Тензор производный вектора по вектору

Сопряженный с D тензор D условно обозначается как производная вектора а по вектору г, т. е. da/dr, и имеет матрицу [c.336]

Здесь имеется шесть уравнений, определяющих компоненты тензора деформации по первым производным трех компонент вектора перемещения. [c.124]

Здесь e — тензор, определяемый по вектору и формулами (1.1.2) F — поверхностная сила, заданная на О2 ы — вектор перемещения, заданный на 0. Через Л (а) обозначена удельная потенциальная энергия деформации, задаваемая квадратичной формой (3.2.8) гл. III. Ее производные по компонентам тензора напряжения будут линейными формами этих компонент, определяемыми левыми частями соотношений (3.1.8) гл. III. Они представляют компоненты некоторого тензора, обозначаемого [c.160]

И, основываясь на этом равенстве, естественно называть тензор (Va) производной вектора а по вектор-радиусу г и принять обозначение [c.840]

Какой тензор называется производной вектора по векторному аргументу градиентом вектора [c.65]

Характеристическое уравнение тензора Та Производная от вектора по векторному аргументу [c.67]

Назовем тензор, представленный таблицей (19), поскольку он состоит из всевозможных производных от проекций вектора поля по координатам, дифференциальным тензором векторного поля. Тогда, согласно (18), придем к выводу, что мерой неоднородности (изменчивости) векторного поля служит дифференциальный тензор поля. Обозначая дифференциальный тензор поля буквой О и, полагая [c.48]

Последняя формула отчетливо показывает, что, независимо от выбора той или другой системы координат, физическая величина — производная физического вектора по определенному направлению в пространстве — выражается как произведение физического вектора — орта выбранного направления — на физический же тензор — меру неоднородности поля в данной точке пространства. [c.48]

Сопоставим выражения (1.6) 1 с выражением (2.4). Если в выражении (1.6) 1 под знаки производных по обобщённым координатам входили проекции вектора плотности потока самой массы, умноженные на произведения параметров Ляме, то в выражении (2.4) под знаки этих производных входит три вектора pv V, pv V, pv- V, представляющие собой векторы количеств движения, переносимые массой через площадки, перпендикулярные к координатным линиям. Эти три вектора образуют симметричный тензор, который можно назвать тензором плотности потока количеств движения частиц жидкости. Уравнение (2.10) можно назвать также уравнением переноса количеств движения. Это уравнение было впервые введено в рассмотрение Максвеллом ) в созданной им кинетической теории газов. [c.77]

Основные математические объекты МСС суть тензоры различных порядков нулевого — скаляры (плотность, энергия), первого — векторы (радиус-вектор, поток тепла, скорость), второго — тензоры деформаций, внутренних напряжений, третьего и четвертого — тензоры пьезоэлектрических констант, коэффициентов вязкости и упругости и др. Все эти тензоры считаются непрерывно дифференцируемыми достаточное число раз по координатам и по времени, ограничены вместе с их производными в области тела. Все они введены в XIX веке в процессе создания теории упругости, гидромеханики и других разделов теоретической физики, и затем в алгебре и геометрии была создана их общая теория. [c.50]

Предполагаем, что перемещения и их производные являются малыми величинами. Дифференцируя вектор по переменной XJ, получаем тензор второго ранга ищ, который можно предста- [c.14]

Из этих выражений и равенств (1.5) следует, что вектор йи может быть представлен как произведение справа тензора, называемого тензором, производным вектора и по вектору R, на вектор йR. Таблица составляющих этого тензора имеет вид [c.15]

Если (р д) = О, то траекторию частицы называют геодезической линией в двумерном пространстве. Поскольку эта линия лежит на поверхности, то она не является прямой , а реальное движение частицы не будет прямолинейным равномерным. Понятие геодезической связано с производной вектора по направлению. Следует отметить, что в криволинейных координатах производная вектора ОА /дд не является тензором. Величина Г д, также не образует тензора. Тензором является конструкция [c.108]

Дифференцируя олн по компонентам тензора деформации, можно получить уравнение состояния для механических напряжений оц, в которое, кроме деформаций, теперь войдут компоненты вектора намагниченности. Вычисляя функциональную производную от полной потенциальной энергии по вектору намагниченности, можно получить выражение для эффективного поля Я фф, в которое наряду с вектором намагниченности войдут и деформации. К этим уравнениям нужно добавить уравнение движения намагниченности [c.375]

Здесь через символ V . обозначена ковариантная производная по х , причем первые производные ж/ рассматриваются при фиксированных значениях индекса j как компоненты вектора по индексу г эти векторы определяют собой компоненты вектора скорости, соответствующие повороты, а при сравнении данного положения тела с некоторым мысленно вводимым начальным положением компоненты тензора, связанного с деформацией [c.467]

