Граничные условия в задачах первого рода

Соответствующие решения классической динамической задачи термоупругости при граничных условиях третьего и первого рода получены В. И. Даниловской [8, 44]. Они следуют из выражений (4.33) и (4.34) при Л1 О и имеют соответственно вид [c.126]

Как известно [11], задача Трикоми с непрерывным граничным условием для уравнения Чаплыгина корректна. Сформулированная задача отличается от нее тем, что граничное условие имеет разрыв первого рода. Однако в классе ограниченных функций такая задача тоже корректна (см. 8). [c.106]

В связи с тем, что при моделировании температурных полей в поршнях двигателей внутреннего сгорания кольцо рассматривается, как правило, в виде отдельного элементарного блока, практически невозможно детально изучить движение тепловых потоков как в самом кольце, так и в прилегающих к нему областях поршня. Для этой цели на поршне был выделен в районе первого и второго колец уточняемый участок (рис. 3), температурные поля которого определялись с помощью ЭЦВМ. Значения температур на границах участка со стороны тела поршня задавались в соответствии с полями температур, полученными на сеточной модели (граничные условия I рода). По контуру поршневой канавки и боковой поверхности поршня и колец задавались граничные условия в соответствии с рекомендациями, изложенными в работе [4] и принятыми при моделировании поля температур на электрической сетке. При этом для большей достоверности граничные условия по всем поверхностям поршня уточнялись по данным натурных испытаний путем решения обратных задач. [c.252]

В результате задача сводится к интегрированию уравнения для эквивалентной пластины с переменными коэффициентами и функцией распределенного источника теплоты, а также с заданием граничных условий на ее противоположных поверхностях. Граничные условия в общем случае формулируются как функции времени и для каждой стороны пластины могут быть первого, второго или третьего рода, т. е. задано изменение либо температуры поверхности, либо плотности теплового потока, либо температуры окружающей среды (теплоносителя) и коэффициента теплоотдачи во времени. [c.191]

Вернемся к рассматриваемой контактной задаче, имея целью использовать формулу (4.10). Видим, что в ходе ее вывода граничное условие (4.1), первое граничное условие (4.2), а также условие на бесконечности выполнены. Удовлетворяя второму граничному условию (4.2) с помощью формул (4.9) и <4.10), получим относительно контактного напряжения q(r) следующее интегральное уравнение первого рода [c.410]

Исследованию задач управления упругими колебаниями посвящено большое число работ (см., например, [11, 29, 31, 53, 54, 72, 101]). Однако в этих исследованиях не дается исчерпывающего решения задач управляемости упругими колебаниями с помощью граничных управлений при различных типах граничных условий. В предлагаемой вниманию читателей книге эти вопросы рассмотрены с достаточной полнотой для колебаний, описываемых одномерным волновым уравнением с линейными граничными условиями первого, второго и третьего рода, а также смешанных краевых условий, т. е. когда на границе заданы краевые условия разных родов. [c.3]

На первой стадии распределение температуры в топливе находится из решения классической задачи нестационарной теплопроводности для полуограниченного твердого тела при граничном условии второго или третьего рода. При граничном условии второю рода для осредненной во времени величины теплового потока q распределение температуры в заряде выражается формулой [c.282]

Граничные условия для уравнений Навье—Стокса также могут быть весьма разнообразными. Например, в задаче об обтекании вязкой жидкостью или газом поверхности произвольной формы обычно задаются граничные условия первого рода, причем на границе необходимо задавать значения компонент вектора скорости, плотность и давление. [c.11]

Определим константы интегрирования в уравнении температурного поля. Граничные условия первого рода для рассматриваемой задачи запишутся равенствами [c.274]

Пример 23.6. Рассмотрим задачу об остывании бесконечной пластины толщиной 2/= 0,04 м с начальной температурой <о = ЮО°С. Материал пластины имеет температуропроводность а = 6,25 10- м /с. В момент времени т = 0 температура на поверхностях пластины принимает значение О С (граничные условия первого рода) и поддерживается постоянном при т > 0. [c.245]

