Ковариантные производные вектора и тензора

Определение ковариантной производной вектора и тензора будет дано в 6. Предварительно займемся исследованием параллельного векторного поля. [c.21]

Конечно, выражения (IV. 148) и (IV. 150) представляют компоненты одного тензора — ковариантной производной вектора а. Это можно доказать на основании формулы (1.74). Но фактическое проведение вычислений требует установления правил абсолютного дифференцирования тензоров более высокого ранга, чем первый. [c.386]

О признаке тензора заключаем, что выражение в круглых скобках представляет собой смешанный тензор второго ранга. Этот тензор называется ковариантной производной вектора fiP и обозначается через здесь запятая перед индексом п указывает на дифференцирование по X". Следовательно, [c.25]

Что такое ковариантные производные компонент векторов и тензоров Выведите формулы (I.I37), (1.138). [c.65]

Введение ковариантной производной имеет смысл лишь для компонент векторов и тензоров. Для самих же векторов и тензоров (так же как и для скаляра) ковариантные производные совпадают [c.255]

При рассмотрении общих вопросов теории упругости и теории оболочек часто используют ковариантные производные компонент векторов и тензоров. Так, величины [c.13]

Вообще говоря, матрицы и не обязательно совпадают (совпадение имеет место для ортогональных преобразований), поэтому законы преобразования компонент градиента скалярной функции и компонент вектора г различны. В связи с этим в общей теории тензоров оказывается необходимым различать два вида векторов и тензоров — контравариантные и ковариант-ные. Не приводя полного определения, дадим часто употребляемое. Говорят, что контравариантный вектор — это такой вектор, компоненты которого Л,- преобразуются при переходе к другой системе координат, как компоненты вектора г. Аналогично величины /4,- определяют ковариантный вектор, если прй переходе от одной системы координат к другой эти компоненты преобразуются как компоненты градиента функции, т. е. как частные производные по координатам. Для аффинных ортогональных векторов понятия ковариантного и контравариантного векторов являются совпадающими. В общей теории тензоров рассматриваются не только неортогональные, но и нелинейные преобразования координат. [c.25]

Абсолютный дифференциал и ковариантная производная 70 Переменные тензоры (70). Абсолютный дифференциал вектора и ковариантная производная (70). Ковариантные про- [c.5]

Определим контравариантные составляющие тензора скоростей деформаций с1 . На основании (3.17) ковариантные производные вектора скоростей у = (а, р, /), и = (а, р, О с учетом значений символов Кристоффеля (27.44) имеют вид [c.253]

По формулам (3.17) при помощи ковариантных производных кова-риантных и контравариантных компонентов вектора перемещения и в системе направлений базисных векторов е и йа вычисляются компоненты тензора деформации. [c.49]

Векторные компоненты тензора V (aij) найдем по формулам (11.12), в которых вектор а нужно заменить тензором (aij), а компоненты а, Oj,, Оф — векторными компонентами />, Ру, тензора atj). Векторные компоненты тензора V (VS) определятся формулами (11.5), если положить, что не записанная в них функция равна V2. При этом производные в формулах (11.12) и (11.5) следует заменить ковариантными производными ковариантных векторов на основании (2 .60) [c.369]

Но здесь при вычислении ковариантных производных нужно использовать символы Кристоффеля, вычисленные для деформированного тела, и составляющие вектора Я брать по отношению к базису, связанному с деформированной координатной сеткой. Таким образом, все трудности остаются, не будучи написанными в явном виде. В этом смысле уравнения (7.9.3) и (7.9.4) кажутся проще, они относятся к декартовой системе координат, не деформирующейся с деформацией тела. Компоненты тензора напряжений также сохраняют механический смысл, это — обобщенные силы, соответствующие обобщенным перемещениям е,> [c.235]

Координаты Римана определяются как произведения единичных векторов i , касательных к геодезическим линиям данного пространства, проходящи.м через начало координат, на путь S х = S (/ = 1, 2,..., п). В этих координатах уравнение геодезических линий имеет простой вид d xi dS = О, причем ковариантные производные от тензоров сводятся к обы ным производным. Подробнее см. П. К. Р а ш е в с к и й. Введение в риманову геометрию и тензорный анализ, изд. 1-е, ОНТИ, 1935, стр. 95. [c.911]

Дифференцирование пространственных тензоров по координатам осуществляется с учетом переменности базисных векторов, что приводит к понятию ко-вариантной пространственной производной. Для пространственных ковариантных производных тензоров первого и второго рангов справедливы представления [c.23]

Так как свертка ковариантной производной с вектором ск дает вектор, то это тензор второго рода, ковариантный по индексу I и контравариантный по индексу к. [c.73]

Операцию ковариантного дифференцирования часто обозначают точкой с запятой У А = Обычную частную производную обозначают символом дь>А =дА /дд или А =дА /дд . Если и д)—векторное поле, то свертку ковариантной производной тензора " и вектора называют производной тензора по направлению и УцТ = -. [c.132]

Компоненты тензора малого поворота и вектора поворота. Заменяя в формуле (1.29) обычные частные производные ковариантными, получим формулу для компонент тензора малого поворота в криволинейных координатах [c.117]

