Узлы разностной сетки

Узел сетки 58 Узлы разностной сетки нерегулярные 62 регулярные 62 Упругое последействие 156 Уравнение [c.357]

Пусть теперь в момент времени =0 заданы непрерывные функции Uo(x) и ро х). Заменим область непрерывного изменения аргумента дискретным множеством точек — разностной сеткой, узлы которой обозначим через л ,. Расстояние между соседними узлами h = Xj—Xj-i — шаг разностной сетки. Примем, что между узлами Xj и лг/ 1 функции и и р постоянны. Такое предположение эквивалентно тому, что непрерывные функции Uo x) и Ро х) заменены некоторыми кусочно-постоянными функциями, сохраняющими постоянные значения между узлами разностной сетки. Их значения между узлами Xj-i, Xj сетки обозначим через uj-i/2, pj-i/2, присвоив отрезку индекс j—1/2. Согласно сказанному, на границе между слоями имеет место распад разрыва. В результате в каждом узле сетки образуются звуковые волны, распространяющиеся вправо и влево со скоростью звука Со, и через некоторое время т структура решения принимает [c.163]

Метод факторизации был развит для решения многомерного уравнения теплопроводности. Он относится к классу экономичных методов. Так называют методы безусловно устойчивые с числом операций на каждом временном слое, пропорциональным числу узлов разностной сетки по пространственным переменным. В последние годы он стал широко применяться для расчета стационарных трансзвуковых течений. [c.210]

Используя условия предыдущей задачи, вычислить температуры в узлах разностной сетки 12 и 19 (рис. 17.5) при толщинах воздушной прослойки 0,1 0,25 0,5 1,0 1,5 и 2 мм на 5-й секунде полета. [c.273]

Число узлов разностной сетки 3[c.93]

Исходная информация физического характера, используемая для расчета с помощью данного комплекса, определяется типом рассматриваемой задачи и содержит геометрию, основные размеры расчетной области, начальное состояние системы, граничные условия для полей скорости, температуры и концентрации, характер массовых сил, состав и физические свойства рабочего вещества. Выходная информация состоит из числовых значений составляющих скорости, температуры и концентрации в узлах разностной сетки в различные моменты времени. Объем информации существенно зависит от характера задачи и составляет по опыту решенных задач от 10 —[Q4 чисел для стационарных задач, 10 —10 чисел для нестационарных ламинарных режимов и 10 —10 чисел для переходных и турбулентных режимов. [c.178]

АРР Определяет коды уравнений в узлах разностной сетки. [c.176]

В итоге статический метод с применением линейного программирования формулируется следующим образом найти максимум р° при ограничениях-равенствах (8.1) и (8.2) и ограничениях-неравенствах (8.3) для Оц. При этом a°j в узлах разностной сетки — свободные переменные, т. е. на их знак не наложены ограничения. [c.242]

Для интервала времени О г 1 ускорения и скорости выражаются формулами (10.22). Учет непрерывности скорости в момент 4 = 1 приводит к выражениям (10.23). Скорости в точках з, з, 4, выражаются формулами (10.24). Уравнения движения в конечных разностях и безразмерной форме составляются для узлов разностной сетки и промежуточных точек по времени х 2, 2-з> 5-6, а также для точки 1. Ускорения в эти моменты времени выражаются формулами (10.25). [c.341]

В результате расчета на ЭВМ описанной задачи были получены следующие результаты. Значения приведенных согласно (10.27) прогибов пластинки в узлах разностной сетки для различных моментов времени приведены в табл. 10.2. Поскольку получено, что == при принятой дискретизации время движения следует считать равным 5 = 1. Остаточные прогибы пластинки равны прогибам в момент времени 4-5 = 441 (табл. 10.2). [c.342]

Получены равными нулю значения функции диссипации d в следующих узлах разностной сетки и в следующие моменты времени [c.342]

Направляющими для точек с ж а являлись плоскости у = z и (рис. 3, а). Узлы разностной сетки па границе располагались равномерно вдоль дуги соответствующей линии и смещались в плоскости переменных 7, на участке Ь1а вдоль прямых, параллельных 7, а на участке с 1 - вдоль лучей, проведенных в каждый узел из точки (1. [c.182]

Полный цикл вычислений в методе ПЛЭ, переводящих все переменные с одного временного слоя на следующий, разделен на три отдельные фазы. Первая состоит из явных чисто лагранжевых расчетов, однако по ее завершению узлы разностной сетки не передвигаются. Во второй фазе проводятся неявные вычисления с помощью итерационного процесса Ньютона — Рафсона и определяются скорости, давления и плотности на новом у временном слое. В последней, третьей, фазе выполняются все необходимые перестроечные преобразования, связанные 0 взаимным относительным перемещением координат разностной сетки и жидкости, и находятся конвективные потоки. [c.87]

