Уравнение Фридмана

Уравнения Фридмана. Уравнения Гельмгольца. Напишем основные уравнения гидромеханики идеальной жидкости [гл. II, (6.4)] [c.160]

В однородной и изотропной турбулентности структура статистических моментов гидродинамических полей и вид уравнений Фридмана—Келлера оказываются наиболее простыми. Правда, и в этом простейшем случае проблема замыкания уравнений Фридмана—Келлера остается в силе. Однако соответствующие уравнения более доступны для математического анализа, и с их помощью получен ряд результатов, разъясняющих закономерности турбулентных течений. [c.16]

Работа Л. В. Келлера и А. А. Фридмана (1924), ставшая теперь классической, была крупнейшим достижением в развитии теории турбулентности после работ О. Рейнольдса. Уравнения Фридмана — Келлера для моментов стали основой очень большого числа работ по теории турбулентности на многие годы вперед. [c.465]

Отметим, что система уравнений Фридмана — Келлера (1.2) бесконечна, причем любая конечная ее подсистема незамкнута, т. е. содержит больше неизвестных, чем имеется уравнений в этой подсистеме. Это обстоятельство является прямым следствием нелинейности уравнений гидромеханики, приводяш,ей к тому, что в уравнениях для моментов п-го порядка всегда возникают моменты (п + 1)-го порядка. [c.465]

Выпишем для наглядности простейшие из уравнений Фридмана — Келлера. В случае и = 1 уравнения (1.2) принимают вид [c.465]

Поскольку уравнения Фридмана — Келлера оказываются всегда незамкнутыми, естественно возникает проблема замыкания уравнений для моментов. Этой проблеме посвящалась и посвящается значительная часть теоретических работ по динамике турбулентных течений, и хотя полностью преодолеть встречающиеся здесь трудности пока так и не удалось, некоторые из предложенных приближенных методов замыкания все же оказались весьма полезными (см., в частности, 3, посвященный теории изотропной турбулентности). Однако наиболее важные, и практически ценные результаты в теории турбулентности были получены на двух обходных направлениях, одно из которых связано с описанием крупномасштабных компонент турбулентности (масштабы которых сравнимы с характерным масштабом течения в целом) при помощи так называемых полуэмпирических методов, а второе — с описанием мелкомасштабных компонент (с масштабами, много меньшими масштаба течения в целом) на основе применения некоторых естественных гипотез подобия. Основное различие в поведении этих двух типов компонент турбулентности состоит в том, что крупномасштабные возмущения существенно зависят от геометрии потока и характера внешних воздействий, в то время как режим мелкомасштабных возмущений оказывается в значительной степени имеющим универсальный характер. Подробному разбору развития двух указанных направлений в теории турбулентности будут посвящены 2 и 4 настоящего обзора. [c.466]

Это уравнение является наиболее полной и наиболее компактной формой записи уравнений турбулентного движения. Замечательной его особенностью является линейность (эта особенность присуща и уравнениям Фридмана — Келлера). Таким образом, в то время как эволюция индивидуальных полей скорости ti (х, i) описывается нелинейными уравнениями гидро- динамики, задача изучения эволюции соответствующих распределений вероятностей в функциональном пространстве Q оказывается линейной задачей, откуда вытекает ряд радикальных математических упрощений (включая принцип суперпозиции, позволяющий искать нужное решение уравнения (1.8) в виде суперпозиции тех или иных частных решений). [c.467]

Возвращаясь теперь к историческому изложению основных этапов развития теории турбулентности, упомянем прежде всего интересную работу Джеффри Тэйлора (1921) о турбулентной диффузии, в которой впервые выявилась важная роль корреляционных функций (т. е. смешанных вторых моментов) поля скорости (правда, не для обычной эйлеровой скорости течения в фиксированной точке, а для более сложной лагранжевой скорости фиксированной жидкой частицы). Однако в общем виде идея о том, что корреляционные функции и другие статистические моменты гидродинамических полей должны быть признаны основными характеристиками турбулентного движения, была впервые высказана Л. В. Келлером и А. А. Фридманом (1924), предложившими общий метод построения (с помощью уравнений движения реальной жидкости) дифференциальных уравнений для моментов произвольного порядка гидродинамических полей турбулентных течений. Определение всех таких моментов при некоторых общих предположениях эквивалентно определению соответствующего распределения вероятности в функциональном пространстве P(d o) или Pt d(u), т. е. решению, проблемы турбулентности. Поэтому полная бесконечная система уравнений Фридмана — Келлера [c.17]

