Деформация поля вектора

Здесь вектор и (х ) называется смещением элемента среды М х ) при ее деформации, х — координаты элемента в недеформированной среде. Очевидно, деформируемая среда есть поле вектора смещения и х ). [c.500]

Рассмотрим случай, когда в каждой точке пространства занятого движущейся жидкостью, вектор са отличен от нуля т. е. все частицы вращаются. Для поля вектора ы можно по строить векторные линии. Назовем кривую, в каждой точке кото рой вектор (О в данный момент направлен по касательной, вихре вой линией. Тогда элементарные отрезки ds такой линии (рис. 2.11) будут служить мгновенными осями вращения тех жидких частиц, которые на них расположены. Очевидно, указанное движение возможно лишь благодаря деформациям вращающихся жидких частиц, поскольку вихревая линия, вообще говоря, криволинейна и в целом не может служить осью вращения конечного объема жидкости. [c.43]

В трехмерном случае можно ввести вектора смещения и, а если они будут зависеть от координат, то поле векторов смещения и х, у, г) (это соответствует неоднородной деформации). Производные смещения Ui по координатам Xj определяют девять компонент тензора [c.191]

Если деформация задана, так что S и поля векторов а и п известны, то уравнение (58) определяет изменение Т вдоль каждого волокна и может быть проинтегрировано непосредственно. Для того чтобы найти постоянную интегрирования, необходимо задать значение Г в одной точке каждого волокна. Заметим, что при переходе от одного волокна к другому Т может меняться разрывно, поскольку уравнение (58) не накладывает никаких ограничений на изменение Т в направлении нормальной линии. [c.316]

Определить закон движения, поля скоростей перемещений и ускорений по Эйлеру и Лагранжу, уравнения линий тока и траекторий, скорости деформаций и вектор вихря (рис. 25). [c.99]

J Примем, что скалярное произведение векторов р и ё пространства L представляет работу напряжений, определяемых полем деформаций, отвечающим вектору р, на поле деформаций, соответствующих вектору 8, во всем объеме конструкции V. Тогда [c.163]

Первое показывает, что тензор, обозначенный е, есть деформация лагранжева вектора X на Oi последний должен быть равен заданному здесь вектору перемещения, и ничто не препятствует, отождествив К с вектором перемещения и в объеме V, вернуться к определению тензора е как к величине, задаваемой полем перемещений. В самом принципе минимума дополнительной работы понятие о тензоре деформации отсутствует, поэтому отождествление векторов % н и должно быть привнесено нами, так как принцип об этом не знает . [c.159]

Симметричная часть 8 называется деформацией йе а поля вектора а и выражается равенствами [c.28]

Следует заметить, что в случае малых деформаций интерпретация вектора перемещений (1.3) во многих случаях теряет смысл, ибо лагранжевы и эйлеровы координаты в таком случае совпадают и перемещения можно рассматривать лишь как векторное поле, определенное в евклидовом пространстве R3 [84]. [c.9]

СТЕПЕНЬ ДЕФОРМАЦИИ СДВИГА. Выше мы отметили, что, зная поле вектора скорости, можно установить связь начальных р текущих координат материальной частицы и перейти к вычислению деформаций. [c.115]

В общем случае все процессы, приводящие к некоторому изменению свойств пьезоматериала, описываются в рассматриваемой модели с помощью тензоров-операторов повреждаемости, ..., П, компоненты которых однозначно определяются процессом деформационного, электрического и теплового нагружения. В результате, например, тензор напряжений <т и вектор индукции электрического поля В в любой момент времени могут быть определены по известным значениям тензора деформаций е, вектора напряженности электрического поля Е и температуры внешнего нагрева пьезоматериала во все предшествующие моменты времени. В слу- [c.13]

В механике и физике часто встречаются случаи, когда три составляющих вектора в пространстве являются линейными однородными функциями трех составляющих радиуса-вектора. Настоящая глава посвящена изучению подобных случаев, примерами которых могут служить напряженное состояние (т. е. поле напряжений), поле конечных однородных деформаций, поле скоростей деформации в окрестности точки деформированного материала. Все эти случаи допускают, таким образом, рассмотрение с единой точки зрения, на основе выявления той общей формы которая присуща всем зависимостям, связывающим между собой механические переменные того или иного поля в отдельности. Эта задача выявления такой общей формы зависимостей была с успехом разрешена около 1881 г. Д. Гиббсом в его труде Векторный анализ . Им было показано, что приведенным выше и другим близким к ним физическим понятиям можно дать общее геометрическое представление они являются примерам [c.172]