На этом заканчивается расчет первой фазы. Если ограничиться лишь явными лагранжевыми вычислениями, то достаточно передвинуть узлы разностной сетки со скоростями Vi j, определить плотность и повторить весь цикл на следующем временном слое. В ПЛЭ новые значения скоростей и полной энергии носят промежуточный характер и поэтому отличаются тильдой без указания принадлежности к временному слою. [c.88]

Послойный метод характеристик. В классической схеме метода характеристик узлы разностной сетки определяются в процессе численного решения как точки пересечения характеристик. Основное преимущество этой схемы состоит в том, что использование сетки такого типа позволяет максимально учитывать структуру течения, в частности, рассчитывать волны разрежения, выделять линии слабых разрывов, определять области возникновения висячих ударных волн. [c.77]

N — число узлов разностной сетки. [c.364]

Основная идея метода конечных разностей заключается в том, что в рассматриваемой области пространства вместо непрерывной среды, состояние которой описывается функциями непрерывного аргумента, вводится дискретная модель среды, описываемая функциями дискретного аргумента, определенными на конечном множестве точек. Это множество точек называется разностной сеткой. Отдельные точки называются узлами сетки. Функции дискретного аргумента, определенные на сетке, называются сеточными функциями. [c.268]

Одним из универсальных методов решения дифференциальных уравнений является метод конечных разностей (см., например, [6]). Он заключается в следующем. Область непрерывного изменения аргумента заменяется конечной совокупностью точек (узлов), называемых сеткой, сами же функции, рассматриваемые в этих точках, называются сеточными функциями. Производные, входящие в дифференциальные уравнения и краевые условия (если они дифференциальные), заменяются теми или иными разностными соотношениями. Тогда для значений функций в узловых точках получается система алгебраических уравнений. [c.172]

На первом этапе область непрерывного изменения аргумента заменяют некоторым конечным дискретным множеством точек, называемых разностной сеткой. В разностной сетке выделяют внутренние и граничные узлы. [c.74]

Если узел, где нужно вычислить решение, принадлежит оси цилиндрической системы координат, уравнения (6.62) применять нельзя из-за наличия в них особенности. В этом случае возможны два подхода. В первом подходе используют уравнения газовой динамики в декартовой системе координат в дивергентном виде, которые заменяют разностными уравнениями, аналогичными (6.63). При этом в восьми крайних опорных узлах на слое п величины определяют квадратичной интерполяцией по их значениям в узлах цилиндрической сетки. Течение, по предположению, всегда имеет плоскость симметрии, соответствующую ф=0(ф=л). Если в расчетной области выбирать нечетное число лучей, то процедура интерполяции становится очень простой и сводится к интерполяции вдоль лучей. [c.177]

Решение получить численным методом е помощью ЭВМ на разностной сетке с числом узлов, равным 7, используя явную или неявную конечно-разностную схему для уравнения теплопроводности. Шаг по времени принять равным 0,15 с. Для того чтобы при указанных условиях получить наименьшую погрешность аппроксимации, положить комплекс аДт/(Ддс) равным 1/6. Результаты расчета сравнить с точным решением. [c.202]

Основным численным методом решения дифференциальных уравнений теплопроводности является метод конечных разностей [23]. Формально он базируется на приближенной замене в дифференциальном уравнении и граничных условиях производных разностными соотношениями между значениями температур в узлах конечно-разностной сетки. В итоге для каждого узла с неизвестным значением температуры получается алгебраическое уравнение, которое для задачи стационарной теплопроводности может быть также получено из условия баланса тепловых потоков в дискретной модели тела, состоящей из теплопроводящих стержней [12, 18]. Методы решения таких уравнений хорошо разработаны [24], а для реализации этих методов в математическом обеспечении современных ЭВМ предусмотрены стандартные программы. Алгебраическому уравнению для каждой узловой точки можно дать вероятностную интерпретацию и использовать для решения задач метод статистического моделирования (метод Монте-Карло) [12]. [c.44]

Если задача нестационарной теплопроводности решается на емкостно-резистивной сетке, то закон Кирхгофа для каждого узла этой сетки записывается в виде дифференциально-разностного уравнения [c.14]

Как отмечалось выше, моделирование температурных полей на / С-сетках основано на аналогии между дифференциально-разностной аппроксимацией линейного уравнения нестационарной теплопроводности (время — непрерывно, пространство — дискретно) и выражением первого закона Кирхгофа для электрических токов, сходящихся в соответствующем узле / С-сетки (см. рис. 5, г). [c.42]