Статья 1 состоит из двух глав. Глава I посвящена классификации критических (теперь их называют особыми) точек линий тока на плоскости. В настоящее время понятие об особых точках рассматривается в курсах дифференциальных уравнений, в обзорных статьях, в справочниках, в курсе гидродинамики [1]. Во времена А. А. Фридмана, т. е. более 65 лет назад, появились за рубежом статьи по критическим точкам линий тока на плоскости, в которых или не было системы в классификации, или содержались некоторые погрешности. А. А. Фридман предложил мне провести разбор случаев плоского коллинеарного движения, применяя методику, исходящую от Пуанкаре. При этом кроме узла, седла, фокуса, центра были выделены также случаи бесконечно удаленной точки. Ввиду простоты и общеизвестности задачи я привожу главу I в сильно сокращенном виде. В главе II рассмотрено упрощенно пространственное движение, в котором пренебрегается вертикальной составляющей скорости. Это отдаленный прообраз современного понятия бифуркации — по параметру. Начало главы II дано без сокращений, но из пяти примеров приведены только два. [c.51]

Следует отметить, что в работе В. М. Фридмана [139] предложен более общий приближенный метод расчета частот свободных колебаний стержней. Он состоит в приближенном решении также с помощью метода Галеркина системы дифференциальных уравнений свободных колебаний стержня переменного сечения, которые в нашем случае расчета критической частоты вращения вала могут быть записаны так [c.293]

Уравнение (57.3) совпадает с известным уравнением А. А. Фридмана (см. [40]), поскольку [c.436]

Феноменологическая оценка разрушения твердого тела на основании критерия прочности в общем случае ничего не говорит о характере тех процессов, которые привели к потере несущей способности, хотя некоторые критерии могут иметь определенную физическую интерпретацию. Использование совокупности критериев может позволить в рамках феноменологического подхода различать механизмы разрушения. Концепция описания критического состояния материала с помощью более чем одного уравнения ярко выражена в теории прочности Я.Б. Фридмана [67]. В работе А.А. Ильюшина [104] введено понятие повреждения частицы материала и на основании мер повреждений записана совокупность критериев прочности, каждый из которых соответствует разрушению определенного типа. [c.111]

Основные уравнения движения идеальной жидкости. Уравнение Гельмгольца — Фридмана и теорема сохранения вихрей [c.88]

Широкое развитие получила в XX в. теория турбулентности. Общие исследования уравнений Рейнольдса и проблемы их замыкания восходят к работам Л. В. Келлера и А. А. Фридмана, впервые рассмотревших в 1924— [c.299]

Вспомним теперь указанное еще в гл. III уравнение (15) Гельмгольца— Фридмана, которое в случае несжимаемой жидкости принимает упрощенную фор.му [c.504]

На основании теоремы Фридмана мы можем утверждать, что для сохраняемости вихрей необходимо и достаточно, чтобы правая часть уравнения Гельмгольца обратилась в нуль. Отсюда, как следствие, получается теорема Гельмгольца. [c.623]

Для получения эволюционных уравнений для вторых моментов (г,/), необходимо исключить производные по времени в правой части последнего равенства с помощью соответствующих гидродинамических уравнений для пульсаций скорости. Тогда в полученные уравнения войдут корреляционные функции для пульсаций скорости третьего порядка. Аналогичным образом можно вывести и более сложные эволюционные уравнения, например, для корреляторов третьего порядка, в которые войдут уже корреляционные функции четвертого порядка и т.д. Обрыв этой цепочки на любом шаге приводит к незамкнутой системе уравнений, что и представляет главную проблему метода Келлера-Фридмана. [c.170]

Полуэмпирические теории 20-х и 30-х годов рассматривали только простейшие статистические характеристики турбулентных течений. Как правило, принимаемые в этих теориях гипотезы позволяли замкнуть уже самые первые уравнения системы Фридмана—Келлера, содержащие только одноточечные первые и вторые моменты гидродинамических полей — так называемые уравнения Рейнольдса. Заметную роль в полуэмпирических теориях играло использование свойств симметрии турбулентности в течениях того или иного вида и некоторых простейших гипотез подобия (в частности, в полуэмпирических теориях турбулентных струй и следов за обтекаемыми телами). Так, например, одним из важнейших выводов полуэмпирических теорий явилось установление универсального (т. е. справедливого при всех не слишком малых числах Рейнольдса) логарифмического закона для профиля осред-ненной скорости в трубах, каналах и пограничных слоях на плоской пластинке. Этот закон можно вывести из одной только естественной гипотезы подобия, касающейся распределений вероятностей гидродинамических полей турбулентности в полупространстве, или из соображений размерности, опирающихся на простейшие предположения о физических величинах, определяющих в этом случае турбулентный режим. [c.15]

