Функция условия стационарности

Уравнение (11.34) является обобщением на бесконечномерный случай условий стационарности функции многих переменных, состоящих в равенстве нулю ее частных производных [c.330]

Формулировка и рещение задачи в рамках линейной неравновесной термодинамики состоит в следующем. Необходимо написать уравнение (8.22) для плотности потока через измеряемые на опыте величины, решить его для условий стационарного или нестационарного течения процесса, проанализировать решение и получить вытекающие из него следствия. Для этого необходимо вычислить обобщенные термодинамические силы определить, используя принцип Кюри, число перекрестных феноменологических коэффициентов, найти значение прямых и перекрестных коэффициентов. Существенную помощь при этом могут оказать свойства функции диссипации, рассмотренные выше. [c.204]

Заметим, что условие равенства нулю частных производных функцин есть условие того, что функция принимает стационарное значение. Убедимся в том, что это стационарное значение есть минимум. Действительно, вторая вариация функции U(Xi) равна [c.156]

Резюме. Задача о нахождении точки, в которой некоторая функция имеет относительный максимум или минимум, приводит к необходимости исследования бесконечно малой окрестности этой точки. Это исследование должно показать, что функция обладает стационарным значением в рассматриваемой точке. Хотя это утверждение само по себе без дополнительных условий и не может гарантировать наличия экстремума, для общих задач динамики его достаточно задачи движения требуют лишь нахождения стационарных значений, а не обязательно минимумов некоторого определенного интеграла. [c.60]

Резюме. Метод неопределенных множителей Лагранжа сводит вариационную задачу с дополнительными условиями к свободной вариационной задаче. Функция F, для которой ищется стационарное значение, преобразуется путем прибавления левых частей дополнительных условий, каждая из которых умножается предварительно на некоторый неопределенный множитель К. Вариационная задача для преобразованной функции решается как свободная. Получающиеся условия стационарности вместе с имеющимися дополнительными условиями определяют искомые значения переменных и множители X. [c.70]

Резюме. Если из условия стационарности определенного интеграла, содержащего не одну, а несколько неизвестных функций, требуется найти эти функции, то можно варьировать эти функции независимо друг от друга. Поэтому для каждой функции в отдельности можно написать дифференциальное уравнение Эйлера — Лагранжа. В результате получается система п дифференциальных уравнений второго порядка. Решение этой системы уравнений определяет п искомых функций, которые оказываются выраженными через независимую переменную (время t) и 2п констант интегрирования. [c.85]

Хотя условие (4.8.6) требует лишь стационарности Z. можно легко доказать, что в данном случае стационарность всегда, без каких-либо дополнительных условий, означает наличие минимума. Это следует из того факта, что функция Z, будучи суммой существенно положительных членов, должна иметь где-то минимум. Следовательно, если условие стационарности имеет единственное решение, то это решение должно давать минимум величины Z. Единственность решения показывается следующим образом. В приведенном выше примере 2 получилась в виде линейной функции. ji и г/. В общем случае, независимо от конкретного характера заданных кинематических условий, их двукратное дифференцирование всегда приводит к линейным соотношениям между ускорениями. После исключения при помощи этих условий лишних ускорений результирующее выражение для Z останется квадратичной формой от остальных ускорений, которые уже варьируются свободно. Следовательно, мы приходим к системе линейных уравнений, которая имеет единственное решение. [c.133]

Условие стационарности функции F дается следую-ш,ими линейными уравнениями [c.180]

Мы будем называть уравнения (54 ), выведенные из соотношения (54), условиями стационарности функции / (х 11). [c.282]

Если функция f (x t) действительно есть частный интеграл, то, как мы знаем, будет X = О, так что на основании тождества (55) условия стационарности (54 ) образуют инвариантную систему, если даже ее рассматривают отдельно, т. е. независимо от соотношения (47) надо заметить, что так как число этих условий не превосходит п, то они всегда совместны относительно х при каком угодно значении t, а с другой стороны, уравнению (47) в этом случае можно всегда удовлетворить, распоряжаясь подходящим образом произвольной постоянной, которую можно представить себе включенной в /(л j ). [c.282]

Так как H p q) представляет для системы (5) первый интеграл (п. 4), то на основании следствия из теоремы п. 28, присоединяя к соотношениям (59) условия стационарности функции Н, выводимые из соотношения [c.287]

Замечания о действительном построении стационарных решений. Чтобы выразить условия стационарности функции соответственно некоторому числу т соотношений [c.327]