Метод конечных разностей (МКР), или метод сеток целесообразно рассматривать как вариационно-разностный метод, основанный на аппроксимации функционала. Он удобен тем, что для вычисления интеграла нужно знать значе-ния подынтегральной функции только в узлах 1 сетки, так что для вычис- [c.176]

Сеточные функции Р, V, Е определяются в серединах пространственных интервалов, т. е. в точках Мг+а.ь, в целые моменты времени Р и обозначаются /г о.а Координата г и скорость V определяются в узлах пространственной сетки в целые моменты времени и обозначаются /". Разностная схема принадлежит к классу разностных схем с независимыми сог, а>4) юэ, юы- Разностные уравнения имеют вид [c.238]

Для решения сложных дву- н трехмерных нестационарных задач теплопроводности разработаны экономичные конечно-разностные схемы, сочетающие лучшие свойства явной и неявной схем, а именно обладающие абсолютной устойчивостью (как неявная ехема) и требующие на каждом шаге по времени выполнения числа арифметических операций, пропорционального числу узлов разностной сетки (как явная схема). Это достигается за счет замены решения [c.245]

Кодовый массив описан в операторе OMMON/PP/LITREG (7,5). Узлы разностной сетки нумеруются в направлении возрастания координаты л от 1 до N0. В массиве LITREG каждому узлу сетки соответствует двузначное число, определяющее тип используемого оператора. [c.182]

Прогиб задается в моменты времени 1 , 1 2, 2-з> з-4, Г4 5, 5-6 и в узлах разностной сетки. Соответственно граничному условию гоь] = О, г/ 5 = О, I, ] О, 1,. . ., 5. Здесь нижний индекс означает номер соответствующего узла разностной сетки, верхний индекс ю будет означать соответствие их моментам времени, обозначенным тем же индексом. Распределение прогибов симметрично относительно осей а и и диагонали. [c.341]

Так же резко различаются результаты, полученные методом [1, 2] с использованием упомянутых различных подходов для конфигурации, изображенной на рис. 3, б, при Моо = 3 и a = —15°. Участки границы са2 и ai на рис. 4, в, вдоль которых коническое течение граничит с областями центрированной волны и однородного потока за ней, представляют собой пересечение плоскости ж = 1 и характеристической поверхности, форма которой также определяется при установлении с помощью предлагаемого алгоритма. Точка с располагалась на линии пересечения характеристических плоскостей, разделяющих область центрированной волны и невозмущенный поток и проходящих через вертикальную и горизонтальную передние кромки. Узлы разностной сетки на подвижных частях границы смещались по прямым, параллельным осям г] ж Как и ранее, расчет без выделения границы конического течения проводился в фиксированной области da2 a, показанной на рис. 4, г. Изобары на рис. 4, в (разностная сетка содержит 20 X 20 ячеек) и на рис. 4, г (сетка 30 х 30), построенные с шагом 0.05, указывают на существование в рассматриваемом коническом течении областей преобладающего градиента давления. [c.183]

Расчет волновых движений смеси методом конечных разностей требует вычисления свойств фаз в каждом узле разностной сетки на каждом временном слое. В связп с этим используемые уравнения состояния, помимо высокой точности вычисления самих термодинамических функций (6.11.2), должны давать высокую точность вычисления и их производных, через которые определяются скорости звука и скорости волн. В то же время онн должны быть достаточно простыми, чтобы сильно не увеличивать объем вычислений. Для удовлетворения этих требований имеет смысл использовать уравнения состояния, аппроксимирующие свойства фаз на конечных интервалах изменения параметров. Ниже проведены термодинамические аппроксимации применительно для волн в диапазоне р = 0,1 — 10 МПа. [c.139]

Пусть теперь в момент времени = О задапы непрерывные функции и = м(ж) и р = р[х). Заменим область непрерывного изменения аргумента дискретным множеством точек — разностной сеткой, узлы которой обозначим через х,. Расстояние менаду соседними узлами, к = X, — х,-1, есть шаг разностной сетки. Непрерывные функции й х) шр (ж) заменим кусочно-постоянными функциями, сохраняющими постоянные значения менаду узлами разностной сетки. Их значения между узлами Хз , х, обозначим через и,-ц2, Рз-1/2, присвоив [c.90]

Здесь X заменено на s, поскольку рассматриваются плоские и осесимметричные течения с i = 0 и Го = 0. С распределением скорости (4.1) были проведены численные расчеты поля течения. LUar Ai 3 = 0,2-10-2, 2 узлы разностной сетки располагались в точках х=0...0,16 (Ал = 0,02) 0,2...0,6 (Дх = 0,05) 0,67 0,76 0,88 1,00 1,15 1,40 1,70 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00. [c.136]

