Производная вектора тензоров

Ковариантная производная вектора - тензор второго ранга. [c.74]

Тензор называется ковариантной или абсолютной производной вектора а. Следовательно, можно положить [c.386]

Конечно, выражения (IV. 148) и (IV. 150) представляют компоненты одного тензора — ковариантной производной вектора а. Это можно доказать на основании формулы (1.74). Но фактическое проведение вычислений требует установления правил абсолютного дифференцирования тензоров более высокого ранга, чем первый. [c.386]

Сопряженный с D тензор D условно обозначается как производная вектора а по вектору г, т. е. da/dr, и имеет матрицу [c.336]

Определение ковариантной производной вектора и тензора будет дано в 6. Предварительно займемся исследованием параллельного векторного поля. [c.21]

Производная вектора. Формула Гаусса — Остроградского, е-тензор [c.23]

О признаке тензора заключаем, что выражение в круглых скобках представляет собой смешанный тензор второго ранга. Этот тензор называется ковариантной производной вектора fiP и обозначается через здесь запятая перед индексом п указывает на дифференцирование по X". Следовательно, [c.25]

Этот тензор называется ковариантной производной вектора fip. [c.25]

Координаты Римана определяются как произведения единичных векторов i , касательных к геодезическим линиям данного пространства, проходящи.м через начало координат, на путь S х = S (/ = 1, 2,..., п). В этих координатах уравнение геодезических линий имеет простой вид d xi dS = О, причем ковариантные производные от тензоров сводятся к обы ным производным. Подробнее см. П. К. Р а ш е в с к и й. Введение в риманову геометрию и тензорный анализ, изд. 1-е, ОНТИ, 1935, стр. 95. [c.911]

Тензор du/dr — производную вектора и -по направлению г — представим суммой его симметричной и кососимметричной частей [см. (1.4.8)] [c.59]

И, основываясь на этом равенстве, естественно называть тензор (Va) производной вектора а по вектор-радиусу г и принять обозначение [c.840]

Применение этого правила к векторам показано в уравнениях (4.17) и (4.21). В качестве другого примера его использования можно показать, что ковариантные и контравариантные производные метрического тензора и равны нулю [c.106]

Если в формуле (П1.90) вектор х совпадает с вектором Е, то полная производная тензора по времени в эйлеровых координатах состоит из частной производной этого тензора по времени и конвективных слагаемых, обусловленных переносом окрестности материальной частицы со скоростью V (1.2.15) [c.24]

Какой тензор называется производной вектора по векторному аргументу градиентом вектора [c.65]

Последняя строка показывает, что для любого инварианта (скаляра, вектора, тензора) ковариантная производная совпадает с обычной частной производной. [c.145]

В гл. 5 сначала были рассмотрены соотношения механики сплошных сред, которые можно использовать для того, чтобы получить больше сведений о деформации. Следует отметить, что эти соотношения действительны только до тех пор, пока линейные деформации и вращения малы, и при условии, что существует производная вектора смещения, т. е. если отсутствуют дислокации. В последнем параграфе было кратко показано, как с помощью голографической интерферометрии можно измерять не только вектор смещения и тензор деформации, но также вторые производные смещения и, в частности, изменения кривизны и материальные коэффициенты. Однако в этой области, так же как и во многих других, остается еще много неизвестного, что еще предстоит изучить. [c.170]

В МСС вводится также понятие тензора деформаций S = (eгj), компоненты которого выражаются ч рез первые производные вектора перемещения и(х, )= х—х на основании (4 18), (4.15) формулами [c.57]

Из этих выражений и равенств (1.5) следует, что вектор йи может быть представлен как произведение справа тензора, называемого тензором, производным вектора и по вектору R, на вектор йR. Таблица составляющих этого тензора имеет вид [c.15]

Если (р д) = О, то траекторию частицы называют геодезической линией в двумерном пространстве. Поскольку эта линия лежит на поверхности, то она не является прямой , а реальное движение частицы не будет прямолинейным равномерным. Понятие геодезической связано с производной вектора по направлению. Следует отметить, что в криволинейных координатах производная вектора ОА /дд не является тензором. Величина Г д, также не образует тензора. Тензором является конструкция [c.108]

Это выражение удобно назвать инвариантной производной вектора Л (а). Вычисляя по формуле (5,34) инвариантную производную от произведения Л (а) Вф)н А (а) В ф) С (у), придем к формулам для инвариантного дифференцирования тензоров второго и третьего ранга [c.117]

Выведем формулы ковариантного дифференцирования координатных векторов Рк. Для зтого будем рассматривать эти векторы как тензор первой валентности с векторными компонентами. Ковариантные производные таких тензоров выражаются по обычным формулам, в частности, для Г к имеем [c.38]

Тензоры О и (или Р) непосредственно вычисляются через производные векторов места Я, г. Определение же тензоров и, V —извлечение квадратного корня из тензора —неизбежно [c.22]

Аналогично определяется материальная производная вектора а, тензора О [c.38]

Мы следуем обозначениям Н. Е. Кочина уа—градиент вектора а тензор уа И. Е. Кочин называет производной вектора а по направлению г [c.467]

Определим контравариантные составляющие тензора скоростей деформаций с1 . На основании (3.17) ковариантные производные вектора скоростей у = (а, р, /), и = (а, р, О с учетом значений символов Кристоффеля (27.44) имеют вид [c.253]