Уравнения, определяющие оба поля, в безразмерном виде будут, очевидно, совершенно тождественны. Безразмерные граничные условия будут тождественны только в том случае, если ими непосредственно определяется поле искомой величины на границах системы, т. е. в случае, если тепловая задача поставлена в граничных условиях первого или второго родов. Электрическая аналогия является очень эффективным средством экспериментального исследования. Замещение исследуемого процесса его электрической аналогией, как правило, создает существенные преимущества. Электрическая модель с заданными геометрическими и физическими свойствами, а также режимные условия, обычно легко реализуются. Все необходимые измерения осуществляются сравнительно просто и с очень высокой степенью точности. Особенно важное значение электрическое моделирование приобретает при исследовании сложных нестационарных процессов. [c.138]

Граничное условие третьего рода щироко используется на практике. В задачах теплопроводности при условии аД оо, соответствующем условию Bi = (а/)Д -> со, граничные условия третьего рода переходят в граничные условия первого рода. При теплообмене большой интен- [c.179]

Для аналитического определения температурного поля в стенке трубы при ее охлаждении водой необходимо решить уравнение нестационарной теплопроводности с граничными условиями третьего рода Наиболее часто при расчетном определении нестационарных температурных полей в телах применяется решение задачи теплопроводности в виде бесконечных рядов Фурье. При быстром изменении температуры металла и высоких тепловых потоках, как это имеет место в стенке трубы в цикле водной очистки, для получения необходимой точности решения уравнений теплопроводности приходится учитывать большое количество членов указанного ряда. Расчеты затруднены и тем, что в справочниках обычно приводится не более шести первых корней характеристического уравнения теплопроводности. [c.205]

В монографии излагается приближенный метод расчета процессов теплопроводности, основанный на предварительном исключении из соответствующих дифференциальных уравнений теплового баланса одной или нескольких независимых переменных (например, пространственных координат). Этим методом решены задачи с граничными условиями первого, второго, третьего и четвертого рода, т. е. все основные задачи теории теплопроводности (в том числе рассмотрены процессы распространения теплоты в телах сложной конфигурации, а также в телах, где имеет место изменение агрегатного состояния вещества). Особенностью метода является его исключительная простота (при решении задач приходится использовать лишь хорошо известные табличные интегралы). [c.2]

Решение задачи начнем с плоской стенки (плита). Как и прежде, будем считать, что стенка имеет полную толщину, равную 2Хо, теплообмен на обеих поверхностях стенки соответствует граничному условию первого рода (температура поверхности стенки в момент t=0 становится равной температуре окружающей среды и затем сохраняется на этом уровне в течение всего процесса). Начальная температура стенки равна о. [c.64]

Постановка задачи. Нагревается бесконечно длинный круглый цилиндр радиуса Xq. Начальная температура цилиндра равна to. В момент т=0 температура поверхности цилиндра скачкообразно повышается до значения и остается на этом уровне до конца процесса (граничное условие первого рода). Необходимо найти температурное поле и количество переданной теплоты для этого цилиндра. [c.75]

Постановка задачи. Шар радиуса Xq с начальной температурой /о погружается в среду с температурой Интенсивность теплообмена между шаром и окружающей средой бесконечно велика, поэтому температура поверхности шара равна температуре (граничные условия первого рода). Вследствие симметричных условий нагрева температурное поле шара является одномерным. Необходимо найти температурное поле и количество переданной теплоты. [c.83]

Для проектировочных расчетов теплоизоляции в нестационарных условиях физическая модель процесса может быть еще упрощена. Если учесть, что теплопроводность и температуропроводность первого слоя значительно выше, чем второго, то рассматриваемая задача может быть сведена к задаче теплопередачи в однослойной стенке. Действительно, вследствие высоких теплопроводящих свойств материала первого слоя градиенты температуры в нем будут малыми и распределение температуры можно не учитывать, а принять ее равной температуре раздела слоев. В этом случае физическая модель состоит из одного второго слоя, а наличие первого слоя следует учесть в граничных условиях третьего рода. Математическое описание процесса теплопередачи в данном случае имеет вид [c.33]

Решение конкретных задач сводится к перемещению счетно-решающего элемента по точкам пространственно-временной области [Л, 7]. С помощью нуль-индикатора напряжение, получаемое в его узле, переносится на измерительный потенциометр. Результат одновременно записывают на бумагу. Когда счетно-решающий элемент находится на границе области, то в случае граничных условий первого рода с помощью делителя к граничной точке подводится известное напряжение, пропорциональное температуре поверхности. В случае граничных условий третьего рода напряжение к граничной точке подводится через дополнительное сопротивление. [c.344]

