Уравнение Больцмана интегральная форма

Интегральные формы уравнения Больцмана [c.67]

Вообще говоря, по аналогии с (7.4) и (7.5) можно выписать бесконечное множество различных форм интегральных уравнений. Действительно, к правой части уравнения (7.1) можно прибавить и вычесть произвольную функцию от /. Разбивая затем различным образом правую часть уравнения (7.1) на известную и неизвестную части, получим различные дифференциальные уравнения, решение которых ведет к различным интегральным уравнениям. Выбор той или иной интегральной формы уравнения Больцмана определяется удобством его применения для той или иной задачи. [c.69]

Методу разложения по малому параметру можно придать несколько более геометрически наглядный вид i). Запишем безразмерное уравнение Больцмана в интегральной форме (7,4) главы II [c.159]

Для молекул с конечным радиусом взаимодействия уравнение Больцмана можно записать в интегральной форме (см. формулу (7.5) 2.7 в формуле проведена замена t = хЦ ) [c.306]

Метод последовательных приближений можно несколько видоизменить, применив его к одной из интегральных форм уравнения Больцмана. [c.382]

В 6.3 уже было рассмотрено свободномолекулярное истечение через отверстие. Влияние столкновений можно учесть методом итераций. используя, например, интегральную форму уравнения Больцмана [c.419]

Здесь индекс 1 опущен, индекс 2 заменен на 1, написано Р вместо У вместо I — 1 I (относительная скорость) и указана зависимость Р только от скоростных переменных, поскольку другими аргументами всюду будут х, 1. Наконец, интегральный член перенесен в правую часть уравнения, чтобы получить обычна используемую форму записи уравнения Больцмана этот член называется интегралом столкновений, так как в нем учитываются взаимодействия между молекулами. [c.41]

Интегральная форма уравнения Больцмана и ее свойства 151 находим [c.151]

Теорема I. В гильбертовом пространстве функций, интегрируемых и по пространственным, и по скоростным переменным) с квадратом с весом р ( ), существует единственное решение интегральной формы уравнения Больцмана, если область В [c.155]

Свойства интегральной формы уравнения Больцмана впервые исследованы в статьях [1], [c.170]

В 3 гл. 6 было показано, что линеаризованное уравнение Больцмана можно преобразовать из интегро-дифференциальной формы в чисто интегральную форму. Это можно проделать и для нелинейного уравнения, поскольку дифференциальная часть линейна. Как и в линейном случае, преобразование можно провести многими способами (теперь произвольная функция [х ( ) является функционалом от /). В результате получим [c.222]

Моментные методы и метод дискретных ординат могут применяться к интегральной форме уравнения Больцмана (разд. 12 гл. IV) еще с большим успехом, чем к его стандартной интегро-дифференциальной форме [43—46]. Это обстоятельство должно [c.394]

Вариационные принципы для линеаризованного уравнения Больцмана излагались в разд. 10 и 12 гл. IV. Если вариационный принцип применять к кнтегродифференциальному уравнению (разд. 10 гл. IV), то трудно сделать простые, но разумные предположения о функции распределения, однако если удается сделать такие предположения, то они приводят к простым выражениям для приближенного решения. Использование модельных уравнений в интегральной форме (разд. 12 гл. IV) приводит к длинным вычислениям и громоздким результатам даже для простых пробных функций, но результаты окупаются даже при не слишком удачных предположениях. В самом деле, применен ние модельных кинетических уравнений в интегральной форме означает, что предположение о конечном числе моментов приводит к функции распределения, которая автоматически удовлетворяет граничным условиям какие бы предположения ни делались, результат все равно останется верным по структуре в свободномолекулярном пределе. [c.396]

Естественный путь отыскания решений интегральных уравнений — это метод итераций. Этот метод применялся к обеим приведенным формам интегральных уравнений для доказательства существования решений уравнения Больцмана при заданной в начальный момент времени функции распределения ). Как уже отмечалось, сходимость метода для конечного интервала времени доказана лишь для пространственно-однородного случая и молекул с конечным радиусом взаимодействия (для сфер — Карлеманом и для псевдомаксвелловских молекул — Моргенштерном). Если начальная функция распределения зависит от X, то сходимость последовательных приближений удается доказать лишь для малого интервала времени (Град). [c.221]

Чтобы построить нетривиальную теорию граничных задач, а также чтобы дать метод построения решения в предельном случае больших чисел Кнудсена (см. гл. 8), удобно преобразовать линеаризованное уравнение Больцмана из интегро-дифференциальной формы в чисто интегральную. Это мояшо сделать многими способами, каждый из которых может быть удобен для конкретных целей. Прош е всего рассмотреть уравнение (1.21) и проинтегрировать обе части вдоль характеристик дифференциального оператора О = -(9/(9х2 приэтомнадо учесть нужные граничные условия. Это по существу равносильно построению оператора, обратного к Д, при данных однородных граничных условиях. Уравнение Больцмана принимает тогда вид [c.151]

Теорему 1 можно взять в качестве отправной точки при построении строгой теории граничных задач, поскольку она позволяет говорить о решении, которое, как было показано, существует и единственно. Отметим, однако, что показано было лишь существование функции к, интегрируемой с квадратом по обеим переменным X и I, а о гладкости решения ничего не известно. В частности, не известно, дифференцируема ли к по пространственным переменным почти всюду так, чтобы удовлетворялась не только интегральная форма (3.2), но и первоначальная интегро-диффе-ренциальная форма (1.21) линеаризованного уравнения Больцмана. Оказывается, что существует производная по направлению 1-дк1дх, а отсюда следует, что первоначальное интегро-диффе-ренциальное уравнение удовлетворяется по крайней мере в обобщенном смысле. [c.156]

Заметим, что результаты Грэда для нелинейного случая получаются простым итерационным процессом с использованием интегральной формы уравнения Больцмана. Доказательство сходимости далеко не тривиально, результат же довольно слабый, поскольку супхествование и единственность получаются в классе функций с весьма ограничительной нормой Л з( ) = — -Ы/[о). [c.439]

С использованием шкалы модифицированного времени определяющее дифференциальное уравнение (1.58) можно представить в интегральной форме [271, позволяющей сравнить его с такими известными уравнениями ползучести наследственного типа, как теории Больцмана и Шепери [242 , основанными на использовании шкалы модифицированного времени. [c.80]

Определим равновеснзпо функцию распределения как не зависящее от времени решение уравнения переноса Больцмана. Мы увидим также, что эта функция является предельной формой функции распределения при времени t, стремящемся к бесконечности. Предположим, что внешние силы отсутствуют. Тогда можно допустить, что функция распределения не зависит от г, т. е. ее можно обозначить через /(у, t). Равновесная функция распределения, обозначаемая через /о (у), является решением уравнения < /(у. t) дt = 0. Согласно уравнению переноса Больцмана (3.36), функция /о(у) удовлетворяет интегральному уравнению [c.84]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...