Периодическое решение эллиптическое

Кстати сказать, это условие геометрически означает отсутствие перегиба у кривой Яо(7) =Л в точке /=/о. Таким образом, уравнение йН =а будет иметь столько же корней, для которых а > О, сколько корней, для которых а, <0. Это равносильно тому, что при малых значениях е О возмущенная система будет иметь ровно столько периодических решений эллиптического типа, сколько она имеет решений гиперболического типа. В этой ситуации обычно говорят, что при распаде невозмущенного инвариантного тора /=/° рождаются пары изолированных периодических решений. Согласно результатам КАМ-те-ории, траектории типичных эллиптических периодических решений окружены инвариантными торами. Гиперболические периодические решения имеют две инвариантные поверхности (сепаратрисы), заполненные решениями, асимптотически приближающимися к периодической траектории при /- - оо. Различные асимптотические поверхности могут пересекаться, образуя в пересечении довольно запутанную сеть (см. рис. 44). Поведение асимптотических поверхностей будет подробно обсуждаться в следующем параграфе. [c.231]

ДЛЯ конфигурации I, в то время как упругие энергии совпадают. Следовательно, распределение ламелл в широких местах канала термодинамически невыгодно. Однако возможны устойчивые распределения ламелл, когда крайние ламеллы в цепочке смещаются так, что средняя оказывается в широкой части канала. Такого типа распределения ламелл в цепочке (конфигурация III на рис. 5.2) описываются замкнутыми траекториями вблизи эллиптических точек. При этом верхняя часть овала описывает сжатые цепочки, а нижняя часть - растянутые. Периодические решения (область III на рис. 5.1) ограничены сепаратрисами, каждая из которых имеет две ветви, соединяющие гиперболические точки либо сверху от прямой р = 1, либо снизу от нее. Сепаратриса описывает бесконечную цепочку пузырей, одна половина которых сдвинута на период канала относительно дру- [c.89]

Отрезки рядов такого вида как в периодическом, так и в непериодическом случаях применялись С.Н. Бернштейном [2] для рассмотрения аналитичности решений нелинейных эллиптических уравнений. С.С. Титов [7] обнаружил, что применение двойных тригонометрических рядов для представлений периодических решений нелинейных уравнений с частными производными в случае задачи Коши приводит к рекуррентной процедуре вычисления коэффициентов рядов в отличие ОТ обычного метода Фурье, когда получение рекуррентной цепочки уравнений для коэффициентов связано с необходимостью искусственного обрезания рядов. [c.381]

Обсуждается метод нахождения периодических решений для ограниченной задачи трех тел, отличный от известного классического метода кратко рассматриваются идеи, используемые для доказательств существования таких решений, и их тесная связь с классическими методами. В частности, изучается вывод решений для прецессирующих эллиптических орбит с произвольным эксцентриситетом и небольшим периодом обращения относительно меньшего из двух притягивающих тел с произвольным отношением масс. Приводятся два численных примера для недавно обнаруженных замкнутых траекторий. [c.93]

Путем надлежащего выбора т, k и е для прецессирую-щей эллиптической орбиты х (t) t Т ) можно добиться, что эта орбита будет проходить на заданном малом расстоянии от притягивающих тел, и это свойство останется справедливым для получающихся периодических решений X (t) О t Т) уравнения (1) при и > О так как [д, мало. Такие траектории представляют большой интерес для астронавтики и, в частности, для исследования космических полетов в системе Земля — Луна . [c.96]

На круговой орбите (б = 0) уравнение (2.3.5) переходит в уравнение свободных колебаний математического маятника, которое интегрируется в эллиптических функциях (см. 2 этой главы). Упомянутые выше 2я-периодические решения при 6 = 0 имеют вид [c.96]

В случае п = 2 оставшиеся характеристические показатели либо оба действительны, либо оба чисто мнимы. Если они отличны от нуля, то периодическое решение называется невырожденным. Невырожденное решение с действительными характеристическими показателями называется гиперболическим, а с чисто мнимыми — эллиптическим. Эллиптическое решение устойчиво в первом приближении, а гиперболическое неустойчиво. [c.77]

Прежде всего отметим, что критическим точкам потенциальной энергии при малых значениях е отвечают невырожденные периодические решения полной системы. Причем, точки локального минимума порождают решения эллиптического типа (их мультипликаторы лежат на единичной окружности), а точки максимума порождают решения гиперболического типа (их мультипликаторы вещественные и отличны от 1). Период таких решений равен 27г/Л они часто называются гармоническими. [c.236]

В случае жесткой восстанавливающей силы локальным максимумам (минимумам) усредненного возмущения отвечают гиперболические (соответственно, эллиптические) периодические решения. Для мягкой силы свойства устойчивости меняются на противоположные. [c.241]