Вообще говоря, граничные условия первого рода являются частным случаем более общих граничных условий третьего рода. Если значения коэффициентов теплообмена и массообмена или соответствующие им критерии Био стремятся к бесконечности, последние превращаются в граничные условия первого рода. Однако имеется ряд задач, связанных с переносом тепла и вещества, для которых характерны только граничные условия первого рода, например тепло- и массоперенос в изолированном теле.. В этом случае на тепло-и массоперенос накладывается дополнительное условие — постоянство значения интегрального потенциала массопереноса, а для влажных тел — постоянство среднего массосодержания. Для одномерных классических тел это условие можно записать в следующем виде [c.115]

Для решения задачи с граничными условиями первого рода воспользуемся формулами (8-3-4) и (8-3-5). В изображениях получим систему уравнений (8-3-38), где а определяется формулой (8-3-11), а Рг(т) —соотношением [c.377]

В первую очередь выясним некоторые особенности переноса теплоты в твердом теле с конечной скоростью. Для этого возьмем простейший случай нагревания полуограниченного тела (полупространства) при граничных условиях первого рода. В начальный момент времени (т = 0) открытая поверхность тела имеет температуру То, которая поддерживается постоянной при протекании всего процесса нагревания. Отсчет температуры производится от начальной температуры, которая считается постоянной на всей глубине тела (равномерной начальное распределение температуры). Решение такой простейшей задачи приведено в [Л, 6-44], оно имеет вид [c.450]

Считалось, что второй прием более эффективный при моделировании постоянных, а первый — переменных во времени граничных условий, однако наиболее целесообразным является использование в обоих случаях комбинированного метода реализации граничных условий III рода (гл. VII), когда Ra выполняется в виде двух составляющих одной, состоящей из полосок электропроводной бумаги (непосредственно стыкуется с границей модели — непрерывный подвод), и второй, представляющей собой дискретное переменное сопротивление, которое может меняться в процессе решения. Такая реализация граничных условий III рода устраняет искажения, вызываемые в поле потенциалов дискретностью подвода граничных условий и в то же время позволяет эффективно решать задачи теплопроводности с изменяющимися во времени коэффициентами теплообмена. [c.50]

Описанное устройство может быть в одинаковой степени использовано при решении задач как стационарной, так и нестационарной теплопроводности. В первом случае роль пассивных моделей играют 7 -сетки или модели, выполненные из электропроводной бумаги (вопросы дискретного задания граничных условий на такого рода моделях освещены в работе [1651). При решении задач нестационарной теплопроводности в качестве пассивных моделей используются С-сетки, например УСМ-1 [223]. Кстати, блок умножения, сумматор и инвертор, входящие в схему (рис. 55), могут быть собраны на базе УПТ каналов граничных условий I рода (ГУ-1), имеющихся на этих машинах. [c.149]

Асимптотический тип течения в профилируемом сопле (функция тока ограничена) определяется тем, что разрывное граничное условие (с разрывом первого рода) задается на лучах /3 = 0, г = г. Главный член асимптотики описывается решением (2.20) уравнения Трикоми. Считая решение сформулированной задачи Дирихле единственным (в классе ограниченных функций), можно свести его построение к задаче Дирихле с непрерывным граничным условием, выделяя сингулярные компоненты решения. Так, если 2 — решения уравнения Чаплыгина, удовлетворяющие разрывным граничным условиям [c.116]

В задаче (4.13), (4.14) используются и начальные, и граничные условия. Такие задачи называют начально-краевыми или смешанными (их называют также нестационарными, поскольку искомая величина и есть функция времени). При этом, если в начальнокраевой задаче используется краевое условие I (П или П1) рода, то ее называют первой (второй или третьей) начально-краевой задачей. [c.126]

