Граничные условия для временных функций Грина

Граничные условия для временных функций Грина. Метод временных функций Грина с успехом применялся и применяется до сих пор во многих задачах квантовой кинетики. Одним из его главных достоинств является то, что в нем естественным образом удается ввести понятие квазичастиц, для которых закон дисперсии связан с массовым оператором соотношением (6.3.77). Привлекательной чертой этого метода является также возможность применения диаграммной техники, позволяющей выполнять суммирование рядов теории возмущений в наглядной графической форме. И все же метод функций Грина в существующем виде нельзя рассматривать как универсальный метод в квантовой кинетике. Кроме проблемы построения корреляционных функций по функции Вигнера, о которой речь шла выше, метод функций Грина плохо приспособлен для описания многочастичных корреляционных эффектов. Этот недостаток и возможные пути его устранения мы обсудим в данном разделе. [c.58]

Подведем итоги. Мы убедились в том, что с точки зрения общей теории неравновесных процессов стандартный метод временных функций Грина основан на граничном условии полного ослабления корреляций в отдаленном прошлом, которое эквивалентно граничному условию Боголюбова к цепочке уравнений для классических функций распределения или квантовых многочастичных матриц плотности. Как мы знаем, при таком выборе граничного условия корреляционные эффекты проявляют себя как эффекты памяти в кинетических уравнениях. Поэтому марковские кинетические уравнения, получаемые в стандартном методе функций Грина, применимы только к системам, которые достаточно хорошо описываются в рамках модели слабо взаимодействующих квазичастиц. Для систем с сильными корреляциями нужно вводить новые граничные условия, учитывающие динамику корреляций в системе. Обратим внимание на то, что предельные значения (6.3.108) временных функций Грина выражаются через квази-равновесные функции G , в которых усреднение производится со статистическим оператором зависящим от времени через макроскопические наблюдаемые Р У. Таким образом, соотношение (6.3.108) показывает, что в общем случае предельные гриновские функции зависят от макроскопической эволюции системы. Иначе говоря, уравнения движения для временных гриновских функций должны рассматриваться совместно с уравнениями переноса для Р У. В параграфе 4.5 первого тома был рассмотрен пример такого объединения квантовой кинетики с теорией макроскопических процессов в методе неравновесного статистического оператора. Соответствующая техника в методе функций Грина пока не разработана, так что читателю предоставляется возможность внести свой вклад в решение этой проблемы. [c.62]

При анализе эволюционной задачи удобно использовать преобразование Лапласа или Фурье по времени, если, конечно, коэффициенты уравнений не являются функциями времени. В результате получается обыкновенное дифференциальное уравнение с правой частью, дополненное граничными условиями. Решение такого уравнения можно получить методом функции Грина, Однако применение этого метода нуждается в дополнительном исследовании. Дело в том, что вид функции Грина принципиально зависит от того, существует или нет нетривиальное решение однородного уравнения. Если его нет, то неоднородная задача всегда имеет определенное единственное решение. Если же однородная задача имеет нетривиальное решение, то это не так. Во втором случае вводится понятие обобщенной функции Грина [9]. Ее построение не приводит к однозначному решению, и даже в простейшем случае довольно громоздкое. В физических приложениях обычно ограничиваются построением классической (необобщенной) функции Грина. При этом всякий раз приходится решать вопрос о существовании собственного решения однородной задачи. [c.90]

Асимптотика интегралов типа (30.8) определяется особенностями подынтегрального выражения. Если бы однородное уравнение, соответствующее (30.1), имело собственные функции, то одно и то же решение удовлетворяло бы граничным условиям как при х так и при х- В результате при собственных значениях частоты функциональный определитель И 4 обращался бы в нуль, а функция Грина имела бы полюс. Но однородное уравнение, соответствующее (30.1), не имеет собственных функций с 1т со О (теорема Релея). Поскольку, помимо того, полное уравнение четвертого порядка регулярно и, следовательно, его решения (а не их асимптотические представления ) также, регулярны, функций Грина не должна иметь особенностей. Отсюда следует, что все возмущения нри должны затухать, т. е. среду следует считать асимптотически устойчивой. Однако это не означает, что амплитуда начальных возмущений будет монотонно стремиться к нулю. Как мы увидим в следующем параграфе, начальные возмущения могут в течение некоторого-времени нарастать, и, вообще говоря, не исключено, что за это время их амплитуда достигнет значительной величины. [c.95]

Соответствующие функция источника (то есть граничное условие (3.136)) и профиль импульса позади фронта (то есть точки г = ) v r + т,r) (где v(i,r) определена в (3.135)), построенные на основе Абелевого ядра и функция Грина для одномерного обобщенного волнового уравнения) приведены на рис. 3.17 (см цветную вкладку). Хорошо виден эффект запаздывания , который наряду с неизбежным затуханием, отличает распространения импульса в наследственной среде с сингулярным ядром памяти, от обычной упругой среды [75]. Хорошо видно также, что импульс после прохождения некоторого пути в рассматриваемой нами модельной среде несколько изменяет свой временной (а соответственно и пространственный) профиль, но при этом он проявляет относительную устойчивость формы (конечно, с неизбежным затуханием, которое на рисунке не показано благодаря различию в вертикальных масштабах изображения двух сравниваемых профилей [c.177]

В таких случаях функция Грина описывает температуру в сечеиии z = onst в момент времени t в точке (х, у), обусловленную распределением единичных мгновенных линейных источников, расположенных вдоль прямой, параллельной оси 2, проходяш,сй через точку х, у ), в момент времени т. Иными словами, нам нужно получить решение v уравнения теплопроводности, удовлетворяющее заданным граничным условиям и ведущее себя при как [c.354]

В статьях А. Н. Муморцева [1.49, 1.50] (1970) рассматривается поперечный неупругий удар массивного тела по однородной балке Тимошенко при трех типах граничных условий на концах. Для обыкновенного дифференциального уравнения, полученного после применения интегрального преобразования по времени, построены функции Грина из рассмотрения скачков под силой и граничных условий. Пе реход к оригиналам выполнен с применением второй теоре мы разложения Хевисайда. Для конкретных параметров рас считаны на ЭЦВМ прогибы и динамические коэффициенты Учет деформаций сдвига увеличивает прогиб на 20—25% [c.68]

Задача этого и следующего параграфов - переход от дифференциальньгх уравнений для поля деформаций й (дг) (или для любого другого поля) к интегральным уравнениям технически очень проста. Она решается с помощью выбора соответствующей функции Грина. К сожалению, этот выбор неоднозначен, и для решения этой проблемы в научной литературе привлекаются дополнительные и очень глубокие физические принципы (принцип причинности [27], принцип предельного поглощения [28], условия излучения Зоммерфельда [29] в теории дифракции, правила обхода Ландау [30] в теории бесстолкновительной плазмы, условия временного сглаживания волновой функции Геллманна-Гольдбергера в квантовой теории рассеяния [31], граничные условия Боголюбова [32] в кинетической теории газов). Мы покажем, что без всего этого можно обойтись, поскольку однозначный выбор функции Грина определяется заданным направлением времени, непрерывностью спектра возбуждений бесконечной среды, гладкостью корреляционных функций случайных неоднородностей и условием ослабления корреляций [33]. [c.57]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...