Согласно результатам KAM-теории, траектории типичных эллиптических периодических решений окружены инвариантными торами. Гиперболические периодические решения имеют две инвариантные поверхности (сепаратрисы), заполненные решениями, асимптотически приближающимися к периодической траектории при t — +00 или t — -00. Различные асимптотические поверхности могут пересекаться, образуя в пересечении довольно запутанную сеть. Поведение асимптотических поверхностей будет подробно обсуждаться в следующей главе. [c.230]

При п = 1 теорема 3 установлена в работе [71]. Точнее, при всех у ф О из плоскости TTj резонансные двумерные торы невозмущенной задачи распадаются при добавлении возмущения, причем для малых Ф О возмущенная задача имеет четное число невырожденных периодических решений. Половина из них имеет гиперболический тип, а половина—эллиптический. [c.249]

Сюда относятся, например, изыскание периодических решений вблизи известных лагранжевых решений ограниченной (круговой или эллиптической) и общей задачи трех тел, исследование периодических решений в задаче Фату, т. е. задачи о движении материальной точки в осесимметричном гравитационном поле, нахождение периодических решений некоторых специальных случаев задачи многих тел и, наконец, применение общих методов теории периодических решений Ляпунова — Пуанкаре к задачам о вращательном и о поступательно-вращательном движении взаимно притягивающихся твердых тел (не заменяемых материальными точками ). [c.355]

В предыдущей главе мы рассмотрели простые частные решения ограниченной задачи трех тел, которые оказываются периодическими для случая эллиптической (а следовательно, и круговой ) задачи. Мы установили также, что круговая ограниченная задача имеет бесчисленное множество периодических решений, близких к либрационным. [c.271]

Первые найденные в небесной механике периодические решения— это эллиптическое движение в задаче двух тел (см. ч. И, 2.01) и лагранжевы решения в задаче трех тел (см. ч. V, 1.02, 2.03). После того как Хилл доказал, что уравнения задачи, названной его именем (уравнения (5.3.16)), допускают периодическое (почти-круговое) решение, Пуанкаре разработал достаточно общий метод — метод малого параметра (см. 1.01) и на его основе установил [2] существование трех сортов периодических решений в планетном варианте неограниченной задачи трех тел (тело имеет массу то, значительно большую масс т = а1 А, Ш2 — 0,211 планет Р, и Рг, также отличных от нуля, а > О, К2 > О, — малый положительный параметр). Частными случаями этих решений являются периодические решения первого, второго и третьего сорта в ограниченной задаче трех тел (см. ч. V, 2.05). [c.792]

Для периодических решений первого, второго и третьего сорта, так же как п для периодических решений второго рода, характерным является то, что они при д, = О (когда массы двух планет гП] — а]Ц, гпч — гМ- обращаются в нуль) вырождаются в кеплеровские орбиты (круговые или эллиптические), т. е. в вырожденном случае перигелии и узлы планетных орбит неподвижны. В связи с этим Пуанкаре ставит и решает новую задачу о периодических решениях в проблеме трех тел им доказано существование таких периодических решений, которые характеризуются существенным (но спонтанным) изменением долгот перигелиев и узлов, обусловленным взаимно близким прохождением планет. Такие периодические решения названы Пуанкаре решениями второго вида. [c.794]

Если >.1 и Хг не лежат на действительной прямой, то периодическое решение называется эллиптическим. Оно устойчиво в первом приближении. [c.71]

Аналогичные теоремы можно доказать и относительно устойчивости положений равновесия и эллиптических периодических решений гамильтоновых систем с двумя степенями свободы (см. В. И. Арнольд [7]). Наиболее сильный результат был получен Ю. Мозером [1]. [c.218]

Подобным же образом можно рассмотреть периодические решения вблизи прямолинейных решений. В этом случае опять получается семейство эллиптических решений Лагранжа, которые лежат вблизи круговых и соответствуют паре собственных значений г, —г. Остальные собственные значения получаются из корней Л , Х квадратного уравнения [c.163]

Уравнение этого типа приводит, вообще говоря, к периодическим решениям и часто встречается в динамике. Эллиптические функции можно рассматривать с помощью таких уравнений см. Peres [20], стр. 107—122, Synge and Griffith [26], стр. 304—370. [c.105]