Основные математические объекты МСС суть тензоры различных порядков нулевого порядка — скаляры (плотность, энергия и др.), первого порядка — векторы (радиус-вектор, поток тепла, скорость и др.), второго порядка (тензоры деформаций, внутренних напряжений и др.). Все эти тензоры считаются непрерывно дифференцируемыми достаточное число раз по координатам и по времени, следовательно, ограничены вместе с их производными в области тела. [c.44]

Искомое решение уравнений движения (20,1)—(20,3) может быть получено непосредственно из найденного в 20 решения (20,4) (с функцией / из (20,6)), если заметить, что производные от последнего по координатам тоже являются решениями. В данном случае мы ищем решение, зависящее как от параметров от компонент тензора (а не от вектора и, как в 20). Таковым является [c.99]

Выбирая координатную систему, можно найти соотношение между компонентами тензора Va и вектора а. Это соотношение оказывается более сложным, чем соотношение для градиента скалярной величины в ранее рассмотренном случае. Действительно, компоненты тензора Va вовсе не являются производными по координатам компонент вектора а, как это можно было бы предположить на основании аналогии между уравнениями (1-4.8) и (1-4.1). Такой простой результат имеет место лишь в том случае, когда система координат является декартовой. [c.32]

Всякое решение бигармонического уравнения может быть написано в виде линейной комбинации центрально-симметрических решений и их производных различных порядков по координатам. Независимыми центрально-симметрическими решениями являются г , г, г, 1. Поэтому наиболее общий вид, который может иметь бигармонический вектор зависящий, как от параметров, только от компонент постоянного тензора o. g> и обращающийся в нуль на бесконечности, есть [c.38]

О признаке тензора заключаем, что выражение в круглых скобках представляет собой смешанный тензор второго ранга. Этот тензор называется ковариантной производной вектора fiP и обозначается через здесь запятая перед индексом п указывает на дифференцирование по X". Следовательно, [c.25]

По формулам (3.17) при помощи ковариантных производных кова-риантных и контравариантных компонентов вектора перемещения и в системе направлений базисных векторов е и йа вычисляются компоненты тензора деформации. [c.49]

Векторные компоненты тензора V (aij) найдем по формулам (11.12), в которых вектор а нужно заменить тензором (aij), а компоненты а, Oj,, Оф — векторными компонентами />, Ру, тензора atj). Векторные компоненты тензора V (VS) определятся формулами (11.5), если положить, что не записанная в них функция равна V2. При этом производные в формулах (11.12) и (11.5) следует заменить ковариантными производными ковариантных векторов на основании (2 .60) [c.369]

В трехмерном случае можно ввести вектора смещения и, а если они будут зависеть от координат, то поле векторов смещения и х, у, г) (это соответствует неоднородной деформации). Производные смещения Ui по координатам Xj определяют девять компонент тензора [c.191]

Заметим, что рассмотрение этих задач (как и вообще задач для сред произвольной реологии) может проводиться в двух принципиально различных направлениях. В одном случае рассматриваются уравнения Ламе (4.4) гл. II и их обобщения на случай динамики и периодических колебаний. Здесь приходится решать систему дифференциальных уравнений для трех компонент вектора смещений, исходя из краевых условий на сами смещения или определенные комбинации их производных (тогда говорят, что задача решается в смещениях). В другом же случае исходят из уравнений движения (1.11) гл. II и уравнений совместности деформаций в напряжениях (4.11) — (4.13) и (4.16) — (4.18) гл. II и аналогичных им уравнений, если используются системы координат, отличные от декартовых. В этом случае подлежат определению шесть компонент тензора напряжений из девяти дифференциальных уравнений (говорят, что здесь решается задача в напряжениях). Отметим, что в этом случае возникают дополнительные трудности, когда па границе заданы смещения, поскольку их восстановление по напряжениям весьма громоздко. [c.242]

Но здесь при вычислении ковариантных производных нужно использовать символы Кристоффеля, вычисленные для деформированного тела, и составляющие вектора Я брать по отношению к базису, связанному с деформированной координатной сеткой. Таким образом, все трудности остаются, не будучи написанными в явном виде. В этом смысле уравнения (7.9.3) и (7.9.4) кажутся проще, они относятся к декартовой системе координат, не деформирующейся с деформацией тела. Компоненты тензора напряжений также сохраняют механический смысл, это — обобщенные силы, соответствующие обобщенным перемещениям е,> [c.235]

Равенство (8 ) не зависит от выбора системы координат и в любой системе коордннат вектору dr ставит в соответствие вектор d. Следовательно, на основании теоремы о характеристическом свойстве тензора, матрица определенная равенством (9 ), является афинным тензором второго ранга. Этот тензор называется производной вектора по вектору. [c.626]

Вся приведенная выше теория нанряженнй п деформаций сохраняется и при пользовании произвольной криволинейной, не обязательно ортогональной системой координат. В качестве базисных векторов принимают производные от радиуса-вектора точки по криволине1шым координатам j = rj, по отношению к этому базису вектор или тензор задаются контравариантными компонентами. По отношению к взаимному базису векторы и тензоры задаются ковариантными составляющими. [c.231]