Будем называть асимптотикой дозвукового течения в сопле Лаваля с прямой звуковой линией точное решение уравнения Чаплыгина (или Трикоми), определенное и ограниченное в полуплоскости эллиптичности и обладающее свойством, что линии уровня ф образуют узел в точке звуковой линии, в которой задан разрыв первого рода граничного условия обобщенной задачи Дирихле, и что значения решения на границе области определения этой задачи отличаются от граничного условия последней на непрерывную функцию (в достаточно малой окрестности точки разрыва). В силу единственности решения обобщенной задачи Дирихле в каждой фиксированной области определения асимптотика единственна. [c.95]

Условия на идеальных границах (1.20а) и (1.19а) иногда назьшаютграничными условиями, соответственно, первого и второго рода. Кроме граничных условий, в постановку задачи определения звукового поля входят начальные условия. Если звуковая волна создается источниками, начавшими работу в момент t = (о,то начальные условия заключаются в равенстве нулюр и Эр/Эг в момент iq во всем пространстве. [c.13]

В качестве начального условия к уравнению (1. 4. 3) обычно задают известное распределение концентрации целевого компонента l ,t = 0). Граничные условия должны формулироваться в зависимости от конкретного характера задачи они определяют значения концентраций целевого компонента па некоторых поверхностях, ограничивающих область пространства, занятую одной нз фаз. Напол1Н1ш основные виды граничных, условпй для уравнения конвективной диффузии. Условиями первого рода на поверхности задается значение самой концентрации [c.14]

В основу этого метода положено частное решение задачи теплопроводности для системы тел, состоящей из ограниченного (исследуемое покрытие) и по-луограниченного (эталонный материал) стержней с граничными условиями первого и четвертого рода. [c.145]

Во всех пашоупомянутыл задачах на забое нш нетателъной галереи (ске)ожины)задавалось граничное условие первого рода, в то время как в действительности теплообмен на забое нагнетательной галереи (скважины) описывается граничным условием [c.27]

Если в задачах (Ш.2.3), (Ш.2.4) пренебречь горизонтальной (радиальной) теплопроводностью в пласте, а на забое нагнета -тельной пьпереи (скважины при - О ) теплообмен учитывать граничным условием первого рода, то положив [c.59]

Пример 23.7. Брус бесконечной длины с квадратным поперечным сечением 21X21 (рис. 23.9, а) и куб 2/хУ/х2/ (рис. 23.9,6), изготовленные из материала с температуропроводностью 0 = 6,25-10 м /с, имеют начальную температуру 100 °С. В момент времени т = 0 температура на поверхностях бруса и куба принимает значение О X (граничные условия первого родя) и поддерживается постоянной при т > 0. На рис. 23.9, в приведены результаты численного решения для центра сечения бруса и центра куба, полученные методом суммарной аппроксимации на ЭВМ при / = 0,02 м и шагах разностной сетки Д = 0,002 м и Ат=1 с. Задачи симметричны относительно центра осей координат, поэтому при решении рассматривались 1/4 поперечного сечения бруса и 1/8 куба. Сплошные линии на рис. 23.9, в—аналитические решения, полученные по формулам (22.22) и (22.32) при условии Bi —> оо (см. 22.2). Для двумерной задачи в правой части формулы (22.32) использовались два сомножителя относительно осей X и у. [c.246]

Пример 23.8. Рассмотрим стационарное температурное поле в длинной трубе, поперечное сечение которой показано на рис. 23.10, а. На двух гранях внешней поверхности трубы задано граничное условие первого рода в виде линейиого распределения температуры от О до 200 °С. Поверхности двух других внешних граней и внутреннего цилиндрического отверстия теплоизолированы. Вариационная формулировка задачи может быть получена из (23.25). При отсутствии [c.248]

Ось 2 направим по оси трубы. Примем, что длина трубы сравнительно с диаметром бесконечно велика. В этом случае можно пренебречь влиянием торцов трубы на распределение температур вдоль оси Z. Будем считать, что в связи с равномерным подводом и отводом теплоты температура на внутренней поверхности повсеместно равна 4tj, а на наружной поверхности (граничные условия первого рода). При этих упрощениях dtldz = 0, а ввиду симметрии температурного поля относительно любого диаметра и й//(9ф = 0. Изотермическими поверхностями в этом случае будут поверхности цилиндров, соосные с осью трубы. Таким образом, задача сводится к определению одномерного поля температур t=.f r). [c.284]

