Производная тензора по тензору

Производные главных инвариантов тензора по тензору 832 Пространство, трехмерное Евклида 799 [c.936]

Согласно физическому смыслу значения функций 117 и а не зависят от систем координат. Следовательно, они являются скалярами. Поскольку частная производная скаляра по тензору — тензор, то (4.14) и (4.11) являются тензорными рмулами. Явная зави- [c.32]

Тензор упругостей сохраняет значение при перестановке индексов в каждой паре (др), st). По (П. 1.6) число его компонент равно 21. Это следует из (7.9), (4), а также из определений производной (II.4.5) тензора по тензору [c.119]

При всех УР. Отсюда, вспомнив определение (II.2.7) производной скаляра по тензору и сославшись на (II.3.5), имеем [c.253]

Скалярная функция тензорного аргумента. Производная скаляра по тензору [c.448]

По (2.7) и его определению производной тензора по тензору (4) [c.453]

Конечно, аналогичные уравнения можно было бы получить из производных В и В" , но эти тензоры по причинам, которые подробно будут обсуждены в гл. 4, использоваться не будут. [c.103]

Обратим теперь внимание на дифференцирование тензоров по времени. Следует подчеркнуть весьма важное обстоятельство производные по времени компонент тензора не являются компонентами производной тензора по времени. Это особенно ясно можно представить, учитывая, что даже компоненты постоянного тензора могут иметь отличные от нуля производные по времени. Действительно, базис, по отношению к которому определены компоненты, может изменяться со временем по одной или двум следующим причинам [c.113]

Производная тензора по скалярному аргументу запишется так [c.15]

При отыскании скоростей и ускорений движения таких систем необходимо определять производные тензоров по скалярному аргументу /. Известно [58], что производная тензора по скалярному аргументу определяется по обычному для непрерывных функций правилу [c.61]

Это объясняется тем, что транспонированный тензор (Va) определен как производная а по направлению г, а (Va) — по направлению R [c.70]

Транспонированные тензоры — производная R по направлению f и г по направлению R—определяются равенствами [c.71]

Напомним, что по теореме Риччи [см. (V. 3)] производные компонент метрических тензоров выражаются через эти компоненты и символы Кристоффеля например, [c.679]

Величины V/ai(V/a ) называются ковариантными производными от ковариантных (контравариантных) компонентов вектора а. Аналогично ковариантные производные от компонентов тензора вычисляются по формулам вида [c.212]

Из тензорного анализа известно, что ковариантная производная тензора по а выражается в виде [c.106]

Если в формуле (П1.90) вектор х совпадает с вектором Е, то полная производная тензора по времени в эйлеровых координатах состоит из частной производной этого тензора по времени и конвективных слагаемых, обусловленных переносом окрестности материальной частицы со скоростью V (1.2.15) [c.24]

Как выполняются над тензором дифференциальные операции различного ранга градиент, дивергенция и ротор как вычисляется производная тензора по векторному аргументу [c.259]

Приведите примеры множества осей координат, в которых полная и частная производные тензора по координатам совпадают и различаются как вычисляется полная производная в последнем случае [c.259]

Какой тензор называется производной вектора по векторному аргументу градиентом вектора [c.65]

Дифференцирование пространственных тензоров по координатам осуществляется с учетом переменности базисных векторов, что приводит к понятию ко-вариантной пространственной производной. Для пространственных ковариантных производных тензоров первого и второго рангов справедливы представления [c.23]

Отметим, ЧТО прои водная тензора по перемещению в общем не является тензором. Это следует из факта, что базисные векторы системы М в общем зависят от времени t, и поэтому, например, б с ак)/Ь(ф Ф 6 /6t) а . Можно ввести другую производную, которая имеет тензорные правила преобразования. Для наших целей это не обязательно, поэтому остановимся на формулах, представленных выше. Легко видеть, что производная b/bt линейна и удовлетворяет правилу Лейбница [c.135]

В этом случае закон состояния представляется либо в виде (1.4.3) с использованием тензора Пиола, либо в виде (1.4.4) с использованием тензора Кирхгофа. И в том и в другом случае при вычислении производной скалярной функции по тензору деформации используется переход от дифференцирования по тензору деформации к дифференцированию по первым инвариантам степеней тензора деформации [75] [c.22]

