Эйлера сравнения

При получении условий оптимальности большую роль играет множество функций, на котором происходит сравнение значений функционала. Это множество назовем областью определения функционала. Для теоремы Эйлера это было множество дважды непрерывно дифференцируемых функций, проходящих через фиксированные начальную и конечную точки в заданные начальное и конечное значения параметра I. Могут быть и другие ограничения. Предположим, например, что требуется найти экстремум функционала Ф(7) среди всех вектор-функций, для которых значение другого функционала такого же вида [c.603]

Другим важным случаем, когда осуществляется потенциальное обтекание, являются малые колебания погруженного в л(ид-кость тела. Легко показать, что если амплитуда а колебаний мала по сравнению с линейными размерами I тела (а<С/), то движение жидкости вокруг тела будет всегда потенциальным. Для этого оценим порядок величины различных членов в уравнении Эйлера [c.34]

Мы будем рассматривать здесь такие гравитационные волны, в которых скорость движущихся частиц жидкости настолько мала, что в уравнении Эйлера можно пренебречь членом (vV)v по сравнению с dv/dt. Легко выяснить, что означает это условие физически. В течение промежутка времени порядка периода т колебаний, совершаемых частицами жидкости в волне, эти частицы проходят расстояние порядка амплитуды а волны. Поэтому скорость их движения — порядка v а/т. Скорость v заметно меняется на протяжении интервалов времени порядка т и на протяжении расстояний порядка X вдоль направления распространения волны (А, — длина волны). Поэтому производная от скорости по времени — порядка у/т, а по координатам — порядка v/K. Таким образом, условие (vV)v <С dv/dt эквивалентно требованию [c.55]

Отметим, что решениями уравнения Эйлера нельзя удовлетворить линь нему (по сравнению со случаем идеальной жидкости) граничному условию обращения в нуль тангенциальной скорости. Математически это связано с более низким (первым) порядком этого уравнения по координатным производным, чем порядок (второй) уравнения Навье — Стокса. [c.75]

В 1888 г. Парижская Академия наук объявила конкурс на лучшее теоретическое исследование движения твердого тела вокруг неподвижной точки. Премию на этом конкурсе получила русская женщина—математик и механик Софья Васильевна Ковалевская (1850—1891). Она дала полное решение этой задачи в новом случае, значительно более сложном по сравнению со случаями Эйлера и Лагранжа. Эта работа доставила С В. Ковалевской мировую известность и в значительной степени способствовала прославлению русской науки. [c.17]

Отдельная глава посвящена расчету элементов конструкций с учетом ползучести расширен по сравнению с другими сборниками задач состав задач по вопросам усталостной прочности включен параграф, посвященный расчету тонкостенных стержней замкнутого профиля на стесненное кручение. В отдельные параграфы выделены вопросы нелинейного деформирования элементов конструкций. В главе Устойчивость и продольно-поперечный изгиб стержней помещены задачи, которые помогут студентам приобрести не только навыки расчетов на устойчивость, но и уяснить понятие критического состояния системы и применяемого в исследовании устойчивости метода Эйлера. Креме того, решение этих задач подготовит студентов к более успешному освоению курса устойчивости сооружений. [c.3]

Составление дифференциальных уравнений движения сложных гироскопических систем по методу Эйлера — Д Аламбера и по методу Лагранжа полезно в целях сравнения и контроля результатов, полученных с помощью обоих методов для одной и той же системы. [c.126]

Считаем пренебрежимо малыми в сравнении с единицей значения относительной деформации волокон и четвертую степень угла поворота касательной к оси стержня относительно оси, перпендикулярной плоскости изгиба, т. е. (du/ds) <1. Ранее считали, что (du/di) <<1, и этого оказалось достаточно лишь для получения формулы Эйлера и для того, чтобы установить наличие отличных от прямолинейной форм равновесия, тогда как амплитуда отклонения осталась неопределенной. В принятых предположениях для х получим приближенное выражение с учетом следующего упрощения [c.356]

Во внешнем потоке 2 (см. рис. 7.1) градиент скорости dW ldy в реальных условиях не равен нулю, но мал по сравнению с градиентом скорости dw ldy в пограничном слое 1 и поэтому касательные напряжения (1.15) также малы, и силами трения можно пренебречь. Здесь течение можно считать потенциальным (без вязкости) и для расчета такого течения пользоваться вместо сложных уравнений Навье — Стокса (2.29), (2.30) и (2.31) более прост>ши уравнениями Эйлера (2.32). [c.104]