Таким образом, мы видим, что линейная вектор-функция вида (14.7) может представлять поле конечных однородных деформаций, если векторы v интерпретировать как перемещения точек тела. [c.175]

Среди элементарных возбуждений кристалла наибольшую роль играют длинноволновые возбуждения. При исследовании этих возбуждений кристалл можно рассматривать как непрерывную среду. Напомним, как описывается деформация в непрерывной среде ([116], ч. Н, 1). Пусть поле векторов смещений и[г) характеризует малое смещение точки г в новое положение г, т. е. [c.223]

Если частота звука (02 = О и амплитуда Е заменена на Е, то это соотношение описывает энергию фотоупругой связи. Постоянная фотоупругости р является тензором четвертого ранга, который связывает тензор деформаций с векторами двух электрических полей. Фотоупругие постоянные измерены для целого ряда материалов и имеют обычно величину 1, например 0,5. [c.152]

В ур-ниях состояния пьезоэлектрич. кристалла (a[j — тензор механич. напряжений, — вектор электрич. индукции, и[ — тензор деформации, Еа — вектор электрич. поля, — [c.383]

Заданное поле тензора деформаций не может быть совершенно произвольным. Действительно, три компонента вектора смещения удовлетворяют системе шести дифференциальных уравнений [c.12]

Итак, пусть г о — радиус-векторы точек S до деформации в результате деформации, определяемой полем перемещений и, эти точки займут положение [c.290]

Обратим внимание на определенную аналогию между полем упругой деформации вокруг линии дислокации и магнитным полем линейных проводников роль силы тока играет при этом вектор Бюргерса. Однако, не говоря уже [c.154]

Применяемые обозначения. Дифференциальная диада, или дифференциальный тензор D = V = Grad а (условно — градиент вектора а) сопряженная с нею диада O = (V ) = daldr (условно — производная вектора а по вектор-радиусу г) деформация поля вектора а (г) — — def а дивергенция поля тензора Т (г) — Div Т. [c.27]

Если имеют место уравнения несовместности (IV. 186), то поле вектора смещений нельзя определить по полю тензора деформаций, так как условиями интегрируемости равенств (IV. 69) относительно компонент вектора смещений является выполнение условий совместности. Это физически объясняется также тем, что инородная материя, характеризуемая тензором г),й, определяет дополнительное поле некоторого тензора деформаций. В этом случае увеличивается количество функциональных степенен свободы сплошной среды. Вместо трех степеней, определяемых компонентами вектора смещений, среда получает шесть степеней свободы, определяемых кохмпонентами тензора деформаций в трехмерном пространстве. Введение четвертого измерения также подлежит отдельному рассмотрению. [c.535]

В восемнадцати предшествующих главах были изложены различные разделы механики деформируемого твердого тела, при этом практическая направленность каждого из них не очень акцентировалась. Но основная область приложения механики твердого тела — это оценка прочности реальных элементов конструкций в реальных условиях эксплуатации. С этой точки зре-нпя различные главы приближают нас к решению этого основного вопроса в разной степени. Классическая линейная теория упругости формулирует свою задачу следуюш им образом дано пекоторое тело, на это тело действуют заданные нагрузки, точки границы тела претерпевают заданные перемещения. Требуется определить поле вектора перемещений и тензора напряжений во всех точках тела. После того как эта задача решена, возникает естественный и основной вопрос — что это, хорошо или плохо Разрушится сооружение или не разрушится Теория упругости сама по себе ответа на этот вопрос не дает. Правда, зная величину напряжений, мы можем потребовать, чтобы в каждой точке тела выполнялось условие прочности, т. е. некоторая функция от компонент о.-,- не превосходила допускаемого значения. В частности, можно потребовать, чтобы нигде не достигалось условие пластичности, более того, чтобы по отношению к этому локальному условию сохранялся некоторый запас прочности, понятие о котором было сообщено в гл. 2 и 3. Мы знаем, что для пластичных материалов выполнение условия пластичности в одной точке еще не означает потери несущей способности, что было детально разъяснено на простом примере в 3.5. Поэтому расчет по допустимым напряжениям для пластичного материала безусловно гарантирует прочность изделия. Для хрупких материалов условие локального разрушения отлично от условия наступления текучести и локальное разрушение может послужить началом разрушения тела в целом. Поэтому расчет по допускаемым напряжениям для хрупких материалов более оправдан. Аналогичная ситуация возникает при переменных нагрузках и при действии высоких температур. В этих условиях даже пластические материалы разрушаются без заметной пластической деформации и микротрещина, возникшая в точке, где 42 [c.651]