Уравнение (5.10) называется уравнением Фридмана. Если поле массовых сил консервативно (F = —grad V) и жидкость баро тропна, то [c.223]

Уравнение Фридмана дает возможность количественно описать изменение вихря, происходящее вследствие неконсерватив-ности массовых сил и бароклинности жидкости. [c.224]

Бароклинность имеет динамическое значение, так как она приводит к появлению источникового члена в известном уравнении Фридмана для завихренности (см. (1.2.1)). При неустойчивой стратификации атмосферы в ней развивается турбулентная конвекция, источником которой служит ускоряющее действие архимедовой силы. Следствием вращения Земли является образование турбулентных пограничных (экмановскга) слоев у поверхности суши в атмосфере, а также у поверхности дна в океане. За счет глобального изменения параметра Кориоли- [c.11]

В связи со сложностью турбулентных течений общего вида большую ценность для изучения многих вопросов представляет геометрически простейший пример турбулентного движения, а именно, случай так называемой однородной и изотропной турбулентности (впервые рассмотренный Дж. Тейлором в 1935 г.). Этот случай соответствует турбулентности в безграничном пространстве, у которой распределения вероятностей для значений гидродинамических полей в любой конечной группе пространственно-временных точек (a ft, д) (А = 1,. . ., п) инвариантны относительно всех ортогональных преобразований (параллельных переносов, вращений и отражений) системы пространственных координат (т. е., иначе говоря, не меняются при всех переносах, вращениях и отражениях выбранной группы точек). В силу указанных условий инвариантности структура статистических моментов (1.1) и вид уравнений Фридмана — Келлера для моментов (1.2) в случае однородной и изотропной турбулентности (которую для краткости далее мы называем просто изотропной) оказываются наиболее простыми (хотя уравнения для моментов все равно остаются незамкнутыми). Поэтому модель изотропной турбулентности наиболее удобна для отработки различных приближенных приемов замыкания уравнений турбулентного движения и изучения всевозможных следствий из той или иной точной или приближенной теории. В то же время оказывается, что идеализированная модель изотропной турбулентности является [c.480]

Напомним, что в приближении Буссинеска величины р— отклонение плотности и Т—отклонение температуры от постоянных средних значений Ро и То связаны линейным соотношением р = —РоРТ, где Р—коэффициент теплового расширения жидкости. Поскольку нас интересуют только вихревые течения, уравнение для скорости v заменено уравнением Фридмана для Q = rot (см. [127]). Член справа—источник завихренности, создаваемой архимедовыми силами, g—ускорение силы тяжести. [c.31]

Большую роль в создании современной теории мелкомасштабных турбулентных движений сыграла также работа Тэйлора (1935а), в которой было введено понятие об однородной й изотропной турбулентности. Такая турбулентность определяется тем условием, что для нее все конечномерные распределения вероятностей значений гидродинамических полей в конечном числе точек пространства — времени инвариантны относительно любых ортогональных преобразований (параллельных переносов, вращений и отражений) системы пространственных координат. Однородная и изотропная турбулентность является тем частным случаем турбулентных течений, для которого структура статистических моментов гидродинамических полей и вид соответствующих уравнений Фридмана — Келлера оказываются наиболее простыми. Правда, и в этом простейшем случае все принципиальные трудности, связанные с проблемой замыкания уравнений Фридмана — Келлера, остаются в силе. Однако соответствующие уравнения оказались все же гораздо более доступными для математического анализа, чем общие уравнения, отвечающие произвольной турбулентности, и с их помощью удалось получить целый ряд результатов, разъясняющих отдельные закономерности турбулентных течений. [c.22]

По данным Фридмана и Дайбера [255], константа скорости определяется уравнением [c.93]

Вторая работа напечатана уже после смерти А.А. Фридмана и составлена по его лекции Н.Е. Кочиным. Здесь дается приближенный метод регаения уравнения grad Р(ж, у, z) = А(ж,у,2 ), где А есть заданный вектор, мало разнягцийся от потенциального вектора, и полученный результат применяется затем к выводу приближенных условий динамической возможности. [c.145]

Можно предположить, что отказ от баротропности и введение уравнения притока тепла по тому или иному закону может сугцественным образом изменить дело и привести к нестационарным разрывам второго порядка, распространяю-гцимся с меньгаими скоростями. По этому вопросу имеется работа А. Фридмана и Я. Тамаркина [11], в которой авторы, имея в виду, главным образом, приложения к теории инверсий, изучают распространение разрывов нри различных предположениях о способе притока тепла. Однако и в тех случаях, которые рассматривает Фридман, скорость распространения разрыва сохраняет порядок скорости звука и, следовательно, ни один из этих случаев не может быть использован для интерпретации тропопаузы. [c.221]