С помощью экспериментальных значений абсолютных интенсивностей и деполяризаций [ 03014 были определены след Ъ и анизотропия g тензора производных поляризуемости по нормальным координатам. Используя значения Ъ по формуле дЬ "V 56 г 1 [c.299]

Элементы тензоров производных поляризуемости по нормальным [c.308]

И для вычисления величины [а, р, 3] требуется знание производной от по д . Поэтому определение коэффициентов предполагает известными значения составляюш.их метрического тензора 3 при д = д и составляющих 3 с точностью до членов первого порядка [c.800]

Из этих выражений и равенств (1.5) следует, что вектор йи может быть представлен как произведение справа тензора, называемого тензором, производным вектора и по вектору R, на вектор йR. Таблица составляющих этого тензора имеет вид [c.15]

Если (р д) = О, то траекторию частицы называют геодезической линией в двумерном пространстве. Поскольку эта линия лежит на поверхности, то она не является прямой , а реальное движение частицы не будет прямолинейным равномерным. Понятие геодезической связано с производной вектора по направлению. Следует отметить, что в криволинейных координатах производная вектора ОА /дд не является тензором. Величина Г д, также не образует тензора. Тензором является конструкция [c.108]

Символы, определяемые выражениями (1-4.11) и (1-4.10), называются символами Кристоффеля первого и второго роДа соответственно. Как видно из этих соотношений, они являются комбинацией производных метрического тензора по координатам и обра-ш аются в нуль, если компоненты метрического тензора постоянны, как это имеет место в декартовой системе координат. Известное правило суммирования распространяется также и на эти символы. Индексы в символах Кристоффеля первого рода считаются нижними, а в символах Кристоффеля второго рода один из индексов считается верхним и два — нижними. [c.32]

Так же как и для векторов, будем различать абсолютную производную по вымени (т1/с1т) и относительную производную от тензора по времени (т1/(1/), обозначая их соответственно точкой и звездочкой над тензором. При зтом под относительной нрстизводной понимается тензор того же ранга, компонентами которого являются производные соответствующих компонент тензора. Правило вычиа1ения пртизводтюй произведения сохраняется (с учетом некоммутативности произведения) [c.40]

Наконец, сделаем еще следующее замечание по поводу фигурирующих в (36,1) модулей упругости. Поскольку они введены как коэффициенты в свободной энергии, ими определяются изотермические деформации тела. Легко видеть, однако, что те же коэффициенты определяют в нематиках также и адиабатические деформации. Действительно, мы видели в 6, что для твердого тела различие между изотермическими и адиабатическими модулями возникает в силу наличия в свободной энергии члена, линейного по тензору деформации. Для нематиков аналогичную роль мог бы играть член, линейный по производным dutii. Такой член должен был бы быть скаляром и к тому же инвариантным по отношению к изменению знака п. Очевидно, что такой член построить нельзя (произведение п rot п — псевдоскаляр, а единственный истинный скаляр div п меняет знак вместе с п). По этой причине изотермические и адиабатические модули нематика совпадают друг с другом (подобно тому, как это имеет место для модуля сдвига изотропного твердого тела — 6). Эти рассуждения можно сформулировать и несколько иначе в отсутствие линейного члена квадратичная упругая энергия (36,1) является первой малой поправкой к термодинамическим величинам не- [c.194]

Основное содержание СТО, как подчеркивал Г. Минковский, состоит в установлении единой абсолютной пространственно-временной формы бытия материи — пространственно-временного мира (мир Минковского), геометрия которого псевдоевклидова. В этом мире различным системам отсчета соответствует в общем случае различная метрика с коэффициентами y v (х) пространства-времени. Например, в произвольной неинерциальной системе координат S метрические коэффициенты y[ v оказываются функциями координат X этой системы, что приводит в итоге к появлению ускорения свободной материальной точки относительно S и сил инерции, выражающихся через производные первого порядка от тензора по соответствующим координатам. Кинематически силы инерции характеризуются тем, что вызываемые ими ускорения свободных материальных точек не будут зависеть от их масс. Таким же свойством обладают и гравитационные силы, поскольку, как показывает опыт, гравитационная масса тела равна его инертной массе. Этот фундаментальный факт привел Эйнштейна к мысли, что гравитационное поле должно описываться подобно полю сил инерции метрическим тензором, но уже в римановом пространстве-времени. [c.158]

