Куранта число

Нетрудно заметить, что при решении уравнений гиперболического типа методом сеток основное значение приобретает параметр а. Действительно, зная решение в узлах двух рядов на участке ограниченной протяженности, можно определить решение в третьем ряде в меньшем (на единицу с каждой стороны) числе узлов — таким образом удается заполнить узлы в треугольной области. С другой стороны, известно, что для волнового уравнения область влияния есть треугольник со сторонами, наклоненными к осям под углами л/4 (что соответствует а=1). Поэтому условие а 1 (называемое условием Куранта) есть необходимое условие сходимости последовательности (lim h, 1- 0) приближенных решений к точному. [c.181]

Дальнейшая задача заключается в выборе из многообразия этих соотношений шести линейно независимых по числу неизвестных функций. Выбор такой системы характеристических соотношений в случае числа переменных, большего двух, может быть сделан не единственным образом. Естественно выбирать их таким образом, чтобы получаемые при осуществлении разностной дискретизация уравнения были наиболее простыми, позволяли использовать регулярную сетку и удовлетворяли необходимому условию устойчивости Куранта. [c.651]

Это неравенство называется условием Куранта величина в левой части называется числом Куранта. Условию Куранта можно дать следующую геометрическую интерпретацию для устойчивости характеристической схемы необходимо, чтобы все характеристики, проведенные из точки верхнего слоя, где определяются искомые величины (точка 4 на рис. 3.7), пересекли нижний слой между крайними узлами (точки / и 5). [c.96]

С — число Куранта. Как показано в п. 3 3.2, для устойчивости необходимо выполнение условия /С<1. [c.107]

В силу большой пространственно-временной неоднородности решения расчетная сетка в процессе расчета перестраивается. Временной шаг выбирается из условия устойчивости при числе Куранта, равном 0,8. При расчете ранней стадии взрыва используется 20 пространственных узлов. При переходе к поздней стадии число узлов увеличивается до 40, а при больших временах — до 60. Кроме того, на ранней и промежуточных стадиях применяется неравномерная по радиальной переменной г сетка. Это достигалось выбором значения параметра Ь в формуле преобразования координат. [c.111]

Так как условие (11) при конечном числе членов содержит, в сущности, дополнительные связи, то все расчетные частоты получаются несколько выше истинных Вариационно-разностный метод Куранта. Диск разбивают на п сечений, причем на участке от ri до / + прогиб диска представляется полиномом второй степени. [c.269]

С формулой Рэлея связаны вариационные принципы для собственных частот и форм колебаний, такие, как вариационный принцип Рэлея, расширенный вариационный принцип Рэлея, минимальный вариационный принцип Куранта [20], позволяющие построить алгоритм приближенного вычисления собственных частот и форм колебаний при больших значениях п - числа степеней свободы. [c.324]

Сходные результаты по модификации схемы С. К. Годунова с целью уменьшения ее схемной вязкости, но основанные на других соображениях, приведены в [3]. Способы уменьшения схемной вязкости рассмотрены в работах [3, 59, 119, 172], где анализируются вопросы повышения аппроксимации по пространственным координатам до второго порядка, применения специальных гибридных схем с введением дополнительных диффузионных потоков в ячейках, а также использования дополнительного разрыва в ячейках. В [3] отмечается, что при числе Куранта, меньшем единицы, область зависимости решения при построении формул распада — разрыва значительно меньше шага h и при вычислении больших величин предлагается линейно интерполировать значения функций на меньшем внутреннем интервале Л по значениям на краях интервала h. Тем самым в схеме вводится параметр Л//г, с помош ью которого можно локально управлять аппроксимационной вязкостью аналогично введенному выше параметру q. Рассмотренная модификация схемы распада — разрыва и управление схемной вязкостью могут быть полезны при получении решений волновых задач для длительных времен. Классическая схема С. К. Годунова приводит к быстрому расширению области размазывания крутых фронтов решения. Число ячеек области размазывания возрастает пропорционально Yn, где п — число шагов по времени [192]. Схемы и дискретные модели, об- [c.119]