Применение этого правила к векторам показано в уравнениях (4.17) и (4.21). В качестве другого примера его использования можно показать, что ковариантные и контравариантные производные метрического тензора и равны нулю [c.106]

Вся приведенная выше теория нанряженнй п деформаций сохраняется и при пользовании произвольной криволинейной, не обязательно ортогональной системой координат. В качестве базисных векторов принимают производные от радиуса-вектора точки по криволине1шым координатам j = rj, по отношению к этому базису вектор или тензор задаются контравариантными компонентами. По отношению к взаимному базису векторы и тензоры задаются ковариантными составляющими. [c.231]

V. 3. Ковариантное дифференцирование. Проведение вычислений с векторными и тензорными величинами требует введения координатного базиса и рассмотрения в нем компонент той или иной природы (ко-, коитравариантных, смешанных). Изменение инварианта (скаляра, вектора, тензора) при смещении из данной точки в соседнюю обусловлено лишь свойствами этого инварианта иначе обстоит дело с компонентами, так как их изменения зависят еще от величин и направлений базисных векторов. Пусть, например, контравариантные компоненты а вектора а не зависят от координат q , их частные производные по этим переменным — нули, но было бы ошибкой считать, что остается неизменным и вектор а. Верно и обратное при постоянном векторе а его компоненты а или as не сохраняют постоянных значений. Задачей последующего является введение таких характеристик изменяемости векторов и тензоров, в которых учитывались бы изменения как самих этих величин, так и координатного базиса, к которому они отнесены. Это достигается введением операции ковариантного (или абсолютного) дифференцирования. [c.880]

Отмстим, что операция ковариантного дифференцирования введена для компонент вектора и тензоров. Салт же тензоры (векторы) являются инвариантными (не зависящими от выбора системы координат) величинами (без индексов). Для них ковариантная производная совпадает с обычной частной производной. Поэтому [c.178]

Таким образом, координатные векторы, компоненты метрического и дискриминантного тензоров при ковариантном дифференцировании можно считать постоянньпли. Заметим, что операция ко-вариантного дифференцирования введена для компонент векторов и тензоров. Сами же тензоры (векторы) являются инвариантными (не зависящими от выбора системы координат) величинами (без индексов). Для них ковариантная производная совпадает с обычной производной. [c.14]

Проведение вычислений с векторными и тензорными величинами требует введения координатного базиса и составляющих той или иной природы (контравариантных, ковариантных, смешанных) по основным векторам этого базиса. Изменения инварианта при.переходе отточки к точке или с течением времени обусловлены лишь свойствами этого инварианта иначе обстоит дело, ьогда рассматриваются составляющие — их изменения обусловлены еще и изменением величин и направлений основных векторов взятого координатного базиса. Пусть, например, не зависят от координат их частные производные по координатам равны нулю, но было бы грубой ошибкой считать, что в этом случае векюр а не испытывает изменений при переходе от точки к точке. Верно и обратное при постоянном а составляющие (или а ) не сохраняют постоянных значений. Задачей последующего является введение таких характеристик изменяемости составляющих векторов и тензоров, в которых учитывались бы как изменения самих этих функций, так и координатного базиса, к которому они отнесены. Это достигается введением операции ковариантного (или абсолютного) дифференцирования. [c.787]

В декартовой системе координат ковариантные и контравари-антные векторы совпадают друг с другом совпадают также ковариантные производные с обычными производными, так как в этом случае метрический тензор постоянен, следовательно, символы Кристоффеля равны нулю. [c.51]

Замечание. Отметим, что при обычном изложении величины 2 (ае) воспринимаются не как составляющие кон-травариантно-инвариантного тензора, а как составляющие системы и контравариантных векторов. Поэтому при обычном изложении под ковариантной производной от 2" (а) [c.115]

В уравнениях (1)-(3), как и во всей статье, обозначено -оператор ковариантной производной =5 +ag ,J =е, + g,J /3 -компоненты тензоров напряжений и скорости деформации, соответственно - компоненты девиаторов напряжений и скорости деформации, соответственно а, - компоненты шаровых тензоров - компоненты метрических тензоров У , у - компоненты векторов скорости и ускорения, соответственно g , - плотность заданной массовой силы р - массовая плотность верхние индексы соответствуют контравариантным, а нижние - кова иант-ным компонентам тензоров. [c.6]

Контраварпантные компоненты, а также другие типы смешанных компонент тензора Va получаются поднятием второго индекса в уравнениях (1-4.9) и (1-4,14) соответственно. Символы и а, - называются контравариантными производными контрава-риантного и ковариантного векторов соответственно. [c.33]

Правило преобразования (8) лагранжевых производных можно сформулировать, сказав, что в силу (6) и (7) л-вектор ведет себя при отображения (5) так же, как ковариантный тензор в одном лишь пространстве (д), а переменная t в формуле (5) не принимается во внимание. С другой стороны, правило преобразования (6) вектора скорости не соответствует преобразованию контрвариантного тензора в пространстве (q), если t входит явно в формулу (5), т. е. если qi Ф 0. [c.19]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...