое преобразует f в аналитическую функцию. Отметим еще, что гиперболически аналитические отображения обладают в известном смысле противоположными свойствами. В самом деле, как видно из формул (15) предыдущего раздела, их якобиан g (л - - у) (х — у) может менять знак [c.73]

Эту задачу мы обсудим в следующей главе, а здесь лишь укажем ее связь с задачей Дирихле. Прежде всего, если для некоторой области О мы умеем решать задачу Римана и, следовательно, знаем ее конформное отображение / на единичный круг А = ге- < 1 , то мы можем решать для этой области и задачу Дирихле. В самом деле, если граница области О является простой непрерывной кривой (что мы и предположим), то, как доказывается в теории конформных отображений, / продолжается до нет рерывного и взаимно однозначного отображения О на А. Поэтому на единичной окружности (о =1 мы можем рассматривать обратную к / функцию и с ее помощью перенести на эту окружность заданные граничные значения /(со) = и[/- (со)]. Теперь по этим значениям мы можем при помощи интеграла Пуассона построить гармоническую в круге [ш < 1 функцию [c.84]

Устранить противоречие между этими двумя видами перспективных искажений, сохранив на изображении как прямолинейность линий, так и изометричность (отображение величин площадей пропорционально их угловым размерам), без нарушения непрерывности и взаимной однозначности невозможно. [c.285]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...