Здесь Т1, Г2 и Гз - максимально допустимый шаг интегрирования по соответствующим схемам, причем для СЗ и СЗА соответствующие величины совпадают. Выбор производится согласно [1, 2]. Так как (3.3) получено на основе упрощенного анализа, не учитывающего больших градиентов в зонах размазанных разрывов, то при расчетах вводится коэффициент запаса е < 1 такой, что = етс, где Тс отвечает числу Куранта, равному единице. Последнее определяется по максимальной по модулю характеристической скорости. [c.193]

При е = 0.5 кривые, рассчитанные по С1 и СЗ, отвечают 10 временным шагам, а штриховая кривая, рассчитанная по С2 - 2 10 шагам. Хотя на импульс приходилось достаточно много (пятьдесят) точек, при выбранных г и /г удовлетворительные результаты дает только СЗ. Точность С1 растет с увеличением е и при е = 1 для одного уравнения С1 становится схемой второго порядка [1, 2]. Напротив, С2 для нестационарных решений становится схемой второго порядка лишь при г —О, когда все точки j в СЗ сливаются с п =Ь 1/2 для правой и левой границ соответственно. Случай г = О не представляет интереса, а расчет с равными единице числами Куранта, определенными по всем j, в общем случае невозможен либо из-за изменения j по ж, либо (даже для линейных систем) из-за несовпадения всех характеристических скоростей. [c.194]

Если в рассмотренном примере изменить начальное направление скорости, то от сечения ж = О пойдут ударные волны. Для N = БО распределение р в правой волне дано на рис. 3. Видно, что для волны умеренной интенсивности (в данном примере перепад р на скачке близок к 1.9) зоны размазывания С2 и СЗ содержат одинаковое количество точек, которое несколько меньше, чем у С1. Для волн малой интенсивности наилучшей (по размазыванию скачка) оказывается С2. Несколько большее размазывание дает СЗ и существенно большее -С1. Сказанное демонстрируют профили р в слабом скачке, представленном для А/" = 90 на рис. 4, который отвечает распаду произвольного разрыва с начальными данными = О, ро = 1, = 1.1. На возникающем при этом скачке перепад р близок к 1.05. Аналогичное положение имеет место и для контактных разрывов, которые СЗ размазывает много меньше, чем С1, и практически так же, как С2. Последнее подтверждают профили плотности для = 100 на рис. 5. При = О в этом случае имелся скачок плотности (р /р+ = 2) и температуры при постоянных давлении и скорости. Близость результатов расчета контактного разрыва по С2 и СЗ при заметно большем отличии аналогичных данных для слабых скачков объясняется следующим. Для одномерных течений т определяется характеристическими скоростями с 2- Поэтому в типичных ситуациях для числа Куранта, связанного с со, коэффициент запаса е оказывается заметно меньше единицы, что, как объяснялось ранее, сближает С2 и СЗ. [c.195]

Мы опускаем доказательство этой теоремы (его можно найти, например, в 1]). Можно привести ряд известных схем первого порядка точности, которые при определенных ограничениях на число Куранта являются монотонными. Сложнее дело обстоит в случае разностных схем второго и более высоких порядков аппроксимации. С.К. Годуновым была доказана следующая [c.69]

Основополагающей работой для численного расчета гиперболических уравнений явилась статья Куранта, Фридрихса и Леви, опубликованная в 1928 г. Здесь обсуждались характеристические свойства уравнений и в общих чертах излагался известный метод характеристик. В этой работе было также получено и объяснено знаменитое необходимое условие устойчивости Куранта — Фридрихса — Леви, гласящее, что при расчетной сетке, не совпадающей с характеристической, область зависимости разностных уравнений должна по крайней мере включать в себя область зависимости дифференциальных уравнений. Это условие устойчивости КФЛ (которое в современной терминологии просто гласит, что число Куранта должно быть меньше единицы) справедливо для уравнений гидродинамики как в лагранжевых, так и в эйлеровых переменных. [c.22]

И Т. Д. Соответствующие двумерные аналоги числа Куранта С определяются как Сл = иМ/Ах и Су = иА1/Ау, а соответствующие аналоги величины (1 как с1х = аА1/Ах я йу = аА1/Ау . Подставляя эти величины в выражение (3.130), сокращая на общий множитель ехр[/([ 0х +/0 /)1 и используя формулы Эйлера, снова получаем = GV , где [c.84]