В настоящее время знание периодических решений уравнения (1) еще весьма ограничено. Мы не будем обсуж-дать хорошо известные классические решения, которые характеризуют 1) траектории либо близкие к либрационным точкам, либо близкие к круговым решениям для малых [X >0 2) траектории для произвольных х, когда точка находится близко от одного из тел или на большом удалении от обоих тел 3) траектории, находящиеся внутри замкнутого овала нулевой скорости вокруг более тяжелого тела, которые сходятся только после многих оборотов, и т. д. Здесь мы рассмотрим некоторые недавно обнаруженные периодические решения и принципы, которые можно использовать для доказательства их существования. Эти новые решения характеризуются своей связью с кеплеровы-ми эллиптическими движениями при больших эксцентриситетах и представляют по отношению к уравнению (1) ситуацию, которую классики небесной механики безуспешно пытались решить, хотя и разработали мощные методы в ходе исследования таких проблем. [c.94]

Обсуждается возможность получения периодических решений в ограниченной задаче трех тел, отличных от классических. Кратко рассматриваются способы доказательства их существования и связь с классическими решениями. В частности, показан способ определения прецессии возмущенной эллиптической орбиты произвольного эксцентриситета относительно меньп1его из двух притягивающих тел при произвольном отношении масс. [c.237]

Периодические колебания произвольного спутника при произвольных эксцентриситетах. Если оба параметра уравнения (2.3.5)—и е — произвольны (не малы), то анализ движения представляется весьма затруднительным однако такой анализ можно провести, широко использовав расчеты на вычислительных машинах. Такое иссдедование было проведено В. А. Злато-устовым, Д. Е. Охоцимским, В. А. Сарычевым, А. П. Торжевским и изложено в их совместной работе [37]. Как уже было указано, наибольший интерес представляют периодические решения, ибо устойчивые периодические движения могут быть использованы в качестве номинальных движений для системы гравитационной стабилизации на эллиптических орбитах. В работе [37] исследуются нечетные периодические решения с периодом, равным периоду обращения спутника по [c.96]

Расщепление сепаратрис и периодические решения. Предположим, что фазовый портрет певозмущеппой системы содержит петлю сепаратрис или пару сдвоенных сепаратрис. Оказывается, при малых значениях е ф д эти сепаратрисы, как правило, расщепляются (перестают быть сдвоенными), и это явление, обнаруженное Пуанкаре, приводит к появлению областей с квазислучайным поведением траекторий (см. [9, 10, 16]). Как показано в [17], расщепление сепаратрис тесно связано с рождением бесконечного числа пар различных долгопериодических решений, одно из которых эллиптическое, а другое — гиперболическое. [c.242]

В теореме о расщеплении сепаратрис утверждается, что функция 1 а) имеет на периоде два простых пуля (в которых I ф 0). Пусть о — простой пуль и l ao) > 0. Тогда периодические решения, о которых идет речь в теореме из работы [17], будут гиперболическими и, следовательно, неустойчивыми. Если же sI ao) < О, то получим бесконечное семейство эллиптических периодических решений. С помощью результата работы [11] С. А. Довбыш показал, что при выполнении дополнительного условия [c.245]

В типичной ситуации функция h является функцией Морса. Поэтому у нее всегда найдутся критические точки, в которьгх h имеет знак, противоположный знаку 6. При п = 1 получаем периодические решения возмущенной задачи, период которьгх кратен 27г/о . Этот случай, по существу, охватывается классической теоремой Пуанкаре о рождении невырожденных периодических решений (см. теорему 5 8). Отметим две особенности. Во-первых, зависимость возмущенных решений аналитична по е, а не по у/г, как в теореме 1. Во-вторых, критическим точкам функции /г, в которьгх к Х )6 > О, при е > О отвечают возмущенные периодические реигения эллиптического типа они устойчивы в линейном приближении. Условия их устойчивости по Ляпунову указаны в работе [123]. [c.247]

Периодические решения Пуанкаре из теоремы 1 зависят от двух параметров непрерывного е и дискретного п. В предположениях теоремы 1 возмущенная система имеет 2тг7г-периодическое решение при фиксированном п и малом , В зависимости от знака произведения / (Ао) это решение может быть эллиптическим или гиперболическим. Возникает естественный вопрос о поведении возникающих невырожденных периодических решений при увеличении . Эта задача рассмотрена в работе [50. Оказывается, найдется такая положительная постоянная с, что с возрастанием < с/п мультипликаторы А, A периодического решения Пуанкаре, появляясь из точки А = A = 1 при = О, либо монотонно движутся в противоположных направлениях положительной вещественной по- [c.296]

А. Пуанкаре назвал периодические решения ограниченной круговой задачи трех тел, рождаюгциеся из эллиптических решений предельной задачи — задачи двух тел, периодическими решениями второго сорта [7]. При этом он указал на сугцествование симметричных семейств. Однако доказательства их сугцествования [7-9], использую-гцие только условие периодичности, были ошибочны [10-12. [c.133]