Можно рассматривать q как заданную функцию координат и времени, а также комнонент скорости. Уравнения (1)-(б) и в этом случае дадут замкнутую систему. Этот прием гаироко используется в работах А.А. Фридмана и его [c.293]

В решении теоретических проблем механики газа большую роль сыграла работа А. А. Фридмана (1922) которая посвяш ена обш,им вопросам гидродинамики сжимаемой жидкости. Фридман дал подробный кинематический анализ движения сжимаемой жидкости и методику отбора из числа кинематически возможных движений тех, которые являются динамически возможными, т. е. удовлетворяют уравнениям гидродинамики. Идеи Фридмана были впоследствии развиты Б. И. Извековым, И. А. Кибелем, Н. Е. Кочи-ным и другими учеными и получили широкое применение при решении различных задач газовой динамики, главным образом в метеорологии., [c.312]

Полагая А > О, Эйнштейн нашел решение этих уравнений, описывающих модель статически однородной Вселенной, обладающей замкнутым пространством. В том же году де-Ситтер нашел решение уравнений Эйнштейна, соответствующее статической моделипустогомира. В 1922—1924гг. А. А. Фридман предложил модель нестационарной Вселенной. Современная релятивистская космология во многом опирается на работы Фридмана. Теория однородной изотропной Вселенной вслед за Фридманом развивалась многими учеными. Учитывая, что кривизна пространства может быть положительной, нулевой и отрицательной и что космологический член может также принимать такие значения, легко понять разнообразие в наборе возможных решений космологической проблемы. Многочисленные затруднения теории однородной изотропной Вселенной, основанной на теории тяготения Эйнштейна, вызвали появление теорий Эддингтона, Дирака, Иордана, в которых теория тяготения Эйнштейна дополняется или обобщается, и теорий Бонди — Голда, Милна и др., которые отходят от теории тяготения Эйнштейна при реше- [c.374]

Эта разность векторов скоростей (9.4) как раз и принимается в статистической теории турбулентности А. Н. Колмогорова в качестве исходной кинематической характеристики так называемой локальной структуры турбулентного потока. Из этой разности векторов скоростей составляются затем с помощью операции осреднения по времени статистические характеристики локальной турбулентности, аналогичные моментам связей проекции векторов скоростей пульсаций в двух точках, введённым впервые в цитированной выше работе Л. В. Келлера и А. А. Фридмана и широко используемым в работах Л. Г. Лойцянского 1), Л. И, Седова ) и др. При выводе общих уравнений турбулентности Рейнольдса в 3 и в последующих параграфах в качестве исходной кинематической характеристики турбулентности был принят вектор пульсации в виде разности истинного вектора скорости и вектора скорости осреднённого течения в одной и той же точке, т. е. [c.504]

Наряду с этим, следуя методу Фридмана-Келлера Келлер, Фридман, 1924), развитому для однородной сжимаемой турбулизованной жидкости (см. 4.1), можно получить дифференциальные уравнения, описывающие пространственно- [c.139]

Новая трудность возникает при обобщении этого подхода на многокомпонентные химически реагирующие сжимаемые среды. В связи с этим отметим, что даже для однородной жидкости система уравнений для моментов связи записывается настолько сложно, что в цитированной классической работе Келлера и Фридмана сами уравнения не выписывались, а лишь была указана основная идея их вывода и перечислено, сколько и каких уравнений при этом получается. Поэтому фактический вывод цепочки уравнений, описывающих динамику корреляционных моментов возрастающего порядка, полученных при весовом осреднении для турбулизованного потока многокомпонентной смеси с химическими ре- [c.170]

Концепция о невозможности описания предельного состояния материала одним уравнением наиболее ярко выражена в объединенной теории прочности Давпденкова — Фридмана. Эта теория основана на следующих основных положениях [465] [c.85]

Значительное развитие за последние годы получили приближенные методы решения уравнений теории колебаний (линейной и нелинейной), основанные на вариационных принципах (работы Л. В, Канторовича, 1948—1956 М. А. Красносельского, 1950 и сл, С. Г. Михлина, 1948— 1956 В, М, Фридмана, 1956 и сл,). Обзору, развитию и обоснованию этих методов посвящена монография С, Г, Михлина (1957), [c.167]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...