Здесь следует указать наглядную интерпретацию условия стационарности (34) по отношению к системе дифференциальных уравнений, к которой мы пришли, присоединяя к системе (31) (не нормальной) добавочное уравнение (35). Так как в силу эквивалентного уравнения (35 ) функция Sl q dq , dq ,. .., rfg J пропорциональна dt, то вариационное условие (34) равносильно [c.424]

В п. 20 мы видели, что даже в случае, когда 8 (q q) является однородной функцией первой степени относительно q, условие стационарности интеграла [c.457]

Условие стационарности / требует, чтобы вариация б/ равнялась нулю. Так как функция т] произвольна, то это в свою очередь означает, что подинтегральное выражение (6.6) должно обращаться в нуль, т. е. что [c.73]

Подобно аналогичной теореме 4.3, доказанная теорема дает более чем достаточную информацию для решения поставленной задачи условия стационарности функции приводят к системе линейных уравнений относительно составляющих вектора и. [c.249]

Условия стационарности функции Z при наличии связи (14.5.7) дают [c.250]

Уравнения Эйлера—Лагранжа (1) выражают необходимые условия стационарности некоторого интеграла относительно вариации переменных, входящих в его подынтегральную функцию. Если интеграл является инвариантом относительно преобразования координат, то соответствующие уравнения Эйлера—Лагранжа выражают условия, которые не могут зависеть от выбора координат, иначе говоря, уравнения Эйлера—Лагранжа являются ковариантными дифференциальными уравнениями. [c.904]

Эта формула и определяет по нашим данным искомый момент инерции У Направления главных осей инерции для полюса К можно найти из условия стационарности момента инерции относительно каждой из этих осей. Формула (26.42) выражает момент инерци У в функции переменных а, Р, у последние связаны между собой очевидным соотношением [c.264]

В каждом из принципов условием стационарности функционала является одно (векторное) уравнение Эйлера (по числу функций, от которых зависит каждый из функционалов и /4). Если в качестве уравнений Эйлера получены соответственно уравнения Ламе и уравнения Бельтрами — Мичелла, то в каждом из указанных вариационных принципов на функционал наложено два условия. [c.522]

Необходимые условия стационарности функции р = р(ди. ... .., рк) формулируются в виде однородных линейных уравнений (см. раздел 3) [c.392]

Необходимое условие стационарности функции Ф = Ф ( j, g, Сц, Р), которой заменен исходный функционал, сводится к системе N уравнений [c.66]

Представление искомой функции через конечные разности при исследовании условий стационарности определенных интегралов использовал Эйлер (1744 г.). [c.68]

Основная задача вариационного исчисления может быть сформулирована так среди всех допустимых по условиям данной задачи функций найти такую функцию у = у (л), которая доставляет заданному функционалу экстремальное значение. Необходимым условием экстремума функционала, как и необходимым условием экстремума функции, является условие стационарности [c.305]

Когда функционал зависит от функций нескольких переменных, условие стационарности приводит к уравнениям Эйлера в частных производных. Общая схема получения этих уравнений остается прежней. [c.306]

Для функционалов, зависящих от нескольких функций yi = yi (л ), возможны задачи на условный экстремум не только при интегральных, но и дополнительных конечных или дифференциальных связях, накладываемых на искомые функции. Так, например, можно поставить задачу найти условие стационарности функционала [c.307]

Существенным отличием принципа максимума от метода Лагранжа является и то обстоятельство, что он дает возможность находить оптимум на границе допустимых значений конструктивных параметров, где условия стационарности (7.82) не выполняются. Ситуация здесь аналогична той, что имеет место при нахождении максимального значения функции одной переменной (рис. 7.40). При отсутствии ограничений максимум функции J(а ) можно найти из условия 5//9ai= 0, аналогичного (7.82). При наличии ограничений типа неравенств а наибольшее значение находится на границе допустимой области и удовлетворяет условию /(а ) /(сс), аналогичному (7,79). [c.268]

Стационарность потока остановок означает, что вероятность появления k остановок за промежуток времени от ДО + t не зависит от и является функцией переменных k и t. Если случайный процесс остановок стационарный, то большое число наблюдений, сделанных на одной машине в произвольно выбранные моменты времени, имеет те же статистические свойства, если такое же число наблюдений сделано одновременно над большим числом аналогичных машин. Из этого следует важный вывод если времена остановок удовлетворяют условиям стационарности, то можно накапливать статистические данные об остановках машин, проводя наблюдения над ограниченным числом машин, и, наоборот, результаты продолжительных наблюдений за ограниченным числом образцов эквивалентны результатам кратковременных наблюдений за большим числом машин. [c.71]

Из условия стационарности Г1 еледует, что функция / (х) должна удовлетворять дифференциальному уравнению Эйлера [c.106]