Из оценок следует, что влияние джоулева нагрева при течении жидких металлов может стать заметным при На 10 . Результаты воздействия магнитного поля на теплоперенос при ламинарном движении жидкости между плоскими пластинами можно проследить на примере гартмановского течения. Из аналитического решения задачи о теплообмене [46] для двух типов граничных условий на непроводящих стенках (заданы постоянная температура или тепловой поток) в области теплового и гидродинамического установления видно, что увеличение На от нуля до бесконечности приводит к росту числа Nu примерно на 31% (от 7,55 до 9,87) для граничных условий первого рода и на 46% (от 8,24 ло 12) для условий второго рода (рис. 3.17). Очевидно, что с ростом На течение переходит от пуазейлевского к стержневому и процесс теплообмена идет так же, как в случае нагрева или охлаждения плоской пластины конечной толщины. При этом, однако, становится необходимым учет джоулева тепла. [c.82]

Постановка задачи. Дана неограниченная плоская стенка толщиной 2 Xq. Начальная температура стенки равна /о- В момент т=0 в стенке начинает действовать постоянный источник объемной мощностью W ккал1м ч. Температура поверхности плиты в течение всего процесса сохраняет первоначальное значение (граничное условие первого рода). Необходимо определить температурное поле плиты и количество переданной теплоты. [c.134]

Рассмотренная сетка для численного интегрирования уравнения (2-9-9) удобна, когда задача решается при граничных условиях первого рода в этом случае граничные прямые х = 0 и х=Ь принадлежат самой сетке. Если уравнение решается при гра1ничных условиях третьего рода (т. е. задано значение потенциала среды), практика вычислений и теоретические исследования показывают, что для повышения точности определения потенциала на границах следует В Водить дополнительные узловые точки, лежащие вне изучаемой области. Например, решая уравнение (2-9-9) при граничных условиях [c.88]

В качестве приближенного решения сопряженной задачи ламинарного обтекания бесконечно длинной пластины можно воспользоваться решением задачи обтекания пористой пластины при углублении поверхности испарения. В этом случае расстояние поверхности испарения от поверхности пластины принимаем за толщину пластины ( = b = onst). Температура на поверхности испарения будет равна температуре одной из поверхностей пластины 7 4=(Te = 7 i = onsl). Кроме того, отсутствует испарение (/i = 0, Ва = 0, В = В ). Остальные обозначения сохраняются. Таким образом, задача является несимметричной, т. е. одна из поверхностей пластины ( = 0) обтекается ламинарным потоком нагретой жидкости, противоположная поверхность пластины [у=—Ь) поддерживается при постоянной температуре Г (граничные условия первого рода). Решение такой задачи представлено в виде формул (3-2-46) — (3-2-48). [c.263]

Для иллюстрации на рис, 6-1 приведены профили безразмерного давления в неограниченной пластине толщиной L, полученные из решения дифференциального уравнения (6-8-15) при граничных условиях первого рода (при х = Q, р = = Pi = onst). Обзор решений фильтрационных задач приведен в [Л.6-7, 6-91 их анализ не входит в нашу задачу. [c.435]

В [Л, 6-45, 6-47] был решен ряд задач для тел классической формы (неогра. ниченная пластина, шар, цилиндр) при граничных условиях первого и аторого рода, а также при граничных условиях четвертого рода (сложные тела). Эти решения могут быть с успехом использованы для исследования механизма массопере-носа в пористых телах. [c.454]

В большинстве методов опыт начинается при равномерном начальном распределении температуры внутри образца. Основные задачи этой группы рассмотрены А. В. Лыковым [25. В частности, им подробно изучены закономерности разогрева (охлаждения) пластины, цилиндра и шара при простейших граничных условиях первого, второго и третьего рода (см. 2, 3, 4 в гл. 5 и 1, 2, 3 в гл. 7 монографии А. В. Лыкова Теория теплопроводности , 1967 г.). Указанные аналитические соотношения дают возможность рассчитать перепад температуры внутри тела на любой стадии разогрева и по степени отклонения этого перепада (R, т) от квазистационарного (R, оо) = рдг (R) анализировать длительность Трег начальной стадии теплового процесса. [c.13]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...