Если в формуле (П1.90) вектор х совпадает с вектором L, то вследствие (1.2.10) полная производная любого тензора по вралйш в лагран-жевых координатах совпадает с частной производной его по времени [c.23]

Применяемые обозначения. Дифференциальная диада, или дифференциальный тензор D = V = Grad а (условно — градиент вектора а) сопряженная с нею диада O = (V ) = daldr (условно — производная вектора а по вектор-радиусу г) деформация поля вектора а (г) — — def а дивергенция поля тензора Т (г) — Div Т. [c.27]

Из кинетических соображений следует, что в рассматриваемой части переходной области, соответствующей слабо разреженным газам, наряду с обычными линейными членами в выражениях компонент тензора вязких напряжений, векторов потока тепла и веществ, должны еще входить нелинейные комбинации производных скоростей по координатам (Д. Барнетт )). Отношение этих дополнительных членов к основным, соответствующим линейным законам, имеет как раз порядок величины M /Reoo или, согласно предыдущему, квадрата отношения 1/8 — длины свободного пробега к тшщ-ине пограничного слоя. [c.655]

Дифференциальные зависимости (1.144) между компонентами тензора деформаций и компонентами вектора перемещений позволяют простым дифференцированием по известным перемещениям V, ш как некоторых функций координат точек тела определить компоненты тензора деформаций. Решение обратной задачи — нахож дение перемещений как функций координат точек тела по известным компонентам деформаций — сводится к интегрированию системы дифференциальных уравнений в частных производных (1.144). Для существования решений этой системы необходимо наличие определенных связей между шестью компонентами деформаций т. е. выполнение определенного условия интегрируемости уравнений (1.144). Это условие называют условием сплошности или совместности деформаций Сен-Венана. Условия сплошности деформаций получаются из уравнений (1.144) исключением из них частных производных от соответствующих перемещений по соответствующим координатам [c.67]

Таким образом, можно рассматривать как дваады ковариантные компоненты тензора градиент О , а Oi, - как смешанные компоненты того же тензора. Производной тензора Т по направлению, определяемому единичным вектором tj, является скалярное произведение . [c.47]

Так же как и для векторов, будем различать абсолютную производную по вымени (т1/с1т) и относительную производную от тензора по времени (т1/(1/), обозначая их соответственно точкой и звездочкой над тензором. При зтом под относительной нрстизводной понимается тензор того же ранга, компонентами которого являются производные соответствующих компонент тензора. Правило вычиа1ения пртизводтюй произведения сохраняется (с учетом некоммутативности произведения) [c.40]

Пусть U — вектор геометрического смещения точек среды, отсчитываемый, скажем, от их положения перед началом процесса деформации его производная по времени и =v. Если образовать с помощью вектора и тензор полной дисторсии Wn — dujdxi, то мы получим его пластическую часть вычтя из Wtk тен- [c.165]

Деля обе части равенства (45) на Ш, перейдем от бесконечно малых перемещений р к векторам скорости V, от вектора бесконечно малого поворота 0 — к вектору угловой скорости ш вращения затвердевщего элемента, а от тензора деформации 5 —к тензору скоростей деформаций отличающемуся от 3 точкой, стоящей сверху и обозначающей производную по времени t. При этом справедливо равенство [c.341]

На основании общих физических представлений о поведении материала под нагрузкой его сопротивление деформированию определяется мгновенными условиями нагружения (температурой, скоростью деформации и другими ее производными в момент регистрации), а также структурой материала, сформированной в процессе предшествующего деформирования, который в п-мерном пространстве характеризуется траекторией точки, проекции радиуса-вектора которой — составляющие тензора напряжений (или деформаций) и время (начальная температура является параметром, характеризующим исходное состояние материала, и изменяется в соответствии с адиабатическим характером процесса деформирования). Специфической особенностью процессов импульсного нагружения является сложный характер нагружения (составляющие тензора напряжений меняются непропорционально единому параметру) и влияние времени. Невозможность экспериментального исследования материала при различных процессах нагружения (траекториях точки указанного выше л-мерного пространства) вынуждает исследователей использовать упрощенные модели механического поведения материала. Это обусловило развитие исследований по разработке теорий пластичности, учитывающих температурновременные эффекты [49, 213, 218] наряду с изучением физических процессов скоростной пластической деформации [5, 82, 175, 309]. Так, для первоначально изотропного материала исходя из гипотезы изотропного упрочнения связь тензоров напряжений и деформаций полностью определяется связью их инвариантов соответственно Ei, Ег, Ез и Ii, h, h- С учетом упругого характера связи средних напряжений и объемной деформации для металлических материалов (а следовательно, независимость от истории нагружения первых инвариантов тензоров напряжений и деформаций Ei, А) процесс нагружения определяется связью четырех оставшихся инвариантов и величины среднего давления. В классической теории пластичности [c.11]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...