В общем случае анализ периодических решений уравнения плоских колебаний на эллиптической орбите проводился численными методами, что позволило получить полную картину областей существования устойчивых периодических колебаний при любых значениях эксцентриситета эллиптической орбиты и любых моментах инерции спутника (В. А. Златоустов, 1964 Д. Е. Охоцимский, 1964 В. А. Сарычев, 1964 А. П. Тор-жевский, 1964). Исследованию уравнения плоских колебаний на эллиптической орбите посвящены также работы В. В. Белецкого (1963), И. Д. Килля (1963—1964) и А. П. Торжевского (1964). [c.290]

Непосредственно в небесной механике теория Ляпунова — Пуанкаре позволила обнаружить множество периодических решений, близких к решениям уравнений невозмущенного движения, определяющих простые кеплеровы, круговые и эллиптические движения планет, спутников, астероидов и т. д. [c.331]

В работе [92] Е. П. Аксенов и В. Г. Демин установили существование. почти-эллиптических периодических относительно регуляризирующего времени т экваториальных орбит в спутниковой задаче, когда центральное тело обладает динамической симметрией и медленным по сравнению со средним движением спутника) вращением. Эти решения образуют двухпараметрическое семейство и могут быть названы решениями второго сорта. В. Г. Деминым найден класс почти-круговых периодических решений [87] в задаче о движении спутника в гравитационном поле, порожденном притяжением сфероидальной планеты и двух точечных масс, двигающихся по круговым орбитам вокруг планеты на расстояниях, больших чем максимальное планетоцентрическое расстояние спутника. В этой же монографии можно найти оо2 семейство периодических движений относительно регуляризирующего времени т ) лунного спутника. [c.795]

Эта общая теорема позволяет доказать, что в задаче о движении N планет существуют условно-периодические решения, если массы планет достаточно малы и их невозмущенные эллиптические движения происходят в кольцеобразных областях трехмерного пространства, не пересекающихся друг с другом. Последнее условие для всех больших планет (исключая Плутон) выполняется. Применение теоремы Арнольда в небесной механике возможно, если написать уравнения движения в канонических переменных Делоне (см. ч. IV, гл. 1) и воспользоваться теоремой Биркгофа [41] о приведении гамильтоновой системы к нормальной форме. Роль частот соо играют средние движения планет. [c.803]

Каждой га-звенной периодической траектории ф" 6 Т" соответствует 2л-звенная периодическая траектория ф 6Т ", полученная из исходной удвоением , т. е. прохождением два раза. Если траектории ф соответствует матрица Пуанкаре Р, то траектории <р , очевидно, соответствует матрица Пуанкаре Р. Таким образом, мультипликаторы ф равны квадратам мультипликаторов ф , значит, периодические решения ф и ф одновремен Ю являются эллиптическими и гиперболическими Траектория ф вырождена в том и только в том случае, если ф вырождена или ее мультипликаторы равны — 1. [c.72]

Следовательно, но теореме существования 14 корням Аз = г, Ае = —i соответствует однонараметрическое семейство периодических решений уравнений (27), лежащих вблизи равновесного решения и имеющих период, приблизительно равный 2тг. Но эти решения уже известны они бьши найдены как обобщенные решения Лагранжа в конце 12, когда искались частные решения с эллиптической орбитой, близкие к круговым решениям Лагранжа. Используя известные формулы для решения задачи двух тел, легко установить, что при фиксированном значении постоянной интеграла площадей г>4 существует еще одно семейство эллиптических решений, параметром которых можно выбрать период т. Если положить с = os t — И4), 3 = 81п(4 — М4), то из уравнений (12 3), (12 4), (9) и (24) получается [c.162]

Е(С, Т1 ) и рассмотрим начальные значения 1, Щ как независимые переменные в малой окрестности точки Сх = СГ, Щ —VI- Если продолжить соответствуюгцее решение для возрастаюгцего 1 до следуюгцего пересечения с плоскостью у2 = 72> то, согласно доказанному в 20, мы получим аналитическое отображение 5 в двумерной плоскости х, ух), которое сохраняет объем и имеет неподвижную точку х = СГ, 2/1 = 71 При этом имеет место эллиптический случай. Тогда, если суш ествует натуральное число /, такое, что 1 (/с = 1,. .., 2/ + 2) и 71 =. .. = = 7 1 = О, 7 ф О, то отображение 3 можно перевести в форму (1) и применить теорему Биркгофа о неподвижной точке. Отсюда следует сугцествовапие бесчисленного множества периодических решений с тем же самым значением Е , г/ ) функции Гамильтона в произвольно малой окрестности исходного решения, и притом сугцествует даже для [c.230]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...