Недостатки метода Эйлера объясняются тем, что он основывается на приближенном дифференциальном уравнении упругой линии (XII.4), справедливом для малых прогибов. После потери устойчивости незначительному увеличению Р по сравнению с Р соответствует настолько значительное увеличение наибольшего прогиба стержня, что уравнение (XII.4) оказывается непригодным для получения на основании его интегрирования у = у (х). [c.359]

Преимуществом эвольвентного зацепления, впервые предложенного Л. Эйлером, по сравнению с зацеплениями других видов (например, циклоидальным) является высокая технологичность [c.321]

Использование эвольвенты для образования профиля зуба было предложено Эйлером (1767 г.), показавшим, что эта кривая обладает рядом преимуществ по сравнению с другими. [c.51]

Опытные кривые скольжения. В действительности, коэффициент трения зависит от величины поверхностного давления рль скорости скольжения, температуры и влажности. Поэтому формула Эйлера, устанавливающая связь между натяжениями ветвей в момент, когда дуга скольжения становится равной дуге обхвата, не вполне точна. Можно получить более точный результат, если проектировать ременную передачу по методу сравнения ее с эталонной, для которой опытным путем установлено оптимальное [c.314]

Пользуясь уравнениями Эйлера, покажите, что если скорость вращения этого гироскопа велика по сравнению со скоростью вращения Земли, то ось его будет совершать симметричные колебания около линии меридиана н, следовательно, ее можно использовать в качестве стрелки компаса. [c.204]

Сравнение векторного и вариационного методов в механике. Векторная и вариационная механики — это два различных математических описания одной и той же совокупности явлений природы. Теория Ньютона базируется на двух основных векторах на импульсе и на силе вариационная теория, основанная Эйлером и Лагранжем, базируется на двух скалярных величинах на кинетической энергии и силовой функции . Помимо математической целесообразности возникает вопрос об эквивалентности этих двух теорий. В случае свободных частиц, движение которых не ограничено заданными связями , эти два способа описания приводят к аналогичным результатам. Однако для систем со связями аналитический подход оказывается более экономичным и простым. Заданные связи учитываются здесь естественным путем, так как рассматриваются движения системы лишь вдоль таких траекторий, которые не противоречат связям. При векторном подходе нужно учитывать силы, поддерживающие связи, а потому приходится вводить различные гипотезы относительно этих сил. Третий закон движения Ньютона ( действие равно противодействию ) не охватывает всех случаев. Он оправдывается лишь в динамике твердого тела. [c.19]

Принцип Гамильтона. В принципе Даламбера оперируют с неинтегрируемыми дифференциалами. Приравнивается нулю некоторая бесконечно малая величина — полная виртуальная работа приложенных и инерционных сил. Две составные части совершаемой работы, связанные с этими двумя категориями сил, резко различаются по своему характеру. Виртуальная работа приложенных сил — моногенный дифференциал, получаемый из силовой функции виртуальную работу сил инерции нельзя получить из какой-либо одной функции — ее приходится выписывать для каждой частицы в отдельности. Это ставит силы инерции в очень невыгодное положение по сравнению с приложенными силами. Большое теоретическое и практическое значение имеет тот факт, что это положение может быть исправлено путем преобразования, которое придает принципу Даламбера моногенный характер. Хотя в неявном виде это использовалось еще Эйлером и Лагранжем, Га- [c.136]

Сравнение с выражениями тех же самых косинусов в функции от двух углов Эйлера 0, 4 (т. I, гл. III, п. 32) [c.114]

VII. Примечание II. Это единственная задача, к которой г. Эйлер применил свой принцип. Он также решил ее для двух случаев случая прямоугольных координат и случая радиусов, выходящих из неподвижного центра. Однако для сравнения его решений с нашими нужно заметить [c.123]

Следовательно, формула Эйлера органически содержит погрешность порядка кр или по сравнению с единицей. [c.36]

Из сделанного предположения вытекает, что вертикальная составляющая скорости мала по сравнению с горизонтальными [9]. Тогда в первых двух уравнениях Эйлера дифференцирование по Z будет отсутствовать и можно считать, что горизонтальные составляющие скорости у , Vy не зависят от высоты, т. е. постоянны вдоль каждой вертикали. [c.77]

