Тензор характеристическое уравнение

Главные направления девиатора скорости деформации совпадают с главными направлениями тензора. Характеристическое уравнение имеет вид [c.114]

В развернутом виде уравнение (1 .49), которое называется характеристическим уравнением тензора оц , запишется так [c.398]

Из сопоставления характеристического уравнения (1 .71) для тензора (dij) с характеристическим уравнением тензора (ajj) [c.402]

Главные напряжения определяются как корпи характеристического уравнения для тензора напряжений [c.405]

Главные значения тензора напряжений, называемые главными напряжениями, равны корням t, t , iz его характеристического уравнения [c.28]

ЧТО, конечно, легко увидеть на рис. 10. Из характеристического уравнения тензора [c.93]

Характеристическое уравнение тензора Q [c.826]

В каждой точке пространства можно ввести оси ортогональных координат так, что только три расположенные на главной диагонали компоненты симметричного тензора 2-го ранга будут отличными от нуля. Такие оси называются главными осями тензора, а прямоугольная декартова система координат, оси которой направлены по главным осям тензора, называется главной системой координат тензора. Три компоненты тензора в главной системе координат называются его главными компонентами ai (i = l, 2, 3). Известно, что ai, аг, могут быть вычислены как корни характеристического уравнения [c.9]

Проблема определения главных направлений и собственных значений тензора Та сводится к решению характеристического уравнения его матрицы Л [c.62]

Собственные значения тензора, как и его главные направления, не должны зависеть от выбора Системы координат. Поэтому коэффициенты характеристического уравнения [c.63]

Характеристическое уравнение тензора Та Производная от вектора по векторному аргументу [c.67]

Как и каждый симметричный тензор, тензор напряжений может быть приведен к диагональному виду. Для этого необходимо решить характеристическое уравнение [c.120]

В качестве приложения полученных зависимостей подсчитаем f (К) = ек, где К - -кососимметричный тензор (1.30). Составляя для К характеристическое уравнение (1.14) [c.15]

Но тогда из характеристического уравнения (1.15), записанного для тензора Т -Т, [c.17]

Аналогично тому, как это было выполнено при рассмотрении тензора напряжений, можно изучить, в каких направлениях имеются только относительные деформации и отсутствуют сдвиги. Можно показать, что эти направления соответствуют также экстремальным значениям относительных деформаций, которые называются главными относительными деформациями и обозначаются через 1, 82, з- Для определения главных деформаций может быть использовано характеристическое уравнение [c.28]

Условия разрешимости этих уравнений приводят к характеристическому уравнению для главных значений тензора деформаций [c.35]

Инварианты симметричного тензора второго ранга. Рассмотрим характеристическое уравнение симметричного тензора второго ранга [c.65]

Очевидно, тензор является корнем своего характеристического уравнения. [c.68]

Если обозначим = ( ь 2, з) главные значения тензора 2, определяемые как корни характеристического уравнения ( 4,5) [c.130]

Характеристическое уравнение для тензора В имеет вид 1—Я О — 1 [c.63]

Характеристическое уравнение для девиатора напряжений так же, как и характеристическое уравнение (2.38) для тензора напряжений, представляет собой кубическое уравнение вида [c.87]

При действительных значениях компонент напряжения инварианты тензора напряжений действительны и, следовательно, все коэффициенты уравнения (2.38)— действительные величины. По теории таких уравнений хотя бы один корень (главное значение) должен быть действительным. Обозначим его через н рассмотрим совокупность осей со штрихами х , причем направление Хд соответствует 0(3). Относительно таких осей характеристическое уравнение имеет вид [c.106]

Это кубическое уравнение называется характеристическим уравнением тензора напряжений и может быть записано в виде [c.26]

Известно, ЧТО собственные значения вещественного симметричного тензора второго ранга являются всегда вещественными числами. Для тензора напряжений это можно непосредственно доказать, если исходить из характеристического уравнения. Один корень кубического уравнения должен быть всегда вещественным. Предположим, что это главное напряжение аь действующее в главном направлении х, тогда [c.27]

Ортогональный тензор. Его инварианты определены формулами (8.17) характеристическое уравнение приводится к виду [c.440]

В этом упражнении тензор А не обязан быть симметричным а обозначают п корней у, возможно кратных или комплексных, характеристического уравнения det (А =-г/1) = 0.) [c.272]

Элементы собственного подпространства называются собственными век торами, соответствующими заданному собственному числу. Собственное число просто, еслн его кратность равна 1, т, е. если его собственное подпространство одномерно. Множество всех собственных чисел тензора Ь называется его спектром. По определению числа, образующие спектр, различны. Характеристическим уравнением для тензора I, называется уравнение [c.508]

Характеристическое уравнение для Ь является алгебраическим уравнением /1-й степени с действительными коэффициентами. Над полем комплексных чисел оно имеет ровно п корней /ь /г,. .., они называются характеристическими корнями тензора Ь. Если некоторый корень имеет алгебраическую кратность к, то он входит к раз в последовательность 1и Ь,. .., 1п. Комплексные корни попарно сопряжены. Величина //, равна сумме всевозможных различных произведений характеристических корней состоящих из к сомножителей ). Например, при /1 = 3 [c.508]

Выражение (1.7), представляющее собой характеристическое уравнение для упругих волн в кристаллах, очевидно, определяет собственные значения симметричного тензора Г . Из условий упругой устойчивости кристалла следует, что этот тензор, называемый также тензором Кристоффеля, должен быть положительно определенным [1—31. Из этого в свою очередь вытекает, что все три собственных значения тензора Г — величины — тоже положительны. Таким образом, в любом направлении произвольного анизотропного кристалла могут распространяться три плоские волны с различными скоростями Подставляя поочередно каждый из корней [c.214]

Главные деформации, главные оси деформации. Конечно, на тензоры и S", как на симметричные тензоры второго ранга, распространяется все сказанное в пп. 2.1 и 2.2 гл. I. Главные деформации, обозначаемые Е, определяеются из характеристического уравнения тензора [c.77]

Теорема Кейли — Гамильтона, доказанная здесь для симметричного тензора второго ранга, имеет место для любой (симметричной или несимметричной) матрицы—матрица удовлетворяет ее характеристическому уравнению. [c.823]

Процедура нахождения матрицы тензора в главном множестве координат по его матрице, заданной в произвольном множестве координат (П1.29), называется диаготлтацией тенила. Для трехмерного пространства выполнение этой процедуры сводится к решению кубического уравнения (П1.59) с непрошенным соблюдением условия (П1.62). Отметим, что для симметричных тензоров корни характеристического уравнения (П1.59) всегда являются действительными числами. При этом всегда выполняется неравенство [c.249]

По теореме Гамильтона— Кэли тензор удовлетворяет своему собственному характеристическому уравнению. Следовательно, (В) — 2 (В) — 6В + 91 = 0. Умножив это равенство на В, получим (В) = 2 (В) 6 (В) — 9В, или (В) = 10 (В) [c.63]

Теорема Гамильтона — Кэли утверждает, что тензор Ь удовлетворяет своему характеристическому уравнению [c.508]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...