Основываясь на рис. 3.10, можно сделать и другое очень интересное заключение. Обычно не обращают внимания на то, что при решении конечно-разностных уравнений для задач, аналогичных представленной на рис. 3.10, существует два характеристических параметра. Первый параметр представляет собой число Куранта, которое является единственным параметром при решении конечно-разностного уравнения во внутренних точках. Вторым параметром является сеточная частота N = = 2я/А , т. е. число временных слоев за период изменения функции на входной границе потока. [c.92]

Переписывая уравнения (3.176) и вводя число Куранта С = = uAt/Ax с положительной постоянной скоростью и, получаем [c.102]

ЭТОГО условие (см. рис. 3.12,6) имеет вид иА1 — Ах, или С=1 значит, при числе Куранта, равном единице, получается точное решение = (как и в разд. 3.1.6). [c.119]

Число Куранта С = иА1/Ах теперь можно рассматривать как параметр интерполяции. Ограничение С 1, накладываемое условием устойчивости, как можно показать применительно к разностным уравнениям (3.224) и (3.223), теперь можно интерпретировать как требование, что должно определяться интерполяцией, а не экстраполяцией. [c.119]

Для точного решения при числе Куранта, равном единице, имеем = Ал / . Тогда перенос сеточных значений от точки к точке в случае точного решения происходит таким образом [c.158]

Заметим теперь, что уравнение (3.358) будет эквивалентно уравнению (3.18) нестационарному конечно-разностному уравнению с разностями вперед по времени и с центральными разностями по пространственной переменной), если определить шаг по времени в уравнении (3.18) как А/" = 1, итерационную скорость конвекции как и" = и (2а) и итерационный коэффициент диффузии как а" — Ах /2. Из анализа уравнения (3.18) известно, что для сходимости требуется, чтобы итерационное число Куранта С" не превышало единицы, т. е. чтобы [c.162]

Куранта — Изаксона — Риса метод 23, 102, 353 Куранта — Фридрихса — Леви условие см. КФЛ условие Куранта число для жидкости несжимаемой 22, 66—68, 71, 72, 77, 84, 102, 104, 119, 121-124, 126, [c.604]

Схема (3.70) является абсолютно устойчивой (см, п. 3 3.2) Однако при больших значениях числа Куранта обычно развиваются сильные осцилляционные эффекты. Это явление легко объяснить, рассматривая соответствующую схему для модельного-уравнения (3.1). Для высоких частот —1, т, е. высокочастотные возмущения затухают медленно и с альтернирующим знаком В случае нелинейной системы в результате взаимодействия гармоник возможен рост высокочастотных возмущений. [c.100]

В процессе решения задачи находят относительную погрешность массы бт, относительное содержание массы в центральном интервале Ьша , относительную погрешность энергии бе, относительное содержание кинетической и потенциальной энергии ieog, в центральном интервале. При вычислении интегралов используют квадратурную формулу Симпсона. Величины косвенно характеризуют возможную погрешность методики, связанную с приближенным представлением решения в Со. Оценка точности результатов проводится также с помощью вариаций шагов пространственной сетки и расчетов с разными числами Куранта и разными значениями параметров сглаживания. [c.111]

По публикациям А.Ф. Сидорова можно проследить процесс поиска адекватных форм изложения данного метода, который остался незавершенным. Исходным пунктом является обобщение на нелинейные уравнения характеристических разложений Куранта для решений задач примыкания. Непосредственными предшественниками здесь можно считать Р. Куранта, Г.Ф. Даффа, Д. Людвига, В.М. Бабича, А.А. Дородницына. Вдохновляющим импульсом были проблемы в области газовой динамики, поставленные Курантом и Дородницыным (в том числе задача аналитического описания тройной точки ударных волн, ножки Маха ). Развитый метод характеристиче ских рядов для гиперболических нелинейных уравнений позволил в дальнейшем решить ряд задач математической физики, не поддававшихся решению ранее. Затем были открыты логарифмические ряды. Было осознано, что характеристические разложения — частный случай конструкции рекуррентных рядов, которая требует наличия определенных свойств, формулируемых на языке, близком к языку дифференциальной алгебры. Эта конструкция [c.9]