Метод вычисления изгибной жесткости составного стержня предложен С. П. Тимошенко [38 ] для случая двухслойного стержня с различными механическими характеристиками слоев. Этот метод основан на гипотезе плоских поперечных сечений, и дифференциальные уравнения задачи аналогичны уравнениям для стержня Бернулли — Эйлера. Число слоев не имеет значения, важно лишь, чтобы их модули упругости не слишком сильно различались, в противном случае может возникнуть необходимость учета поперечного сдвига более мягкого слоя и его поперечной сжимаемости, т. е. потребуется отказаться от гипотезы плоских поперечных сечений и поперечной несжимаемости стержня. В последнем случае изменится порядок дифференциальных уравнений и соответственно изменится процедура решения задачи по сравнению с предложенной в работе [6.1] (см. [39 ]). — П рим. ред. [c.272]

Опишем организацию экспериментальных работ по определению критических напряжений. Пусть имеется довольно большое количество стержней различной длины, имеющих одно и то же сечение и закрепленных одинаковым образом (рис. 15.11а). Подсчитаем для каждого из них критическое напряжение по фор- рис. 15.11 муле (15.21) и по этим данным построим гиперболу Эйлера (рис. 15.11 б). Затем для каждого из них экспериментально определим критическое напряжение и по этим результатам построим экспериментальную кривую. Она помечена крестиками там же на рис. 15.116. Из сравнения двух этих кривых устанавливают, что при больших гибкостях (при А > А ) теоретическая и опытная кривые совпадают. При малых гибкостях экспериментально найденное значение а г приближается либо к пределу текучести (Ту (для пластичных материалов), либо к пределу прочности на сжатие аи,с (для хрупких материалов). Расхождения между теоретическими и опытными значениями возрастают по мере приближения гибкости А к нулю и могут быть весьма значительными. [c.283]

Если оболочка очень короткая, то выражение (1.3) нельзя минимизировать по т. В этом случае следует положить т = 1 и пренебречь вторым слагаемым в сравнении с первым, так как величина Х большая. В результате п = 0) приходим к формуле Эйлера для элементарной полоски, вырезанной из оболочки двумя образующими [c.99]

В этом параграфе исследуем большие прогибы упругой балки и в качестве примера рассмотрим задачу о нагружении балки из 7.2. Очевидно, что поскольку перемещения балки описываются соотношениями (7.12), а деформации можно выразить через и и ш с использованием (3.19), то теория конечных перемещений балки с использованием гипотезы Бернулли—Эйлера может быть построена с помощью принципа виртуальной работы (3.49). Однако в нашей задаче ограничимся предположением, что хотя теперь прогиб балки не является малым по сравнению с ее высотой, но он мал по сравнению с продольным размером балки, поэтому используем следующие выражения для перемещений и соотношений деформации—перемещения ) [c.193]

В работе [382] на примере вантовых систем проведено сравнение различных схем продолжения, в том числе явная схема Эйлера (метод последовательных нагружений), неявная схема типа последовательных приближений (метод упругих решений) и неявные схемы с использованием различных вариантов метода Ньютона. Показано, чго наиболее эффективна неявная схема с использованием модифицированного метода Ньютона. Для вантовых же систем показано преимущество последней схемы по сравнению с явной схемой типа модифицированного метода Эйлера и неявной схемой, использующей для итераций метод Ньютона — Рафсона. [c.195]

Доказательство. По определению Р = 2QQ. Чтобы получить кинематическое уравнение для параметров Кэли-Клейна, достаточно справа умножить это равенство на матрицу Q/2. Далее, матрице Q соответствует кватернион Ь, а матрице Рп — кватернион Ьц. Матричное и кватернионное кинематические уравнения изоморфны. Кинематические уравнения для параметров Эйлера получаются путем сравнения коэффициентов при одинаковых базисных матрицах Е, <71, (72, <7з В соотношении [c.138]

Предположим, что исследуется движение изображающей точки на отрезке М1М2 основной траектории. Выберем траекторию сравнения так, чтобы концы ее отрезка, соответствующего отрезку М М2 основной траектории, совпадали с точками М и М2. Так как постоянные энергии А при движении изображающей точки по основной траектории и траектории сравнения одинаковы, можно утверждать, что промежуток времени, соответствующий переходу изображающей точки из положения М в положение М2 по основной траектории, не равен промежутку времени, необходимому для перехода этой же точки из положения М в положение М2 по траектории сравнения. Поэтому для доказательства принципа Эйлера — Лагранжа следует применять неизохронные (полные) вариации. Рассмотрим общее уравнение динамики [c.201]