ЛИШЬ при наличии градиентов скорости. Если эти градиенты не слишком велики, то мерой такого движения являются производные вида du/ ldxi, т.е. первые производные скорости по координате, а зависимость тензора вязких напряжений от этих производных должна быть линейной. При этом следует учитывать, что величина симметрична. Наиболее общий возможный вид такого линейного соотношения [c.26]

Е которой вместо реакции, пропорциональной тензору аа, к выражению (151) для добавочного напряжения S добавляется новый член, равный 2Wia.a., где — производная от по новому аргументу /4. Связь напряжений с деформациями для трансверсально [c.349]

Если в формуле (П1.90) вектор х совпадает с вектором L, то вследствие (1.2.10) полная производная любого тензора по вралйш в лагран-жевых координатах совпадает с частной производной его по времени [c.23]

Из этой формулы следует, что полная и частная производные тензора по времени совпадают лишь в случае независимостй координат Xj от времени [c.255]

Из кинетических соображений следует, что в рассматриваемой части переходной области, соответствующей слабо разреженным газам, наряду с обычными линейными членами в выражениях компонент тензора вязких напряжений, векторов потока тепла и веществ, должны еще входить нелинейные комбинации производных скоростей по координатам (Д. Барнетт )). Отношение этих дополнительных членов к основным, соответствующим линейным законам, имеет как раз порядок величины M /Reoo или, согласно предыдущему, квадрата отношения 1/8 — длины свободного пробега к тшщ-ине пограничного слоя. [c.655]

Следует подчеркнуть, что в отличие от интегрирования в уравнениях (VIIL4), (VIII.5), (VIII.7) операция дифференцирования,тензора по времени далеко не элементарна. Результатом дифференцирования снова должен быть тензор. Легко видеть, например, что. вычисление полной производной от компонент тензора нарушает тензорный закон преобразования компонент при переходе к новым координатам. [c.264]

Отсюдт следует важный вывод — частная производная от тензорной функции по тензору является тензором. [c.201]

При рассмотрении в гл. 3 формирования голографических изображений были использованы как первые, так и вторые производные разности фаз. В гл. 4 дан анализ формирования интерференционных полос на основании определения оптической разности хода, а затем, при более подробном ознакомлении рассмотрена первая производная от оптической разности хода. В то же время было показано, как вектор смещения и его первая производная, т. е. тензор относительной деформации и тензор вращения связаны с оптическими величинами и по этой причине могут быть измерены на поверхности непрозрачного тела. Следовательно, поскольку каждый дополнительный порядок производной позволяет получить больщее количество ин-. формации, теперь рассмотрим вторую производную от оптической разности хода, с помощью которой определили вторую производную от смещения. Поэтому сначала кратко остановимся на том, какие механические величины за-висят от этой производной и какие соотнощения будем использовать в дальнейшем. Затем подсчитаем вторую производную от оптической разности хода и отметим в общих чертах некоторые из ее возможных применений, [c.154]

Дифференцирование тензора. Пусть компоненты тензора ранга п являются функциями координат Хг, Хз. Тогда совокупность первых частных производных от компонент тензора по координатам определяет тензир ранга п т. е. при дифференцировании по координатам ранг тензора повыщается на единицу. [c.21]

Равенство (8 ) не зависит от выбора системы координат и в любой системе коордннат вектору dr ставит в соответствие вектор d. Следовательно, на основании теоремы о характеристическом свойстве тензора, матрица определенная равенством (9 ), является афинным тензором второго ранга. Этот тензор называется производной вектора по вектору. [c.626]

Слово контравариантньиЪ использовано выше, чтобы отличить эти тензоры от тензоров другого типа, называемых ковариантньши. В общей теории для изображения ковариантных тензоров используются нижние индексы. Типичный ковариантный вектор образуют частные производные от скалярной функции по координатам. [c.24]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...