Система уравнений (27.15) есть система шести почти линейных уравнений с частными производными первого порядка гиперболического типа с тремя независихмыми переменными Хь л 2,< с постоянными коэффициентами при производных. Теория этих уравнений изложена, например, в монографии Куранта и Гильберта [24] она является обобщением представленных кратко в п. 9 систем уравнений с большим числом независимых переменных, чем две. Соответствующий метод был применен в пространственных задачах динамики газов в работах [159, 160, 196, 198]. Этот метод был также применен в динамических задачах теории упругости в работах [161, 20, 195, 199, 182, 206—208. В динамических задачах теории пластичности этот метод применялся в работах [29, 173, 169, 116]. В волновых задачах теории вязкопластичности метод был использован в работах [5, 167, 181, 8, 9, 154—157, 217, 158]. [c.239]

Итак, мы выяснили, что условие диагонального преобладания в случае неявных разностных аппроксимаций гиперболических уравнений налагает су-1цественное ограничение на число Куранта к. Это может свести на нет пре-иму1цество неявных схем, связанное с их абсолютной устойчивостью. [c.33]

Публикации, которые в виду их числа не могут быть подробно перечислены здесь, указаны в обзоре Аргириса и Пэттона [1.7. Две заслуживающие упоминания работы выполнены Аргирисом и Келси [1.8], а также Тернером и др. [1.9]. В этих исследованиях были объединены подходы, используемые при расчете фермовых конструкций, с подходами, применяемыми при расчете сплошных сред при этом была использована матричная форма записи. Эти работы оказали решающее влияние на развитие метода конечных элементов в последующие годы. Было бы неточным приписывать появление всех основных аспектов метода конечных элементов именно этим работам, потому что ключевые моменты метода имелись даже раньше 1950 г. в работах Куранта [1.10], Мак-Генри [1.Ц] и Хреникоффа [1.12]. Особенно важна работа Куранта, так как в ней рассмотрены задачи, описываемые уравнениями, относящимися не только к механике конструкций. Однако, отмечая указанную особенность метода конечных элементов, останавливаться на ней подробно не будем, руководствуясь тем, что наше внимание в основном будет сосредоточено на численном расчете конструкций. [c.18]

Вариационная формулировка вместе с присущими ей более слабыми требованиями непрерывности естественно переносится на приближенные методы решения, называемые обычно прямыми методами (Курант и Гильберт, 1951, стр. 154 Нечас, 1967). Применение этих методов сводит задачу к нахождению стационарных точек функции конечного числа вещественных переменных. [c.49]

Размазывание ударной волны при помощи неявной схемной вязкости осуществляется и в некоторых других методах. Так, в настоящее время широко применяется схема Лакса — Вендроффа [1960] и ее двухшаговые варианты, например схема Рихтмайера (см. Рихтмайер [1963]). В методе PI и в его модификации EI (метод взрыва в ячейках), разработанной в 1964 г. Мадером, размазывание скачков достигается за счет введения конечного числа рассчитываемых частиц. Этот прием дает также возможность рассматривать поверхности раздела в жидкости (см. Харлоу и Уэлч [1965, 1966], а также Дали [1967]). В методе PI , как и в более раннем методе Куранта — Изаксона — Риса [1952], используются односторонние разности для первых производных по пространству и таким образом вводится своего рода схемная вязкость (см. гл. 3), однако эти методы сохраняют истинные характеристические свойства дифференциальных уравнений. Хотя во всех этих методах неявно используются диссипативные члены, размазывающие ударные волны, для обеспечения устойчивости каждого из них в некоторых частных случаях требуется введение дополнительных членов с явной искусственной вязкостью. [c.23]

Рис. 3.10. Решения уравнения дЦд1 — — идудх, полученные при помощи схемы чехарда . Здесь С — число Куранта, N — сеточная частота. Диаграммы любезно предоставлены У. Сандбергом из лаборатории Сандиа. а С = 1, N = 8-, б С = 0.5, N = 16.

Показать, что схема расщепления по времени в отличие от схемы без расщепления приводит к точному решению, когда числа Куранта иМ/Ах = 1 и иА11Ау = 1. [c.127]

В одной из последующих работ Фромм [1971] использовал разности против потока и центральные разпости на чередующихся шагах по времени, а не в двухшаговой схеме, уменьшая тем самым время вычислений, но разности против потока брались при числах Куранта Сх < 72. Су < 72- Расчет точек вблизи границ здесь также требует специального рассмотрения (см. Фромм [1971]), [c.160]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...