Наибольшего развития волновые представления о свете в XVIII веке достигли у Эйлера. Согласно Эйлеру свет представляет собой колебания эфира, подобно тому как звук есть колебания воздуха, причем различным его цветам соответствуют колебания различной частоты. Сравнение скорости света со скоростью звука позволило Эйлеру утверждать, что эфир есть субстанция, значительно более тонкая и упругая, чем обыкновенный воздух . Эйлер, подобно Ломоносову, высказывает мысль, что источником всех электрических явлений служит тот же светоносный эфир. Согласно Эйлеру электричество есть не что иное, как нарушение равновесия эфира тела, в которых плотность эфира становится больше, чем в телах окружающих, оказываются наэлектризованными положительно отрицательная электризация связана с уменьшением плотности эфира. Эйлер не распространял свою теорию на магнитные явления, поскольку электрическая природа магнетизма не была еще известна. Эти соображения были развиты Эйлером в его знаменитых Письмах к немецкой принцессе , написанных в 1760— 1761 гг. и изданных в Петербурге (1768—1772 гг.) во время второго пребывания Эйлера в России, куда он прибыл уже после смерти Ломоносова, с которым он состоял в постоянной дружеской научной переписке. Поэтому не исключено, что указанные представления сложились у Эйлера под влиянием идей Ломоносова. [c.23]

Дальнейшего прогресса в этой области достиг Лэмб ), который рассмотрел бесконечную балку, нагруженную через равные промежутки равными сосредоточенными силами, действующими попеременно вверх и вниз, и получил для нескольких случаев выражения кривой прогибов. Полученные результаты показывают, что элементарная теория изгиба Бернулли—Эйлера является весьма точной, если высота балки мала по сравнению с длиной. Было также показано, что уточнения для поперечной силы, даваемые элементарной теорией Ренкина и Грасхофа (см. стр. 67), являются несколько завышенными и должны быть уменьшены примерно на 25% = ). [c.130]

К сожалению, разные авторы по-разному опреде.пяют углы Эйлера, Различия здесь не очень велики, однако они часто затрудняют сравнение получаемых результатов, например элементов матрицы. Наибольшая путаница, по-видимому, возникает из-за применения некоторы.чи авторами левой системы координат (например, Осгуд, а также Маргенау и Мэрфи). Более часто, однако, встречается другое отличие, состоящее в отсчете угла линии узлов не от оси х, а дт оси у. Это особенно характерно для Британской шко- [c.125]

Параметры Кэйли —Клейна можно выразить через углы Эйлера G помощью непосредственного сравнения элементов (4.63) с элементами, выраженными через ф, 0 и tp. Однако проще и более поучительно образовать сначала матрицы Qполную матрицу. Так, например, при повороте на угол ф вокруг оси Z мы для величин х+, л и 2 будем иметь следующие формулы преобразования [c.132]

Глава I этой книги содержит материал, связанный с вопросами, рассмотренными нами в настоящей главе. Раздел об углах Эйлера воспринимается с трудом из-за низкого качества всех рисунков. (Здесь следует сослаться на сделанное нами в 4.4 примечание относительно сравнения формул этого автора с нашими.) В 12 этой книги рассматривается связь между параметрами Кейли — Клейна и так называемым гомографическим преобразованием. [c.162]

Д Аламбер, конечно, не мог остаться в стороне от этой дискуссии ни как механик, ни как философ. Действительно, в Энциклопедии, редактором которой он был вместе с Дидро, Д Аламбер в ряде статей, посвященных различным вопросам, с большей или меньшей подробностью рассматривает вопрос о принципе наименьшего действия. С плохо скрытой иронией он отводит претензии Мопертюи на открытие универсального закона, являющегося якобы непосредственным выражением могущества бога. Что же касается чисто механического значения принципа, то он указывает прежде всего, следуя Эйлеру, на его глубокую связь с принципом живых сил и на возможность его применения для решения отдельных частных задач механики. Д Аламбер вполне в духе своих взглядов на механику в целом отмечает, что можно найти различные математические выражения для одних и тех же явлений и что отыскивать в этих выражениях какой-либо иной смысл, кроме того, который заключен в их математической форме, — задача ненужная и даже вредная. По сравнению с принципом причинности, который отразился в механике Ньютона и самого Д Аламбера, говорит он, попытки телеологически обосновать науку на принципе наименьшего действия производят впечатление чахлого дерева. Все эти глубокие замечания Д Аламбера сопровождаются весьма вежливыми и явно внешними для сущестйЬ разбираемых вопросов упоминаниями о всемогущем творце и т. п. [c.786]