В. П. Минеев, 1976) позволил ра.эбить их на классы, включающие линии, преобразующиеся (в каждом классе) друг U друга непрерывным преобразованием поля параметра порядка. Линии, принадлежащие разл. классам, нельзя перевести друг в друга (или в линии без особенности па оси) непрерывной деформацией поля параметра порядка. Типичны три класса устойчивых особых линий в /4-фазе Не. 1-й класс — линии, при обходе к-рых по замкнутому контуру у тройка векторов Д, Д", [c.267]

ПОЛЕ ВЕКТОРА СКОРОСТИ. Движение и деформация сплошной средьь задаютоя соотношениями, связывающими начальные и текущие координаты материальных частиц. Описание конечных деформаций, характерных для процессов обработки металлов давлением,с применением нелинейных тензоров связано с большими математическими трудностями. [c.105]

Формула Чезаро. Пусть в области задано поле тензора деформаций. Требуется определить поле вектора перемещений. Будем исходить из формулы [c.227]

Деформацию сплошной среды в эйлеровом пространстве х за бесконечно малое время dt в любой фиксированный момент можно рассматривать с точки зрения Лагранжа, если поле вектора скорости у(дс, t) задано и если в момент времени f=tQ- -dt определить перемещение [c.85]

Плоские поля смещений или скоростей. В тонкой плас-стинке, растягиваемой силами, действующими в ее плоскости, или в вытянутом теле, перемещения точек которого ограничены параллельными плоскостями, составляющие смещений или скоростей зависят от двух координат. Если плоскость х, у совпадает со срединной плоскостью диска или с одной из параллельных плоскостей вытянутого тела, то компоненты смещений (или скоростей) и, V ъ направлениях осей х w у определяют плоское поле векторов. Рассмотрим две точки Р х,у) и Q x + dx, уЛ-dy), отстоящие друг от друга на бесконечно малое расстояние dr = = dx- -jdy, и предположим, что две оси, проходящие через точку Р параллельно осям х и у, перемещаются вместе с телом во время его движения. Малый элемент dxdy материала будет испытывать малые деформации и малые вращения относительно осей X, у, Z, которые предполагаются фиксированными в пространстве. Компоненты перемещений и и v при переходе от точки Р к точке Q получают приращения [c.223]

Для деформации, заданной полем вектора смещений U — (5х,, —6х2—12х , х — -12X2), и Pik показать, что максимальное касательное напряжение делит пополам угол между площадками максимального и минимального напряжений (см. задачу 11.5). [c.251]

Ряд (30.1) непосредственно не суммируется. Вместо свободной энергии мы определим дополнительное давление (точнее, дополнительный тензор натяжений), возникающее за счет взаимодействия вещества с длинноволновым электромагнитным полем. Для этого представим себе, что тело подвергнуто некоторой малой деформации с вектором смещения и (г). При йтом изменение свободной энергии 8/ равно [c.342]

R. D. Mindlin [2.152] (1952) получил на основе трехмерных уравнений теории анизотропной электроупругости уточненные дифференциальные уравнения поперечных пьезоэлектрических колебаний пластин постоянной толщины. При этом он исходил из модели Тимошенко. По аналогии с работой для упругой пластины [2.1501 им получены граничные условия для электрического поля. В построенной модели учитывается взаимодействие упругих и электрических полей. Тензор напряжений и вектор поляризации зависят линейно от тензора деформаций и вектора напряженности электрического поля. Предполагается, что поверхности полностью покрыты электродами и потенциал, так же как и продольные перемещения, линейно изменяется по толщине. В случае плоской деформации и гармонического во времени движения система дифференциальных уравнений относительно продольного перемещения , прогиба W и электростатического потенциала ср имеет вид [c.124]

Введенные выше тензоры деформации в пространстве имеют в общем случае по шесть независимых компонент. Однако они выражаются через вектор перемещения, который имеет самое большее три независимые компоненты. Если произвольно задать шесть компонент тензора деформации, то сразу возникнет вопрос, существует ли однозначное непрерывное поле вектора перемещения, соответствующего этой деформации. Очевидно, уравнения (2.2.40) и (2.2.41) не имеют решений для трех неизвестных функций ик или ы,-, если не выполняются определенные условия интегрируемости или совместности. Эти условия в виде системы дифференциальных уравнений в частных производных содержат только компоненты тензора деформации. Например, в теории бесконечно малых деформаций условия совместности, известные как соотношения Ламе, имеют вид [Ег1пдеп, 1967] [c.88]