Представленные в дозвуковой части сопла линии s = onst поясняют расположение узлов разностной сетки. Несмотря на сгущение узлов на линиях тока с увеличением г] , шаг по s сохраняется постоянным, счет устойчив вплоть до пересечения двух линий s = onst. [c.212]

В литературе предложены три выхода из этой ситуации, позволяющие получить обычный порядок точности. Во-первых, в работах [102, 66] предлагается добавлять к обычным базисным функциям еще одну или несколько функций, описьюающих характер особенности решения в угловых точках. Эти функции имеют большую площадь носителя, что существенно усложняет алгоритмы формирования и решения линейных алгебраических систем метода Бубнова - Галёркина. Во-вторых, в работе [92] предлагается использовать нормы с весом, вырождающимся в нуль в особых точках. В такой норме порядок сходимости остается обычным, но за счет вырождения веса точность приближенного решения вблизи особой точки хуже, чем вдали от нее. В-третьих, в работах [92, 66, с. 273] предлагается специальным образом сгущать триангуляцию при подходе к особой точке. Это сгущение можно подобрать так, чтобы общее число узлов разностной сетки осталось по порядку таким же, как обычно. Некоторое увеличение числа узлов (и соответственно неизвестных в системе линейных алгебраических уравнений) все же имеется в сравнении с обычным путем, но зтапы автоматизации не меняются. Мы рассмотрим именно этот прием и покажем, что приведенные в гл. 4 алгоритмы могут бьпь распространены и на этот случай без потери экономичности. [c.219]

В этом параграфе рассматривается спектральная задача для эллиптического дифференциального уравнения второго порядка. Для дискретизации задачи применяется метод Бубнова — Галёркина с кусочно-линей-ными базисными функциями на треугольниках, как ив 5.1. Для приближенного решения получающейся алгебраической спектральной задачи используются алгоритмы, построенные в 4.5, 4.6. Они дают простые и кратные собстветые числа с точностью 0(Н ) и соответствующие собственные функции исходной дифференциальной задачи с такой же точностью в норме 2 (12) Число арифметических операций для достижения этой точности является величиной порядка 0(]с М), где к — кратность собственного числа дифференциальной задачи, N - число узлов разностной сетки. [c.226]

При замене дифференциального оператора Zu = f разностнЫхМ ZhU = допускается погрешность, которую можно оценить локально, если рассмотреть разность между дифференциальным оператором и разностным в узлах разностной сетки. [c.127]

Дискретизация уравненйй. Потенциал, являющийся решением уравнения Пуассона (14.1) - это непрерывная функция пространственных координат. Для численного решения уравнения Пуассона необходимо, чтобы потенциал и концентрации заряда были представлены дискретными величинами в узлах разностной сетки в области решения. Такое представление достигается дискретизацией уравнения (14.1), приводящей к системе нелинейных уравнений. Каждому узлу сетки соответствует одно уравнение, за исключением тех узлов, в которых потенциал задается граничными условиями. [c.355]

Из уравнения (6.5) следует, что температура в любом узле плоской сетки есть среднее арифметическое температур в соседних четырех узлах сетки. Это одно из фундаментальных свойств уравнения Лапласа, следствием которого и является (6.5). Условие (6.5) положено в основу одного из методов численного решения задач теплопроводности, который называют релаксационным. Этот нметод состоит в следующем. В узлах сетки записываются ожидаемые, но произвольно выбранные температуры. В общем случае они не будут удовлетворять условию (6.5). Если окажется больше среднего арифметического температур Т , Т , Т , Г , то это значит, что в точке О находится источник теплоты, если меньше, то сток теплоты. В этих случаях разностная схема примет вид [c.86]

Решение получить G помощью ЗБМ методом сеток, применяя неялую конечно->раз йгтукх схему. Для того чтобы показать, как втвпат-параметры разностной сетки на toi-ность численного решения, выполнить расчеты на сетка < с числом узлов, равным 3, 7, 13 и 29. Шаг по времени принять равным 0 01 с. Сравнить полученные результаты с точным аналитическим решением. [c.201]

С помощью аналогичной системы неравенств можно вывести условия устойчивости для решения многомерных задач по рассмотренной выпте явной схеме, а также найти условия устойчивости разностных уравнений, соответ-сгвующих узлам, лежащим на границах тела. Так, одномерное разностное уравнение, приближенно выражающее условие теплового, баланса для граничного узла I (рис. 2.3) разностной сетки, [c.89]

При выполнении реальных расчетов используется сгущение конечно-разностной сетки. Например, выполняются два расчета первый — с выбранными шагами и hy, второй с шагами h jl и hyjl с последуюшдм сопоставлением численных значений в одинаковых узлах. [c.488]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...