Однако, несмотря на то, что выражение J v ds, являющееся математически осмысленной формой принципа наименьшего действия, дано Эйлером независимо и одновременно с работами Мопертюи, которые были математически аморфны и не заключали в себе ядра будущего прогресса, Эйлер всегда подчеркивал приоритет Мопертюи. Возможно, это объясняется тем, что при своей склонности к метафизическим спекуляциям он отдавал предпочтение априорной и кажущейся универсальной метафизической аргументации Мопертюи по сравнению с своими результатами, найденными им, как он сам говорит, а posteriori. [c.789]

Эйлер показал, что для того, чтобы указать кривую, для которой значение некоторой величины было бы наибольшим или наименьшим по сравнению с другими, величина эта должна быть неопределенной интегральной величиной (quantitas integralis indefinita), которая может быть проинтегрирована только в том случае, если будет взято заданное соотношение между х и у. Следовательно, должно быть [c.881]

В случаях, когда скорость движения жидкости мала по сравнению со скоростью распространения звука в этой жидкости, влиянргем инварианта Маиевского на процесс движения жидкости можно пренебречь. Тогда и критерий Эйлера выпадает из инвариантной зависимости. Это свидетельствует о том, что влияние сжимаемости жидкости следует учитывать только при скорости ее движения, сравнимой со скоростью распространения звука в этой жидкости. [c.615]

Немецкий ученый Ф. Энгессер, работая над границами применения формулы Эйлера, пришел к выводу, что можно расширить эти границы, если заменить в ней постоянный модуль упругости переменной величиной, которую он назвал касательным модулем упругости. Эта величина, в свою очередь, выражала отношение напряжения материала к относительной его деформации, т. е. изменению длины стерншя по сравнению с его первоначальными размерами [40, с. 351, 352, 356—359]. Касательный модуль дал Энгессеру возможность вычислять критические напряжения для стержней из материалов, не подчиняющихся закону Гука, а также из строительной стали при напряжениях выше предела упругости. В связи с этим предложением у Энгессера возникла дискуссия с Ясинским, который утверждал, что сжимающие напряжения на выпуклой стороне стержня при его выпучивании уменьшаются и что испытания, проведенныеБаушингером, доказывают необходимость пользоваться в этой области поперечного сечения постоянным модулем упругости, а вовсе не касательным модулем [43, с. 214]. Этот спор закончился тем, что Энгессер признал правоту Ясинского, переработал свою теорию и ввел для двух областей поперечного сечения два различных модуля. Исследуя влияние поперечной силы на величину критической нагрузки в стойках, он нашел, что эта величина для сплошных и сквозных решений различна. В сплошных ее влияние мало и им можно пренебречь, а в сквозных оно может оказаться значительным. Энгессер вывел формулы для определения того отношения, при котором [c.254]

В рассматриваемом случае для стационарного процесса, вынужденного движения среды и малых перепадов давления отпадает влияние критериев Эйлера и Фруда. Поглощательные способности поверхностей камеры горения в опытах не изменялись = onst), и с достаточной степенью точности их можно было считать серыми и изотропно отражающими и излучающими. Критерий Шустера был равен нулю, так как коэффициент рассеяния чистых газов крайне мал и им вполне можно пренебречь по сравнению с коэффициентом поглощения Поскольку температура охлаж- [c.416]

В автомодельном турбулентном потоке критерии Эйлера Ей и Грас-гофа Gr не будут определять характер движения, так как в этом случае Eu= onst, а силами тяжести по сравнению с силами инерции можно пренебречь. Критерий Кцентр для осеси1М1метричного потока в начальном участке цилиндрической трубы можно преобразовать следующим образом [c.383]

По форме профиля зуба различают звольвентные и круговые. Наиболее распространен эвольвентный профиль зуба, предложенный Эйлером в 1760 г. Он обладает рядом существенных технологических и эксплуатационных преимуществ. Круговой профиль зуба предложен М. Л. Новиковым в 1954 г. По сравнению с эволь-вентным он позволяет повысить нагрузку передач. [c.120]

В работе Као [429] явная схема продолжения типа Эйлера сравнивается с неявными, использующими для итерации метод Ньютона — Рафсона и модифицированный метод Ньютона, а также с явной схемой самокорректирующегося метода первого псфядка [515]. Показано, чго схема Эйлера дает при вдвое меньшем шаге по параметру ту же точность, что и самокорректирующийся метод. Сравнение проведено на примере пологой сферы и круговой пластины. [c.195]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...