Так же как и для векторов, будем различать абсолютную производную по вымени (т1/с1т) и относительную производную от тензора по времени (т1/(1/), обозначая их соответственно точкой и звездочкой над тензором. При зтом под относительной нрстизводной понимается тензор того же ранга, компонентами которого являются производные соответствующих компонент тензора. Правило вычиа1ения пртизводтюй произведения сохраняется (с учетом некоммутативности произведения) [c.40]

На основании обратного тензорного признака выражения в скобках равенств (2 .57) и (2 .58) представляют собой компоненты тензоров второго ранга, которые называются ковариаятными абсолютны-ии) производными вектора а. Для них принимают следующие обозначения. [c.414]

V. 3. Ковариантное дифференцирование. Проведение вычислений с векторными и тензорными величинами требует введения координатного базиса и рассмотрения в нем компонент той или иной природы (ко-, коитравариантных, смешанных). Изменение инварианта (скаляра, вектора, тензора) при смещении из данной точки в соседнюю обусловлено лишь свойствами этого инварианта иначе обстоит дело с компонентами, так как их изменения зависят еще от величин и направлений базисных векторов. Пусть, например, контравариантные компоненты а вектора а не зависят от координат q , их частные производные по этим переменным — нули, но было бы ошибкой считать, что остается неизменным и вектор а. Верно и обратное при постоянном векторе а его компоненты а или as не сохраняют постоянных значений. Задачей последующего является введение таких характеристик изменяемости векторов и тензоров, в которых учитывались бы изменения как самих этих величин, так и координатного базиса, к которому они отнесены. Это достигается введением операции ковариантного (или абсолютного) дифференцирования. [c.880]

Если в формуле (П1.90) вектор х совпадает с вектором L, то вследствие (1.2.10) полная производная любого тензора по вралйш в лагран-жевых координатах совпадает с частной производной его по времени [c.23]

Применяемые обозначения. Дифференциальная диада, или дифференциальный тензор D = V = Grad а (условно — градиент вектора а) сопряженная с нею диада O = (V ) = daldr (условно — производная вектора а по вектор-радиусу г) деформация поля вектора а (г) — — def а дивергенция поля тензора Т (г) — Div Т. [c.27]

Производная вектора на поверхности есть левая полупроекг ция тензора V и. Первые два члена в формуле (2.55) представляют собой внутреннюю часть, тогда как два последних — нолувнешнюю часть. Приведем это важное соотношение в компонентной форме [2.5, с. 38] [c.24]

Равенство (8 ) не зависит от выбора системы координат и в любой системе коордннат вектору dr ставит в соответствие вектор d. Следовательно, на основании теоремы о характеристическом свойстве тензора, матрица определенная равенством (9 ), является афинным тензором второго ранга. Этот тензор называется производной вектора по вектору. [c.626]

Уравнения совместности деформаций. Шесть компонент тензора деформаций Eгj или метрического тензора г = бг + 2ег в окрестности любой фиксированной физической точки х среды могут как угодно независимо изменяться с течением времени, т. е. задание шести произвольных функций времени возможно, и деформация окрестности точки при этом будет аффинной. Но если бы мы задали для всех точек среды хотя бы в какой-нибудь момент времени 1 компоненты eij или gij как произвольные непрерывно дифференцируемые функции координат, т. е. произвольно задали бы поле тензора деформации, то деформации оказались бы несовместными, перемещение — неоднозначным, т. е. между соседними частями образовались бы щели или различные физические объемы заняли бы одну и ту же область пространства. Такая возможность исключена благодаря свойству закона движения д =д (х, )=х+и(х, 1), а именно непрерывной взаимно однозначной зависимости между л и х для любого 1 и существованию производных. Компоненты тензора eij (или gij) получаются путем дифференцирования вектора х(х, t), т. е. шесть скалярных функций eгj выражены через три щ. Значит, между eij должны существовать соотношения, полная система которых представляет уравнения совместности деформаций. По существу они должны быть следствием независимости порядка дифференцирования вектора X типа = так как gij=ЭiЭj, а векторы Эi выражаются через один вектор Э Х4. [c.82]

Условия совместности Выражения (1.27), (1.28) (эйлерово описание), а также (1.36) и (1.37) в лагранжевых координатах дают компоненты тензоров конечных деформаций через производные вектора смещений. В то же время в большинстве задач теории упругости приходится находить вектор смещений по известным компонентам тензора деформаций. Это связано с тем, что дифференци альные уравнения движения упругого тела формулируют для компонент вектора смещений, а граничные условия часто задают для компонент тензора деформаций (см. 14, 15). При этом возникает вопрос, возможно ли из системы шести дифференциальных уравнений в частных производных (если считать заданными) определить три непрерывных компоненты вектора смещения. Ясно, что если решение этой системы существует, то компонентами тензора деформаций не могут служить произвольно заданные функции. Чтобы обеспечить интегрируемость системы шести дифференциальных уравнений, необходимо ввести определенные ограничения на выбор функций . Эти ограничения для линейного тензора деформаций впервые были получены в 1860 г. Б. Сен-Венаном [c.78]

Производн вектора. Определение линейное от( ражение рассматриваемое как тензор второго ранга [c.27]

Чтобы найти аналоги производных от тензоров, но преобразующиеся правильно, надо определить понятие параллельного переноса так, чтобы при преобразовании галилеевых координат компоненты вектора при переносе не менялись. Определим [c.69]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...