Отсюда видно, что корреляционная функция зависит не от двух аргументов Ф1 и фа, а только от разности 0= фа — Ф1 между ними. Следовательно, случайная функция (11.1), характеризующая суммарную погрешность размеров и формы, для рассматриваемого случая удовлетворяет условиям стационарности [51]. [c.384]

В условиях стационарного потока введем понятие функции тока, удовлетворяющей уравнению неразрывности несжимаемого потока М =0, т. е. = jy v = —и пренебрежем членами —0(3) и более высокого порядка. В зависимости от порядка различают следующие случаи. Пусть 8-С1 7—O(S ) тогда, сохраняя члены—0(1), имеем [c.94]

Функции Wj г, 0) считаются известными. Неопределенные параметры а, находятся из условия стационарности полной энергии как функции параметров af. [c.112]

Условие (25.2) является следствием более сильного (необходимого и достаточного) условия стационарности Оно состоит Б том, что автокорреляционная функция процесса Кх ti, должна зависеть только от разности времени наблюдений [c.170]

В этом выражении все интегралы по длине могут быть подсчитаны, поскольку / (л ) — известная функция. Так как неизвестными остались две функцин времени Z 1 и и (t), 10 условие стационарности [c.174]

Метод спектральных разложений для процессов, удовлетворяющих условиям стационарности, позволяет довольно просто находить вероятностные характеристики производных случайного процесса. Например, по известным взаимным спектральным плотностям (а) находят взаимные корреляционные функции обобщенных скоростей и ускорений [c.292]

Условие стационарности функционала 65 = О формулирует континуальную вариационную задачу с бесконечным числом компонент перемещений, определяющих разыскиваемые функции-экстремали. Идея метода, предложенного еще в начале века немецким ученым Ритцем, состоит в том, чтобы от континуальной формулировки перейти к дискретной, когда функционал Э = Э и, v, w), заменяется функцией Э = Э а ) (г = 1, 2,. . ., п), зависящей от конечного числа аргументов После этого задача определения экстремалей функционала перейдет в стандартную задачу исследования указанной функции дискретного числа аргументов на экстремум. Другими словами, от континуальной задачи с бесконечным числом степеней свободы в отношении формы деформирования тела мы переходим к задаче для системы с конечным числолг степеней свободы. [c.58]

Функции Шй (д ,) находятся из условия стационарности функционала J Iw), (j i)1, уравнениями Эйлера при этом будет система обыкновенных дифференциальных уравнений относительно этих неизвестных функций. Решая эти уравнения точно или численно, что вполне доступно современным вычислительным средствам, получим приближенное решение рассматриваемой вариащ10нной задачи. [c.111]

Как видим, если у гармонической функции й (5, т]), определяющей распределение температуры на единичном круге К, осуществить замену переменных (5.27), вытекающую из комформного отображения (5.28), получим гармоническую на области D функцию и х, у), т. е. функцию, определяющую стационарное распределение температуры на области D. Возникает вопрос, какому краевому условию должна соответствовать на круге К функция й ( , т]), чтобы функция и х, у) соответствовала одному из условий (5.24), [c.188]

Статические решения. Чтобы начать с простого, но не лишенного, однако, интереса случая, возьмем снова каноническую систему, характеристическая функция которой не зависит от t В этом случае существует интеграл Н = onst, и, согласно следствию п, 27, соответствующее условие стационарности ЬН = 0 позволяет написать 2п инвариантных соотношений [c.324]

Мы видим, что разыскание положений равновесия сводится в рассматриваемом случае к определению условий, при которых первая вариация силовой функции и обращаетса в нуль другими словами, положения равновесия совпадают с теми положениями системы, для которых силовая функция имеет стационарное значение. Для независимых координат придётся искать абсолютное стационарное значение функции U если же координаты связаны условиями, то стационарное значение функции U будет относительным. Если силовая функция однозначна и, следовательно, существует потенциальная энергия V= — U, всё сказанное о стационарности значения U в положении равновесия может быть также отнесено и к потенциальной энергии V. [c.389]

Зависимость коррелятора от частоты возбуждающего света, т. е. от расстройки Д. Функция р(Д, t) описьтает форму линии поглощения при учете взаимодействия с фононами и туннелонами. Она изменяется со временем. Функция р(Д, оо) описывает установившуюся форму линии, т. е. ту, которая измеряется в ансамблях хромофоров в условиях стационарного облучения. Эта функция может был. легко найдена с помощью оптических уравнений Блоха (7.48). Положив в них все производные равными нулю, что соответствует стационарному случаю, и проделав элементарные алгебраические преобразования, найдем для полного двухфотонного коррелятора такое выражение [c.101]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...