Гироплатформа, принцип устройства которой был представлен на рис. 8.18, вовсе не имеет вида платформы. Чтобы уменьшить влияние многочисленных погрешностей, порождаемых деформацией узлов и жесткостью электроподводящих проводов, гироблоки не всегда устанавливаются по осям стабилизации, а оси подвески не обязательно взаимно перпендикулярны. На вертикальном участке подъема, когда прицеливание производится разворотом ракеты по крену, ориентация командных датчиков неподвижной гироплатформы не соответствует ориентации осей поворота управляющих органов. Если не принять специальных мер, сигнал от датчика рыскания частично поступит и на крен, а сигнал от датчика крена — на рыскание. Поэтому во многих современных системах стабилизации вводятся преобразователи координат — вращающиеся трансформаторы. Это — две первичные обмотки, создаюище электромагнитные поля, векторы которых взаимно перпендикулярны. Так же взаимно ориентированы и поля двух вторичных обмоток. При относительном повороте первичных и вторичных обмоток происходит преобразование двух сигналов, совершенно аналогичное тому, которое претерпевают координаты конца вектора при переходе к новой системе декартовых координат, повернутой относительно старой. Связывая взаимный поворот обмоток преобразователя координат с поворотом датчиков команд гиросистемы, удается разделить каналы стабилизации, и они начинают работать независимо. [c.401]

Это требование ямяется необходимым и достаточным, если поле вектора скорости У(х, /) в (Э) обращает в нуль теизор скорости деформации (т. с. если и,-, = 0). По в общем случае VijфO и возможны другие определения скорости тензора напряжения. Различные определения будут мало отличаться между собой, есотн в (Э) скорости деформации Vij (но модулю) малы сраоштельно с ИЛИ если деформации являются малыми, а повороты — существенными. Если малы и деформации, и повороты, то все определения совпадут с (У.4). [c.181]

Расчет полей векторов смещений участков поверхности осуществляется следующим образом. При помощи оптико-телевизионной измерительной системы снимаются эталонное изображение (ЭИ) исследуемого учасгка поверхности материала (до приращения деформации) и текущее изображение (ТИ) этого же участка (после приращения деформации). Изображения представляют собой совокупность пикселов, каждый из которых может иметь значение яркости от О до 255. ТИ и ЭИ разбиваются одинаково на равное число фрагментов (элементарных площадок). Каждый фрагмент ЭИ сравнивается с соответствующим фрагментом ТИ и определяется смещение фрагмента ТИ относительно фрагмента ЭИ (рис. 1). [c.105]

Уменьшеттие влияния температурных деформаций на рботу точных машин обеспечение постоянного температурного поля в месте установки машин уменьшение интенсивпостт внутренних источников теплоты подбор материалов с близкими или весьма малыми коэффициентами линейного расширения выбор оптимального направления вектора температурных деформаций. [c.483]

Анизотропия в электрическом поле. Возникновение анизотропии в электрическом поле было обнаружено Керром в 1875 г. и с тех пор широко используется в технике эксперимента. В настоящее время явление Керра хорошо исследовано как экспериментально, так и теоретически. Это оказалось возможным благодаря тому, что эффект наблюдается в веществах, находящихся в жидком и даже газообразном состоянии, а их изучение несравненно проще изучения твердого тела. Схема опыта относительно проста (рис. 3.10). Между двумя скрещенными поляризаторами Pi и / 2 располагают плоский конденсатор. Между пластинами конденсатора помещают кювету с жидким нитробензолом — веществом, в котором изучаемый эффект весьма велик. При включении напряжения происходит поляризация молекул нитробензола и их выстраивание. Так создается анизотропия вещества с преимущественным направлением (оптической осью кназикрис-талла) вдоль вектора напряженности электрического поля. Так же как и при механической деформации, излучение становится эллиптически поляризованным и частично проходит через второй поляризатор, скрещенный с первым, т.е. установленный так, чтобы не пропускать линейно поляризованный свет. Опыт дает Ап = н,, — п = КЕ , где К — некая константа, как правило, положительная. Однако для некоторых веществ К оказывается меньше О (это значит, что /г > п , т.е. образуется отрицательный квазикристалл). [c.122]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...